等差数列求和课件.ppt

an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
1)a1 5,an 95,n 10
2)a1 100,d 2,n 50
答案 （1）S10 500 （2）S50 2550
根据条件,选择公式
例1
1、等差数列中a1 =4，d=2， an=32，
求 数列的前项和Sn
270
2、等差数列5，4，3，2，…，则前多少项的和
为 -30；
15
五 个 元 素 : a1,an,n,d ,S n“知 三 求 二 ”
等差数列前n项和公式
—— 类比梯形面积公式记忆
a1
n
an
方法2：等差数列｛ an ｝a1， a2 ， a3 ，…， an ，…的公差为d.
Sn a1 (a1 d) [a1 (n 1)d]
Sn an (an d) [an (n 1)d]
2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
由 S n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n －1 + a n
+) S n = a n + a n －1 + a n －2 + … + a 2 + a 1
2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n －1 ) +…+ ( a n + a 1 ) =n ( a 1 + a n )
+3
+)+ …+(n-1 )+ n
sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… +

数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

2Sn n(a1 an )
Sn
n(a1 2
an )
an a1 (n 1)d
Sn
na1
n(n 1) 2
d
观察公式旳形式，回忆我们所学过旳知识，你 是否发觉了什么？它旳形式是不是跟我们学过 旳梯形面积公式相同？
学以致用
例1： 2023年11月14日教育部下发了《有关小学 “校校通”工程旳告知.某市据此提出了实施 “校校通”工程旳总目旳：从2023年起用23年旳 时间，在全市中小学建成不同原则旳校园网. 据测算，2023年该市用于“校校通”工程旳经费 为500万元. 为了确保工程旳顺利实施，计划 每年投入旳资金都比上一年增长50万元. 那么 从2023年起旳将来23年内，该市在“校校通”工 程旳总投入是多少？
+)sn = n +（ n-1 ）+（n-2）+… + 2 + 1
∴2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1）
=n(n+1)
—— 倒序相加法
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
思索：这种措施能否推广到求一般等
差数列前n项求和呢？
探究发觉
倒序相加法
如何求等差数列an的前n项和Sn ?
总结：实际问题，建立数学模型，利用数学旳观点 处理问题，然后再回归问题实际
解：根据题意，从2001-2023年，该市每年投入“校校通” 工程旳经费都比上一年增长50万元，所以，能够建立一种等 差数列｛ an ｝，表达从2023年起各年投入旳资金，其中，
a1 =500，d=50 那么，到2023年（n=10）,投入旳资金总额为
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她 宏伟壮观，纯白大理石砌建而成旳主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵 寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一种三角形图案，以相同大小旳圆 宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你懂得这个图案一共花 费了多少宝石吗？

例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。

引例：
如图：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数 目分 别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？ 若100层，共有多少根圆木呢？
观察归纳
问题：1+2+3+4+…+97+98+99+100=？ 1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050 1+100=101 2+ 99=101 101 × 50=5050 3+ 97=101 … … 51=101 50+ 思考：1+2+3+4+…+n=? 德国数学家高斯
五个元素 : a1 , a n , n ,
等差数列前n项和公式的推导：倒序相加法 等差数列前n项和公式的应用：知三求二 数学思想:类比思想、方程思想、函数思想、 整体思想
作业反馈
课本46页 习题2.3：1、2、
复习回顾：
等差数列
定义 — 如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数。 d=an+1-an 公差是唯一的常数 公差 — 知首项a 公差d。a =a +(n-1)d 1 n 通项 — 知m项a 1,， m 公差d。 an=am+ (n-m) d 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am 性质 — +an =ap+aq
an a1 (n 1)d
n( a1 an ) Sn 2
n(n 1) S n na1 d 2
公式应用
练习
1、等差数列中a1=5， an=95， n=10，Sn= 500； 2、等差数列中a1=100，d=-2， n=50,则Sn = 2550；

113, 22
也满a足 n 2n12,
所以a数 n的列 通项 an公 2n式 1 2. 为
由此可知， an数 是列 一个首23项 ，为
公差2为 的等差数列。
例3、等差数列 { a n } 中，S 15 = 90，求 a 8 S15a1 2a151590 即 a 1 + a 15 = 12
m,n,p,q∈N★
am+an=ap+aq
5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 = a3+ an-2 = …
引例：1＋2＋3＋…＋100=？
10岁的高斯（德国）的算法： • 首项与末项的和：1+100=101 • 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 • 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 • ……………………………………… • 第50项与倒数第50项的和：50+51=101 • ∴101×（100／2）=5050
Байду номын сангаас
新课学习
n(a1 an ) ㈠等差数列前n 项和Sn = 2 =
na1

n(n1) d
2
.
=an2+bn a、b 为常数
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1) Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(a1+ an)
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫 倒序相加法 ； ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ； ③{an}为等差数列 Sn=an2+bn ，这是一个关于 n 的

以下等式中不是等差数列的 前n项和公式是（ D ）
A)Sn
n(a1an) 2
B)Snn1 an(n21)d
C)Sn d2n 2 (a1d 2)n D )Sna 1(n1 )d
例1 等差数列－10，－6，－2，2，．．．
前多少项的和是54？
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
： 推导方法二
Sn=a1+(a1+d)+ (a1+2d) +…….+ [a1+(n-1) d]
Sn =an+(an- d)+ (an-2d) +…… +[ an-(n-1) d ]
两式相加得：
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+ (a1+an)+ (a1+an)
=n (a1+an)
Sn
n(a1 an) 2
Sn=a1+a2+…….+an-1+an
( 如 果 m n p q ,那 么 a m a n a p a q .)
1 2 3
s100
100 99 98
s100
100
2 S 10 0 (1 1)0 100
s10 0( 112 0)0 105 00
1
求等差数列{an}的前项和sn
Sn n1an(n21)d
3.公式的灵活应用。
请各位同行指导！
23+ 24+ ……+65=？
S4343(22365 )
=1892
公式记忆方法:
a1
公式1
Sn

三、公式的应用：
Sn
n(a1 2
an
)
....(1)
Sn
na1
n(n 1) 2
d ...(2)
例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的 Sn
（1）a1=5,an=95,n=10
S10=500
（2）a1=100,d=－2,n=50
S50=2550
第七页，共12页。
例2. 等差数列－10，－6， －2，2，…前
第五页，共12页。
二、学习新课
n(a1 an )
㈠等差数列前n 项和Sn =
2=
上一页 下一页
n(n 1)
na1
d 2.
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
第六页，共12页。
(1)+ (2)得
2Sn=n(a1+ an)
n(a1 an ) (1) 2
2.若d=S0n,an=naa，1 则 Snn(=n2___1)__nd_a(2)
3.推导公式的方法是用倒序相加法
第十一页，共12页。
思考：若Sn=an2+bn，则｛an｝是等差数 列吗?
作业：习题2.3. 2.
第十二页，共12页。
等差数列求和公式课件
第一页，共12页。
一、巩固与预习
1. {an}为等差数列 an+1- an=d
an=a1+(n-1)d
an=an+b a、b为常数， 更一般的， an=am+(n-m)d ，d=

Sn 3n2 n. 对比两种解法,发现公式的应用是很灵活的,对有些题而 言选择适当的公式可以简化求解的计算量.
Sn

d 2
n2
(a1

d 2
)n,
即Sn

an2
bn
1.当公差d <0即a<0时,Sn 有最大值
y
(至于是否在顶点处取得,要看顶点
处所对应的横坐标距离它最近的正
整数处取得,一般情况下或一,或两个
d

nan

（n n 1) 2
d
说明：两个求和公式的使用-------知三求一.
3. 等差前n项和Sn公式的理解.
解：方法二 S39 0 d 0
S38 0, S40 0

s38


38(a1 2
a38 )

0
a19 a20 0
s39 s40

39(a1 2
40(a1 2
a39 ) a40 )

0 0

a20 a20
0 a21
Sn
n(a1 2
an )
n(15 17 2n) 2
(n 8)2 64
n 8时，Sn最大。
已知等差数列an的前n项和为sn，
其中a3 =12，s12>0，s13<0. （1）求公差d的取值范围 （2）指出s1,s2 L s12中哪个值最大， 并说明理由。
(1)解法一: Q a3 12, S12 0, S13 0
（a, b为常数）那它是不是等差数列呢？
(2)如果一个数列{an}的前n项和公式为 Sn an2 bn c

②应用求和公式时一定弄清项数n.
③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察， 灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求 a1+an的值.
1.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？
n(n 1)d S n na1 2
则
d d 令 A ,B a 1 2 2
高中数学
欢迎指导
等差数列求和
复习
1.等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列
an 是等差数列 an an1 d(n 2)
2.通项公式：
an a1 (n 1)d .
Байду номын сангаас
3.重要性质:
⑵m n p q am an a p aq .
a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=－2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0 ∴当n=7时,Sn取最大值49.
求等差数列前n项的最大(小)的方法
d d 2 方法1:由 S n (a )n n 1 2 2 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时
1 Sn 13n n( n 1) ( 2) 2 2 2 n 14n (n 7) 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即： Sn=a1+a2+…+an
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
Sn=(a1+an)n/2
S100=(1+100)×100/2=5050
等差数列求和公式
等差数列{an}首项为a1，第n项为an.
Sn=
n(a1+an) 2
Sn
=na1+
n(n-1) 2
d
练一练
Sn==nn(aa112++na(nn)2-1) d
自己动手编一道有关等差 数列求和的练习题. 要求：
1. 已知……，求Sn ； 2. 已知……，求a1 ； 3. 已知……，求dan ； 4. 已知……，求n ；
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

4
所以－400不是这个数列的项
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
练习3：100是不是等差数列2，9， 16，…的项？如果是，是第 几项？ 如果不是，说明理由.
(题型四)求公差d
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
例4： 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm, 中间还有10级，各级的宽度成等差数列。 33 求公差d及中间各级的宽度。 分析：用｛an｝表示梯子自上而下 各级宽度所成的等差数列。 解：由题意知 a1=33, a12=110, n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7 从而可求出 a2=33+7=40 (cm)
⑴an am (n - m)d .
⑵m n p q am an a p aq .
情景1
高斯“神速求和”的故事: 高斯出生于一个工匠 家庭，幼时家境贫困，但聪 敏异常。上小学四年级时， 一次老师布置了一道数学习 题：“把从1到100的自然数 加起来，和是多少？”年仅 10岁的小高斯略一思索就得 到答案5050，这使老师非常 吃惊。那么高斯是采用了什 么方法来巧妙地计算出来的
110
a3=40+7=47(cm) a4=54(cm)
…。
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
总结：
在 an=a1+(n－1)d，n∈N* 中，有an,a1,n,d 四个量, 已知其中任意3个量即可求出第四个量。
那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出 an呢？
（题型五）综合
an=a1+(n－1)d (n∈N*)
2 , an+1=an- 2 (n∈N*),

________________
课堂练习
课本P:41页 页 课本 练习:1,2,3,4 练习
-10 32
26
1 已知数列{an }的前n项和为S n = n + n, 求这个 2 数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果
2
是，它的首项和公差分别是什么？
解：根据Sn = a1 + a2 +L+ an−1 + an 与Sn−1 = a1 + a2 +L+ an−1(n −1),
可 知， n >1 ， 当 时 1 1 2 an = Sn − −1) 2 2 1 = 2n − 2
知识回顾 {an}为等差数列 ⇔ an+1- an=d 为等差数列
⇔ an= a1+(n-1) d ⇔ an= kn + b k、b为常数） 为常数） （ 、 为常数
a、b、c成等差数列 、 、 成等差数列 ⇔ b为a、c 的等差中项 为 、
a+c ⇔ b= ⇔ 2
2b= a+c
3.更一般的情形，an= 更一般的情形， 更一般的情形
a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 125 由题 a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 = 15
5 a 1 + ( 2 + 4 + 6 + 8 ) d = 125 法一 : 5 a 1 + ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ) d = 15 a 1 + 4 d = 25 ⇒ a1 + 5d = 3 a 1 = 113 ⇒ d = − 22