含参量积分的分析性质及其应用

含参量积分的分析性质及其应用

班级：11数学与应用数学一班

成绩：

日期：2012年11月5日

含参量积分的分析性质及其应用

1. 含参量正常积分的分析性质及应用

1.1含参量正常积分的连续性

定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数

()x ?=?d

c

dy y x f ),(在[a,b]上连续.

例1 设

)sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积

分?=10

),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续.

解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1.

-1,x

则?==1

01)(dx y F .当10≤≤y 时, f(x,y)= 0,x=y,

1,x>y

则??-=+-=y

y

y dx dx y F 0

1

.21)1()(

1, y<0

当y>1时, f(x,y)=-1,则?-=-=1

01)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0

-1 y>1

又因).1(1)(lim ),0(1lim 1

F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)

在),(+∞-∞上连续.

例2 求下列极限：（1）dx a x ?

-→+1

1

220lim α; (2)?→2

20cos lim xdx x αα.

解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ?

-+11

22在[-1,1]上连续.则

???

--→-→==+=+1

1

22110

1

1

2201lim lim dx x dx a x dx a x αα.

（2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2

,2[]2,0[π

π-

?=R 上连续,由连续

性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3

8cos lim 202022

0==??→dx x axdx x α

例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ?

+1

2

2)

(的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正

的连续函数.

解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数

2

2)

(y

x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在

区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因

dx y

x x yf dx y x x yf y F ??

+-=+-=-10221

22)()

()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0.

y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221

22=+-≥+=??

,从而04

)(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞ 上连续,在y=0处不连续.

定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ?

)

()

(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连

续.

例4 求?

+→++α

α

αα

12201lim

x dx

.

解 记?

+++α

ααα1221)(x dx I .由于2

211

,

1,ααα+++x 都是α和x 的连续函数,由定理2知)(αI 在0=α处连续,所以4

1)0()(lim 1020π

αα=

+==?→x dx I I . 例5 证明函数dx e y F y x ?-∞

--=0

)(2

)(在),(+∞-∞上连续.

证明 对),(+∞-∞∈?y ,令x-y=t,可推得

?????∞

+-∞

+-----∞

+--+

=+===0

)(2

)(2

2

2

2

2

y

y

t t t t y x dt e dt e dt e dt e dx e y F π

.

对于含多量正常积分?--0

2

y

t dt e ,由连续性定理可得?--0

2

y

t dt e 在),(+∞-∞上连续,则

dx e y F y x ?+∞

--=0

)(2

)(在),(+∞-∞上连续.

1.2含参量正常积分的可微性

定理3 若函数f ()y x ,与其偏导数x

??

f ()y x ,都在矩形区域R=[a,b]*[c,d]上连续,则()x ?=dy y x f d c

?

),(在[a,b]上可微,且dy y x f x dy y x f dx d d c d

c

),(),(????=.

定理4 设f ()y x ,,x f ()y x ,在R=[a,b]*[p,q]上连续,c ()x ,d ()x 为定义在[a,b]上其值含于[p,q]內的可微函数,则函数F ()x =?

)()

(),(x d x c dy y x f 在[a,b]上可微,且

).())(,()())(,(),()('')

()

('

x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x -+=?

定理5 若函数f ()y x ,及x f ()y x ,都在[a,b;c,d]上连续,同时在[c,d]上)('y a 及

)('y b 皆存在,并且a ≤a(y)≤b,a ≤b(y)≤b (c ≤y ≤d),则

??-+==)()('')

()('

)(]),([)(]),([),(),()(y b y a y y b y a y a y y a f y b y y b f dx y x f dx y x f dy d y F . 证明 考虑函数F(y)在[c,d]上任何一点处得导数,由于

)()()(),(),(),()(3)

()

(21)

()

()

()

(000y F y F y F dx y x f dx y x f dx y x f y F y a y a y b y b y b y a o -+=-+=?

?

?

.

现在分别考虑)3,2,1)((=i y F i 在点0y 处得导数.由定理5可得

?

=)

()

(00'

1

00),()(y b y a y dx y x f y F .

由于0)(02=y F ,所以

dx y y y x f y y y F y y y F y F y F y b y b y y y y o y y o

?-=-=--=→→→)()(0

020220;'2000),(lim )

(lim )()(lim

)(.

应用积分中值定理),()

()(lim

)(0

00'20y f y y y b y b y F y y ξ?--=→.这里ξ在)(y b 和)(0y b 之间.

再注意到f ()y x ,的连续性及b(y)的可微性,于是得到

]),([)()(000'0'2y y b f y b y F =.

同样可以证明

]),([)()(000'0'3y y a f y a y F =

于是定理得证.

例6 设,sin )(2dx x

yx

y F y y

?

=求)('y F . 解 应用定理5有

y y y

y y yxdx y F y y

2

23'

sin 1sin 2cos )(2

?-?+=?

y

y y y y

yx

y y

23sin sin 2sin 2

-+=

y

y y 2

3sin 2sin 3-=.

例7 设)(x f 在0=x 的某个邻域U 上连续,验证当U x ∈时,函数

dt t f t x n x n x )()()!1(1

)(10

-?--=? （1）

的n 阶导数存在,且).()()(x f x n =?

解 由于（1）中被积函数)()(),(1t f t x t x F n --=及其偏导数),(t x F x 在U 上连续,于是由定理4可得

?----+---=

x n n x f x x n dt t f t x n n x 012')()()!

1(1)())(1()!1(1)(?

?---=x n dt t f t x n 02.)()()!

2(1 同理

?----+---=

x n n x f x x n dt t x n n x 013'')()()!1(1))(2()!2(1)(? ?---=

x n dt t f t x n 0

3.)()()!3(1

如此继续下去,求得k 阶导数为

?-----=

x k n k dt t f t x k n x 01)(.)()()!

1(1)(? 特别当1-=n k 时有

?=-x

n dt t f x 0

)1(,)()(?

于是).()()(x f x n =?

例8 计算积分.1)1ln(1

2dx x

x I ?++=.

解 考虑含参量积分

.1)

1ln()(1

02dx x

x ?

++=αα? 显然,)1(,0)0(I ==??且函数21)

1ln(x

x ++α在R=[0,1]?[0,1]上满足定理3的条件,

于是

?

++=1

02'.)

1)(1()(dx x x x

αα?.

因为

),11(11)1)(1(22

2x x

x x x x αα

ααα+-+++=++ 所以

)('α?)111(11101010222???+-++++=

dx x dx x

x dx x αα

αα

])1ln()1ln(21arctan [111

0102102

x x x ααα

+-+++= )].1ln(2ln 21

4[112

απαα+-+?+=

因此

?1

0'

)(αα?d ?+-++=1

02

)]1ln(2ln 21

4

[11αααπαd )

1(arctan 2ln 2

1

)1ln(810102?ααπ-++= )1(2ln 8

2ln 8?ππ-+=

)1(2ln 4

?π-=.

另一方面

?=-=1

0'

),1()0()1()(???αα?d 所以

.2ln 8

)1(π

?=

=I

1.3含参量正常积分的可积性

定理6 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则()x ?和()x ψ分别在

[]b a ,和[]d c ,上可积.其中()x ?=()?d c y x f ,dy,x ∈[]b a ,,()x ψ=()?b

a y x f ,dy.

这就是说：在f ()y x ,连续性假设下,同时存在求积顺序不同的积分：

()dx dy y x f b

a d c ????

????,与

()dy dx y x f d

c

b a ?

???

????,,简便记为

()dy y x f dx b

a

d

c

?

?,与

()dx y x f dy d

c

b

a

?

?,,前者表示f ()y x ,先对y 求积然后对x 求积,后者则表示先对x 求

积再对y 求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.

由可积性的定理进一步指出,在f ()y x ,连续性假设下,累次积分与求积顺序无关,即若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,则

()dy y x f dx b a

d c

??,=()dx y x f dy d

c

b

a

?

?,.

定理7 若f ()y x ,在矩形区域R=[]b a ,×[]d c ,上连续,g ()x 在[]b a ,上可积,则作

为y 的函数()()dx x g y x f b

a

?,在[]d c ,上连续,且

()()dy y x f dx x g d cc

b a

??,=()()dx x g y x f dy d

c

b

a

?

?,.

注意 推论中闭区间[]d c ,可以换成开区间或无穷区间,因为可积性定理是由连续性推得的,连续性是局部性质.

例9 求I=dx x

x x a

b ?-1

ln （b>a>0）. 解 由x

x x dy x a

b b

a

y

ln -=

?

得I=dx dy x b a y ????

? ??1

0=??10b a y dy x dx ,因为()y x y x f =,在矩形区域[][]b a ,1,0?上连续,由定理可得I=dx x dy b a

y ??1

=dy y b

a ?

+11

=ln a

b ++11. 例10 试求累次积分()

dy y

x

y x dx ??+-101

2

22

2

2与()

??

+-10

1

2

22

2

2dx y

x

y x dy ,并指出它们为什么

与定理的结果不符.

解：()

dy y

x

y x dx ??+-101022

22

2=

()dx dy y x y x ?????

?????++1

0102

2222=(

)(

)

dx y x y x d y y x dy ??????

?

????++-+1010102222

222

=dx y x yd y x dy ??

??????

?+++101

01022221=dx x ?+10211=0arctan 1arctan -=4π. ()

??+-1

1

22

2

2

2dx y

x

y x dy =()

dx x y x y dy ??+--1

01

2

22

2

2,由()

dy y x

y x dx ??+-10

1

2

2

2

2

2=4

π

,同理可得()

dx x y

x y dy ??+-10

1

2

2

2

2

2=

4π,所以()??+-10102222

2dx y x y x dy =–4

π.

即()

dy y

x

y x dx

??+-101

02

2

2

2

2≠()

??+-10

1

2

22

2

2dx y

x

y x dy ,这与定理不符.

因为()()

()

2

22

2

20,0,lim

y

x

y x y x +-→=

()()

()

2

2

2

2

220,0,2lim

y x

y y x y x +-+→=

()()()???

?????+-+→22222

20,0,21lim y x y y x y x 不存

在,

所以()()

2

22

2

2,y

x

y x y x f +-=

在点()0,0处极限不存在,即在矩形区域[][]1,01,0?上不连

续,不满足定理的条件.

第十九章 含参量正常积分.

第十九章 含参量正常积分 §19.1 含参量正常积分 教学要求： (1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念 定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上有定义，且对],[b a 内每一点 x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的 函数 ?=d c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1） 设二元函数),(y x f 在区域 }),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义， 函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2） 称()(,)d c I x f x y dy =?和() () ()(,)d x c x F x f x y dy =?为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。 类似可定义含参量y 的正常积分． 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 . 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

含参量积分汇总

第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有

4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求

10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是,

4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证：

不定积分的性质和基本积分公式

第一节 不定积分的性质和基本积分公式 教学目的：使学生掌握原函数与不定积分的性质; 基本积分公式. 教学重点：基本积分公式的推导及应用. 教学过程： 一、不定积分的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即 ???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 这是因为, ])([])([])()(['+'='+????dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ). 性质2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来 即 ??=dx x f k dx x kf )()((k 是常数 k ≠0) 例1. ?? -=-dx x x dx x x )5()5(2 1 2 52 ? ?-=dx x dx x 21255? ? -=dx x dx x 21255 C x x +? -=23 2 7 3 257 2 例2 dx x x x dx x x x x dx x x )133(133)1(22 2323 -+-=-+-=-??? C x x x x dx x dx x dx dx x +++-=-+-=? ???1 ||ln 3321113322 例3 ???-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3 例4 C e C e e dx e dx e x x x x x x ++= +==??2 ln 12) 2ln()2()2(2 例5 dx x x dx x x x x dx x x x x )1 11( ) 1()1() 1(122222 ++=+++=+++?? ? C x x dx x dx x ++=++=??||ln arctan 1 112 . 例 6 dx x x x dx x x dx x x ???++-+=++-=+2 22242411)1)(1(11 11 ????++-=++ -=dx x dx dx x dx x x 2 22 211 )111( C x x x ++-=arctan 3 13 例7 ????-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan

含参量反常积分一致收敛性的判别法资料

含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-

数学分析之含参量积分

第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173

2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:

1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:

含参量积分与欧拉积分

含参量反常积分与欧拉积分 姓名：于赛楠(114942059) 司秀秀(114942004) 胡月月(114942011) 郑素丹(114942026) 田玉方(114942054) 冯娜娜(114942028) 任亚南(114942034) 班级： 11级数学与应用数学一班 成绩： 日期： 2012.11.4

i含参量反常积分与欧拉积分 1.含参量反常积分 1.1含参量积分的定义 定义1设函数定义在无界区域R=｜上，其中为一区间，若对每一个固定的反常积分 (1) 都收敛，则它的值是x在上取值的函数，当记这个函数为 称(1)式为定义在上的含参量的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 定义2 设在区域R=上有定义，若对的某些值,为函数的暇点，则称为含参量的无界函数反常积分，或简称为 含参量反常积分. 1.2含参量反常积分一致收敛的定义及判定 1.2.1一致收敛的定义 定义3 设含参量反常积分与函数（）对任给的正数，总存在某一实数N，使得当时，对一切，都有｜｜，即｜｜，则称含参量反常积分在一致收敛于，或简单的 说含参量积分在上的一致收敛. 定义4 对任给正数，总存在某正数d-c,使得当0时，对一切 ,都有｜｜则称含参量反常积分在上一 致收敛. 1.2.2一致收敛的柯西准则 定理1 含参量反常积分在I上一致收敛的充要条件是：对于任给的正数，总存在某一实数M c，使得当M 时，对一切x I，都有 ｜｜< . 证明必要性 若在上一致收敛，则任意存在存在 及有,因此，任意N,

充分性若任意，存在任意 ｜｜ 则令，得,这就证明了在上 一致收敛. 例 1 假设在[,=内成立不等式 , 若, 在上一致收敛, 证明在上一 致收敛且绝对收敛. 证明因为在上一致收敛,根据一致收敛的柯准则可 知对总存在某一实数使得当对一切有， ｜｜= 而｜｜｜｜, 在上收敛，即在上绝对收敛 在上一致收敛. 综上在上一致收敛，且绝对收敛. 1.2.3一致收敛的充要条件 定理1含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的 递增数列{}(其中=c),函数项级数 在上一致收敛. 例2 设为上连续非负函数在

含参量积分的分析性质及其应用

含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班 成绩： 日期：2012年11月5日

含参量积分的分析性质及其应用 1. 含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1 若二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上连续,则函数 ()x ?=?d c dy y x f ),(在[a,b]上连续. 例1 设 )sgn(),(y x y x f -=（这个函数在x=y 时不连续）,试证由含量积 分?=10 ),()(dx y x f y F 所确定的函数在),(-∞+∞ 上连续. 解 因为10≤≤x ,所以当y<0时,x-y>0,则sgn(x-y)=1,即f(x,y)=1. -1,xy 则??-=+-=y y y dx dx y F 0 1 .21)1()( 1, y<0 当y>1时, f(x,y)=-1,则?-=-=1 01)1()(dx y F ,即F(x)= 1-2y,0≤y<0 -1 y>1 又因).1(1)(lim ),0(1lim 1 F y F F y y =-===→→F(y)在y=0与y=1处均连续,因而F(y)在

),(+∞-∞上连续. 例2 求下列极限：（1）dx a x ? -→+1 1 220lim α; (2)?→2 20cos lim xdx x αα. 解 （1）因为二元函数22α+x 在矩形域R=[-1,1]?[-1.1]上连续,则由连续性定理得dx a x ? -+11 22在[-1,1]上连续.则 ??? --→-→==+=+1 1 22110 1 1 2201lim lim dx x dx a x dx a x αα. （2）因为二元函数ax x cos 2在矩形域]2 ,2[]2,0[π π- ?=R 上连续,由连续 性定理得,函数?202cos axdx x 在]2,2[ππ-上连续.则.3 8cos lim 202022 0==??→dx x axdx x α 例3 研究函数=)(x F dx y x x yf ? +1 2 2) (的连续性,其中f （x ）在闭区间[0,1]上是正 的连续函数. 解 对任意00>y ,取0>δ,使00>-δy ,于是被积函数 2 2) (y x x yf +在],[]1,0[00δδ+-?=y y R 上连续,根据含参量正常积分的连续性定理,则F （y ）在 区间],[00δδ+-y y 上连续,由0y 的任意性知,F （y ）在),0(+∞上连续.又因 dx y x x yf dx y x x yf y F ?? +-=+-=-10221 22)() ()(,则F （y ）在)0,(-∞上连续.当y=0处0)(0=y F .由于)(x f 为[0,1]上的正值连续函数,则存在最小值m>0. y m dx y x my dx y x x yf y F 1arctan )()(10221 22=+-≥+=?? ,从而04 )(lim 0>≥+→πm y F y ,但 F(y)在y=0处不连续,所以F （y ）在),0(),(+∞+∞-∞Y 上连续,在y=0处不连续. 定理2 设二元函数f(x,y)在区域G={(x,y)|b x a x d y x c ≤≤≤≤),()(}上连续,其中c(x),d(x)为[a,b]上的连续函数,则函数 F(x,y)= ? ) () (),(x d x c dy y x f 在[a,b]上连续. 例4 求? +→++α α αα 12201lim x dx .

浅析反常积分与定积分的定义与性质

浅析反常积分与定积分的定义与性质 浅析反常积分与定积分的定义与性质 浅析反常积分与定积分的定义与性质 刘汉兵1，刘树兵2 （1.中国地质大学（武汉）数理学院，湖北武汉430074；2.湖北省鄂州市第二中学，湖北鄂州436001） 摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。 关键词：反常积分与定积分；性质差异；定义 作者简介：刘汉兵（1985-），男（汉族），湖北鄂州人，博士，讲师，研究方向：微分方程的最优控制理论；刘树兵（1982-），男（汉族），湖北鄂州人，本科，高中教师，研究方向：数学教学教育。 积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的积分，应该具备反常积分所具备的性质。但

是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。 一、无穷积分与定积分的定义与性质 我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。 这显然是不合情理的，因为无穷积分是定积分的推广，定积分是更为特殊的积分。仔细分析会发现，上述两个命题中第二个命题即为定理2的结论，是真命题，而命题一看似定理1的结论，但是它与定理1的描述相比，去掉了一个非常重要的条件：“f在任何有限区间[a，u]上可积”，所以命题一是错误的。实际上，我们上述定义的函数E（x）可以更直接的说明命题一是不对从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f（x）在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。

定积分与不定积分及其性质应用例题解析

§4 定积分的性质 教学目的与要求： 1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法. 2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点： 1. 定积分的性质极其证明方法. 2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容： 一 定积分的基本性质 性质1 若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且 ()()b b kf x dx k f x dx a a =??. （1） 证 当k=0时结纶显然成立. 当k 0≠时,由于 ()()1 1 .,n n i i i i i i kf x kJ k f x J ξξ==?-=?-∑∑ 其中J= (),χχd f a b ?因此当 f 在[a,b]上可积时,由定义,任给 0,0,, T εδδ>><存在当时 ()1 ,n i i i f x J k ε ξ=?-< ∑ 从而 ()1 .n i i i kf x kJ ξε=?-<∑ 即kf 在［a,b ］上可积，且 ()().b b kf x dx kJ k f x dx a a ==?? 性质２ 若f ﹑g 都在［a,b ］可积，则f g ±在［a,b ］上也可积，且 ()()()().b b b f x g x dx f x dx g x dx a a a β±=±??????? （2） 证明与性质１类同。 注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为

()()()(),b b b a f x g x d x a f x d x g x d x a a a ββ+=+? ??? ??? 其中a ﹑β为常数。 注2 在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则 另外一个在[a,b]上可积. 在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个 在[a,b]上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积. 性质３ 若f ﹑g 都在［a,b ］上可积，则f ·g 在［a,b ］上也可积。 证 由f 、g 都在［a,b ］上可积，从而都有界，设 Ａ＝[] (),,sup a b f x χ∈ Ｂ[] (),,sup a b g x χ∈= 且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f 、g 中至少有一个恒为零值函数，于是f 、g 亦为零值函数，结论显然成立）。 任给0,ε>由f 、g 可积，必分别存在分割'T 、"T ，使得 ' ,2f i i T x B ε ω?< ∑ " .2g i i T x A ε ω ?< ∑ 令"'T T T +=（表示把T '、T ''的所有分割点合并而成的一个新的分割T ）。对于[a,b]上T 所属的每一个i ?，有 ()()()()χχχχωχχ''''-''= ?∈''''g f g f i g f sup ,. ()()()()()(),'sup i g f f f g g χχχχχχχχ'''∈???''''''''≤ ?-+-?? .g i f i A B ωω+≤ 利用§3习题第1题，可知 .f g f g i i i i i T T A B A ωχωχωχ?≤?+?∑∑∑ ' f g i i i i T T B A ωχωχ'' ≤?+?∑∑ ,22B A B A ε ε ε

第十八章 含参量积分

第十八章 含参量积分 第一节 含参量正常积分 从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题，首先研究含参量积分.设()y x f ,是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数.当x 取[]b a ,上某定值时，函数()y x f ,则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时()y x f ,在[]d c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为()x I ，就有 ()()[].,,,?=d c b a x dy y x f x I （1） 一般地，设()y x f ,为定义在区域()()(){}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=,|,上的二元函数，其中()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上的连续函数（图18-1），若对于[]b a ,上每一固定的 x 值，()y x f ,作为y 的函数在闭区间()[()]x d x c ,上可积分，则其积分值是x 在[]b a ,上取值 的函数，记作)(x F 时，就有 )(x F ()()() [].,,, b a x dy y x f x d x c ∈=? （2） 图18-1 用积分形式所定义的这两个函数（1）与（2），通常为定义在[]b a ,上的含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分. 下面讨论含参量积分的连续性、可微性与可积性. 定理18-1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则函数 ()()dy y x f d c ?=,x I 在[]b a ,上连续.

证 设[]b a x ,∈，对充分小的x ?，有[]b a x x ,∈?+（若x 为区间的端点，则仅考虑（0>?x 或0

不定积分概念及其基本运算性质

备课本 Lesson Preparation ______--______学年第____学期 Academic Year - Semester 课程名称_______________________ Course 教材名称及版本_______________________ T extbook and Edition 授课班级_______________________ Class 教师姓名_______________________ Teacher 审核人_______________________ Approver

填写说明 1、此备课本用来书写教案，适用于所有专职教师、兼职教师和兼课教师。 2、所有承担教学任务的教师需书写纸质版教案，如因使用多媒体教学需要和教学任务繁重，可用电子版教案，但格式必须按纸质版格式，且所有教案的书写应与学期授课计划相符合。 3、备课过程中的各个环节和要素可根据实际授课内容进行填写。如： 授课课题：（教学章、节、标题或项目名称） 教学目标和要求：（教学目标一般说应包含知识教学、能力发展和思想教育三方面内容，教学要求是指识记、理解、简单应用、综合应用等层次） 教学重点和难点：教学重点，是为了达到确定的教学目的而必须着重讲解和分析的内容；教学难点，是就学生的接受情况而言的，学生经过自学还不能理解或理解有困难的地方，即可确定为教学难点。 教学方法：（讨论、启发、演示、辩论、讲练结合、案例教学、情境模拟等） 教学手段：（多媒体教学、录像带、挂图、幻灯片等） 授课时间：第周 课时累计： 教学过程：（体现教学步骤，包括时间分配和教学内容教学进程）作业布置：（含思考题、讨论题） 课后反思：（因为课后反思是教案实施效果追记，课前还不能打印，只能课后用笔手写） 4、备课本的审核人为各教研室（项目中心）主任。

含参量积分一致收敛及其应用

1 引言 无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分. 广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要. 1. 含参量的广义积分 和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。 1.1无穷限广义积分的定义 定义1：设),(y x f 为定义在[)I a D ?+∞=,（I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如dx y x f a ? +∞),(的积分称为含参变量y 的广义积分。 从定义形式决定研究内容： 广义积分是否存在-----收敛性问题 与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。 1.1.2 含参量广义积分的收敛和一致收敛。 定义2：设),(y x f 定义在[)I a D ?+∞=,，若对某个I y ∈0，广义积分dx y x f a ?+∞),(0在0y 点收敛，则称含参量广义积分dx y x f c ?+∞),(在0y 点收敛；若dx y x f c ? +∞ ),(在I 中每 一点都收敛，称含参量广义积分dx y x f a ?+∞),(在I 上收敛. “δε-”定义： dx y x f a ? +∞ ),(在I 上收敛是指：对每个I y ∈，a y A >?>?),(,00εε，使当 0,A A A >'时， ε

第十讲含参变量的积分

第十讲含参变量的积分 10 . 1 含参变量积分的基本概念 含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义 设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,?=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈． ()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数 ()()[]b a x dy y x f x I d c ,,,∈=? 为含参量二的正常积分． 一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称 ()()() () []b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=? 为含参量x 的正常积分． 同样可定义含参量 y 的积分为 ()()[]d c y dx y x f y J b a ,,,∈=?或()()() () []d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=? 2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述） ( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈?，()()( ) () ?= →000 ,lim 0x d x c x x dy y x f x I ( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有 ()()()? ????==b a b a d c b a d c dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， · ( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()() ()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x c x ' ' ' ,,,-+= ?· 以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略， 例10. l 求积分?>>-? ?? ??1 0,ln 1ln sin a b dx x x x x a b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()?>>-? ? ? ??=1 00,ln 1ln sin a b dx x x x x b I a b ，

不定积分的概念与性质

§4.1 不定积分的概念与性质 阶段练习题(A) 一、选择题 1.下列等式中正确的是( ). (A)d( ()d )()f x x f x =?; (B)d [d ()]()d d f x f x x x =?; (C)d ()()f x f x =?; (D)()d ()f x x f x C '=+?. 2.设函数 (),x f x a =()(0,1)ln x a g x a a a =>≠,则( ). (A) ()g x 是()f x 的不定积分; (B)()g x 是()f x 的导数; (C) ()f x 是()g x 的原函数; (D)()g x 是()f x 的原函数. 3. ()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( ). (A) 1x ; (B) ln x x x C -+; (C)2 1x - ; (D)x e . 二、填空题 1. ( 5 sin d )x x x '=? . 2.d(arctan )x =? . 3. ()f x 的原函数是2ln ,x 则3()d x f x x '=? . 4.设 21(),cos f x x = 则()d f x x '=? ,d ()d d f x x x =? ,()d f x x =? . 5.设 ()d ,x x f x x xe e C =-+?则()d f x x '=? . 6.设()f x 的一个原函数为1 ,x 则()f x '= . 7.过点(0,1)且在横坐标为 x 的点处的切线斜率为3x 的曲线方程为 . 8.设 22(cos )sin ,f x x '=且(0)0,f =则()f x = . 9.21 ( 1)dcos cos x x -=? . 三、解答题 求下列不定积分: 1. x ; 2.2 1 (1x x - ?; 3.21d 1x x e x e -+?; 4.221d sin cos x x x ?; 5. 327d 3x x x --?; 6.4x ; 7. 221d (1)x x x +?; 8.2sin d 2 x x ?; 9. 2 cot d x x ?; 10.d 1cos 2x x -? ; 11. 22d 1x x x +?; 12.2d x x e x ?.

不定积分 教案示例

不定积分·教案示例 目的要求 1．理解原函数的定义，知道原函数的性质，会求简单函数的原函数． 2．理解不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质，会用定义求简单函数的不定积分． 内容分析 1．不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材是在学生已掌握求导数方法的基础上，研究求原函数或不定积分的．故学好“导数与微分”是学好不定积分的前提，教学时，要与“导数与微分”一章的有关内容进行对照． 2．本节教学重点是原函数和不定积分的概念教学，难点是原函数的求法．突破难点的关键是紧紧扣住原函数的定义，逆用求导公式，实现认知结构的理顺．由于逆运算概念学生并不陌生，因此教学中要充分利用思维定势的积极因素并引入教学．另外，本节切勿提高教学难度，因为随着后续学习的深入，积分方法多，无需直接用定义求不定积分．3．本节教学要始终抓住一条主线：“求导数与求原函数或不定积分(在不计所加任意常数时)互为逆运算”．强调求不定积分时，不要漏写任意常数C；另外，要向学生说明：求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等．指出这点是有益的，一方面使学生会检查得到的不定积分是否正确，另一方面消除学生由于所得不定积分形式的不同而产生的疑问． 4．根据本节知识的抽象性，教学中应充分安排学生进行观察、联想、类比、讨论等课堂活动，使之参与到概念的发现过程，体会知识的形成过程．本着这一原则，本节课宜采用引导发现法进行教学． 教学过程 1．创设情境，引入新课 (1)引例(见解本章头)． 用多媒体显示引例图象，提出问题，激起学生求知欲望，揭示并板书课题． (2)介绍微积分产生的时代背景，弘扬科学的学习态度和钻研精神． 2．尝试探索，建立新知 (1)提出问题：已知某个函数的导数，如何求这个函数？ (2)尝试练习：求满足下列条件的函数F(x)． ①F′(x)＝3x2②F′(x)＝x3 (3)解决问题：上述练习是完成与求导数相反的逆运算．因此，解决问题的方法仍为求导数． (4)形成定义：详见课本“原函数”的定义． 对于原函数的定义，教师应强调下列三点： 第一，F(x)与f(x)是定义在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间． 第二，F(x)是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数． 第三，求原函数(在不计所加常数C的情况下)与求导数互为逆运算． (5)简单应用： 例1 求下列函数的一个原函数． ①f(x)＝3x2②f(x)＝x3

不定积分概念及公式

5．1不定积分的概念 一． 原函数的概念 定义1：设)(x f 是定义在区间上的已知函数，若存在一个函数)(x F 对于该区间上的每一点都有：)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=。则：)(x F 为)(x f 的一个原函数。 例：,3)(23x x ='则：3x 是23x 的一个原函数，另外由于 2323233)3(,3)1(,3)1(x x x x x x ='+='-='+，。。。。。。 即：,3,1,1333+-+x x x 。。。。。。等等也都是23x 的原函数。 即：C x +3（C 常数）全为23x 的原函数。 所以，有下面定理。 定理：一个函数)(x f ，若有一个原函数)(x F ，则必有无穷多个。而这写原函数只相差一个常数。C x F +)(是)(x f 的全体原函数。 例：设x e x cos -是)(x f 的原函数，求：)(x f '。 解：由原函数概念可知，若x e x cos -是)(x f 的原函数 则有 )(sin )cos (x f x e x e x x =+='-， 所以 =')(x f )sin ('+x e x =x e x cos + 二． 不定积分的定义 定义2。设函数)(x F 为函数)(x f 的一个原函数，则)(x f 的全部原函数C x F +)(（C 为任意常数）称为函数)(x f 的不定积分。记

作：?dx x f )(。即：?dx x f )(C x F +=)(。 )(x f ：被积函数，dx x f )(：被积表达式，x ：积分变量，?：积分号，C ：积分常数。 存在原函数的函数为：可积函数。求已知函数的不定积分，只要求出它的一个原函数，再加一个C （任意常数）。 例：求积分dx x ?23 解：233)(x x =' ∴dx x ?23C x +=3 例：求积分?xdx cos 解： x x cos )(sin =' ∴ ?dx cos C x +=sin 例：求积分dx e x ? 解： x x e e =')( ∴ dx e x ?C e x += 例：求积分dx x ?1 解： (x x 1)ln ='，)0(>x )0(,1)1(1])[ln(<=-?-='-x x x x dx x ?1C x +=ln 不定积分?（互逆）求导数。

《含参量积分的分析性质及其应用》

《含参量积分的分析性质及其应用》 含参量积分的分析性质及其应用 班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：xx年11月5日 含参量积分的分析性质及其应用 1.含参量正常积分的分析性质及应用 1.1含参量正常积分的连续性 定理1若二元函数f（x，y）在矩形区域r。[a，b]。[c，d]上连续，则函数 。。x。=。f（x，y）dy在[a，b]上连续. cd例1设f（x，y）。sgn（x。y）（这个函数在x=y时不连续），试证由含量积分f（y）。。10f（x，y）dx所确定的函数在（。。，。。）上连续. 解因为0。x。1，所以当y0，则sgn（x-y）=1，即f（x，y）=1.-1，xy 则f（y）。。（。1）dx。。dx。1。2y. 0yy11，y1时，f（x，y）=-1，则f（y）。。（。1）dx。。1，即f（x）=1-2y，0。y1又因lim。1。f（0），limf（y）。。1。f（1）.f（y）在y=0与y=1处均连续，因而f（y） y。0y。1在（。。，。。）上连续. 例2求下列极限。（1）lim。。0。1。1x。adx;（2）lim。x2cos。xdx. 。。00222解（1）因为二元函数x2。。2在矩形域r=[-1，1]。[-1.1]

上连续，则由 连续性定理得。1。1x2。a2dx在[-1，1]上连续.则 1。。0。1lim。x2。a2dx。。limx2。a2dx。。xdx。 。1。。0。111，]上连续，由连续22222。。822性定理得，函数。xcosaxdx在[。，]上连续.则lim。xcosaxdx。。x2dx。. 00。。00223（2）因为二元函数x2cosax在矩形域r。[0，2]。[。。。例3研究函数f（x）。。正的连续函数. 10yf（x）dx的连续性，其中f（x）在闭区间[0，1]上是 x2。y2解对任意y0。0，取。。0，使y0。。。0，于是被积函数 yf（x）在22x。yr。[0，1]。[y0。。，y0。。]上连续，根据含参量正常积分的连续性定理，则f（y）在区间[y0。。，y0。。]上连续，由y0的任意性知，f（y）在（0，。。）上连续.又因 f（。y）。。1yf（x）。yf（x）dx。。。0x2。y2dx，则f（y）在（。。，0）上连续.当y=0处0x2。y21f（y0）。0.由于f（x）为[0，1]上的正值连续函数，则存在最小值m>0. f（y）。。11myf（x）my1limf（y）。。。0，但，从而dx。。dx。marctan2222。。0y。04yx。yx。y0f（y）在y=0处不连续，所以f（y）在（。。，。。）。（0，。。）上连续，在y=0处不连续. 定理2设二元函数f（x，y）在区域g={（x，y）|c（x）。y。d（x），a。x。b}上连续，其中c（x），d（x）为[a，b]上的连续函数，则函数f（x，y）=。上连续. 1。。d（x）c（x）f（x，y）dy在[a，b]