同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)

习题1-11.求下列函数的自然定义域：(1)1(3)(5)sin (7)arcsin(3);(9)ln(1);y y x y y x y x ====-=+211(2);1(4);(6)tan(1);1(8)arctan ;(10).xe y xy y x y xy e =-==+=+=解：2(1)3203x x +≥⇒≥-，即定义域为2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭2(2)101,x x -≠⇒≠±即定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞(3)0x ≠且2100x x -≥⇒≠且1x ≤即定义域为[)(]1,00,1-⋃2(4)402x x ->⇒<即定义域为(2,2)-(5)0,x ≥即定义域为[)0,+∞(6)1(),2x k k Z ππ+≠+∈即定义域为1(1,2x x R x k k Z π⎧⎫∈≠+-∈⎨⎬⎩⎭且(7)3124,x x -≤⇒≤≤即定义域为[]2,4(8)30x -≥且0x ≠，即定义域为(](,0)0,3-∞⋃(9)101x x +>⇒>-即定义域为(1,)-+∞(10)0,x ≠即定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞2.下列各题中，函数()f x 和()g x是否相同？为什么？222(1)()lg ,()2lg (2)(),()(3)()()(4)()1,()sec tan f x x g x x f x x g x f x g x f x g x x x========-解：（1）不同，因为定义域不同（2）不同，因为对应法则不同，,0(),0x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩（3）相同，因为定义域，对应法则均相同（4）不同，因为定义域不同3.设sin ,3()0,3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),((),(2),644πππϕϕϕϕ--并指出函数()y x ϕ=的图形解：1()sin ,()sin 66244()sin(),(2)0,44ππππϕϕππϕϕ====-=-=-=()y x ϕ=的图形如图11-所示4.试证下列函数在指定区间内的单调性：(1);1(2)ln ,(0,)xy xy x x =-=++∞证明：1(1)()1,(,1)11x y f x x x===-+-∞--设121x x <<，因为212112()()0(1)(1)x x f x f x x x --=>--所以21()(),f x f x >即()f x 在(,1)-∞内单调增加(2)()ln ,(0,)y f x x x ==++∞设120x x <<，因为221211()()ln 0x f x f x x x x -=-+>所以21()()f x f x >即()f x 在(0,)+∞内单调增加5.设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数，若()f x 在(0,)l 内单调增加，证明()f x 在(,0)l -内也单调增加证明：设120l x x -<<<，则210x x l<-<-<由()f x 是奇函数，得2121()()()()f x f x f x f x -=-+-因为()f x 在(0,)l 内单调增加，所以12()()0f x f x --->即()f x 在(,0)l -内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(,)l l -上的。

第二章　导数与微分2.2　课后习题详解习题2-1　导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】　当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。

高等数学同济第七版上册课后习题答案 (1)1 ⎭ 习题 1-11. 求下列函数的自然定义域：(2) y = 1;(1) y = 1 - x 2(3) y = 1x (4); y =1(5) y =(6) y = tan(x +1);(7) y = arcsin(x - 3); (9) y = ln(x + 1);(8) y1+ arctan ; x(10) y = e e x.解：(1)3x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 2，即定义域为⎡- 2 , +∞⎫(2)1 - x 2 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±1,⎣⎢ 3⎪ 即定义域为(-∞, -1) ⋃ (-1,1) ⋃ (1, +∞)(3)x ≠ 0 且1- x 2 ≥ 0 ⇒ x ≠ 0 且 x ≤ 1即定义域为[-1,0) ⋃ (0,1](4)4 - x 2 > 0 ⇒ x < 2 即定义域为(-2, 2) (5)x ≥ 0, 即定义域为[0, +∞)(6)x +1 ≠ k π + π(k ∈ Z ),2 即定义域为⎧x x ∈ R 且x ≠ (k + 1 )π -1, k ∈ Z ⎫⎨ 2 ⎬⎩ ⎭⎩⎪ π π π(7) x - 3 ≤ 1 ⇒ 2 ≤ x ≤ 4, 即定义域为[2, 4](8)3 - x ≥ 0且 x ≠ 0，即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0,3] (9)x + 1 > 0 ⇒ x > -1即定义域为(-1, +∞) (10)x ≠ 0,即定义域为(-∞, 0) ⋃ (0, +∞)2. 下列各题中，函数 f (x ) 和 g (x ) 是否相同？为什么？(1) f (x ) = lg x 2 , g (x ) = 2 l g x (2) f (x ) = x , g (x )(3) f (x ) g (x ) = (4) f (x ) = 1, g (x ) = sec 2 x - tan 2 x解：（1） 不同，因为定义域不同（2） 不同，因为对应法则不同， g (x ) == ⎧ x , x ≥ 0（3） 相同，因为定义域，对应法则均相同（4） 不同，因为定义域不同⎨-x , x < 0⎧sin x , 3.设ϕ(x ) = ⎨ x < π 3 π ⎪ 0, x ≥⎩3求ϕ(),ϕ( ),ϕ(- 644),ϕ(-2), 并指出函数 y = ϕ (x )的图形( ) = sin = ,ϕ( ) = sin = ϕ π π1 π π 6 62 4 4 2 解：ϕ(- π ) = sin(- π ) = 2,ϕ(-2) = 0,4 4 2y = ϕ (x )的图形如图1-1所示4. 试证下列函数在指定区间内的单调性：(1) y =x ; 1 - x(2) y = x + ln x ,(0, +∞)证明：(1) y =f (x ) =x 1 - x= -1+1 1 - x,(-∞,1) 设x 1 < x 2 < 1，因为f (x ) - f (x ) = x 2 - x 1 > 02 1(1 - x )(1- x ) 1 2所以 f (x 2 ) > f (x 1 ), 即 f (x ) 在(-∞,1) 内单调增加(2) y = f (x ) = x + ln x ,(0, +∞)设0 < x 1 < x 2 ，因为2,f (x ) -f (x ) =x -x + ln x2 > 02 1 2 11所以 f (x2 ) > f (x1 )即f (x) 在(0, +∞) 内单调增加5.设f (x) 为定义在(-l,l) 内的奇函数，若 f (x) 在(0,l) 内单调增加，证明f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加证明：设-l <x1 <x2< 0 ，则0 <-x2<-x1 <l由f (x) 是奇函数，得f (x2 ) - f (x1 ) =-f (x2 ) + f (-x1 )因为 f (x) 在(0,l) 内单调增加，所以 f (-x1 ) -f (-x2 ) > 0即f (x) 在(-l, 0) 内也单调增加6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(-l,l) 上的。

高等数学(同济大学数学系-第七版)上册高等数学（同济大学数学系第七版）上册第三章：微分中值定理与导数的应用课后习题答案55/ 1．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 2．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 3．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 4．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 5．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 6．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 7．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 8．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 9．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 10．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 11．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 12．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 13．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 14．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 15．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 16．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 17．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 18．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 19．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 20．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 21．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 22．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 23．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 24．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 25．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 26．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 27．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 28．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 29．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 30．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 31．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 32．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 33．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 34．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 35．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 36．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 37．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 38．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 39．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 40．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 41．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 42．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 43．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 44．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 45．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 46．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 47．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 48．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 49．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 50．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 51．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册55/ 52．高等数学(同济大学数学系-第七版)上册。

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限：(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答：(1) 当x → 2 时，f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以，lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时，f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以，lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限：(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答：(1) 利用极限的性质，lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质，lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数：(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答：(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质，y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分：(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答：(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质，dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答：(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式，∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分：(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答：(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性：(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答：(1) 这是调和级数，已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。

高等数学同济大学第七版上册答案选择题：1. 在平面直角坐标系中，异于原点的一组直线的斜率之积为 -1，则这组直线的方程分别是（）A. y = x, y = -xB. y = x, y = 1/2xC. y = x, y = 2xD. y = -x, y = -1/2x2. 若函数 y = f(x) 具有二阶导数，且有 f''(x) > 0，则函数 y = f(x)A. 在 x = 0 处取得极大值B. 在 x = 0 处取得最小值C. 在 x = 0 处取得拐点D. 无法确定3. 一阶行列式 |a b| = -3, |c d| = 2，行列式 |A| = |2a c| + |2b d| 的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 某圆锥的高为 12cm，底面直径为 8cm，底面圆的半径为 4cm，则该圆锥的侧面积为A. 48π cm^2B. 32π cm^2C. 16π cm^2D. 8π cm^25. 如果一组 n 个数据的算术平均值为 x¯，它们的总和为 S，那么这组数据中至少有一个数据小于或等于A. x¯-S/nB. x¯-(S/n-1)/nC. x¯-(S/n+1)/nD. x¯+S/n填空题：1. 设函数 y = x^3 - 3x + 2，则它的导数 y' = _________2. 将 x = 1/2e^(t/2) 代入 y = (x + 1)e^x，则 y = _________3. 设 2sin x - 3cos x = 5，则tan(x + π/6) = _________解答题：1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的单调增区间和单调减区间。

2. 已知 f(x) = sin x + cos x，求 f'(x) 和 f''(x)。

3. 已知一物体沿直线运动的速度为 v(t) = e^(2t-1) (m/s)，起点位于原点，求物体在 t = 0 到 t = 1 上的位移。