2014-2015年福建省泉州市南安一中高一上学期数学期中试卷和解析

三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. 17． （12 分）已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，B＝{x|x＜4}，C＝{x|x ≥a}． （Ⅰ）求 A∩（∁UB） ； （Ⅱ）若 A⊆C，求 a 的取值范围．
18． （12 分）已知函数 f（x）＝loga（1+x）﹣loga（1﹣x） （a＞0，a≠1） ． （Ⅰ）判断 f（x）奇偶性，并证明； （Ⅱ）当 0＜a＜1 时，解不等式 f（x）＞0．
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2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷 （文科）
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2014-2015 学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数 学试卷（文科）
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19． （12 分）已知奇函数 f（x）＝ （Ⅰ）求 c 的值；
（c∈R） ．
（Ⅱ）当 x∈[2，+∞）时，求 f（x）的最小值． 20． （12 分）已知函数 f（x）＝ x3﹣ x2+cx+d 有极值． （Ⅰ）求 c 的取值范围； （Ⅱ）若 f（x）在 x＝2 处取得极值，且当 x＜0 时，f（x）＜ d2+2d 恒成立，求 d 的取值范围． 21． （12 分）2008 年奥运会在中国举行，某商场预计 2008 年从 1 日起前 x 个月， 顾客对某种奥运商品的需求总量 p（x）件与月份 x 的近似关系是 且 x≤12） ，该商品的进价 q（x）元与月份 x 的近似关系是 q（x）＝150+2x， （x∈N*且 x≤12） ． （1）写出今年第 x 月的需求量 f（x）件与月份 x 的函数关系式； （2）该商品每件的售价为 185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求， 则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？ 22． （14 分）已知函数 f（x）＝ax2+lnx（a∈R） ． （1）当 a＝ 时，求 f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数 g（x） ，f1（x） ，f2（x） ，在公共定义域 D 上，满足 f1（x）＜g（x） ＜ f2 （ x ） ，那么就称 g （ x ）为 f1 （ x ） ， f2 （ x ）的“活动函数” ．已知函数 +2ax．若在区间（1，+∞） 上，函数 f（x）是 f1（x） ，f2（x）的“活动函数” ，求 a 的取值范围．

C．120° ，
D．cos2α
【解答】解：当 α=300°时， 这个角的正弦是正数， 当 α=﹣40°时，=﹣20°， 这个角的余弦一定是正值，
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（Ⅱ）若 f（x）=
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2015-2016 学年福建省泉州市南安一中高一下学期期中 数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的. 1． （5 分）下列各式中，值为 A．2sin15°cos15° C．2sin215°﹣1 【解答】解：∵ 故选：B． 2． （5 分）若 A．30° 【解答】解：若 设向量 与 的夹角为 θ ∵ ∴ 则 ∴ 故选：C． 3． （5 分）设 a 是第四象限角，则下列函数值一定为负数的是（ A．sin B．cos =150°， C．tan ） ， ， B．60° ，且 ，则向量 与 的夹角为（ D．150° ） 的是（ ） B．cos215°﹣sin215° D．sin215°+cos215° ．
12． （5 分）如图，在四边形 ABCD 中， • + • =4，则（
的值为（
A．2
B．ห้องสมุดไป่ตู้
C．4
D．
二、填空题：每小题 4 分，共 16 分，请将答案填在横线上. 13 ． （ 4 分）已知扇形的周长为 8cm ，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为 cm2． 14． （4 分）已知 ， 满足：| |=3，| |=2，| + |=4，则| ﹣ |= 15． （4 分）已知 sinx+cosx=1，则（sinx）2018+（cosx）2018= ． ．

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b22．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a1+a9=24，则a5=（）A．24 B．12 C．6 D．23．（5分）在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，则sinA=（）A．B．C．D．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a4•a7=（）A．2 B．﹣1 C．1 D．±15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2+bc，则角A等于（）A． B．C． D．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）A．﹣1 B．11 C．2 D．17．（5分）据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，经过15秒火箭与飞船分离，则这15秒火箭共飞行了（）A．480km B．65534km C．120km D．240km8．（5分）不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）C．[0，2]D．[﹣2，0]9．（5分）《莱因德纸草书》（Rhind papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）A．35 B．32 C．30 D．2710．（5分）在△ABC中，a=3，b=x，cosB=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（，+∞） C．（，3）D．（0，）11．（5分）不等式x2﹣x﹣2≥0和x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集分别为A和B，且A⊆B，则实数a取值范围是（）A．（0，1） B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）12．（5分）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°；从C点测得∠MCA=45°．已知山高BC=150米，则所求山高MN为（）米．A．300B．150C．150D．300二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，则内角C=．14．（4分）已知正数a，b满足a+b=3，则a•b的最大值为．15．（4分）已知数列{a n}满足a n=，a1=2，则数列{a n}的前6项和S6=．16．（4分）已知=（2，﹣3），=（1，5），若将满足条件的动点M所表示的平面区域记为D．则单位圆x2+y2=1落在区域D内的部分的弧长为．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤．17．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），且f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若数列{a n}的前n项和S n=f（n），n∈N*，求数列{a n}的通项公式a n．18．（12分）已知函数f（x）=x+，定义域为D．（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；（Ⅱ）若D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B为锐角，a﹣2bsinA=0，且a、b、c成等比数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）判断△ABC的形状．20．（12分）某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A 型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A或B型电视和产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？21．（12分）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．（Ⅰ）求B点到D点的距离BD；（Ⅱ）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．22．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n满足（p﹣1）S n=p2﹣a n（p＞0，p≠1），且a3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数n，都有T n＜m2﹣m﹣成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．a＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b2【解答】解：若a=1，b=c=﹣1，故A不成立，B不成立，D不成立；∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，故C成立．故选：C．2．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a1+a9=24，则a5=（）A．24 B．12 C．6 D．2【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，∴a5=（a1+a9）==12故选：B．3．（5分）在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，a=4，b=7，sinB=，∴由正弦定理=，得：sinA===，故选：A．4．（5分）在等比数列{a n}中，若a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，则a4•a7=（）A．2 B．﹣1 C．1 D．±1【解答】解：∵a5，a6是方程x2﹣4x+1=0的两个根，∴a5a6=1，则在等比数列{a n}中，a4•a7=a5a6=1，故选：C．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2+bc，则角A等于（）A． B．C． D．【解答】解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA∴结合题意a2=b2+c2+bc，得cosA=﹣又∵A是三角形的内角，∴A=故选：A．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）A．﹣1 B．11 C．2 D．1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（3，﹣2）时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．将A（3，﹣2）的坐标代入目标函数z=x+2y，得z=﹣1．即z=x+2y的最小值为﹣1；故选：A．7．（5分）据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程增加2km，经过15秒火箭与飞船分离，则这15秒火箭共飞行了（）A．480km B．65534km C．120km D．240km【解答】解：由题意可得这15秒内每秒的飞行路程构成2为首项，2为公差的等差数列，∴这15秒火箭共飞行了15×2+×2=240（km）故选：D．8．（5分）不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）C．[0，2]D．[﹣2，0]【解答】解：不等式x2﹣2x+1≥a2﹣2a对任意实数x恒成立⇔（x﹣1）2≥a2﹣2a对任意实数x恒成立⇔a2﹣2a≤0，解得：0≤a≤2，故选：C．9．（5分）《莱因德纸草书》（Rhind papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．该书中有一道这样的题目：100个面包分给5个人，每人一份，若按照每个人分得的面包个数从少到多排列，可得到一个等差数列，其中较多的三份和的等于较少的两份和，则最多的一份面包个数为（）A．35 B．32 C．30 D．27【解答】解：由题意可得递增的等差数列{a n}共5项，设公差为d，由题意可得总和S=a1+a2+a3+a4+a5=100，又（a3+a4+a5）=（a1+a2），∴a1+a2=2a1+d=25，且a3+a4+a5=3a1+9d=75，联立解得a1=10，d=5，∴最多的一份为a5=a1+4d=30故选：C．10．（5分）在△ABC中，a=3，b=x，cosB=，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（，+∞） C．（，3）D．（0，）【解答】解：由题意得，△ABC有两解时需要：bsinA＜a＜b，则xsinA＜3＜x，解得3＜x＜，所以x的取值范围是（3，），比较各个选项可得（3，+∞），故选：A．11．（5分）不等式x2﹣x﹣2≥0和x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集分别为A和B，且A⊆B，则实数a取值范围是（）A．（0，1） B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣1，1）【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2≥0，得x≤﹣1或x≥2，∴A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）；解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0，得x＜a或x＞a+1，∴B=（﹣∞，a）∪（a+1，+∞）；又A⊆B，∴，解得﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．故选：D．12．（5分）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=30°以及∠MAC=105°；从C点测得∠MCA=45°．已知山高BC=150米，则所求山高MN为（）米．A．300B．150C．150D．300【解答】解：在RT△ABC中，∠CAB=30°，BC=150m，所以AC=300m．在△AMC中，∠MAC=105°，∠MCA=45°，从而∠AMC=30°，由正弦定理得，，因此AM=300m．在RT△MNA中，AM=300m，∠MAN=60°，由得MN=300×=150m；故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，则内角C=60°．【解答】解：由题意知，在△ABC中，BC=4，AC=5，AB=，由余弦定理得，cosC===，又0＜C＜180°，则C=60°，故答案为：60°．14．（4分）已知正数a，b满足a+b=3，则a•b的最大值为．【解答】解：∵正数a，b满足a+b=3，∴3，化为，当且仅当a=b=时取等号．则a•b的最大值为．故答案为：．15．（4分）已知数列{a n}满足a n=，a1=2，则数列{a n}的前6项和S6=3．【解答】解：∵a n=，a1=2，∴a2===﹣1，a3===，a4===2，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，且前3项和S3=﹣1++2=，∴S6=2S3==3，故答案为：3．16．（4分）已知=（2，﹣3），=（1，5），若将满足条件的动点M所表示的平面区域记为D．则单位圆x2+y2=1落在区域D内的部分的弧长为．【解答】解：由已知，cos∠AOB==，所以∠AOB=，而满足条件的动点M所表示的平面区域是与向量，的夹角都小于等于90°的向量的集合，如图∠COD=；故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤．17．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c（x∈R），且f（x）＜0的解集为（﹣2，0）．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若数列{a n}的前n项和S n=f（n），n∈N*，求数列{a n}的通项公式a n．【解答】解：（Ⅰ）∵x2+bx+c＜0的解集为（﹣2，0），∴﹣2和0是方程x2+bx+c=0的两根，∴x1+x2=﹣b=﹣2，x1x2=c=0，∴b=2，c=0；（Ⅱ）∵b=2，c=0，∴S n=f（n）=n2+2n，∴a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1（n≥2），又∵a1=S1=1+2=3满足上式，∴a n=2n+1．18．（12分）已知函数f（x）=x+，定义域为D．（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函数的f（x）最小值；（Ⅱ）若D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当D=（1，+∞），即x＞1，∴＞0，x1＞0…（2分）∴f（x）=x+=x﹣1++1+1=5（当且仅当x=3取等号）∴函数的f（x）最小值为5．…（6分）（Ⅱ）D=（﹣∞，1）∪（1，+∞）时，（x﹣1）f（x）＞mx恒成立，化为x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立，当△=（m+1）2﹣16＜0即﹣5＜m＜3时，x2﹣（m+1）x+4＞0恒成立…（10分）当△=（m+1）2﹣16=0即m=3或m=﹣5时，均不合题意综上所述，﹣5＜m＜3．…（12分）19．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B为锐角，a﹣2bsinA=0，且a、b、c成等比数列．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）判断△ABC的形状．【解答】解：（Ⅰ）由a﹣2bsinA=0可得，由正弦定理=．）解得sinB=．又∵B 为锐角，∴B=．（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴ac=b2．∴cosB===，化简得a2+c2﹣2ac=0，解得a=c．∴△ABC是等边三角形．20．（12分）某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100单位，工时为120单位，且A或B型电视和产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？【解答】解：设生产A型电视机x台，B型电视机y台，则根据已知条件线性约束条件为，即线性目标函数为z=6x+4y．根据约束条件作出可行域如图所示，作3x+2y=0．当直线l0平移至过点A时，z取最大值，解方程组得生产两种类型电视机各20台，所获利润最大．21．（12分）某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距5（3+）海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东45°，B点北偏西60°，这时，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时．（Ⅰ）求B点到D点的距离BD；（Ⅱ）若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．【解答】解：（Ⅰ）由题意知AB=5（3+）海里，∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=180°﹣（45°+30）°=105°，…（2分）在△DAB中，由正弦定理得=，∴DB=====10（海里）…（6分）（Ⅱ）在△DBC中，∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+（90°﹣60°）=60°，…（8分）BC=20（海里），由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠DBC=300+1200﹣2×10×20×=900，…（10分）∴CD=30（海里），则需要的时间t==1（小时）．…（11分）答：救援船到达D点需要1小时．…（12分）22．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n满足（p﹣1）S n=p2﹣a n（p＞0，p≠1），且a3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数n，都有T n＜m2﹣m﹣成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设知（p﹣1）a1=p2﹣a1，解得p=a1或p=0（舍去）．由条件可知（p﹣1）S2=（p﹣1）（a1+a2）=p2﹣a2，解得a2=1．再由（p﹣1）S3=（p﹣1）（a1+a2+a3）=p2﹣a3，解得a3=．由a3=可得=，故p=3=a1．则2S n=9﹣a n，当n＞1时，2S n﹣1=9﹣a n﹣1，以上两式作差得2（S n﹣S n﹣1）=a n﹣1﹣a n，即2a n=a n﹣1﹣a n，故a n=a n﹣1．故数列{a n}是首项为3，公比为的等比数列．故a n=3（）n﹣1=32﹣n．（Ⅱ）因为b n===，所以b n b n+2==（﹣），T n=b1b3+b2b4+b3b5+…+b n b n+2=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1+﹣﹣）＜．故要使T n＜m2﹣m﹣恒成立，只需≤m2﹣m﹣，即m2﹣m﹣2≥0解得m≤﹣1或m≥2．故所求实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入2014-2015学年高二前，2014-2015学年高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．1282．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2D．43．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.235．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣17．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种B．6种C．7种D．8种10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6D．9二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中2014-2015学年高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知2014-2015学年高二年学生有300人，则该校高中生共有人．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F 是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率39.7，39.9）2040.1，40.339.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）8.9 8.7 8.6 8.4 8.3 8.1销量y（件）70 75 80 83 84 88（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．福建省泉州市南安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入2014-2015学年高二前，2014-2015学年高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．128考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由茎叶图中的数据和平均数的公式，直接求出平均数即可．解答：解：由茎叶图得，该同学数学成绩的平均数是=125，故选：A．点评：本题考查茎叶图，以及平均数的公式，属于基础题．2．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2D．4考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据题意先求出平均数，再代入方差公式求出方差即可．解答：解：由题意得，样本的平均数x==13，所以S2==2，故选：C．点评：本题考查了平均数和方差公式，考查了计算能力．3．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别判断两个命题的真假，从而得到结论．解答：解：对于P：周期为：T=π，是假命题，对于q：图象关于原点对称，是假命题，故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了三角函数的性质，是一道基础题．4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23考点：回归分析的初步应用．分析：本题考查线性回归直线方程，可根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，选择验证法或排除法解决，具体方法就是将点（4，5）的坐标分别代入各个选项，满足的即为所求．解答：解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选C点评：本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．5．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直，则4a2+a﹣3=0，即a=﹣1或a=3，故“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣1考点：全称命题．专题：综合题．分析：A由二倍角公式，结合三角函数的有界性即可判断；B由指数函数的性质即可判断正误；C举反例说明即可；D作差比较x2与（x﹣1）的大小．解答：解：对于A，∵sinxcosx=，∴2sinxcosx=，即sin2x=＞1，∴x∈∅，A错误；对于B，当x∈（﹣∞，0）时，0＜2x＜1，∴B错误；对于C，当x∈k∈Z时，sinx≤cosx，∴C错误；对于D，∵x2﹣（x﹣1）=x2﹣x+1=+＞0，∴x2＞x﹣1恒成立，∴D正确．故选：D．点评：本题考查了三角函数的恒等变换问题，三角函数的图象与性质的应用问题，指数函数的图象与性质的应用问题，作差比较大小问题，是基础题．7．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：据题意，所有事件构成的是区间，属于几何概型，求出区间长度，利用几何概型概率公式求出概率．解答：解：x对应的所有结果构成的区间长度是，∵sinx＞∴0＜x＜∴满足sinx＜的x构成的区间长度是由几何概型概率公式得P=．故选：C．点评：本题考查判断事件是几何概型，利用几何概型的概率公式求事件的概率．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0配方可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．可得a=2．利用离心率e==，b2=a2﹣c2即可得出．解答：解：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．∴a=2．∵离心率e==，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程是．故选：A．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，属于基础题．9．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种B．6种C．7种D．8种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：利用列举法，即可得出结论．解答：解：取出的两张卡片的数字之和恰好的等于4为：（4，0），（0，4），（2，2），（1，3），（3，1）共5个，故选：A．点评：本题考查计数原理的应用，考查列举法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；古典概型及其概率计算公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6种结果满足条件的事件是e，得到b＞a，列举符合b＞a的情况得到满足条件的事件数，根据概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=＞∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为=．故选A点评：本题考查古典概型，考查双曲线的离心率，是一个综合题，解题的关键是解出满足离心率在规定范围中，椭圆的轴应该满足的条件，本题利用列举得到结果也比较典型．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可知双曲线﹣=1的焦点为（0，3），（0，﹣3），从而所求抛物线的焦点可知，即可求解．解答：解：∵双曲线﹣=1的焦点为（0，3），（0，﹣3），当所求的抛物线的焦点为（0，3）时，抛物线方程为x2=12y，当所求的抛物线的焦点为（0，﹣3）时，抛物线方程为x2=﹣12y，结合选项可知，选项C正确，故选C．点评：本题主要考查了双曲线的性质的应用及由焦点坐标求解抛物线的方程，属于基础试题12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6D．9考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：椭圆：+=1中a=5，b=3，c=4，椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，可得AO=4，求出A的纵坐标，即可求出三角形△AF2B的面积．解答：解：椭圆：+=1中a=5，b=3，c=4，∵椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，∴AO=4，设A（x，y），则x2+y2=16，∵+=1，∴|y|=，∴三角形△AF2B的面积是2×=9，故选：D．点评：本题考查三角形△AF2B的面积，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中2014-2015学年高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知2014-2015学年高二年学生有300人，则该校高中生共有900人．考点：分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据其中2014-2015学年高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到2014-2015学年高二年级要抽取的人数，根据该校2014-2015学年高二年级共有学生300人，算出全校共有的人数．解答：解：2014-2015学年高二抽取45﹣20﹣10=15人，由得x=900．故答案为：900．点评：本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．解答：解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃∈R，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先列出所有的基本事件，子啊列出满足条件的基本事件，代入古典概型的概率公式求出即可．解答：解：先后抛掷硬币三次出现的所有的基本事件：（正、正、正）、（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）（反、反、正）、（正、反、反）、（反、正、反）、（反、反、反）共8种情况，则有且仅有二次正面朝上的事件有：（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）所以有且仅有二次正面朝上的概率P=，故答案为：．点评：本题考查古典概型下的随机事件的概率，列基本事件注意按一定的顺序做到不重不漏，属于基础题．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F 是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：首先利用椭圆的方程与点的位置确定B的坐标进一步确定K的值，最后利用k的范围求出离心率的范围解答：解：过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F 是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，则：B（），进一步利用：解得：k=，由于：，解得：，故答案为：．点评：本题考查的知识要点：点和曲线的位置关系，斜率的求值，离心率的范围．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：分组频数频率39.7，39.9）2040.1，40.339.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．考点：众数、中位数、平均数；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由已知条件能求出频率分布表和频率分布直方图．（2）利用频率分布直方图能求出这批乒乓球直径的平均值．解答：解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下：…（6分）（2）这批乒乓球直径的平均值约为：39.6×0.10+39.8×0.20+40.0×0.50+40.2×0.20=39.96≈40.00（mm）．…（12分）点评：本题考查频率分布表和频率分布直方图的作法，考查这批乒乓球直径的平均值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x（元）8.9 8.7 8.6 8.4 8.3 8.1销量y（件）70 75 80 83 84 88（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）考点：线性回归方程．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（I）计算平均数，利用b=﹣20，求出a，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．解答：解：（I）∵=8.5，=80∴=﹣=80+20×8.5=250∴所求回归直线方程为：=﹣20x+250 …（6分）（II）设工厂获得的利润为L（x）元，则L（x）=（x﹣4）（﹣20x+250）=﹣20x2+330x﹣1000∴当x=8.25时L（x）最大361.25∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元…（12分）点评：本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线的定义，即可得到所求轨迹C的方程；（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），运用中点坐标公式，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣4），联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，由韦达定理，得到k的方程，解出k，检验即可判断．解答：解：（Ⅰ）∵点P到点F的距离等于它到直线l的距离，∴点P的轨迹C是以F为焦点、直线l：x=﹣1为准线的抛物线，其方程是：y2=4x；（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣4），联立方程组得k2x2﹣（8k2﹣4k+4）x+（2﹣4k2）=0，∴x1+x2==8，解得k=1，当k=1时，方程x2﹣8x﹣2=0满足△＞0，∴存在直线m，且所求的直线方程是x﹣y﹣2=0．点评：本题考查抛物线的定义和方程，考查联立直线方程和抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）首先设出椭圆的方程，利用点到直线的距离求出椭圆的方程．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，利用弦长公式求出结果．解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：，右焦点F（C，0），∵右焦点F到直线x﹣y+=0的距离为3，∴，解得：C=∴所求的椭圆方程为：．（Ⅱ）由，得：（3k+1）x2+6kx=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，x1x2=0，∵|MN|=2，∴，解得：k=．点评：本题考查的知识要点：椭圆方程的求法，点到直线的距离公式，直线和曲线的位置关系，弦长公式的应用．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．考点：互斥事件的概率加法公式；互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．解答：解：（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，∴取出的球的编号之和不大于4的概率P=（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，所有（m，n）有4×4=16种，而n≥m+2有1和3，1和4，2和4三种结果，∴P=1﹣=．点评：本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线方程，联立直线和抛物线方程，利用判别式等于0求解斜率，则切线方程可求；（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），得到BD的方程，分别和抛物线联立后利用弦长公式求得AC，BD的长度，代入四边形的面积公式求得直线斜率，则直线AC的方程可求．解答：解：（1）由题意可知，抛物线的切线的斜率存在，设为k（k≠0），过点P（2，1）的切线方程为y﹣1=k（x﹣2），联立，得x2﹣4kx+4（2k﹣1）=0．由△=0，即16k2﹣16（2k﹣1）=0，解得k=1．∴所求的直线方程是y=x﹣1；（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），则直线BD的方程为y=﹣x+1．由，得x2﹣4kx﹣4=0．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．∴|AC|==4（1+k2）．同理：|BD|==．∵四边形ABCD的面积为32，∴|AC||BD|=32，即=32．解得：k=1或k=﹣1．∴直线AC的方程是：y=x+1．点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了判别式法求曲线的切线方程，考查了弦长公式的应用，涉及直线与曲线的关系问题，常采用直线与圆锥曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．。