同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章1、向量在轴上的投影：性质：ϕcos )(a a u =（即Prj u ϕcos a a =），其中ϕ为向量a与u 轴的夹角；u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a+ Prj u b ）；u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a）.2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x++=，k b j b i b b z y x ++=，则=11)1(+-yy b az z b a i +21)1(+-x x b a zzb a j +31)1(+- x x b ayyb a k=k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y)()()(-+-+-注：a b b a⨯-=⨯3、二次曲面（1） 椭圆锥面：22222z by a x =+；（2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面：z a y x =+222（把把xOz 面上的抛物线z ax =22绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122222=++cz a y x （把xOz 面上的椭圆12222=+cz a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122222=-+cz a y x （把xOz 面上的双曲线12222=-cz a x 绕z 轴旋转））（5） 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ； （旋转双叶双曲面：122222=+-cz y a x （把xOy 面上的双曲线12222=-cz a x 绕x 轴旋转））（6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222；（7） 椭圆柱面：12222=+b y a x ； 双曲柱面：12222=-by a x ； 抛物柱面：ay x =24、平面方程（1） 平面的点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，其中),,(0000z y x M 是平面上一点，),,(C B A n =为平面的一个法向量.（2） 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax ，其中),,(C B A n =为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量),,(C B A n =若D =0，则平面过原点；若⎩⎨⎧≠==轴，则平面平行于轴则平面过x D x D A 0,0,0若⎩⎨⎧≠===面，则平面平行于面，则平面表示，xOy D xOy D B A 000 （3） 平面的截距式方程：1=++c zb y a x ，其中c b a ,,分别叫做平面在z y x ,,轴上的截距.5、两平面的夹角：222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ特殊：0212121=++⇔C C B B A A 两平面互相垂直6、点),,000z y x P （到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式：222000CB A DCz By Ax d +++++=7、空间直线方程（1） 空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A（2） 空间直线的对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-，其中),,(p n m s =为直线的一个方向向量，),,(000z y x M 为直线上一点（3） 空间直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 0008、两直线的夹角：222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ特殊：0212121=++⇔p p n n m m 两直线互相垂直 9、直线与平面的夹角：222222sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ特殊：pC n B m A ==⇔直线与平面垂直 直线与平面平行或在平面内：0=++Cp Bn Am 10、平面束的方程：设直线L 由方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 所确定，其中222111,,,,C B A C B A 与不成比例，则平面0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ为通过直线L 的所有平面（不包含平面02222=+++D z C y B x A ）第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 都无限接近于A ，因此当),(y x P 以不同方式趋于),(000y x P 时，),(y x f 趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求xf∂∂时，只要把其他量),,( z y 看作常量而对x 求导数； 求yf∂∂时，只要把其他量),,( z x 看作常量而对y 求导数； 注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）xz∂∂为整体，不可拆分；（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数),(y x f z =在点),(y x 可微分，则该函数在点),(y x 的偏导数x z∂∂、yz ∂∂必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=5、若函数),(y x f z =的偏导数xz∂∂、y z ∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微分 6、),(y x f 连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,),(y x f 不一定连续； ),(y x f 连续,不一定可微，但可微,),(y x f 一定连续； 可微,偏导数一定存在，偏导数存在, ),(y x f 不一定可微； 可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续, ),(y x f 一定可微 7、多元复合函数的求导法则：（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导，且有dtdvv z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂= （2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数),(y x u ϕ=及),(y x v ψ=都在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂；yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ （3）其他情形：若函数),(y x u ϕ=在点),(y x 具有对x 及对y 的偏导数，函数)(y v ψ=在点y 可导，函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数)](),,([y y x f z ψϕ=在点),(y x 的两个偏导数都存在，且x u u z x z ∂∂∂∂=∂∂；yvv z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 8、隐函数求导公式： （1）函数),(y x F ：yx F F dx dy-= （2）函数),,(z y x F ：z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂ 9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线Γ的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z t y t x ωψϕ ],[βα∈t ),,(000z y x M 为曲线上一点假定上式的三个函数都在],[βα上可导，且三个导数不同时为零则向量=T ))('),('),('()('0000t t t t f ωψϕ=为曲线Γ在点M 处的一个切向量，曲线Γ在点M 处的切线方程为：)(')(')('000000t z z t y y t x x ωψϕ-=-=-，法平面方程为：0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωψϕ 如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==),(),(x z x y ψϕ的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：)(')('100000x z z x y y x x ψϕ-=-=-， 法平面方程为：0))(('))((')(00000=-+-+-z z x y y x x x ψϕ如果空间曲线Γ的方程以⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 的形式给出，则Γ在点M 处的切线方程为：Myyx x M x x z z Mz z y y G F G F z z G F G F y y G F G F x x 000-=-=-法平面方程为：0)()()(000=-+-+-z z F F G F y y G F G F x x G F G F yy x x Mxx z z Mzz y y10、曲面的切平面与法线：设曲面方程为0),,(=z y x F ，),,(000z y x M 为曲面上一点，则曲面在点M 处的切平面方程为：0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x ，法线方程为：),,(),,(),,(0000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x o z o y x -=-=-11、方向导数：若函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在，且 βαcos ),(cos ),(000o y x y x f y x f lf+=∂∂，其中βαcos ,cos 是方向l 的方向余弦 12、梯度：j y x f i y x f y x),(),(0000+称为函数),(y x f 在点),(000y x P 的梯度，记作),(),(000y x f y x gradf o ∇或，即),(),(000y x f y x gradf o ∇==j y x f i y x f y o x),(),(000+13、设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则0),(,0),(0000==y x f y x f y x14、设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又0),(,0),(000==y x f y x f y o x ，令C y x f B y x f A y x f yy xy o xx ===),(,),(,),(00000，则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值； （2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也有可能没有极值 15、具有二阶连续偏导数的函数),(y x f z =的极值求法：第一步：解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ，求得一切实数解，即可求得一切驻点； 第二步：对每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值B A ,和C ；第三步：定出2B AC -的符号，按14的结论判定),(00y x f 是不是极值，是极大值还是极小值注：上述步骤是求．．．．．．．．具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数极值时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也要考虑．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 16、拉格朗日乘数法：要找函数),(y x f z =在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=，其中λ为参数.求其对x 及y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程0),(=y x ϕ联立起来：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ，由这方程组解出y x ,及λ，这样得到的),(y x 就是函数),(y x f 在附加条件0),(=y x ϕ下的可能极值点第十章1、二重积分的性质性质1：设βα、为常数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+DDDd y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([.性质2：如果闭区域D 被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性） 性质3：如果在D 上，1),(=y x f ，σ为D 的面积，则性质4：如果在D 上，),,(),(y x y x f ϕ≤则有：⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f .),(),((σϕσ特殊地，由于,),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(.性质5：设m M ,分别是),(y x f 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有⎰⎰≤≤DM d y x f m σσσ),(.性质6（二重积分的中值定理）：设函数),(y x f 在闭区域D 连续，σ是D 的面积，则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(.2、二重积分直角坐标的计算法：（1）若积分区域D 可用不等式)()(21x y x ϕϕ≤≤，bx a ≤≤（X 型）来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[b a 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x bady y x f dx d y x f )()(21.),(),(ϕϕσ（2）若积分区域D 可用不等式)()(21x x x φφ≤≤，b y a ≤≤（Y 型）来表示，其中)(1x φ、)(2x φ在区间],[d c 上连续.则⎰⎰⎰⎰=Dx x dcdx y x f dy d y x f )()(21.),(),(φφσ注：确定次序原则：（1） 函数原则：内层积分可以积出； （2） 区域原则； （3） 少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法：（极坐标系中的面积元素：θρρd d ）若积分区域D 可用不等式)()(21x x ϕρϕ≤≤，βθα≤≤来表示，其中)(1x ϕ、)(2x ϕ在区间],[βα上连续.则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕρρθρθρθθρρθρθρσ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (),(d f d d d f d y x f DD（详见P145,146） 4、确定上下限原则：（1）每层下限小于上限；（2）内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数； （3）外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化： （1）若积分区域D 关于0=x 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当， 其中}{0,),(),(1≥∈=x D y x y x D（2）若积分区域D 关于0=y 对称，则：⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=DD y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f 1),(),(,),(2),(),(,0),(当当， 其中}{0,),(),(2≥∈=y D y x y x D 6、直角坐标三重积分的计算：（1）先一后二：若}{xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21，闭区域}{b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=),()(),(21，则：⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(2221),,(),,(y x z y x z y y badz z y x f dy dx dv z y x f （详见P158,159）（2）先二后一（截面法）：S1：将Ω向某轴投影，如z 轴，],[21c c z ∈；S2：对],[21c c z ∈，用平行于xoy 面的平面截Ω，截出部分记为z D ； S3：计算⎰⎰zD dxdy z f )(；S4：计算⎰21),(c c dz y x F若空间区域{}21,),(),,(c z c D y x z y x z ≤≤∈=Ω，其中z D 是竖坐标为z 的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则：注：适用于被积函数只有一个变量或为常数 7、柱面坐标三重积分的计算：+∞<≤ρ0；πθ20≤≤；+∞<<∞-zρ=常数，即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数，即过z 轴的半平面；z =常数，即与xoy 面平行的平面柱面坐标系中的体积元素：dz d d dv θρρ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z F dxdydz z y x f θρρθρ),,(),,(，其中),sin ,cos (),,(z f z F θρθρθρ=再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω),(),(212121),,(),,(θρθρϕϕθθθρρρθz z dz z F d d dxdydz z y x f ，其中),(1θρz ，),(2θρz 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解） 8、球面坐标三重积分的计算：+∞<≤r 0，πϕ≤≤0，πθ20≤≤球面坐标系中的体积元素：θϕϕd drd r dv sin 2=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕθϕd drd rr F dxdydz z y x f sin ),,(),,(2，其中)cos ,sin sin ,cos sin (),,(ϕθϕθϕθϕr r r f r F =，再化为三次积分计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω212121sin ),,(),,(2),(),(θθϕϕθϕθϕϕθϕϕθdr r r F d d dxdydz z y x f r r ，其中),(1θϕr ，),(2θϕr 为沿z 轴穿线穿过的两个平面方程（个人理解）典例：求由曲面a z y x 2222≤++与22y x z +≥所围成立体体积（利用三种坐标系求解） 解：a z y x 2222≤++表示球心在原点，半径为a 2的球体，22y x z +≥表示xoy 上半面圆锥体 直角坐标：柱面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω==aa dz d d v d V 022022ρρπρρθ球面坐标：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω402220sin ππϕϕθa o dr r d d v d V十一章1、对弧长的曲线积分的计算法：设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤，其中(t ϕ），)t φ（在[,]αβ上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)Lf x y ds ⎰存在，且(,)[(),(L f x y ds f t t βαϕφ=⎰⎰ ()αβ< 同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩2、对坐标的曲线积分的计算方法：设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩，当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(t ϕ），)t φ（在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22'()'()0t t ϕφ+≠，则曲线积分(,)(,)L P x y dx Q x y dy +⎰存在，且(,)(,){[(),()]'()[(),()]'()}LL P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt ϕφϕϕφφ+=+⎰⎰（下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点）同理：空间曲线Γ：()()()x t y t z t ϕφω=⎧⎪=⎨⎪=⎩3、平面曲线L 上两类曲线积分的联系：(cos cos )L LPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰，其中(,,),(,,)x y z x y z αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y处的切向量方向角cos α=cos α=同理：空间曲线Γ上两类曲线积分的联系：4、格林公式：设闭区域D 由分段光滑曲线L 围城，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有()L D Q P dxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰，其中L 是D 的取正向的边界曲线注：取,P y Q x =-=，则2L D dxdy xdy ydx =-⎰⎰⎰，左端表示闭区D 的面积A 的两倍，因此，12L A xdy ydx =-⎰5、设D 为单连通区域，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价：（1）沿D 内任一条光滑曲线有(,)(,)0LP x y dx Q x y dy +=⎰ （2）对D 内任一条分段光滑曲线L 曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关 （3）存在(,)u x y D ∈，使得(,)(,)du P x y dx Q x y dy =+（4）在D 内没一点都有Q P x y∂∂=∂∂ 6、对面积的曲面积分的计算法：7、对坐标的区面积分的计算法：(,,)[,,(,)]xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面上下侧 (,,)[,(,),]zxD Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面左右侧 (,,)[(,),,]xyD P x y z dydz P x x y y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，等式右端符号取决于积分曲面前后侧 8、两类曲面积分之间的联系：cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，其中cos ,cos ,cos αβγ时有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦9、高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围城的，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有：10、斯托克斯公式：设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有：。

高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：二阶微分方程的解法小结：非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*y 的形式为：主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法 在求xz∂∂时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y ∂∂时，应将x 看作常量，对y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设()v ,u f z =，()y ,x u ϕ=，()y ,x v ψ=，则x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 几种特殊情况：1）()v ,u f z =，()x u ϕ=，()x v ψ=，则dxdv v z x u du dz dx dz ⋅∂∂+∂∂⋅= 2）(),z fx v =，()y ,x v ψ=，则x v v f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂，yvu f y z ∂∂⋅∂∂=∂∂ 3）()u f z =，()y ,x u ϕ=则x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂，yudu dz y z ∂∂⋅=∂∂3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则()0≠-=∂∂z zx F F F x z， ()0≠-=∂∂zzy F F F y z或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y∂∂∂∂或. 2）方程组的情况 由方程组()()⎩⎨⎧==00v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z zx y ∂∂∂∂或即可.二、全微分的求法 方法1：利用公式dz zudy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zz du dv uv dz z z dx dyxy ∂∂⎧+⎪∂∂⎪=⎨∂∂⎪+∂∂⎪⎩三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ωψϕ，则当0t t =时，在曲线上对应点()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}000t ,t ,t T '''ωψϕ=，切线方程为()()()000000t z z t y y t x x '''ωψϕ-=-=- 法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '''ωψϕ2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量{}P z y x F ,F ,F n =，切平面方程为()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为()()()000000000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=-=- 若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x，切平面方程为()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为()()1000000--=-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，(),0y f x y =，解出驻点()00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，()00y ,x f C yy =.1）若20AC B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.3） 若02=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值.2 条件极值的求法函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ϕ下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ϕ解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λϕ+=，其中λ为参数，解方程组求出驻点坐标()y ,x ，则驻点()y ,x 可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积()()[]⎰-=dx x g x f S b a（X -型区域的面积）(2)体积()⎰=dx x A V b a （横截面面积已知的立体体积）()2b xx a V f x dx π=⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕x 轴旋转所得的立体体积）()xy 2b a V x f x dx π=⋅⎰ （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕y 轴旋转的立体体积）()2()b y c a V f x c dx π==-⎰ （(),,,y f x x a x b y c ====所围图形绕轴y c =旋转的立体体积）(3)弧长()()()b a b S βαθ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰直角坐标形式参数方程形式极坐标形式 计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算： 1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x 对称，则当被积函数关于x 为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反.3）、若积分区域,x y的地位平等（即将表示区域的方程,x y互换不变），则将被积函数中,x y互换积分不变.此称之为轮换对称性.所以：()() ()()()()()()01()1() z z p x p yp y p x p y z u p x z ux y u uϕϕ∂∂-''+=+=''∂∂--。

高数同济版下高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：高数同济版下二阶微分方程的解法小结：非齐次方程的特解的形式为：高数同济版下主要一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式2、复合函数的偏导数的求法设，，，则，几种特殊情况： 1），，，则2），，则 3），则3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况，设是由方程唯一确定的隐函数，则，高数同济版下或者视，由方程两边同时对 2）方程组的情况由方程组 . 两边同时对求导解出即可二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性：三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法 1）设空间曲线Г的参数方程为，则当时，在曲线上对应处的切线方向向量为，切线方程为法平面方程为2）若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为高数同济版下若曲面的方程为，则在点处的法向，切平面方程为法线方程为四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记， 1）若时有极小值 2）若，则在点处无极值 3）若，不能判定在点处是否取得极值，则在点处取得极值，且当时有极大值，当2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下： 1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题 2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组高数同济版下求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点 3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：高数同济版下高数同济版下*定积分的几何应用定积分应用的常用公式： (1)面积 (2)体积（型区域的面积）（横截面面积已知的立体体积）（所围图形绕的立体体积）（所围图形绕体体积）（所围图形绕轴的立体体积）。

高等数学下册习题常见类型
题型1求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积
题型2由已知条件求平面与直线方程
题型3计算一阶偏导数及高阶偏导数
题型4求多元复合函数的偏导数
题型5求方程所确定的隐函数的偏导数
题型6求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面
题型7求极值、利用拉格郎日乘数法求最值
题型8利用直角坐标计算二重积分
题型9利用极坐标计算二重积分
题型10计算带绝对值的二重积分
题型11利用二重积分证明恒等式
题型12利用对称性质计算二重积分
题型13 只有一种积分次序可计算的积分
题型14利用投影法计算三重积分
题型15 利用柱坐标计算三重积分
题型16利用球坐标计算三重积分
题型17利用切片法计算三重积分
题型18利用三重积分计算立体的体积
题型19计算对弧长的曲线积分
题型20计算对面积的曲面积分
题型21计算对坐标的曲线积分
题型22利用格林公式计算对坐标的曲线积分
题型23曲线积分与路径无关及全微分求积
解：（将二次积分交换顺序）
题型24计算对坐标的曲面积分
题型25利用高斯公式计算对坐标的曲面积分
题型26可分离变量的微分方程、齐次方程题型27—阶线性微分方程题型29可降阶方程
题型30二阶常系数非齐次线性方程
第八章向量与解析几何
所有类型的积分：
①定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限；
②性质：对积分的围具有可加性，具有线性性；
③对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十章级数。

第八章 向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+ c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹角z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行//0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔==交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++平面直线法向量{,,}n A B C = 点),,(0000z y x M方向向量{,,}T m n p = 点),,(0000z y x M方程名称 方程形式及特征方程名称 方程形式及特征一般式0=+++D Cz By Ax一般式⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A法向量000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或00(((x y n f x f x =第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。