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启发式搜索算法在求解NP难问题中的应用研究随着人工智能技术的发展，将搜索算法应用于求解NP难问题已成为一种常见的方法。
而启发式搜索算法，由于它的高效和灵活性，现在已成为应用最广泛的一种搜索算法。
本文将介绍什么是NP难问题、什么是启发式搜索算法、以及启发式搜索算法在NP难问题中的应用情况。
一、NP难问题NP难问题是指一类算法问题，它们被证明是一种复杂度类的问题，包含了很多经典的问题，如旅行商问题、背包问题等。
这些问题在计算机科学和数学领域属于最难的一类问题。
它们的特点是当问题规模增加时，问题的解法呈指数级增长，导致寻找最优解非常困难。
为了更好地理解NP难问题，我们以旅行商问题为例。
旅行商问题是指在一个旅行商需要从一个城市出发，经过其他n个城市后返回原出发地，使得经过的距离最短。
这个问题看起来很简单，但是当城市数量增加时，计算复杂度增加的非常快。
因此，使用普通的算法解决这个问题是不现实的，需要使用一些特殊的算法来解决。
二、启发式搜索算法启发式搜索算法是一种智能搜索算法，它结合了最优化和评估函数的思想，能够在组合优化问题中进行搜索。
这种算法是一种迭代式的搜索算法，在每次迭代中，它根据一个启发式函数来逐步优化解决方案，最终找到最优解。
在实际应用中，启发式搜索算法通常是非常高效的。
因为它可以通过一些“花招”来减少搜索的空间，提高搜索的速度，如剪枝、分支定界等技术，从而大大减少计算的时间。
三、启发式搜索算法在NP难问题中的应用因为NP难问题的复杂度极高，通常需要利用启发式算法来求解。
的确，启发式搜索算法已被广泛应用于经典的NP难问题，如旅行商问题、背包问题、图着色问题、集合覆盖问题等。
以背包问题为例，启发式搜索算法可以由多种方法来求解。
一种常见的方法是基于遗传算法的背包问题求解算法。
该算法通过不断地随机生成一个背包装载方式并通过交叉、变异等方法优化，从而达到最优解。
与普通算法相比，基于遗传算法的算法在随机性和全局搜索方面有很大的优势。
算法分析与设计实验报告[0/1背包问题]0/1背包问题的不同算法解决方案组员02黄希龙 09455321张育强05周麒目录一.问题描述 (1)二.算法分析 (2)1.穷举法： (2)2.递归法： (4)3.贪心法： (5)4.动态规划法分析： (6)5.回溯法分析： (7)6.分支限界法： (9)三.时空效率分析 (10)1.穷举法： (10)2.递归法： (11)3.动态规划法： (11)4.回溯法： (11)5分支限界法： (11)四.运行结果 (12)1.穷举法输出结果： (12)2.递归法输出结果： (13)3.动态规划法输出结果： (14)4.回溯法输出结果： (15)5.分支限界法输出结果： (16)五.分析输出结果 (17)六.总结与反思 (18)一.问题描述0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，已知第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数W ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过W 且总价值尽量大。
（注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分）二.算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：)2(max )1()1}(1,0{11∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤ni i i ini i i x v n i x Wx w 于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件（1），并使目标函数式（2）达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =。
首先说明一下0-1背包问题拥有最优解。
假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤ni i i ini i i x v n i x x w W x w 2211max )2}(1,0{。
Science &Technology Vision 科技视界0引言0-1背包问题(0-1knapsack problem)是一个经典的NP-完全问题,在现实生活中具有广泛的应用,如物流公司的货物发配,集装箱的装运,资金运算,存储分配等问题,并且还常常作为其他问题的子问题加以研究。
背包问题实际是指从多种物品中选择几件物品装满背包,要在不超过背包承重量的前提下,使装入背包的价值最大。
解决0-1背包问题的方法可以分为最优算法和启发式算法。
最优算法包括穷举法、动态规划算法、递归算法等,可以找到最优解但只适用于小规模问题;启发式算法包括贪心算法[1]、遗传算法[2]等,一般用于求解较大规模问题。
贪心算法具有良好的爬坡能力,但只能搜索一个局部最优解。
遗传算法只能反映种群之间的优劣关系,无法判断最终结果与全局最优解的相似程度,这影响了所求结果的可信性。
本文提出了一种启发式算法,通过求上界来判断近似最优解与最优解的相似程度,算法总是选择较有可能出现最优解的那部分可行解,用贪心算法搜索,并排除不可能包含最优解的一部分可行解,因此大大提高了搜索效率。
每个实际的问题对计算时间及计算精度的要求都不一样,一般情况下该算法都可以较快地求出满足计算精度要求的近似最优解,当算法不能在限定的计算时间内找到满足问题要求的近似最优解时,给出一个可行解及计算误差,作为决策参考。
1背包问题的数学模型背包问题的数学模型实际上是一个0-1规划问题。
假设有n 个物件,其重量用w i 表示,价值为p i (i=1,2,…,n),背包的最大容纳重量为c,当物件i 被选入背包时,定义变量x i =1,否则x i =0。
现在考虑n 个物件的选择与否,则背包内n 个物件总重量为ni =1∑w i x i ,物件的总价值为n i =1∑p i x i ,如何决定变量x i (i =1,2,…,n)的值(即确定一个物件组合)使背包内物件总价值为最大。
matlab中贪婪算法求解背包问题的研究与应用背包问题是一个经典的组合优化问题，在各个领域都有广泛的应用。
解决背包问题的方法有很多种，其中贪婪算法是一种常用且高效的方法。
贪婪算法是一种属于启发式算法的解题方法，通过每一步选择当前状态下最优的选择，然后逐步构建最终解。
贪婪算法具有简单、高效、容易实现等特点，适用于大规模问题的求解。
背包问题可以分为0-1背包问题和分数背包问题。
0-1背包问题的特点是每个物品要么完整地放入背包，要么完整地不放入背包；而分数背包问题则允许物品被部分地放入背包。
贪婪算法在解决背包问题时，可以根据不同的目标函数来选择最优解。
例如，在0-1背包问题中，可以选择物品的价值最高或者重量最小作为目标函数。
在分数背包问题中，则可以选择物品的单位价值最高作为目标函数。
在研究方面，贪婪算法在背包问题中的应用已经得到了广泛的研究。
研究者一方面致力于改进贪婪算法的效率和精度，另一方面也结合其他优化方法，如动态规划、遗传算法等进行混合优化。
贪婪算法在背包问题的应用也非常广泛。
例如，在电子商务领域，背包问题可以用来对物品进行优先级排序，以便更好地满足用户的需求。
在资源分配问题中，贪婪算法可以用来计算最优的资源分配方案。
在物流领域，贪婪算法可以用来优化货物的装载方案。
虽然贪婪算法具有高效、简单的特点，但是它并不一定能求出最优解。
这是因为贪婪算法在每一步只能看到局部最优解，而不能保证全局最优解。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的算法，并进行适当的调整和改进。
总之，贪婪算法是一种常用且高效的方法，在解决背包问题以及其他组合优化问题时都有广泛的应用。
研究者们通过改进算法的效率和精度，并结合其他优化方法进行混合优化，使得贪婪算法在实际问题中发挥出更大的作用。
c语言算法--贪婪算法---0/1背包问题在0 / 1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。
从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi ，价值为pi 。
对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即n ?i=1pi xi 取得最大值。
约束条件为n ?i =1wi xi≤c 和xi?[ 0 , 1 ] ( 1≤i≤n)。
在这个表达式中，需求出xt 的值。
xi = 1表示物品i 装入背包中，xi =0 表示物品i 不装入背包。
0 / 1背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。
货箱装载问题转化为背包问题的形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。
例1-8 在杂货店比赛中你获得了第一名，奖品是一车免费杂货。
店中有n 种不同的货物。
规则规定从每种货物中最多只能拿一件，车子的容量为c，物品i 需占用wi 的空间，价值为pi 。
你的目标是使车中装载的物品价值最大。
当然，所装货物不能超过车的容量，且同一种物品不得拿走多件。
这个问题可仿照0 / 1背包问题进行建模，其中车对应于背包，货物对应于物品。
0 / 1背包问题有好几种贪婪策略，每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入。
在每一步过程中利用贪婪准则选择一个物品装入背包。
一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。
这种策略不能保证得到最优解。
例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 1 0 5。
当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。
而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。
另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。
这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。
我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。
假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。
博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。
你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
这个问题，就是我们要解决的背包问题。
一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。
3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。
4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。
6.dp[i][j]取两种情况的最大值。
二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。
现代经济信息求解０－１背包问题算法研究田秀芹 百色学院数学与统计学院摘要：本文主要概述了求解0-1背包问题的两大类算法：精确算法和近似算法，并分析了这些算法的优缺点，并提出了求解该问题的算法发展趋势。
关键词：0-1背包问题；精确算法；近似算法中图分类号：TP312 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0386-03The Study of the 0-1 Knapsack Problem AlgorithmAbstract: This paper mainly summarizes the solving 0-1 knapsack problem algorithm of two categories: accurate and approximate algorithms, and analyzes the advantages and disadvantages of these algorithms, and put forward the development trend of algorithms to solve the problem.Keywords: 0-1 knapsack problem, precise algorithm, approximate algorithmDantzig[1]在20世纪50年代首次提出了背包问题(Knapsack problem，简称KP)，在文献[2]中，阐述了该问题是一个NP-难问题，在背包问题中，我们很难设计出多项式时间算法，除非P=NP。
0-1背包问题就是，给定一个容量为的背包和件具有价值的物品，在不超过背包容量的前提下，选择若干物品放入背包，使得装入背包的物品总价值最大。
同时给出一种放置物品的方案。
背包问题就有普遍的应用背景，在日常的许多实践中如：材料切割、资源有效分配问题、资金估算的问题、运输过程的货仓装载等起着很大的作用，许多的组合优化问题都可以简化为背包问题，背包问题的各种解法也可用来解决组合优化问题，因此对0-1背包问题的解法进行深入的研究具有重大的意义。
一种有效求解多维背包问题的遗传算法摘要：就多维背包问题的求解，提出一个基于遗传算法的启发式算法（MKPGA）。
该算法中加入了一个利用问题特性知识的启发式修复算子以帮助求解。
测试实例使用270个不同特性的多维背包问题，实验结果表明，该算法对多维背包问题的求解十分有效，能获得不同特性问题的高质量解。
关键词：遗传算法;多维背包问题;贪婪算法遗传算法，是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，对它的研究起源于20世纪70年代初，由美国Michigan 大学的J.Holland教授于1975年正式提出。
GA的主要特点是群体搜索策略和群体中个体之间的信息交换，搜索不依赖于梯度信息。
它尤其适用于处理传统搜索方法难于解决的复杂和非线性问题，可广泛用于组合优化、机器学习、自适应控制、规划设计和人工生命等领域，是21世纪有关智能计算中的关键技术之一。
2求解MKP的遗传算法设计MKPGA使用了一个基于简单贪婪算法的修复算子来修复交叉、变异操作后可能产生违反背包约束的不可行解。
虽然在标准遗传算法中并未提到修复算子的使用，但根据不同问题特性设计的修复算子被广泛应用在解决不同问题的遗传算法中。
MKPGA所采用的策略描述如下：①联赛选择方法；②一致交叉；③物品数小于500时变异概率取2／个体基因串长位，当物品数等于500时，变异概率取3/个体串长度；④不允许种群中有相同的个体；⑤每次迭代只产生一个不同于当前种群的新个体，如果新个体比当前种群中最差的个体好，则替换掉该最差个体。
3计算实验3.1实例本文使用的测试实例是由Beasley和Chu所提供的270个多维背包问题。
其中约束个数m包括5、10和30，物品数量n包括100、250和500，每一组m-n各有30个问题。
下面介绍这270个实例的生成方法。
物品j消耗资源i的量wij为一个均匀分布在区间（0，1 000）上的整数。
对于每一个m-n的组合，每个资源约束bi=α∑nj=1wij，α是问题的紧密比，前十个问题的α取0.25，接下来十个问题的α取0.50，最后十个问题的α取0.75。
基于禁忌搜索的启发式求解背包问题算法第34卷第3期电⼦科技⼤学学报V ol.34 No.3 2005年6⽉Journal of UEST of China Jun. 2005 基于禁忌搜索的启发式求解背包问题算法张晓琴，黄⽟清(西南科技⼤学信控学院四川绵阳 621010)【摘要】设计了⼀种基于禁忌搜索的遗传算法，利⽤遗传算法提供的并⾏搜索主框架，结合禁忌算法的个体串⾏搜索⽅式，能扩⼤搜索空间，快速实现全局优化。
把基于禁忌搜索的遗传算法与启发式⽅法相结合⽤来求解背包问题，经过计算机仿真，其优化性能指标及搜索效率均有⼤幅度的提⾼。
关键词禁忌搜索; 背包问题; 遗传算法; 贪婪算法中图分类号TP18 ⽂献标识码 AHeuristics Algorithm for Knapsack Problem Based on the Tabu SearchZHANG Xiao-qin，HUANG Yu-qing(Dept. of Info & Contr, SWUST Sichuan Mianyang 621010)Abstract The paper design a genetic algorithm based on the tabu search. By utilizing the main frame of parallel search supplied by the genetic algorithm and the individual serial search mode of the tabu algorithm, this method can enlarge the search space and swiftly implement the overall optimization.If it is combined with the heuristics algorithm to solve the knapsack problem, according to the results of computer simulation, it can effectively improve the index of optimization performance and search efficiency.Key words tabu search;knapsack problem; genetic algorithm; greedy algorithm背包问题(Knapsack Problem)是⼀类在给定约束条件的情况下，求最⼤值的组合优化问题，是典型的⾮确定多项式(Non-deterministic Polynomial, NP)完全难题。
背包问题启发算法
背包问题是一种常见的优化问题，通常用于解决资源分配、决策制定等方面的问题。
启发式算法是一种常用的求解背包问题的策略，其基本思想是通过经验或直观来构造一个可行的解决方案，然后不断迭代优化这个方案，直到满足终止条件。
以下是一个简单的0-1背包问题的启发式算法：
1. 初始化：选择一个初始解，通常是一个空解或者随机解。
2. 迭代优化：在每次迭代中，尝试对当前解进行改进。
具体步骤如下：
a. 对于每个物品，计算将其添加到背包中的收益，即物品的重量与价值的乘积。
b. 选取收益最大的物品，将其添加到背包中。
c. 重复步骤b，直到背包满载或者没有剩余的物品。
3. 终止条件：当达到指定的迭代次数或者背包价值达到最大值时，停止迭代。
4. 输出结果：返回最终的背包解。
需要注意的是，启发式算法只能得到近似最优解，而不是最优解。
因此，在某些情况下，启发式算法可能无法得到最优解，但对于许多实际问题，启发式算法可以提供足够好的解决方案，并且计算效率较高。
解决0—1背包问题的启发式算法【摘要】本文给出了背包问题基于0/1规划的数学模型，提出了这类问题的一种基于贪婪算法的启发式近似算法，通过寻找尽可能大的可行解和尽可能小的上界，从而求出近似最优解，该算法的优点是可以给出计算误差，算法的最坏性能比是2，并通过编程计算证明该算法具有良好的性能。
【关键词】0-1背包；贪心算法；启发式算法0 引言0-1背包问题（0-1 knapsack problem）是一个经典的NP-完全问题，在现实生活中具有广泛的应用，如物流公司的货物发配，集装箱的装运，资金运算，存储分配等问题，并且还常常作为其他问题的子问题加以研究。
背包问题实际是指从多种物品中选择几件物品装满背包，要在不超过背包承重量的前提下，使装入背包的价值最大。
解决0-1背包问题的方法可以分为最优算法和启发式算法。
最优算法包括穷举法、动态规划算法、递归算法等，可以找到最优解但只适用于小规模问题；启发式算法包括贪心算法[1]、遗传算法[2]等，一般用于求解较大规模问题。
贪心算法具有良好的爬坡能力，但只能搜索一个局部最优解。
遗传算法只能反映种群之间的优劣关系，无法判断最终结果与全局最优解的相似程度，这影响了所求结果的可信性。
本文提出了一种启发式算法，通过求上界来判断近似最优解与最优解的相似程度，算法总是选择较有可能出现最优解的那部分可行解，用贪心算法搜索，并排除不可能包含最优解的一部分可行解，因此大大提高了搜索效率。
每个实际的问题对计算时间及计算精度的要求都不一样，一般情况下该算法都可以较快地求出满足计算精度要求的近似最优解，当算法不能在限定的计算时间内找到满足问题要求的近似最优解时，给出一个可行解及计算误差，作为决策参考。
1 背包问题的数学模型背包问题的数学模型实际上是一个0-1规划问题。
假设有n个物件，其重量用wi表示，价值为pi（i= 1，2，…，n），背包的最大容纳重量为c，当物件i 被选入背包时，定义变量xi =1，否则xi = 0。
背包问题算法分析与探究作者：宋世豪来源：《市场周刊·市场版》2018年第03期摘要：计算机作为现代生活的最常用的工具之一，发展虽然不久远，但是组成计算机程序的算法却不计其数，在学习计算机算法的掌握过程中，背包问题算法的学习是很重要的一个算法。
本文从背包问题的本质出发，系统并详细的讨论背包问题的几种算法：遗传算法、动态规划法、分枝界限法，本文对这几个算法的空间复杂度、时间复杂度和正确度等多个方面进行比较，分析它们之间的利弊，知道了每一种算法都有各自的特点和适合的情况。
关键词：背包问题；分支-界限；动态规划；遗传算法一、背包问题的产生在我们生活中，有很多问题的可以利用算法来快速解决，例如物品传输如何能达到最快效率，从而缩短工作时间和使用的经费，这类问题都是背包问题的算法所能解决的。
背包问题有大致有以下的简单解释：有很多物体可放入背包里，使背包装满。
每个物体的价值和重量不一样。
设背包可以装入的最大重量为W，有n个物体可以装入背包里。
第i个物体的重量为Wi，其价值为Pi，又物体i的可以装进背包的部分为xi（o我们用数学的语句来表示就是，要求一个n元向量（x1，x2，x3......xn），使得Σxiwi≤M ；并且o0；Wi>0；pi>0。
同样，我们可以对此类问题进行改变，例如可以规定装入或者不装，没有部分装入的概念，因此x=0/1，这时就变成了0-1背包问题了。
这是最简单的一类背包问题，因为我们不用考虑xi这一变量。
二、算法思想描述及其性能分析（一）经典的算法作为能够解决生活中众多问题，提高办事效率的背包问题算法，各个科学家都提出来许多解决算法，如：分枝界限法等、动态规划法、遗传算法等。
1.分支界限法分支界限法是常用的背包问题解法之一，在20世纪70年代被首次提出来。
分支界限法用到0—1背包问题，解决方法为：（1）把背包中每次的重量和背包的承重进行比较，如果超过了背包的承重，这就去掉这种方法将要放入物体的组合，即抛弃这种方法。
第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。
2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。
4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。
c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。
2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。
01背包限界函数启发式算法1.引言1.1 概述背包问题是一个经典的组合优化问题，它在日常生活中有许多实际应用。
该问题的基本形式是，给定一个固定容量的背包和一组具有各自的重量和价值的物品，我们需要选择一些物品放入背包中，使得放入的物品总重量不超过背包容量，并且所选物品的总价值最大化。
01背包问题是背包问题的一种特殊情况，其中物品只有两种状态，要么被选中放入背包，要么不被选中。
与其他变种相比，01背包问题更加简化和易于实现。
然而，由于01背包问题的组合爆炸性质，即背包物品的选择组合数量随物品数量呈指数级增长，直接使用穷举法来解决会变得非常低效。
因此，研究者们一直在努力寻找高效的解决算法。
本文将详细介绍一种称为限界函数启发式算法的方法，该方法通过引入启发式的限界函数来在搜索过程中剪枝，从而减少搜索空间并提高算法效率。
限界函数是基于当前已选物品和其余物品的重量和价值计算出的，可以用来估计在当前状态下能够达到的最大价值上界。
通过动态地更新限界函数值，并根据其与当前最优解的关系来进行剪枝决策，限界函数启发式算法能够在不枚举所有可能情况的情况下找到一个接近最优解的解。
本文的结构如下：首先介绍背包问题的概念和背包问题的基本形式，然后详细说明01背包问题的定义和特点。
接下来，我们将引入限界函数启发式算法的核心思想，并详细介绍算法的具体步骤和实现细节。
最后，我们将对算法的效果进行评估，并提出一些可以优化算法的方向。
通过阅读本文，读者将能够深入理解01背包问题和限界函数启发式算法的原理和应用，并能够在实际问题中灵活运用这一算法来求解背包问题。
文章结构部分的内容可以包括本文的章节组成和各章节主要内容的简要介绍。
以下是一个示例："1.2 文章结构"本文共分为三个部分，即引言、正文和结论。
每个部分的主要内容如下：1. 引言部分包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将对本文要讨论的问题进行简要介绍，包括背包问题和启发式算法的相关知识背景。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
科教之窗
启发式算法求解背包问题研究
黄林峰
（淄博职业学院 信息工程系，山东 淄博 255314）
摘 要：背包问题自提出以来引起学者广泛研究，积累了许多优秀求解算法。
精确求解算法主要有动态规划法，分枝限界法。
这些
算法能精确得到问题的解。
但是由于这类算法的时间复杂度通常都是问题规模的指数级，因此当问题的规模变大时，这些算法花
费的时间让人无法忍受。
针对这种现象，研究者提出了启发式的方法。
求解背包问题的启发式算法非常多，本文主要介绍两种典型
的确定性启发算法来求解背包问题。
关键词：背包问题；启发式算法；贪心法；动态规划
1 启发式算法
启发式是这样一种技术：它在能接受的时间下寻找问题的最优解，但不保证解的最优性，甚至有些时候无法说明找到的解和最优解的近似程度。
即便如此，它在解决问题仍然很有优势，因为：（1）许多模型的构造是近似的；（2）有些难的问题无法用精确算法求解；（3）有时候计算时间比结果更重要。
启发式算法可分为确定性启发算法和不确定启发算法。
确定性启发算法是多同个问题求解多次结果不变的算法，这类算法没有随机性，对同一问题的多次求解是完全一样的。
这类算法包括贪心法，基于动态规划的启发式方法等传统启发式算法。
2 贪心法
贪心法（Greedy algorithms）是采用与问题相关的贪心准则，每次调用贪心准则都会作出一个不可撤销的决策，这些决策序列组成问题的解。
对KP问题，一直沿用的贪心准则为价值重量比（伪有效值，pseudo-utility），该值越大，表示该问题消耗单位资源创造的价值越大，越应优先装入。
对MKP，通常会采用相似的操作，只不过计算伪有效值时采用不同的方式。
几乎所有启发式算法都会有这个过程，这个过程也被称为算法的预处理过程。
上述为传统的贪心算法，主要时间用在对伪有效值排序上。
该算法不能保证得到算法的近似程度。
例如对下面的问题，贪心算法的近似度可以无穷趋于1。
如果将贪心策略作为一个子过程，在背包问题的一个子问题上调用贪心策略一般会得到较好的理论近似界。
ε-APPROX产生的解的近似程度为ε=1/K，K为要求的精度的倒数。
算法用了一种枚举加贪心的方式来搜索最优解。
算法先按单位消耗产生的价值非增序排列。
对所有小于或等于K个物品的组合，装入这K个物品的，然后用贪心策略装剩下的物品，选择总价值最大的一组作为最优解。
该算法能达到预定的近似度主要在枚举这个阶段。
对于任意K，算法都会枚举出所有小于等于K个物品的组合来。
如果最优解中选择装入的物品数目小于等于K，则毫无疑问，上述枚举操作一定会找到这个最优解。
如果最优解中选择装入的物品数目大于K，前K个物品创造的价值精度达到ε=1/K。
3 基于动态规划的启发式方法
动态规划解背包问题通常时间复杂度很高，实际运用很少，但它有很高的理论价值，很多近似算法通过动态规划得到问题的较好近似度。
动态规划是一种隐枚举，它会枚举出问题的所有可行解，并在其中找到目标值最优的一个。
在文献［1］中提出了基于动态规划的启发式方法，这两个算法都是将原问题分割成离散的段，在每
列宽的设置等。
学生通过小组讨论、观看微课等活动来完成课程表框架的制作，练习表格插入、斜线表头绘制、单元格操作和表格美化。
教师展示学生提交的部分班级课表进行点评，归纳总结作品制作过程及注意事项，指出学生模仿过程中可能出错和已经出错的知识点，并进行重点评析，强化记忆。
组织学生对作品进行相互评价，要求学生从表格框架、表格美化等不同角度发表自己的看法。
5 教学反思
进行信息化教学设计时，要通过对教学效果的评定来评价信息化教学的设计方案，找出其中的成功与
不足之处，从而进一步对信息化教学设计的各个环节进行修正和完善。
表格制作采用问题引导及自我探究学习方法，引导学生一步步去思考、探索，并通过将动画、视频、课件等信息化技术引入教学，突破了传统教学的局限，更生动直观地展示教学内容，突破教学重点和难点，激发了学生的学习热情，培养了自主学习能力。
参考文献：
［1］张一春.信息化教学技术与方法［M］. 北京：高等教育出版社，2014.
［2］景亚琴.信息化教学［M］. 北京：国防工业出版社2014.
科教之窗
段上决策以降低搜索空间，过程如下，
以价值为索引，将可以达到的价值V分成N份，以后的每次更新操作都在这N份索引上操作，这使得问题的搜索空间变成原来的1/N。
分割有几种选择，（1）均匀分割，即每个索引对应的价值区间是同样大的，记为VS，此时问题规模变为原来的1/VS；（2）指数分割，即相邻两个索引对应的价值区间相差一个引子（1+ε）；（3）其他分割。
文献［1］中提出的算法基于方案1中的均匀分割的思想。
该算法是快速近似算法（Fast Approximate），能够达到任意要求的精度ε。
算法开始也会对数据预处理，使物品按单位消耗创造的价值排序，然后用贪心计算出伪价值上界。
对每个物品，如果其价值达不到设置的基准，则不装入，放入Small队列；对于达到的物品，用动态规划选择装入。
这个基准就是上文中
的V/N。
上述过程结束后，再按贪心策略将Small队列中物品装入，理论上能达到任意精度ε。
文献［2］中提出的算法基于方案1中的指数分割思想，不过该算法用来求解多目标单约束的背包问题（Multiobjective Knapsack Problem）。
在各个目标函数分别求解后，再反复迭代以找到组合目标函数的最优解。
4 结束语
背包问题是一种典型的NP问题，在现实中有着广泛的应用。
针对背包问题有多种算法求解，本文介绍了几种典型的确定性启发式算法，对研究背包问题的求解有着重要的实际意义。
参考文献：
［1］O.Ibarra and C.Kim,“Fast approximation algorithms for the knapsack and sum of subset problems”,J.ACM,vol.22,pp.463-468,1975.
［2］J.Puchinger,G.R.Raidl and U.Pferschy,“The core concept for the multidi-mensional knapsack problem”.
高职教育可持续发展的探讨
梅建安
（江西财经职业学院，江西 九江 332000）
摘 要：高职教育在现代教育中有着不可忽视极其重要的地位，它的发展体现了一个地方乃至一个国家的现代化程度。
高职教育要坚持可持续发展策略，以科学的发展观为指导，大力推进，以人为本，健全机制，创新模式，为国家社会培养造就出大量高素质人才，实现国家社会经济整体的可持续发展。
本文对高职教育可持续发展存在的问题和促进发展进行了探讨。
关键词：高职教育；可持续发展；科学发展
1 高职教育的现状及重要性
自改革开放以来，我国高职教育经过不断发展而逐步完善，渐渐走向成熟。
高职教育规模也大幅度扩张、蓬勃发展，为适应高职院校大幅度扩张后高职教育工作的需求，添置大量教学硬件设备、科研仪器设备。
高职教育办学规模与高等教育平分秋色，高职教育的发展促进了我国高职教育走向大众化的局面，基本满足了社会公众接受高等教育的迫切需求，满足了社会各界服务人才的渴望。
国家明确地指导高职院校办学思想，要坚持以就业为方向、突出专业性、走生产服务与科学知识研究相结合的人才培养目标，逐渐落实到高职教学的每个环节中。
现如今高职院校数量上来了，那么质也是需要明确保证的，质量是立学之本这个意识依然要保持，以工学相结合为入口点，专业课程建设、高职教育教学内容和方法改革等各方面进行探索创新，加强建设、强化特色、提高质量是保证高职教育可持续发展的主要措施。
2 高职教育发展的问题及促进措施
我国高职教育经历了几十年的发展过程，取得了很大的进步，但是，高职教育在高等教育发展中依然处于弱势。
高职教育在长期发展进程中，必然也带出了各种问题，有问题就得解决，不然不但会影响到高职学校的发展，也会阻碍高职教育可持续发展的路线。
2.1 高职教育观念改革
由于现代高职教育的特点还没有深入人心，很多人仍旧持有轻视高职教育的观念，观念的改变是高职教育改革的前提。
高职教育应从内容及方法中着手，重点突出基础性、普遍接受性高、实践性强的内容，来达到改变人们对高职教育的观念态度，从而让高职教育走出去的人成为受社会欢迎的人才。
高职教育改革内容方法必须以坚持高职教育的可持续发展为中心，为国家社会贡献有用人才。
社会公众之所以对高职教育有轻视的看法，其根本还是高职教育本身存在问题，首先高职教育体制要完善，培养定位要明确，高职教育的核心理念是为社会提供适应各种岗位需求的技能型人才，教学相应也就更看重技术及实践能力的培养。
有一部分高职教育院校照搬普通高校的做法，学科教学一大堆，科技实践被忽视，这完全是本末。
