天津市六校2014届高三上学期期中联考数学(理)试题 Word版含答案

2013-2014学年第一学期期中六校联考高三数学（理）试卷一、选择题（每题 5分，共40分）1．已知)2,1(--=，)3,2(-=，当k +与2+平行，k 的值为( )A. 14 B ． －14 C ． －12 D. 122.函数2()ln(1)f x x x =+-+1的零点所在的大致区间是 （ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)eD ．(3,4) 3.已知命题p :函数()sin 2f x x =的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称,则下列命题是真命题的是（ ）A.q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨4.已知)4cos(2)4sin(πθπθ+=-，则=-----+)sin(2)2sin()cos(3)2sin(θπθπθπθπ( )A. 4-B. -2C. 34D.1- 5.已知ln32a =，lg22b =，131log 21()4c =，则( )A.c a b >> B .a b c >> C. a c b >> D.b c a >> 6.已知函数2()ln f x a x x =+，a ∈R .设,)()(x x f x g -=且)(x g 在]4,2[上为单调递减函数, 则a 的取值范围为（ ） A. 22<a B.3≤a C.3<a D .22≤a7.定义在R 上的偶函数)(x f y =，满足)()1(x f x f -=+，且在]2,3[--上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ）A ．)(sin )(sin βαf f >B ．)(cos )(cos βαf f >C ． )(cos )(sin βαf f >D ． )(sin )(cos βαf f >8.已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=0),1ln(0,2)(2x x x x x x f 若x a x f )1(|)(|+≥，则a 的取值范围是( ) A ．[]1,3-- B ．[)1,3-- C ．(]1,-∞- D ．[)+∞-,3二、填空题（每题 5分，共30分）9.已知2)1(2)(2的极值点为--=x b x x f ,求b 的值为___________.10.设奇函数()()y f x x R =∈，满足对任意t R ∈都有(1)(1)f t f t +=-，且[0,1]x ∈时，2()f x x =-，则)25()3(-+f f 的值等于__________________.11．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB ∆∆-=+与则,2的面积之比为________. 12.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++=2,0,cos sin cos sin )(πx x x x x x f 的值域为____________. 13.若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数, )0()2sin()(πθθ<<+=x x f 将)(x f y =的图像向左平移6π个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则θ2a =____14.已知向量AB 与AC 的夹角为︒60,3AB =,2AC =若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥,则实数λ的值为__________.三、解答题（共80分）15.（本题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2=c ,C C cos 6sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-π(Ⅰ)求sin sin a bA B ++的值；(Ⅱ)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆;16.（本题满分13分） 已知函数11)(-+=x x a a x f (1>a )（Ⅰ）判断函数)(xf的奇偶性；（Ⅱ）求[]2,1,2∈=xa时，求)(xf)的值域；（Ⅲ）解不等式2)(≥xf.17.（本题满分13分）已知向量)23sin,23(cos xxa=，)2sin,2(cosxxb-=，且]23,2[ππ∈x（Ⅰ）求||ba+的取值范围；（Ⅱ）求函数||)(babaxf+-⋅=的最小值，并求此时x的值；（Ⅲ）若||3||kk-=+，其中0>k求⋅的最小值，并求此时，与b的夹角的大小.18. （本题满分13分）已知)0(3sin32cos6)(2>-+=ωωωxxxf在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，CB,为图象与x轴的交点，且ABC∆为正三角形．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)当[]2,0∈x时，求函数)(xf的值域；(Ⅲ)若).1(,32,310,536)(-⎪⎭⎫⎝⎛-∈=xfxxf求且19. （本题满分13分）已知321()43f x x ax bx=+++3()g x mx=-262mx+(0)m≠,()f x在(1,(1))f处的切线方程为1033 y x=-+(Ⅰ)求实数,a b的值；(Ⅱ)讨论方程[])3,0(2)(∈-=xkxf的根的个数;(Ⅲ)是否存在实数m ，使得对任意的[]2,11-∈x ，总存在[]3,02∈x ，使得)()(21x f x g =成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.20. （本题满分14分） 已知x x x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，R a ∈(Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)是否存在实数a ，使()f x 的最小值是2，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.(Ⅲ)求证e n n 1ln 33ln 22ln 333<+++ . 2013-2014学年度第一学期期中六校联考高三数学答题纸二、填空题（每题 5分，共30分）9. . 10. . 11. .12. . 13. . 14. .三、解答题（共80分）15.（本题满分13分）16. （本题满分13分）17. （本题满分13分）18. （本题满分13分）19. （本题满分14分）20. （本题满分14分）2013-2014学年第一学期期中六校联考高三(理)数学试卷参考答案1-8： DBDA BBCA9.3；10. 4311.1:212.⎥⎦⎤⎝⎛+2221.113.12π14. 6115.(13分) 解: (Ⅰ)由已知有C C C cos 6sin cos 6cossin =⋅-⋅ππ， ………1分 故C C cos 3sin =，………2分 3tan =C . ………3分又π<<C 0，………4分 所以3π=C . ……5分由正弦定理可设2sin sin sin sin 603a b c A B C =====︒，………6分所以,a A b B ==，……7分所以sin )3sin sin sin sin A B a b A BA B ++==++． ………8分 （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，……9分即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，……10分 又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，………11分 解得4ab =或1ab =-（舍去） ………12分所以11sin 422ABC S ab C ∆==⨯= ………13分16.(13分)解(1) 0≠x为奇函数)()(11)(x f x f aa x f x x∴-=-+=-∴ 4分 (2)分8]3,35[)(]2,1[分612211221)(∈∈-+=-+=∴x f x x f X x x (3) 211)(≥-+=∴x xa a x f分1001-3-≤x x a a 分1131≤≤x a3log 0a x ≤<∴ 13分17．(13分)（1）∵]23,2[ππ∈x ∴ 12cos 1≤≤-x ； ………1分 x b a 2cos 22||+=+ ………3分∴ 0≤||b a+≤2 ………4分（2）∵]23,2[ππ∈x ∴ 0cos 1≤≤-x ；…………5分 ∵ x x b a b a x f 2cos 222cos ||)(+-=+-⋅=………6分 1cos 2cos 2cos 41cos 2222-+=--=x x x x ………………7分∴ 当21cos -=x ，即π32=x 或π34=x 时，……8分||)(b a b a x f +-⋅=取最小值－23……9分(3)由已知1||||==b a ． ……10分∵ ||3||b a b a k k -=+，∴ 222||3||b a b a k k -=+． ∴ )1(41k k +=⋅b a ．…11分∵ k ＞0， ∴ 211241=≥⋅⋅⋅k k b a ．…12分此时21=⋅b a ∴21||||21cos ==⋅b a θ． ∴ θ＝60°．…13分 18.(13分)1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 2分 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4.所以函数f(x)的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4. 4分 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∈65,334则2,0当ππππx x []32,3)34sin(32∈+∴ππx 6分(2)因为f(x0)＝536，由(1)有f(x0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx04＋π3＝536， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx04＋π3＝53. 8分 由x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23， 知πx04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 9分 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝54. 10分故56]4)34sin[(32)344sin(32)1(000-=-+=+-=-ππππππx x x f 12分13分 19(14分).解（1）b ax x x f ++='2)(2 1分 31)1(,3)1(=-='f f 2分⎩⎨⎧-=+-=+442b a b a 4,0-==∴b a 3分（2） 4-)(2x x f =' ]4,34[)(-∈x f 4分 (Ⅰ)42或342>--<-k k6或32即><k k 无交点 5分(Ⅱ)1234≤-<-k 即332即≤<k 2个交点 6分 (Ⅲ)421≤-<k63≤<k 1个交点 7分 或32=k 1个交点 8分（3）]4,34[)(-∈x f 9分 2()3123(4)g x mx mx mx x '=-=-，令()0g x '=，得0x = 10分又(1)27g m -=-，(0)2g =，(2)216g m =-由题意知)()(x f x g ⊆当0m >时， (0)2g =4<，(1)27g m -=-34-≥(2)216g m =-34-≥ 2450≤<m 11分当0m <时， (2)216g m =-4≤，(1)27g m -=-4≤081<≤-m 12分故实数m 的取值范围081-或2450<≤≤<m m 13分20．(14分)（Ⅰ）x ax x a x f 11)(,-=-= …1分∴当0≤a 时，/()0f x <， ()f x 单调递减区间为(]e ,0…2分当0>a 时，a x 1=， 当e a ≤1时，即e a 1≥ 时， ()f x 单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0，()f x 单调递增区间为 ,,1⎪⎭⎫ ⎝⎛e a …3分（2）当e a >1时，即e a 1< 时，()f x 单调递减区间为()e ,0，无增区间； …4分 （Ⅱ）设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值2， 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，21)()(min =-==ae e f x f ，则e a 3=（舍去）所以，此时)(x f 无最小值. …5分 当e a <<10时， 2ln 1)1()(min =+==a a f x f ，则e a =，满足条件. …6分 ③当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，则e a 3=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. …7分综上，存在实数e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值2.…8分 （Ⅲ）0ln 1)(2,=-=x x x g ,所以)(x g 单调递减区间为()+∞,e ， )(x g 单调递增区间为 (),,0e …9分则 e e g x g 1)()(max ==…9分所以e x x 1ln ≤ …10分 则有231ln en nx ≤ …11分 所以)2)(111(1)1(11ln 3≥--=-<n n n e n n e n x …12分 则)2111(12ln 3-<e x )3121(13ln 3-<e x)4131(14ln 3-<e x)2)(111(1ln 3≥--<n n n e n x …13分 所以e n e n n 1)11(1ln 33ln 22ln 333<-<+++ …14分。

2014年天津市某校高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 若复数a+i 1−2i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为（ ）A 2B 15C −12D −252. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z ＝x +y( )A 有最小值2，最大值3B 有最小值2，无最大值C 有最大值3，无最小值D 既无最小值，也无最大值3. 已知函数y =Asin(ωx +φ)+m 的最大值是4，最小值是0，图象的对称中心和对称轴的最小距离为π8，直线x =π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A y =4sin(4x +π6) B y =2sin(2x +π3)+2 C y =2sin(4x +π3)+2 D y =2sin(4x +π6)+24. 执行如图所示的程序框图．若输出S =31，则框图中①处可以填入（ ）A n >8B n >16C n >32D n >645. 在(1−x)3(1+x)8的展开式中，含x 2项的系数是n ，若(8−nx)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，则a 1+a 2+...+a n =( ) A 1 B −1 C 1−87 D −1+876. 已知函数f(x)={√x −1，x >02−|x|+1，x ≤0.若关于x 的方程f(x)+2x −k =0有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为（ ）A (−1, 2]B (−∞, 1]∪(2, +∞)C (0, 1]D [1, +∞)7. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为l 1，l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2 // PF 2，则双曲线的离心率是( )A √5B 2C √3D √28. 设X n ={1, 2, 3...n}(n ∈N ∗)，对X n 的任意非空子集A ，定义f(A)为A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的f(A)的和为S n ，则S 5=( ) A 104 B 120 C 124 D 129二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为2的球的体积为V 2，则V 1:V 2=________．10. 函数f(x)=x 3−x 2+x +1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x 2−x 围成的图形的面积等于________．11. 如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC =2，PB =4，则CD =________．12. 已知直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为{x =t −3y =√3t （t 为参数）．以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ+5=0，则圆心C 到直线距离为________．13. 在△ABC 中，边AC =√13，AB =5，cosA =√1365，过A 作AP ⊥BC 于P ，AP →=λAB →+μAC →，则λμ=________．14. 已知f(x)=2x (x ∈R)可以表示为一个奇函数g(x)与一个偶函数ℎ(x)之和，若不等式a ⋅g(x)+ℎ(2x)≥0对于x ∈[2, 3]恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数f(x)=√3sinωxcosωx −12cos2ωx ，ω>0，x ∈R 且函数f(x)的最小正周期为π．（1）求ω的值和函数f(x)的单调增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，又f(A2+π3)=45，b =1，△ABC 的面积等于3，求边长a 的值．16. 由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）如图：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“good sigℎt”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有2人是“good sigℎt”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选4人，记ξ表示抽到“good sigℎt”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．17. 如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1 // 平面A1DE；（2）求：DE与面A1D1B成角余弦值；（3）在线段AB上是否存在点M，使二面角D1−MC−D的大小为π4？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．18. 已知数列{a n}的前n项和S n=−a n−(12)n−1+2(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{n+1n a n}的前n项和为T n，证明：n∈N∗且n≥3时，T n>5n2n+1；（3）设数列{c n}满足a n(c n−3n)=(−1)n−1λn(λ为非零常数，n∈N∗)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N∗，都有c n+1>c n．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)．（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为√32，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下，设过定点M(0, 2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；（3）过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR的一边距离为d，试求d＝1时a，b满足的条件．20. 已知函数f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx，g(x)=xe1−x．（a∈R，e为自然对数的底数）（1）当a=1时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0,12)上无零点，求a的最小值；（3）若对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使得f(x i)= g(x0)成立，求a的取值范围．2014年天津市某校高考数学三模试卷（理科）答案1. A2. B3. D4. B5. C6. A7. B8. D9. 4:110. 9211. 2.412. 3√313. 2914. a≥−2576015. 解：（1）f(x)=√3sinωxcosωx−12cos2ωx=√32sin2ωx−12cos2ωx=sin(2ωx−π6 )∵ T=2π2ω=π∴ ω=1，∴ f(x)=sin(2x−π6)，当2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2时(k∈Z)，即kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，函数单调增．∴ ω=1．函数f(x)的单调增区间为[kπ−π6, kπ+π3](k∈Z)．（2）∵ f(A2+π3)=sin[2(A2+π3)−π6]=sin(A+π2)=45，∴ cosA=45∴ sinA=√1−cos2A=35∵ S△ABC=12bcsinA=12⋅1⋅c⋅35=3∴ c=10∴ a =√b 2+c 2−2bccosA =√1+100−2×1×10×45=√85．16. 解：（1）根据茎叶图知，这组数据的众数是4.6和4.7，中位数是4.7+4.82=4.75；（2）根据题意，从这16人中随机选取3人，至多有2人是“good sigℎt”的对立事件是3人都是“good sigℎt”，∴ 至多有2人是“good sigℎt”的概率是P(A)=1−C 43C 163=1−1140=139140；（3）根据题意，ξ的可能的取值为0，1，2，3，4，∴ P(ξ=0)=(34)4=81256，P(ξ=1)=C 41×14×(34)3=2764，P(ξ=2)=C 42×(14)2×(34)2=54256，P(ξ=3)=C 43×(14)3×34=364，P(ξ=4)=(14)4=1256；∴ ξ的分布列是；ξ的数学期望是Eξ=0×81256+1×2764+2×54256+3×364+4×1256=1．17. （1）证明：连结AD 1，交A 1D 于点O ， ∵ 四边形ADD 1A 1为正方形，∴ O 是AD 1的中点，∵ 点E 为AB 的中点，连接OE ． ∴ EO 为△ABD 1的中位线，∴ EO // BD 1，又∵ BD 1不包含于平面A 1DE ，OE ⊂平面A 1DE ，∴ BD 1 // 平面A 1DE ．（2）解：由题意可得：D 1D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点， DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，∵ 正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直， AB =2AD =2，点E 为AB 的中点， ∴ D(0, 0, 0)，E(1, 1, 0)，B(1, 2, 0)， A 1(1, 0, 1)，D 1(0, 0, 1)，∴ DE →=(1,1,0)，BA 1→=(0,−2,1)，BD 1→=(−1,−2,1)，设平面A 1B 1D 的法向量m →=(x,y,z)， 则{m →⋅BD 1→=−x −2y +z =0˙， 取y =1，得m →=(0, 1, 2)， 设直线DE 与面A 1D 1B 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <DE →，m →>|=√2⋅√5=√1010． ∴ cosθ=√1−110=3√1010． ∴ DE 与面A 1D 1B 成角余弦值为3√1010． （3）解：设在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1−MC −D 的大小为π4， 设M(1, y 0, 0)，(0≤y 0≤2)， ∵ D 1(0, 0, 1)，C(0, 2, 0)，∴ CM →=(1, y 0−2, 0)，CD 1→=(0, −2, 1)， 设平面D 1MC 的法向量为n →=(x 1, y 1, z 1)， 则{n →⋅CD 1→=−2y 1+z 1=0˙， 取x 1=2−y 0，得n →=(2−y 0, 1, 2)， ∵ 平面ECD 的一个法向量为p →=(0, 0, 1)， ∵ 二面角D 1−EC −D 的大小为π4， ∴ cos <n →，p →>=√(2−y 0)2+1+4=√22， 解y 0=2−√3，∴ M(1, 2−√3, 0)，A(1, 0, 0)， ∴ |AM →|=2−√3，故线段AB 上是存在点M(1, 2−√3, 0)，使二面角D 1−MC −D 的大小为π4，AM 的长是2−√3． 18. （1）证明：在S n =−a n −(12)n−1+2(n ∈N ∗)中， 令n =1，得S 1=−a 1−1+2=a 1，解得a 1=12， 当n ≥2时，S n−1=−a n−1−(12)n−2+2，∴ a n=S n−S n−1=−a n+a n−1+(12)n−1，∴ 2a n=a n−1+(12)n−1，即2n a n=2n−1a n−1+1．∵ b n=2n a n，∴ b n=b n−1+1，即当n≥2时，b n−b n−1=1，又b1=2a1=1，∴ {数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+(n−1)⋅1=n=2n a n，∴ a n=n2n．（2）证明：∵ a n=n2n ，∴ n+1na n=(n+1)•(12)n，∴ T n=2×12+3×(12)2+...+(n+1)×(12)n，①1 2T n=2×(12)2+3×(12)3+...+(n+1)×(12)n+1，②①-②，得：12T n=1+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−(n+1)⋅(12)n+1=1+14[1−(12)n−1]1−12−(n+1)•(12)n+1=32−n+32n+1，∴ T n=3−n+32n．∴ T n−5n2n+1=3−n+32n−5n2n+1=(n+3)(2n−2n−1)2n(2n+1)，∴ 确定T n与5n2n+1的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．下面用数学归纳法证明n∈N∗且n≥3时，T n>5n2n+1．①当n=3时，23>2×3+1，成立②假设当n=k(k≥3)时，2k>2k+1成立，则当n=k+1时，2k+1=2⋅2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k−1)>2(k+1)+1，∴ 当n=k+1时，也成立．于是，当n≥3，n∈N∗时，2n>2n+1成立∴ n∈N∗且n≥3时，T n>5n2n+1．（3）由a n(c n−3n)=(−1)n−1λn，得c n=3n+(−1)n−1λ⋅na n=3n+(−1)n−1⋅λ⋅2n，∴ c n+1−c n=[3n+1+(−1)n⋅λ⋅2n+1]−[3n+(−1)n−1⋅λ⋅2n] =2⋅3n−3λ(−1)n−1⋅2n>0，∴ (−1)n−1⋅λ<(32)n−1，①当n =2k −1，k =1，2，3，…时，①式即为λ<(32)2k−2，λ>−(32)2k−1②依题意，②式对k =1，2，3…都成立，∴ λ<1，当n =2k ，k =1，2，3，…时，①式即为λ>−(32)2k−1③， 依题意，③式对k =1，2，3…都成立， ∴ λ>−32，∴ −32<λ<1，又λ≠0，∴ 存在整数λ=−1，使得对任意n ∈N ∗有c n+1>c n ．19. 由题意可得{2a =4e =ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c =√3．∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 2=1；直线l 的方程为y ＝kx +2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立{y =kx +2x 2+4y 2=4 ，化为(1+4k 2)x 2+16kx +12＝0，由△＝162k 2−48(1+4k 2)>0，解得k >√32或k <−√32．∴ x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2．若∠AOB 为锐角，则OA →⋅OB →>0，得x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)＝(1+k 2)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4>0，代入得12(1+k 2)1+4k 2+−32k 21+4k 2+4>0，化为k 2<4，解得−2<k <2．∴ 直线l 的斜率k 的取值范围为{x|−2<k <2}∩{x|k <−√32或k >√32}＝{k|−2<k <−√32或√32<x <2}．如图所示，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，S(−x 1, −y 1)，R(−x 2, −y 2)．①当直线PS 与QR 的斜率都存在时，设直线PS:y ＝kx ，则直线QR:y =−1k x ． 联立{y =kx b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2 ，解得x 12=a 2b 2b 2+a 2k 2．(∗) 联立{y =−1kx b 2x 2+a 2y 2=a 2b2 ，解得x 22=a 2b 2k 2a 2+b 2k 2．(∗∗)直线PR 的斜率存在时，则直线PR:y −y 1=y 2−y1x 2−x 1(x −x 1)，化为(y 2−y 1)x +(x 1−x 2)y +x 2y 1−x 1y 2＝0． ∵ d ＝1，∴2112√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=1，代入化为：(k +1k )2x 12x 22=k 2x 12+1k 2x 22+x 12+x 22．把(∗)(∗∗)代入上式：(k 2+1)2k 2⋅a 4b 4k 2(a 2+b 2k 2)(b 2+a 2k 2)=a 2b 2k 2b 2+a 2k 2+a 2b 2a 2+b 2k 2+a 2b 2b 2+a 2k 2+a 2b 2k 2a 2+b 2k 2．化为a 2b 2＝a 2+b 2． 即1a2+1b 2=1为定值．②当直线PS 与QR 的斜率有一个不存在时，直线PR 的斜率不存在时，经验证上式也成立．20. 解：（1）当a =1时，f(x)=x −1−2lnx ，则f′(x)=1−2x ，由f′(x)>0，得x >2； 由f′(x)<0，得0<x <2．故f(x)的单调减区间为(0, 2]，单调增区间为[2, +∞)； （2）因为f(x)<0在区间(0,12)上恒成立不可能，故要使函数f(x)在(0,12)上无零点，只要对任意的x ∈(0,12)，f(x)>0恒成立，即对x ∈(0,12)，a >2−2lnxx−1恒成立． 令l(x)=2−2lnxx−1，x ∈(0,12)，则l(x)=−2x(x−1)−2lnx (x−1)2=2lnx+2x−2(x−1)2，再令m(x)=2lnx +2x−2，x ∈(0,12)，则m′(x)=−2x 2+2x=−2(1−x)x 2<0，故m(x)在(0,12)上为减函数，于是m(x)>m(12)=2−2ln2>0，从而，l(x)>0，于是l(x)在(0,12)上为增函数，所以l(x)<l(12)=2−4ln2，故要使a >2−2lnx x−1恒成立，只要a ∈[2−4ln2, +∞)，综上，若函数f(x)在(0,12)上无零点，则a 的最小值为2−4ln2； （3）g′(x)=e 1−x −xe 1−x =(1−x)e 1−x ，当x ∈(0, 1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； 当x ∈(1, e]时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减． 又因为g(0)=0，g(1)=1，g(e)=e ⋅e 1−e >0， 所以，函数g(x)在(0, e]上的值域为(0, 1]． 当a =2时，不合题意； 当a ≠2时，f′(x)=2−a −2x =(2−a)x−2x=(2−a)(x−22−a)x，x ∈(0, e]当x =22−a 时，f′(x)=0．由题意得，f(x)在(0, e]上不单调，故0<22−a <e，即a<2−2e①此时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：f(22−a )=a−2ln22−a，f(e)=(2−a)(e−1)−2，所以，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使得f(x i)=g(x0)成立，当且仅当a满足下列条件：{f(22−a)≤0f(e)≥1即{a−2ln22−a≤0②(2−a)(e−1)−2≥1③令ℎ(a)=a−2ln22−a ，a∈(−∞,2−2e)，则ℎ′(a)=1−2[ln2−ln(2−a)]′=1−22−a =aa−2，令ℎ′(a)=0，得a=0或a=2，故当a∈(−∞, 0)时，ℎ′(a)>0，函数ℎ(a)单调递增；当a∈(0,2−2e)时，ℎ′(a)<0，函数ℎ(a)单调递减．所以，对任意a∈(−∞,2−2e)，有ℎ(a)≤ℎ(0)=0，即②对任意a∈(−∞,2−2e)恒成立．由③式解得：a≤2−3e−1．④综合①④可知，当a∈(−∞,2−3e−1]时，对任意给定的x0∈(0, e]，在(0, e]上总存在两个不同的x i(i=1, 2)，使f(x i)=g(x0)成立．。

2014届天津市高三第二次六校联考数学（文） 试卷温馨提示：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共150分。

考试用时120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·柱体的体积公式V ＝ShP(A ∪B)=P(A)+P(B). 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）复数12ii+ (i 是虚数单位)的虚部是A ．15B ．25C ．5i D ．5i -（2）设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为A ．6B ．4C ．2D ．32（3）运行右图所示的程序框图，则输出的S 值为A ． 3 B. -2 C. -3 D. 2（4） 设函数f (x)=⎩⎨⎧21－x，x ≤11－log 2x ，x>1，则满足f (x)≤ 2的x 的取值范围是A.[-1,2]B.[0,2]C. [1,+∞)D. [0,+∞)（5）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin 21f x x =+；③()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ④()sin 3cos f x x x =+． 其中“同簇函数”的是 A.①② B.①④ C.②③ D.③④ （6）已知a ＝7log 2 3.4，b ＝7log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17log 30.3,比较a , b , c 的大小A. a < b < cB. b <a < cC. b <c <aD. c <a < b（7）在△ABC 中,AN →＝13 NC →,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为第（3）题图A.19 B. 31C. 1D.3 （8）①两直线m,n 与平面α所成的角相等的充要条件是m ∥n ；②设a , b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是a ∩α , b ⊥β，α∥β；③若p ：对∀x ∈R,sinx ≤1，则﹁p ：对∀x ∈R,sinx>1；④设有四个函数y ＝x －1,y ＝21x ，y ＝31x ，y ＝x 3，其中在定义域上是增函数的有3个； ⑤设方程2lnx ＝7－2x 的解x 0，则关于x 的不等式x －2＜x 0的的最大整数解为x ＝4. 其中正确的命题的个数A.1B.2C.3D.0第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

xy2O-221FEDCBA 2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年天津，理1，5分】i是虚数单位，复数7i34i（）（A）1i（B）1i（C）1731i2525（D）1725i77【答案】A【解析】7i34i7i2525i1i34i34i34i25，故选A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．（2）【2014年天津，理2，5分】设变量x，y满足约束条件2012xyx yy≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z取得最小值3，故选B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（3）【2014年天津，理3，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值为（）（A）15 （B）105 （C）245 （D）945【答案】B【解析】1i时，3T，3S；2i时，5T，15S；3i时，7T，105S，4i输出105S，故选B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．（4）【2014年天津，理4，5分】函数212log4f x x的单调递增区间是（）（A）0,（B）,0（C）2,（D）,2【答案】D【解析】240x，解得2x或2x．由复合函数的单调性知f x的单调递增区间为,2，故选D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．（5）【2014年天津，理5，5分】已知双曲线22221x ya b0,0a b的一条渐近线平行于直线l：210y x，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）221520x y（B）221205x y（C）2233125100x y（D）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225b acc a b，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．（6）【2014年天津，理6，5分】如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确 结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D 【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD∠对应劣弧BD ，圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠，BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④，故选D ．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．（7）【2014年天津，理7，5分】设,a b R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 【答案】C【解析】解法一：设f x x x ，则220,0,x x x x f x ，所以f x 是R 上的增函数，“a b ”是“a a b b ”的充要条件，故选C ． 解法二：若0a b >≥，则不等式a ab b 等价为a a b b 此时成立．若0a b >>，则不等式a ab b等价为a a b b -⋅>-⋅，即22a b <，此时成立．若0a b ≥>，不等式a a b b 等价为a a b b ⋅>-⋅，即22a b >-，此时成立，综上则“ab ”是“a ab b ”的充要条件，故选C ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．（8）【2014年天津，理8，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DFDC ．若1AE AF ，23CE CF ，则（ ） （A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）712【答案】C 【解析】因为120BAD，所以cos1202AB ADAB AD ．因为BE BC ，所以AEABAD ，AFAB AD ．因为1AE AF ，所以1ABADABAD，即3222① 同理可得23 ②，①+②得56，故选C ． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2014年天津，理9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生． 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300名．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应俯视图侧视图正视图各层的样本数之比，属于基础题．（10）【2014年天津，理10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ． 【答案】203【解析】由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（11）【2014年天津，理11，5分】设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为 ．【答案】12【解析】依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ． 【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． （12）【2014年天津，理12，5分】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,abc ．已知14b ca ，2sin 3sin B C ，则cos A 的值为 ．【答案】14【解析】因为2sin 3sin B C ，所以23b c ，解得32cb ，2ac ．所以2221cos 24b c a A bc ．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． （13）【2014年天津，理13，5分】在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a 相交于,A B两点．若AOB 是等边三角形，则a 的值为 ． 【答案】3【解析】圆的方程为2224x y ，直线为y a ．因为AOB一个交点坐标为,3aa ，代入圆的方程可得3a ．【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B 坐标是解题的关键，属于基础题．（14）【2014年天津，理14，5分】已知函数23f x x x ，x R ．若方程1f x a x 个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】()()0,19,+∞ 【解析】解法一：（ⅰ）当1y a x 与23y x x 相切时，1a ，此时10f x a x 恰有3个互异的实数根． （ⅱ）当直线1y a x 与函数23yxx 相切时，9a ，此时10f x a x 恰有2个互异的实数根． 结合图象可知01a 或9a ． 解法二：显然1a ，所以231x xa x ．令1tx ，则45at t． 因为,444,tt，所以45,19,tt．结合图象可得01a 或9a ．【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2014年天津，理15，13分】已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有2133cos sin cos 3cos 224f x xx x x2133sin cos cos 224x x x133sin 21cos2444x x13sin 2cos 244x x 1sin 223x ．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）因为f x 在区间,412上是减函数，在区间,124上是增函数．144f，1122f， 144f．所以，函数f x 在闭区间,44上的最大值为14，最小值为12．【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式2T πω=应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．（16）【2014年天津，理16，13分】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院． 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则120337373104960C C C C P A C ． 所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为4960．所以，f x 的最小正周期22T ．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．346310k k C C P xk C 0,1,2,3k ． 所以，随机变量X 的分布列是X0 1 2 3 P1612 310 130 随机变量X 的数学期望1131612362103050E X ． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．（17）【2014年天津，理17，13分】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点． （1）证明 BE DC ；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ，求二面角F AB P 的余弦值． 解：解法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得1,0,0B ，2,2,0C ，0,2,0D ， z y xPE DA0,0,2P ．由E 为棱PC 的中点，得1,1,1E ．（1）向量0,1,1BE ，2,0,0DC ，故0BE DC ．所以，BE DC ．（2）向量1,2,0BD，1,0,2PB．设,,nx y z 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB，即2020x y x z ，不妨令1y，可得2,1,1n 为平面PBD 的一个法向量，223cos ,36n BE n BEn BE．所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）向量1,2,0BC，2,2,2CP，2,2,0AC ，1,0,0AB ．由点F 在棱PC 上，设CF CP ，01．故12,22,2BF BCCFBCCP．由BF AC ，得0BF AC ，因此，2122220，解得34．即113,,222BF ．设1,,n x y z 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF，即01130222x x y z ．不妨令1z，可得10,3,1n 为平面FAB的一个法向量．取平面ABP 的法向量20,1,0n ，则1212113310cos ,10101n n n n n n ． 易知，二面角FAB P 是锐角，所以其余弦值为31010． 解法二：（1）如图，取PD 中点M ，连接EM ，AM ．由于,E M 分别为,PC PD 的中点，故//EM DC ，且12EM DC ，又由已知，可得//EM AB 且EM AB ，故四边形ABEM 为平行四边形，所以//BE AM ．因为PA 底面ABCD ，故PA CD ，而 CD DA ，从而CD 平面PAD ，因为AM 平面PAD ，于是CD AM ，又 //BE AM ，所以BE CD ． （2）连接BM ，由（1）有CD 平面PAD ，得CD PD ，而//EM CD ，故PD EM ．又因为AD AP ，M 为PD 的中点，故PD AM ，可得PD BE ，所以PD 平面BEM ，故平面BEM 平面PBD ． 直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM ，而BE EM ，可得EBM 为锐角，故EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有22PD，而M 为PD 中点，可得2AM，进而2BE ．故在直角三角形BEM 中，tan 12EM AB EBMBEBE，因此3in 3s EMB． 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33． （3）如图，在PAC 中，过点F 作//FH PA 交AC 于点H ．因为PA 底面ABCD ，故FH 底面ABCD ，从而FH AC ．又BF AC ，得AC 平面FHB ，因此AC BH ．在底面ABCD 内，可得3CH HA ，从而3CF FP ．在平面PDC 内，作//FG DC 交PD 于点G ，于是3DG GP ．由于//DC AB ，故//GF AB ，所以,,,A B F G 四点共面．由AB PA ， AB AD ，得AB 平面PAD ，故AB AG ．所以PAG 为二面角F AB P 的平面角．在PAG 中，2PA ，1242PG PD，45APG ，由余弦定理可得102AG ，3os 10c 1PAG．所以，二面角F AB P． 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．（18）【2014年天津，理18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已知1232AB F F ．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的直线l 与该圆相切． 求 直线的斜率．解：（1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c ．由1232AB F F ，可得2223a b c ，又222b a c ，则2212c a ． 所以，椭圆的离心率22e ．223b c ，所以22223a c c ，解得2a c ，22e ．（2）由（1）知222a c ，22b c ．故椭圆方程为222212x y c c ．设00,P x y ．由1,0F c ，0,B c ，有100,F P x c y ，1,F B c c ．由已知，有110F P F B ，即000x c c y c ．又0c ，故有00x y c． ① 又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c ． ② 由①和②可得200340x cx ．而点P 不是椭圆的顶点，故043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c．设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径221153rx y cc ． 设直线l 的斜率为k ，直线l 的方程为ykx ．由l 1121y r ，即22233531c c kc k ， 整理得2810k k ，解得415k ．所以，直线l 的斜率为415或415． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（19）【2014年天津，理19，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合0,1,2,1,Mq ，集合112,,1,2,,n n iA x xx x x q x M in q．（1）当2q，3n 时，用列举法表示集合A ；（2）设,s t A ，112n n s a a qa q ，112n n tb b qb q ，其中,i ia b M ，1,2,,n i ．证明：若n n a b ，则st ．解：（1）当2q ，3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3iA x xx x x M x i ．可得，0,1,2,3,4,5,6,7A ．（2）由,s tA ，112n n s a a q a q ，112n n t b b qb q ，,i i a b M ，1,2,,n i 及n n a b ，可得21111122nn n nnn sta b a b q a b q a b q21111n n q q qq qq11111nnq q q q10．所以，s t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n 项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（20）【2014年天津，理20，14分】已知函数x f xx ae a R ，x R ．已知函数y f x 有两个零点12,x x ，且12x x ．（1）求a 的取值范围；（2）证明21xx 随着a 的减小而增大；（3）证明12x x 随着a 的减小而增大． 解：（1）由x f xx ae ，可得1x fx ae ．下面分两种情况讨论：1）0a 时，0f x 在R 上恒成立，可得f x 在R 上单调递增，不合题意． 2）0a时，由0fx，得ln xa ．当x 变化时，fx ，f x 的变化情况如下表：ln axxln 1a↘ x 的单调递增区间是,ln a ；单调递减区间是ln ,a ．于是，“函数y f x 有两个零点”等价于如下条件同时成立：（1）ln 0f a ；（2）存在1,ln a s ，满足10f s ；3）存在2ln ,a s ，满足20f s ．由ln 0f a，即ln 10a ，解得10a e ，而此时，取10s ，满足1,ln a s ，且10f s a；取222ln s a a，满足2ln ,a s ，且22222ln 0aaf s eeaa．所以，a 的取值范围是10,e ．（2）由0xf x x ae ，有x xae ．设xxg x e ，由1xxg x e ，知g x 在,1上单调递增，在1,上单调递减． 并且，当,0x 时，0g x；当0,x 时，0g x ．由已知，12,x x满足1ag x ，2ag x ．由10,ae，及g x 的单调性，可得10,1x ，21,x ．对于任意的1120,,a a e，设12a a ，121gga ，其中121；122gga ，其中121．因为g x 在0,1上单调递增，故由12a a ，即11gg，可得11；类似可得22．又由11,0，得222111．所以，21x x 随着a 的减小而增大． （3）由11x x ae ，22x x ae ，可得11ln ln x ax ，22ln ln x ax ．故221211ln ln lnx x x x x x ． 设21x t x ，则1t ，且2121ln x tx x x t，解得1ln 1tx t ，2ln 1t tx t ．所以，121ln 1tt x x t ． ①令1ln 1x x h x x ，1,x ，则212ln 1x xx h x x ．令12ln u xx xx， 得21x u xx．当1,x 时，0u x．因此，u x 在1,上单调递增，故对于任意的1,x，10u x u ，由此可得0h x ，故h x 在1,上单调递增．因此，由①可得12x x 随着t 的增大而增大．而由（2），t 随着a 的减小而增大，所以12x x 随着a 的减小而增大．【评析】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．。