6．4 数列求和及应用
1．数列求和方法
(1)公式法：
(Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式．
(Ⅱ)常见数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝
；
②2＋4＋6＋…＋2n＝
；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝
；
④12＋22＋32＋…＋n2＝
；
⑤13＋23＋33＋…＋n3＝n（n＋1）22.
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法．
(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的裂项公式：
①1n（n＋1）＝
－1 n＋1；
②1（2n－1）（2n＋1）＝
12n－1－12n＋1；
③1n（n＋1）（n＋2）
＝ 1n（n＋1）－1（n＋1）（n＋2）；
④1a＋b＝ (a－b)；
⑤n（n＋1）！＝ －1（n＋1）！；
⑥Cm－1n＝ ；
⑦n·n！＝ ！－n！；
⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
2．数列应用题常见模型
(1)单利公式
利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ .
(2)复利公式
利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ .
(3)产值模型
原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝
.
(4)递推型
递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类．
第九讲 等差数列求和
计算能力是重要的数学能力，计算要准确、熟练，还要运用运算定律简化计算。对特殊规律的计算还要研究解决它的特殊规律和公式。本讲介绍等差数列的求和问题。
一、从高斯求和故事谈起
高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一。高斯10岁的时候，数学教师出了一道数学题：1＋2＋3＋………＋100。老师刚写完题目，高斯就把解题用的小石板交给老师，过了很久其他同学才写出答案。老师非常吃惊地发现高斯的石板上只写了一个答数5050。（后来高斯经过刻苦努力，终于成了世界著名的数学家。）大家想想，高斯是怎样算的呢？其实奥妙在于高斯是发现了以下规律：
两两搭配，共有（100÷2）50个101，总和是5050。以上思考方法可用一个算式表示如下：
（1＋100）×（100÷2）＝5050
这个故事，使我们受到启发，要想算得又巧又快，就必须善于观察，注意题目的构造规律，以上问题是从1开始的连续自然数求和。相邻两个自然数的差都是相等的（差都等于1）
思考 求和：
（1）1＋2＋3＋…＋50
（2）1＋2＋3＋…＋200
（3）1＋2＋3＋…＋149
（4）51＋52＋53＋…＋100
（5）101＋102＋103＋…＋200
（6）101＋102＋103＋…＋149
二、等差数列求和
按一定规律排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的一项，排在第一个位置的叫第一项，也叫首项；第二个叫第二项；第三个数叫第三项；…。最后一项又叫末项。
第一项（首项）用a1表示，第二项用a2表示，…，第n项用an表示。
如数列1，3，5，7，…，99。
a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，…。对于一个数列，往往需要确定它的每个项或者计算某些项的和等等，这就要求我们首先研究数列的构造规律。前面的故事说明，小高斯正是这样做的。
1．等差数列
观察以下数列：
第三节求数列的前n项和
- 备若方向明确 ------------------------------ 方也出爭为里事VI -----------------
复习目标 学法指导
1. 等差、等比数列的前 n项和公式.
2. 等差、等比数列的求
和公式应用.(发展要 求)
3. 常见求数列前n项 和的方法.
(1) 倒序相加法
(2) 错位相减法
(3) 裂项法
(4) 分组求和法
4. 特殊数列求和. 1. 从求等差数列前n项和公式中体现咼斯算 法(即倒序相加法)的实质.
2. 从求等比数列的前n项和公式中体会错位 相减法的作用.
3. 注意把握各种特殊数列.比如通项是分式 形式,一般采取裂项求和；能转化为等差、等 比的可以分组求和等.
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一、等差数列与等比数列的前 n项和
项
目 等差数列 等比数列
公
式 Si=^a^aJ=nai+nl^±)d
2 2 S二
na’ (q =1 )
j _q 1 -q X / 推
导
方
法 倒序相加 错位相减(使用时需对
q=1和qz 1分类讨论)
方
程
思
想 五个基本量ai,a n,n,d(q),S n,知道任意二个建立方程(组)可求其 余的
函
数
思
想 (1) S n=nai+n(n~^d=d n2+(ai- d )n=An2+Bn.
d=0时,Sn是关于n的一次函数.
dz0时,Sn是关于n的无常数项的二次函 数.
(2) 若S是关于n的有非零常数项的二次 函数,则从第二项起为等差数列 (1) q=1时,Sn是关于n
的无常数项的一次函
数.
(2) q z 1 时，
S_ ai - ai • qn=A-Acn.
S是关于n的指数型函
数与常数项之和，且指
数型函数的系数与常 数项互为相反数
性
质 S,S2k-Sk,S3k-S2k仍成等差数列.
1 / 14 等差数列
高考大纲
考试内容 要求层次
A B C
等
差
数
列 等差数列的定义 √
等差数列的通项公式 √
等差数列的性质 √
等差数列的求和公式 √
等差数列的最值求解 √
思维导图
讲义导航
考点 总题数 例题 练习A 练习B 练习C 作业
等差数列的定义 6 2 3 1 0 0
等差数列的通项公式 16 3 6 4 1 2
等差数列的性质 19 3 6 4 4 2
等差数列的求和公式 21 3 6 6 4 2
等差数列最值求解 21 3 6 6 3 3
总计 83 14 27 21 12 9
2 / 14 知识梳理
一、等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示
二、等差数列的通项公式
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
三、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
