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等差数列求和公式(PPT课件

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等差数列的求和公式ppt课件

等差数列的求和公式ppt课件

n,求这个数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗?如果是，它的
首项与公差分别是什么？
解：Sn a1 a2 an1 an
Sn1 a1 a2 an1(n 1)
当n
>1时：an
sn
sn1
n2
1 n [(n 1)2 2
1 (n 1)] 2
2n
1 2
①
由当数此n=列可1时{知a：n：}的a数1通列项s{1a公n}1是式2 以为12a32n为1首223n项，12也.公满差足为①2的式等. 差数列13 .
11
例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是 310，前20 项的和是1220，由这些条件能确定这等差数列的前n项和的
公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和 的公式后，可以得到两个关于首项和公差 的关系式，他们是关于首项和公差的二元 一次方程，由此可以求得首项和公差，从 而得到所求的前n项和的告诉.
分析：方 程思想和 前n项和 公式相结
合
解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
得到
2100aa1114950dd
310 1220
解方程得
ad1
4 6
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
12
例3.已知数列{an}的前n项和为Sn
n2
1 2
例4.已知等差数列5，4 72，3 74，....的前n项和为Sn,
求使得Sn最大的序号n的值. 【解析】由题意知，等差数列的公差为
5
于是S，n 当 5nn取与n(1n52最1)接(近75的) 整数154即(n7或 1825时)2，7

等差数列课件ppt课件

等差数列课件ppt课件
等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？

等差数列求和(共24张PPT)

等差数列求和(共24张PPT)
例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。

等差数列及求和PPT课件

等差数列及求和PPT课件
少？30是此数列中的第几项？项数是多少？
有没有更简单的方法计算此题呢？
等差数列的相关公式：
末项＝首项＋（项数－1）×公差
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例3. 2，11，20，29，38， … 是按一定规律排
列的一串数，第21项是多少？
解：从第二项起每一项与前一项的差是9，所 以此数列是等差数列，公差是9，将第21项看 作是末项，
＝（600－2）÷2＋1
＝300.
2＋4＋6＋8＋…＋598＋600
＝(2+600) ×300÷2
＝90300
(2) 项数＝ （399－3）÷4＋1 ＝100.
3＋7＋11＋…＋399 ＝（3＋399）×100÷2 ＝20100
练习： 计算数列的和： （1） 2＋6＋10＋14＋ …… ＋122＋126 （2） 2 ＋ 5 ＋ 8 ＋ 11 ＋ 14 …… ＋ 47
所以d=6 则a8=a6+2 ×d =33+12=45
(2)因为a3=a1+2 × d 又a3=16, 则 a1=16-2 × d
又a11=a1+10 ×d a11=72 所以a1=72-10 ×d
得： 16-2 × d=72-10 ×d，
解出d=7 a1=72-10 ×7=2
可得：a6=2+5 ×7=37
例8、 计算： （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. （1＋3＋5＋7＋…＋2009）－（2＋4＋6＋…＋2008）. ＝ 1＋（3－2） ＋ （5－4） ＋（7－6）＋ … ＋ （2009－2008） ＝1 ＋1 ＋ … ＋1 共1005个1 ＝1005
练习：计算： 5000 －124 －128 －132 － … －272 －276

等差数列求和 课件

等差数列求和 课件

________________
课堂练习
课本P:41页 页 课本 练习:1,2,3,4 练习
-10 32
26
1 已知数列{an }的前n项和为S n = n + n, 求这个 2 数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果
2
是，它的首项和公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 +L+ an−1 + an 与Sn−1 = a1 + a2 +L+ an−1(n −1),
可 知， n >1 ， 当 时 1 1 2 an = Sn − −1) 2 2 1 = 2n − 2
知识回顾 {an}为等差数列 ⇔ an+1- an=d 为等差数列
⇔ an= a1+(n-1) d ⇔ an= kn + b k、b为常数） 为常数） （ 、 为常数
a、b、c成等差数列 、 、 成等差数列 ⇔ b为a、c 的等差中项 为 、
a+c ⇔ b= ⇔ 2
2b= a+c
3.更一般的情形，an= 更一般的情形， 更一般的情形
a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 125 由题 a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 = 15
5 a 1 + ( 2 + 4 + 6 + 8 ) d = 125 法一 : 5 a 1 + ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) d = 15 a 1 + 4 d = 25 ⇒ a1 + 5d = 3 a 1 = 113 ⇒ d = − 22

等差数列公式ppt课件

等差数列公式ppt课件

下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利 用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性 质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以 表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为 常数列；当b=0时，等差 数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们 可以得到其他形式的等差 数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的 未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差 数列来计数物品，例如按顺序排列 的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究 函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于 计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用 于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通 项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有 着广泛的应用，例如在统计学、物理 学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳 和演绎，利用倒序相加法推导出 等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列 的前n项和与后n项和相加，再除 以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一 些实际问题，例如计算存款的本金和 利息、计算工资等。

等差数列求和公式PPT教学课件(1)


直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0
为5。求直线l的方程。
l2
〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于 A（x1，y1）、B（x2，y2），则
截得的线段之长
l1 A
B
y P(3,1)
Ox
x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。
θ
两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
A1
又 (x1-x2)2+(y1-y2)2=25 ②
A2 B2
时，一定要把x、y前面的系数化成相等。
课前热身
1.已知点P(1，2)，直线l:2x+y-1=0，则
(1)过点P且与直线l平行的直线方程为_2__x_+_y_-4_=_0__，
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为__x_-_2_y+__3_=_0__；
3x+y-5=0或x+3y-7=0 (3)过点P且直线l夹角为45°的直线方程为________；
于直角的角，简称夹角.到角的公式是 tanθ k2 - k1 ，夹
角公式是tanθ k2 - k1
1 k1k2 ，以上公式适用于两直线斜率都
1 k1k2
存在，且k1k2≠-1，若不存在，由数形结合法处理.
点与直线的位置关系：
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0 （3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0 的距离为：
类型之二 两条直线所成的

等差数列的前n项求和公式ppt课件


由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n

n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0

等差数列的求和PPT优秀课件

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

等差数列求和公式课件

高斯答：
1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050
1+100=101
2+ 99=101 3+ 97=101
101×50=5050
…
50…+ 51=101
思考：问1+2+3+4+…+n=?
德国数学家高斯
（数学王子）
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1+ 2 + …+(n-1 )+n
又sn = n+（ n-1 ）+… + 2 + 1 ∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思考：一般等差数列怎样求和呢？
公式推导
方法1：设等差数列{an}的前n项和 为Sn,即：Sn=a1+a2+…+an
a1 an n
5 95 10
100 2
50
14.5 32 26
d Sn
10 500 -2 2550
0.7 604.5
五个元素 : a1, an, n, d, Sn “知三求二”
作业反馈
课本46页 习题2.3：1、2、
练习
1、等差数列中a1 =14.5，d=0.7， an=32， 则Sn = 604.5 ；
2、等差数列5，4，3，2，…前 15 项和 为-30；
五个元素 : a1, an, n, d, Sn “知三求二”
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少宝石吗？
2
情景
1+2+3+4+…+97+98+99+100=？ 高斯答：
1+2+3+4+…+97+98+99+1005=050
1+100=101 2+ 99=31+0197=101
5…0+… 51=101
101×50=5050
高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天 文学家。他和牛顿、阿基米 德，被誉为有史以来的三大 数学家。有“数学王子3 ”之 称。
d
得到方程组，
2100aa1114950dd

310 1220
解这个方程组，得到： a1 4, d 6
所以
Sn

4n

n (n 1)
2

6

3n 2 n
14
练习：已知一个等差数列前5项和 是25，第六项是11，求此等差数列 前n项和公式
答案 ： S n
n2
根据条件,选择公式
实际上高斯解决了求等差数列
1,2,3,4，…n,…
前100项的和的问题
如何求等差数列
1,2,3,4，…n,… 前n项的和？
定义 一般的，我们称
a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即
Sn =a1+a2+a3+…+an
4
求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和？
sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-
由aa2+S1n)nSS=nn(==aa1an+1++a na)an+－2 1(
+
+
aan3－2++……
a 2 + a n－1 )
+
+
a
a
n
2
－1++
+…+ ( a n +
a 1 )=n ( a 1 + a n)
故等差数列的前 n 项求和公式：
Sn

n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为
S 10

10 500

10(10 1) 2

50

7250(万元)
答：从2001-2010年，该市在“校校通”工程中 的总投入是7250万元.
11
练习：根据下列各题中的条件，求
相应的等差数列 an 的前n项和 Sn
a1 4, a8 18, n 8
15
等差数列前n项和公式的推导： 倒序相加法
等差数列前n项和公式的应用：
五 个 元 素 :a1,an,n,d ,Sn“知 三 求 二 ”
数学思想: 类比思想、方程思想、 数学建模思想，整体思想
16
课后作业
必做题：课本P46习题[A组]2、6题 选做题：
（1）请你把其它不同推导等差数列的前n项和
的公式方法写出来。 （2）根据习题2.3第6题，自己再设计一个题目 （提示：根据条件上的变化，或利用等差数列 的性质等）并自己解答 预习：本节后半部分知识
n(n 1)
Sn na1
d 26
方法2：等差数列｛ an ｝a1， a2 ， a3 ，…， an ，…的公差为d.
Sn a1 (a1 d ) [a1 (n 1)d ]
Sn an (an d ) [an (n 1)d ]
2Sn n(a1 an )
Sn

n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
n(n 1)
Sn na1
d 27
观察公式的形式，回忆我们所学过的知识，你 是否发现了什么？它的形式是不是跟我们学过 的梯形面积公式相同？
8
学以致用
例1： 2000年11月14日教育部下发了《关于小学 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的 时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么 从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工 程的总投入是多少？
+)1 )+ n
sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… + 2
+1
∴2 sn =（n+ 1）+
1 2 3=n(n+(n1)1) n
（nn+(n— 1）1—) +倒…序+相（加n法+
2
1）
思考：这种方法能否推广到求一般等
差数列前n项求和呢？
5
探究发现
倒序相加法
如何求等差数列an的前n项和Sn ?
答案 ：S 8

88
根据条件,选择公式
12
公式应用
例2
已知等差数列{an}前10项的和是310， 前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗？
列方程组，解方程
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解：由题意知 S10 310, S20 1220
将它们代入公式
Sn

na1

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泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏
伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以
宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶
饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共耗费了多
总结：实际问题，建立数学模型，利用数学的观点 解决问题，然后再回归问题实际
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解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入
“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所
以，可以建立一个等差数列｛ an ｝，表示从2001
年起各年投入的资金，其中，
a1 =500，d=50