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不定积分的概念与性质

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不定积分的概念与性质

不定积分的概念与性质

式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求

1dx x
解:
ln x 1
x


1dx x

ln
dx sin 2
x

csc2
xdx


cot
x

C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求

2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx

不定积分的定义和性质

不定积分的定义和性质

2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx

2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:

x 1




1

x

xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
解:

x6 6


x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x

1 1 x2
,


1 1 x2
dx

arctan
x

C.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx

f
(x)dx

f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）

不定积分的概念与性质

不定积分的概念与性质

微积分II Calculus II§6.1 不定积分的概念和性质§6.2 积分基本公式§6.3 换元积分法第六章不定积分§6.4 分部积分法6.1 不定积分的概念和性质一原函数与不定积分原函数1)()(x f x F ='dxx f x dF )()(=设定义在区间上的函数，如果存在函数，使得对区间上的任意点都有)(x f I I )(x F 定义一I )(x f )(x F 则称函数是函数在区间上的一个原函数。

或(sin )cos ,x x '=(sin )x C '+cos ,x =C 其中为任意常数。

sin x cos x 是的一个原函数。

所以因为又因为也是sin x C +cos x 的原函数。

所以例如若函数在某区间上连续，则在该区间上必存在原函数.()f x ()f x 定理一如果函数是函数在某区间上的一个原函数，则（1）对任意常数, 也是函数的原函数.（2）的任意两个原函数之间相差一个常数.C ()F x ()f x ()f x ()F x C +()f x 定理二⎰积分号()f x 被积函数()f x dx 被积表达式x 积分变量若函数在某区间上存在原函数，则原函数的全体称为在该区间上的不定积分.()f x ()f x 不定积分的定义2⎰dx x f )(记为：()f x由不定积分的定义有：()()f x dx F x C =+⎰()()F x f x '=其中，C 为任意常数.解例求⎰dx x 2321()3x x '=因为2313x dx x C =+⎰所以求1dx x ⎰1ln ,0dx x C xx =+≠⎰因为1(ln)'=x x C 为任意常数.所以解例不定积分表示的是一族函数，从几何上看，代表一族曲线，称为积分曲线族。

曲线(),(y F x C C =+为任意常数)在的切线的斜率为)(0x f '不定积分的几何意义200(,)x y 0=x x设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.()f x ()y f x =2dyx dx =()2f x x'=即，由题意知2x C=+2xdx =⎰又曲线通过点（1，2），得1C =2()1f x x =+此曲线的方程为21y x =+设所求曲线方程为：o xy 1221y x =+[()]()f x dx f x '=⎰()()d f x dx f x dx =⎰()()F x dx F x C '=+⎰()()dF x F x C =+⎰求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.二不定积分的性质性质一[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx±=±⎰⎰⎰两个函数代数和的不定积分等于它们各自不定积分的代数和.()()(0)kf x dx k f x dx k =≠⎰⎰求不定积分时，被积函数中的非零常数可以提到积分号外面.三小结与思考本次课学习了原函数，不定积分的定义，不定积分的性质。

ppt-0401--不定积分的概念与性质

ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x

不定积分的概念与性质

不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2

x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx

1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x

sin x C cos x
（C 为任意常数）

关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6

1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意

不定积分的概念及性质

不定积分的概念及性质

2 1
x
（２）
x
xdx
3
x 2 dx

2
5
x2

C
.
5
（３）

dx 2gx
1 2g

dx x
例5
1
1
1 1
x 2 C
2g 1 1
2
求下列不定积分:
2gx C ． g
（１）
x 1 x

1
x
dx；（２）
x x
2 2
1 1
dx
则称F(x)为 f (x)的一个原函数．
例 因为(ln x) 1 ，故ln x 是 1 的一个原函数；
x
x
因为(x2) 2x，所以 x2 是2x 的一个原函数，但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) 2x ，所以 2x 的原函 数不是惟一的．
原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
．
解（1）
x 1 x

1 x
dx Nhomakorabeax
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x

2
5
x2

1
x2

x

1
2x2

C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1

x
2 x2
1 1
2
dx

1
做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号．

不定积分的概念与性质

y=∫3x2dx =x3+C, 又曲线过点(0,1)，从而得C=1,于是所求的曲线方程为
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的 路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx

不定积分的概念与性质


运动规律 .
x
解 建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数， 积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是 一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节 不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节 不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节 不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2

不定积分的概念与性质

注意：当k 0时， 0dx C(任意常数)，0 dx 0,
0dx 0 dx.
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例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
分项积分
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
说明： 被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
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2. 若
是 ex 的原函数 , 则
f
(ln x
x)
d
x

不定积分的基本概念与性质

不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。

本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。

一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。

它是函数求导的逆运算。

给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。

二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。

2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。

即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。

3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。

通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。

4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。

常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。

5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。

根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。

1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。

2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。

例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。

3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。

4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。

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d dx
f (x)dx 与
f ( x)dx 是否相等?
(3) 1 dx. x
求下列不定积分 1 (1) x3dx; (2) 2 dx; x
例 3 已知曲线 y f (x) 在任一点 x 处的切线斜率为 2 x , 且曲 线通过点(1, 2), 求此曲线的方程. 直接积分法 例4 计算不定积分 (1 3 x 2 ) 2 dx . 例 5 求不定积分 例 6 求不定积分 例 7 求不定积分 例8 例9
例 11 已知 f (ln x)
1, 0 x 1 , 且 f (0) 0 ,求 f (x) . x, 1 x
教 学 后 记 *
*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结， 因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。
定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任 一 xI 都有 F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) 使对任一 x I 都有 F (x)f(x) 简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就 有无限多个原函数 F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数 第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x) 和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C 为某个常数) 二、 不定积分的概念 定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
x
(4) exdx ex C
x (5) a xdx a C
ln a
(6) cos xdx sinx C (7) sin xdx cos x C (8) 12 dx sec2 xdx tan x C
cos x
(9) 12 dx csc2 xdx cot x C sin x (10) 1 2 dx arctan x C
教 学 内 容 与 过 程 设 计
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作 f (x)dx
其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达 式 x 称为积分变量
注: 由定义知, 求函数 f (x) 的不定积分, 就是求 f (x) 的全体原函 数, 在 f ( x)dx 中, 积分号 表示对函数 f (x) 实行求原函数的运 算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运 算； 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即
性质 2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积
分号外面来 即 kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数 k 0) 四、 基本积分表； (1) kdx kx C (k 是常数) (2) x dx 1 x 1 C
1
(3) 1 dx ln | x | C 2 ) dx .
1 x2
dx . 1 x4 x4 dx . 求不定积分 1 x2

求下列不定积分:
(2) sin2
(1) tan2 xdx


x dx. 2
例 10 求满足下列条件的 F (x). 1 x F ( x) , F (0) 1; 1 3 x
1 x
(11)
1 dx arcsin x C 1 x2
(12) sec x tan xdx sec x C (13) csc x cot dx csc x C (14) sh x dx ch x C (15) ch x dx sh x C 五、 直接积分法： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直 接求出不定积分的方法. 例题选讲： 不定积分的概念 例1 例2 问
时 间 安 排 章 节 名 称 教 学 目 的 教 学 重 点 与 难 点
第
23 次课
§4.1 不定积分的概念与性质
1.理解原函数概念、不定积分的概念； 2.掌握不定积分的基本公式； 3.掌握不定积分的性质
重点：1. 不定积分的概念； 2. 不定积分的性质及基本公式； 难点： 不定积分的公式的应用
一、 原函数的概念
f (x)dx F(x) C
因而不定积分 f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数 三、 不定积分的性质； 性质 1
教 学 内 容 与 过 程 设 计
函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx