不定积分的性质及应用

不定积分的基本性质与计算方法不定积分是微积分中非常重要的一个概念，其基本性质和计算方法对于理解和应用积分学都具有至关重要的作用。

本文将围绕不定积分的基本性质和计算方法展开探讨，旨在帮助读者对这一概念有更深入的理解。

1. 基本性质1.1 线性性质：不定积分具有线性运算的性质。

即对于任意常数a、b以及函数f(x)和g(x)，有以下的性质：∫[a*f(x) + b*g(x)]dx = a*∫f(x)dx + b*∫g(x)dx1.2 累加性质：若在区间[a, b]上函数f(x)和g(x)的原函数存在，则有以下的性质：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx1.3 替换性质：不定积分中可以进行变量替换。

若有函数u=g(x)为可导函数，且f(x)在u的值域上连续，则有以下的性质：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du （其中，du=g'(x)dx）2. 基本计算方法2.1 使用基本积分表：基本积分表提供了一些常见函数的不定积分形式，通过查表可以快速计算积分。

例如：- 若函数f(x) = k，其中k为常数，则∫k dx = kx + C- 若函数f(x) = x^n，其中n≠-1，则∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （其中，C为常数）- 若函数f(x) = e^x，则∫e^x dx = e^x + C （其中，C为常数）2.2 利用换元法：对于一些复杂函数，可以通过变量替换来简化不定积分的计算过程。

常见的换元法包括：- 代数换元法：通过令u=g(x)进行变量替换，使得积分表达式变得更简单。

- 三角换元法：适用于含有三角函数的不定积分，通过三角函数的性质进行变量替换。

- 指数换元法：适用于含有以e为底的指数函数的不定积分，通过指数函数的性质进行变量替换。

2.3 利用分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的积分问题转化为一个简单的积分问题。

不定积分求解方法及技巧小汇总摘要：总结不定积分根本定义，性质和公式，求不定积分的几种根本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质定义1如果F〔x〕是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx那么称F 〔x〕是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1〔原函数存在定理〕如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F〔x〕，使得F〔x〕=f(x)〔x∈I〕简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F〔x〕是f(x)在区间I上的一个原函数，那么（1）F〔x〕+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2设F〔x〕是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F〔x〕+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，那么⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，那么⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx.二．换元积分法的定理如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)]ϕ’(x). 做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘〔x〕dx=dϕ(x),那么可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.如果⎰f(u)du可以积出，那么不定积分⎰g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。

第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=ϕ(x)可导，那么有换元公式⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分⎰f[ϕ(x) ϕ’(x)dx 化为⎰f(u)du.但有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰f(x)dx 化为⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t).在求出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1-(X)带回去，这就是第二类换元法。

高中数学知识点归纳不定积分的应用不定积分是高中数学中的一个重要知识点，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将对不定积分的应用进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、定积分与不定积分的关系不定积分是定积分的逆运算，也就是说，如果一个函数的原函数存在，那么该函数的不定积分就是原函数加上一个常数。

我们用符号∫f(x)dx表示函数f(x)的不定积分，其中dx表示自变量x的微元，∫表示积分运算。

二、求不定积分的方法1. 基本积分法：基本积分法是指通过查表或者记住一些基本函数的不定积分公式，利用常见函数的积分性质进行计算。

例如，对于多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数，我们可以直接利用基本积分法求得它们的不定积分。

2. 代入法：有时候，对于一些特殊的函数，我们可以通过代入一些合适的变量来简化计算。

例如，对于含有根号的函数，我们可以通过代入一些合适的变量进行化简，然后再进行不定积分运算。

3. 分部积分法：分部积分法是求解复合函数不定积分的一种方法。

主要思想是通过对一个函数的导数和另一个函数的不定积分的乘积进行分解，将原来的积分转化为两部分的积分，从而简化计算过程。

4. 换元法：换元法是将一个积分换成另一个积分的方法，通过引入一个新的变量进行代换，从而将原来的积分式转换为容易求解的形式。

换元法是解决一些复杂的积分问题的有效方法。

三、不定积分的应用不定积分在数学的各个领域中都有广泛的应用，下面我们将介绍不定积分的几个常见应用：1. 面积与弧长问题：通过使用不定积分，我们可以求解曲线与坐标轴所围成的面积和曲线的弧长。

这在几何学和物理学中都有重要的应用，在计算某个区域的面积或者求解物体的弧长时，可以通过不定积分进行计算。

2. 几何体的体积与质量问题：对于一些具有规则形状的几何体，我们可以通过不定积分求解它们的体积。

例如，圆柱体、圆锥体和球体等常见几何体的体积计算，可以通过不定积分进行求解。

不定积分的性质
不定积分是指在一定的定义域范围内，求解定义域内函数与常量之和的运算，称为不
定积分。

其形式为∫abf(x)dx，其中f(x)是定义域[a,b]内定义的一个连续函数，则称为
不定积分。

（一）不定积分的定义域在完成时会发生变化：
求不定积分就是求解一段区间上的函数加上一个常量的和。

也就是说，每次求不定积
分的时候，函数的定义域会发生变化，从而使积分的值也会随着变化。

不定积分的定义域会发生变化，由此引起积分限也会产生变化，比如，积分限变成以上，由此带来的积分值也会有所变化。

（三）不定积分的积分式有泰勒级数的性质：
由定义可知不定积分的求解结果具有和某个函数的泰勒展开式相似的性质，由此可知
不定积分的求解过程可以当成是求某一函数泰勒级数展开式的过程。

（四）不定积分存在正则函数：
正则函数是指在可分离的每一个区间上，它的积分值都是不变的。

而不定积分也可以
表示为一个正则函数，即一分可分离的每一个区间上，其积分值都是不变的。

（五）不定积分有极限值：
不定积分的极限值是指在某一定域内的无穷大函数的最大值，这有助于我们在求解不
定积分的时候能够给出一个合理的结果。

不定积分可以通过变换来改变积分式，这有助于我们求出一些不容易求出的积分值，
比如要求b>a时的积分值，可以通过将变量x变成−x的形式来改变积分式，从而求出结果。

总之，不定积分具有定义域、积分限、正则函数及极限值、变换性等特性，是很重要
的一类积分的概念。

不定积分、定积分与反常积分及定积分的应⽤不定积分、定积分与反常积分不定积分⼀、不定积分概念1.定义\begin{align} &原函数：设对于区间I上的任意⼀点x均有F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的⼀个原函数\\ &不定积分：设函数f(x)于区间I上有原函数,则其余原函数的全体称为f(x)于区间I上的不定积分,记为\int{f(x)dx}\\ &线性：\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}2.计算\begin{align} &计算⽅法\begin{cases}&1.基本公式\\&2.线性\\&3.积分法\begin{cases}&1.换元法\\&2.分部积分法\\\end{cases}\\\end{cases}\\ \end{align}(1)第⼀换元法(凑微分)\begin{align} &设F'(u)=f(u),则\int{f(\Phi(x))\Phi'(x)}dx=\int{f(\Phi(x))d(\Phi(x))}=F(\Phi(x))+C\\ &注解：找到合适的凑微分\Phi'(x)dx=d(\Phi(x)) \end{align}常见凑微分：\begin{align} &1.\int{f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int{f(ax+b)d(ax+b)}}(a\neq0)\\ &eg1.\int{\sin (2x+3)}dx=\frac{1}{2}\int\sin (2x+3)d(2x+3)=\frac{1}{2}\cos{(2x+3)}+C\\\ &2.\int{f(ax^n+b)x^{n-1}dx}=\frac{1}{na}\int{f(ax^n+b)d(ax^n+b)}\\ &eg2.\int{\cos(2x^4+3)x^3dx}=\frac{1}{4*2}\int{\cos(2x^4+3)d(2x^4+3)}=\frac{1}{8}\cos{(2x^4+3)}+C\\ &3.\int{f(a^x+c)a^xdx}=\frac{1}{\ln{a}}\int{f(a^x+c)}d(a^x+c)\\ &eg3.\int{\sin(2^x+3)2^xdx}=\frac{1}{\ln2}\int{\sin{(2^x+3)}d(2^x+3)}=\frac{1}{\ln 2}\cos{(2^x+3)}\\ &4.\int{f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}}dx=-\int{f(\frac{1} {x})}d(\frac{1}{x})\\ &eg4.\int{\ln(\frac{1}{x})}\frac{1}{x^2}dx=-\int\ln (\frac{1}{x})d({\frac{1}{x}})+C\\ &5.\int{f(\ln |x|})\frac{1}{x}d(x)=\int{f(\ln{|x|)}}{d(\ln|x|)}\\ &eg5.\int{\sin ({\ln{|x|}}})\frac{1} {x}dx=\int{\sin(\ln(|x|)d(\ln{|x|})}=\cos(\ln x)+C\\ &6.\int{f(\sqrt x)\frac{1}{\sqrt x}}dx=2\int{f(\sqrt x)}d(\sqrt x)\\ &7.\int f(\sin x)\cos xdx=-\int{(\sin x)}d(\sin x)\\ &8.\int{f(\cos x)\sin dx}=\int{f(\cos x)d(\cos x)}\\ &9.\int{f(\tan x)\sec^2 xdx}=\int{f(\tan x)d(\tan x)}\\ &10.\int{f(\cot x)\csc^2xdx}=-\int{f(\cot x)d{(\cot x)}}\\ &11.\int{f{(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}dx=\int{f(\arcsin x)d({\arcsin x})}\\ &12.\int{f(\arccos x)(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}})dx=\int{f(\arccos x)d(\arccos x)}\\ &13.\int{f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx}=\int{f(\arctan x)d(\arctan x)}\\ &14.\int{f(\sqrt{x^2+a})}\frac{x} {\sqrt{x^2+a}}dx=\int{f(\sqrt{x^2+a})}d(\sqrt{x^2+a})\\ &注解：(\sqrt{x^2\pm a})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}},(\sqrt{a^2-x^2})'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ \end{align}(2)第⼆换元法\begin{align} &设F'(u)=f(\Phi(u))\Phi'(u),则\\ &\int{f(x)dx}\overset{x=\Phi(u)}{=}\int{f(\Phi(u))\Phi'(u)du}=F(u)+C=F(\Phi^{-1}(x))+C\\ &注解：找到合适的x=\Phi(u)\\ \end{align}1)三⾓换元\begin{align} &x=a\sin u,x=a\tan u,x=a \sec u\\ &\sqrt{a^2-x^2}\overset{x=a\sin u}{=}a\cos u,u\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],x\in[-a,a]\\ &\sqrt{a^2+x^2}\overset{x=a\tan u}{=}a\sec u,u\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})},x\in{(-\infty,\infty)}\\ &\sqrt{x^2-a^2}\overset{x=a\sec u}{=}a\tan u,u\in(\frac{\pi}{2},\pi]\cup(0,\frac{\pi}{2}]\\ \end{align}2)倒变换\begin{align} &x=\frac{1}{u}常⽤于含\frac{1}{x}的函数\\ \end{align}3）指数(或对数)变换\begin{align} &a^x=u或x=\frac{\ln u}{\ln a}常⽤于含a^x的函数\\ \end{align}4）⽤于有理化的变换\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}⽤x=u^6\\ &\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}⽤u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}或x=-\frac{du^n-b}{cu^n-a}\\ \end{align}(3)分部积分法\begin{align} &\int{u(x)v'(x)dx}=\int{u(x)d(v(x))}=u(x)v(x)-\int{v(x)u'(x)dx}\\ &注解：找到合适的u(x),v(x)\\ \end{align}1)降幂法\begin{align} &\int{x^ne^{ax}dx},\int{x^n\sin axdx},\int{x^n\cos ax dx}\\ &取u(x)=x^n\\ \end{align}2)升幂法\begin{align} &\int{x^a\ln xdx},\int{x^a\arcsin xdx},\int{x^a\arccos x dx},\int{x^a\arctan x dx}\\ &取u(x)=\ln x\\ \end{align}3)循环法\begin{align} &\int{e^{ax}\sin ax dx},\int{e^{ax}\cos {ax} dx}\\ &取u(x)=e^{ax}或\sin{ax} \end{align}4)递推公式法\begin{align} &与n有关的结果I_n，建⽴递推关系I_n=f(I_{n-1})或f(I_{n-2})\\ \end{align}定积分⼀、定积分概念1.定义\begin{align} &定义:设函数f(x)在区间[a,b]上有定义且有界\\ &(1)分割：将[a,b]分成n个[x_{i-1},x_{i}]⼩区间\\ &(2)求和：[x_{i-1},x_{i}]上取⼀点\xi_{i},\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Deltax_i},\lambda=\max{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}}\\ &(3)取极限：若\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x}\exist,且极值不依赖区间[a,b]分发以及点\xi_{i}的取法,则称f(x)在区间[a,b]上可积,\\ &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{f(\xi)\Delta x_{i}} &\\ &注解：\\ &(1)\lambda \rightarrow0 \rightarrow \nleftarrow n\rightarrow \infty\\ & (2)定积分表⽰⼀个值,与积分区间[a,b]有关,与积分变化量x⽆关\\ &\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}\\ &(3)如果积分\int_{0}^{1}{f(x)dx}\exist,将[0,1]n等分，此时\Delta{x_{i}}=\frac{1}{n},取\xi_{i}=\frac{i}{n},\\ &\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\\ \end{align}\begin{align} &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}f(\xi_i)\Delta_i=\begin{cases}&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+(i-1)\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},左侧\\&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+i\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},右侧\\\end{cases}\\ &中点：\Phi_i=a+(i-1)\frac{b-a}{n}+\frac{b-a}{2n}\\ \end{align}Processing math: 0%定理：(线性)\begin{align} &\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}注解：积分⽆⼩事\begin{align} &\int{e^{\pm x^2}dx,\int{\frac{\sin x}{x}}}积不出来\\ &F'(x)=f(x),x\in I,连续函数⼀定存在原函数，⽆穷多个\\ &[F(x)+C]'=f(x) \end{align}2.定积分存在的充分条件\begin{align} &若f(x)在[a,b]上连续,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上有上界,且只有有限个间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上只有有限个第⼀类间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ \end{align}3.定积分的⼏何意义\begin{align} &(1)f(x)\geqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S\\ \end{align}\begin{align} &(2)f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-S\\ \end{align}\begin{align} &(3)f(x)\geqslant{0}\cup f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S_1+S_3-S_2\\ \end{align}注解：\begin{align} &（1）当f(x)\geq0时,定积分的⼏何意义是,以区间[a,b]为底,y=f(x)为曲边的曲边梯形⾯积\\ &（2）定积分是⼀个常数，只与f和区间[a,b]有关,与积分变量⽤什么字母⽆关\\ &\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(t)dt}\\ &（3）\int_a^bdx=b-a\\ &（4）\int_{a}^{a}f(x)=0,\int_a^bf(x)dx=-\int_b^a{f(t)}dt \end{align}⼆、定积分的性质1.不等式性质\begin{align} &(1)保序性：若在区间[a,b]上f(x)\leqslant{g(x)},则\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{\int_a^{b}{g(x)dx}}\\ &推论：\\ &(1)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq0\\ & (2)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],且[c,d]\subset[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq\int_c^d{f(x)dx}\\ &(3)|\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b{|f(x)|dx}\\ &-|f|\leq f\leq |f|\Rightarrow \int_a^b-|f|\leq \int_a^bf\leq \int_a^b|f|\Rightarrow |\int_a^bf|\leq\int_a^b|f|\\ &如：x^2\leq x^3,x\in[0,1],则\int_0^1{x^3dx}\leq\int_0^1{x^2dx}\\ \end{align}\begin{align} &(4)(估值不等式)若M及m分别是f(x)在[a,b]上的最⼤值和最⼩值,\\ &则m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}\\ \end{align}\begin{align} &证明：M(b-a)=S_{AFDC}=S_1+S_2+S_3\\ &m(b-a)=S_{EBDC}=S_3\\ &\int_a^{b}{f(x)dx}=S_{ADBC}=S_2+S_3\\ &S_3\leqslant{S_2+S_3\leqslant{S_1+S_2+S_3}}\\&\Leftrightarrow{m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}}\\ \end{align}\begin{align} &(3)|\int_a^{b}{f(x)dx}|\leqslant{\int_a^{b}{|f(x)|dx}}\\ \end{align}2.中值定理\begin{align} &(1)若f(x)在[a,b]上连续,则\int_a^{b}{f(x)dx}=f(\xi)(b-a),(a<\xi<b)\\ &称\frac{1}{b-a}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}为函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均值}\\ &注解：F'(x)=f(x),F(b)-F(a)=\int_a^b{f(x)dx},f(\xi)(b-a)=F'(\xi)(b-a)\\ &(2)若f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号,则\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_a^b{g(x)dx}\\ \end{align}注解：\begin{align} &\int_0^1{\frac{x}{\sin x}}dx\\ &f(x)=\begin{cases}&\frac{x}{\sin x},x\in[0,1]\\&1,x=0\\\end{cases}\\ &结论：有限处点的函数不影响定积分\\ &f(x)={\begin{cases}&x+1,[1,2]\\&x, [0,1]\\\end{cases}}\\ &\int_0^2{f(x)dx}=\int_0^1{xdx}+\int_1^2{(x+1)dx}\\ \end{align}\begin{align} &证明：\frac{1}{2}\leq\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^n}}dx\leq\frac{\pi}{6}\\ &估值积分：x\in[0,\frac{1}{2}]\\ &\\ \end{align}例题：\begin{align} &1.求极限\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\\ &根据积分容易知道0\leq\frac{x^ne^x}{1+e^x}\leq x^n,x\in[0,1],n\in N^*\\ &⽤积分的保号性\\&0\leq\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\leq \int_0^1{x^n}dx=\frac{1}{n+1}\\ &⽤夹逼定理\\ &\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\\ &\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}=0\\ \end{align}\begin{align} &2.设I_1=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{\tan x}{x}dx,I_2=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{x}{\tan x}dx则\\ &(A)I_1>I_2>1(B)1>I_1>I_2(C)I_2>I_1>1(D)1>I_2>I_1\\ &解：⽤保序性a<b,f(x)\leq g(x),\int_a^b f(x)\leq \int_a^b g(x)\\ &\tan x>x,x\in[0,\frac{\pi}{2}]\\ &\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &根据保序性\\ &\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}dx>\int_0^{\frac{\pi}{4}}1dx=\frac{\pi}{4}>\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &证：\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}与1的关系\\ &积分中值定理\\ &\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}=f(\xi)(\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\tan \xi}{\xi}*\frac{\pi}{4},\xi\in{[0,\frac{\pi}{4}]}\\ &根据\frac{\tan x}{x}在x\in[0,\frac{\pi}{4}]上单调递增\\ &0<f(\xi)<\frac{4}{\pi},0<\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}<1\\ &选(B)\\ \end{align}三、积分上限函数\begin{align} &如果f(x)在区间[a,b]上连续,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且\int_a^b{f(t)dt})\\ &(\int_a^xf(t)dt)'=f(x),(\int_a^{x^2}f(t)dt)'=f(x^2)*2x\\ &如果f(x)在区间[a,b]上连续,\phi_1(x),\phi_2(x)为可导函数,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}{f(t)dt})'\\ &=f[\phi_2(x)]*\phi_2'(x)-f[\phi_1(x)]*\phi_1'(x)=(\int_{\phi_1(x)}^0{f(t)dt}+\int_{\phi_2(x)}^0{f(t)dt})'\\ &设函数f(x)在[-l,l]上连续,则\\ &如果f(x)为奇函数,那么\int_0^xf(t)dt必为偶函数\\ &如果f(x)为偶函数,那么\int_0^xf(t)dt必为奇函数\\\end{align}\begin{align} &任取x\in[a,b),取\Delta x>0,使x+\Delta x\in[a,b)\\ &\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}[\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt]=\frac{1} {\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(x+\sigma\Delta x)\rightarrow f(x)(\Delta x\rightarrow 0^+)\\ \end{align}推论：\begin{align} &若f(x)、\phi'(x)、\psi(x)于[a,b]上连续,则\\ &(1)(\int_a^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)\\ &(2)(\int_b^{\psi(x)}f(t)dt)'=-f(\psi(x))\psi'(x)\\ &(3)(\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)\\ \end{align}例题\begin{align} &1.设函数f(x)在R上连续,且是奇函数,则其原函数均是偶函数.当f(x)是偶函数时？是周期函数？\\ &证：\\ &令F_0(x)\int_0^xf(t)dt,x\in R\\ &F_0(-x)=\int_0^{-x}f(t)dt\overset{t=-u} {=}\int_0^xf(-u)d(u)=\int_0^xf(u)du=F_0(x)\Rightarrow F_0(x)为偶函数\\ \end{align}\begin{align} &求变现积分导数\\ &(1)F(x)=\int_x^{e^{-x}}f(t)dt\\ &(2)F(x)=\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt\\ &(4)设函数y=y(x)由参数⽅程\begin{cases}&x=1+2t^2\\&y=\int_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du\\\end{cases}(t>1),求\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=9}\\ &解:\\ &(1)F(x)'=(\int_x^{e^{-x}}f(t)dt)'=f(e^{-x})(-e^{-x})-f(x)\\ &(2)F(x)'=(\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt)'=(\int_0^{x^2}x^2f(t)dt-\int_0^{x^2}tf(t)dt)'\\ &=2x\int_0^{x^2}f(t)dt+x^2f(x^2)2x-x^2f(x^2)2x=2x\int_0^{x^2}f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt=-\frac{1}{2}\int_0^xf(x^2-t^2)d(x^2-t^2)\overset{u=x^2-t^2}{=}-\frac{1}{2}\int_0^xf(u)du\\ &F(x)'=\frac{1}{2}f(x^2)2x=xf(x^2)\\ &(4)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{e^{1+2\ln t}}{1+2\ln t}\frac{2}{t}}{4t^2}=\frac{e}{2(1+2\ln t)}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{e}{2}(-\frac{\frac{2}{t}}{(1+2\ln t)^2})\frac{1}{4t}\\ \end{align}\begin{align} &2.求变现积分的积分:\\ &(1)设f(x)=\int_0^x{\frac{\sin t}{\pi -t}dt},求\int_0^\pi{f(x)}dx\\ &解:\\ &\int_0^\pi{f(x)}dx=\int_0^{\pi}\int_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}dt\space dx\\&=x\int_0^x\frac{\sin t}{\pi t}|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}x\frac{\sin x}{\pi -x}dx\\ &=\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{\pi t}+\int_0^{\pi}\frac{[(\pi-x)-\pi]\sin x}{\pi-x}dx=\int_0^{\pi}\sin xdx=2\\ &(2)\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(\int_0^x{e^{t^2}}dt)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(2\int_0^{x}e^{t^2}dt)e^{x^2}}{e^{2x^2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2\int_0^{x}e^{t^2}}{e^{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2x}=0\\ \end{align}\begin{align} &(3)设f(x)连续,\phi(x)=\int_0^1{f(tx)dt},且\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=A(常数),求\phi'(x)并讨论\phi'(x)在x=0处的连续性\\ &当x\neq0时\\ &令u=tx,t\in[0,1],u=tx\in[0,x],\phi(x)=\int_0^1f(tx)dt\overset{tx=u}{=}\int_0^x{f(u)d(\frac{u}{x})}=\frac{\int_0^xf(u)du}{x}\\ &\phi'(x)=\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}\\ &当x=0时,f(0)=0,\phi(0)=f(0)=0,\phi'(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)\phi(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_0^xf(u)du}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}A\\&\lim_{x\rightarrow0}\phi'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}}=A-\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}A=\phi'(0)\Leftrightarrow\phi'(x)在x=0处连续\\ \end{align}注解：\begin{align} &注意变限积分进⾏正逆运算时上下限的映射\\ &例如F(x)=\int_0^x{f(t)dt}\overset{t=-u}{=}\int_{-a}^{x}f(-u)d(-u)\\ \end{align}四、定积分的计算1.⽜顿莱布尼茨公式\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)2.换元积分法\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta{f(\Phi(t))\Phi'(t)dt}3.分部积分法\int_a^budv=uv|_a^b-\int_a^bvdu4.奇偶性和周期性\begin{align} &直接使⽤奇偶性周期性定义证明\\ &(1)设f(x)为[-a,a]上的连续函数(a>0),则\\ &\int_{-a}{a}f(x)dx=\begin{cases}0,&f(x)奇函数\\2\int_0^af(x)dx,&f(x)偶函数\end{cases}\\ &证：\int_{-a}^0{f(x)dx}\overset{x=-t}{=}\int_0^a{f(-t)d(-t)}=-\int_{0}^{a}f(t)d(t)=-\int_0^a{f(x)dx}\\ \end{align}\begin{align} &(2)设f(x)是以T为周期的连续函数,则对\forall A，有\int_a^{a+T}f(x)=\int_0^T{f(x)dx}\\ &\int_a^{a+T}f(x)dx\overset{x=a+t}{=}\int_0^T{f(a+t)d(a+t)}=\int_0^{a+t}f(a+t)dt\\\end{align}\begin{align} &\Phi:x\in[a,b]\rightarrow y\in[c,d],令\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-c}{d-c},y=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a)\\ \end{align}\\5.奇偶函数积分后的奇偶性(奇偶函数求导后的奇偶性)1.奇偶函数求导后的奇偶性\begin{align} &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrowf'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为奇函数\\ \end{align}2.奇偶函数求积分后的奇偶性\begin{align} &设F(x)为f(x)的原函数\\ &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=-F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为奇函数\\ \end{align}3.奇偶函数复合后的奇偶性\begin{align} &\exist f(x),g(x),F(x)=f(g(x))\\ &设f(x)为奇函数\\ &(1)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-F(x),F(x)为奇函数\\ &设f(x)为偶函数\\ &(1)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &注解:外偶全偶,外奇奇偶\\\end{align}例题：\begin{align} &1.设M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1+x^2}\cos^4xdx},N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin x^3+\cos^4x)dx},P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx,则\\ &(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N\\ &根据对称性判断\\ &M:f_M(x)为奇函数，F_M(x)为偶函数\\ &N:N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sinx^3+\cos^4x)dx}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos ^4xdx\geq 0,\Rightarrow N\geq 0\\ &P:P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4xdx\geq0,\Rightarrow P\leq0\\ &\Leftrightarrow P<M<N,\space\space选(D)\\\end{align}\begin{align} &2.设f(x)=\begin{cases}&kx,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&c,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases},求F(x)=\int_0^xf(t)dt,x\in[0,a]\\ &F(x)=\begin{cases}&\int_0^xktdt=\frac{1}{2}kt^2|_0^x=\frac{1}{2}kx^2,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&\int_0^{\frac{1}{2}a}ktdt+\int_{\frac{1}{2}a}^c cdt=\frac{1}{8}ka^2+c^2-\frac{1}{2}ac,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases}\\ \end{align} \begin{align} &3.证明：\int_0^{2\pi}f(|\cos x|)dx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(|\cos x|)dx\\ \end{align}6.已有公式\begin{align} &(1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2},&n为偶数\\\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{2}{3},&n为⼤于1的奇数\\\end{cases}}\\ &(2)\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx(f(x)为连续函数)\\ \end{align}7.与定积分有关的证明8.经典例题：例题1:\begin{align} &\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}\\ &法1：夹逼定理+基本不等式\\ &\frac{1}{1+x}<\ln(x+1)<x\\ &令x=\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+1}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}<\ln(\frac{1}{n}+1)=\ln(n+1)-\ln(n)<\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+2}<ln(n+2)-ln(n+1)<\frac{1}{n+1}\\ &得\frac{1}{n+n}<\ln(n+n)-\ln(n+n-1)<\frac{1}{n+n-1}\\ &得\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<ln(2n)-ln(n)=ln2\\ &法2：\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}中\\ &\frac{1}{n+1}中n为主体，1为变体\\ &\frac{变体}{主体}\rightarrow^{n \rightarrow{\infty}}\begin{cases}0,次(夹逼定理)\\A\neq 0,同(定积分)\end{cases}\\ &\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Deltax_i}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(b-a)}=\int_0^1\frac{1}{1+x}=\ln(1+x)|_{0}^{1}=\ln2\\ \end{align}例题2\begin{align} &设f(x)=\int_0^{\pi}{\frac{\sin x}{\pi-t}dt},计算\int_0^{\pi}f(x)dx.\\ &法1：分部积分+换元法\\ &原式=xf(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}dx}\\ &=\pi{\int_0^{\pi}{\frac{\sin{t}}{\pi-t}dt}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}}dx}\\ &=\int_0^{\pi}{\frac{(\pi-x)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法2：\\ &原式=\int_0^\pi{f(x)d(x-{\pi})}=(x-\pi)f(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{(x-\pi)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法3：⼆重积分转化为累次积分\\ &原式=\int_0^{\pi}{\int_0^{\pi}\frac{x\sin t}{\pi-t}dt}dx\\ \end{align}例题3\begin{align} &法1：构造辅助函数\\ &根据题意f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1\Rightarrow f(x)为偶函数,f最低点函数值为-1\\ &可以构造符合题意的辅助函数f(x)=2x^2-1\\ &法2：根据函数的性质直接判断 \end{align}例题4\begin{align} &因为\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=c(c\neq 0)\\ &所以\lim_{x\rightarrow 0}{ax-\sin x}=0并且\lim_{x \rightarrow 0}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}=0\\ &化简,使⽤洛必达法则上下求导\\ &\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{\frac{\ln{1+x^3}}{x}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{x^2}}\\ &\Rightarrow a=1,c=\frac{1}{2},b=0\\ \end{align}反常积分⼀、⽆穷区间上的反常积分\begin{align} &(1)\int_a^{+\infty}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty}{\int_{a}^{t}f(x)dx}\\ &(2)\int_{-\infty}^{b}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty}{\int_{t}^{b}f(x)dx}\\ &(3)\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx和{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}都收敛,则{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}收敛\\ &且{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}=\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx+{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}\\ &如果其中⼀个发散,结果也发散\\ &常⽤结论：\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}\begin{cases}&p>1,收敛\\&p\leq1 ,发散\\\end{cases},(a>0)\\ \end{align}⼆、⽆界函数的反常积分\begin{align} &如果函数f(x)在点a的任⼀领域内都⽆界,那么点a为函数f(x)的瑕点(也称为⽆界点).⽆界函数的反常积分也成为瑕积分\\ &(1)设函数f(x)在(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.如果极限\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\exist,\\ &则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的反常区间,记作\int_{a}^{b}f(x)dx,即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\\ &这时也称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,如果上述极限不存在，则反常积分\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &(2)设函数f(x)在[a,b)上连续,点b为函数f(x)的瑕点,则可以类似定义函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}{\int_a^tf(x)dx}\\ &设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续,点c为函数f(x)的瑕点,如果反常积分\int_a^c{f(x)dx}和\int_c^b{f(x)dx}都收敛\\ &则称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,且\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}\\ &如果⾄少⼀个发散,则称\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &常⽤结论：\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ \end{align}三、例题例题1\begin{align} &\int\frac{1}{\ln^{\alpha}x}d(\ln x)\rightarrow^{\ln x=u}\int{\frac{du}{u^{\alpha+1}}}\begin{cases}&{\alpha-1< 1}\\&{\alpha+1>1}\\\end{cases}\Rightarrow 0<\alpha<2\\\end{align}定积分的应⽤⼀、⼏何应⽤1.平⾯图形的⾯积\begin{align} &(1)若平⾯域D由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)所围成,则平⾯域D的⾯积为\\ &S=\int_a^b{[f(x)-g(x)]dx}\\ &(2)若平⾯域D由曲线由\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)所围成,则其⾯积为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{\rho^2(\theta)d\theta} \end{align}2.旋转体的体积\begin{align} &若区域D由曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成,则\\ &(1)区域D绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_x=\pi\int_a^b{f^2(x)dx}\\ &(2)区域D绕y轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_y=2\pi\int_a^b{xf(x)dx}\\ &(3)区域D绕y=kx+b轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V=2\pi\int_D\int{r(x,y)d\sigma}\\ &例如：求y=x,y=x^2在第⼀象限的封闭图形绕转轴的体积\\ \end{align}\begin{align} &V_x=2\pi\int_D\int yd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}ydy\\ &V_y=2\pi\int_D\int xd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}xdy\\ &V_{x=1}=2\pi\int_D\int (1-x)d\sigma\\ &V_{y=2}=2\pi\int_D\int (2-y)d\sigma\\ \end{align}3.曲线弧长\begin{align} &(1)C:y=y(x),a\leq x\leq b,s=\int_a^b{\sqrt{1+y'^2}dx}\\ &(2)C:\begin{cases}&x=x(t)\\&y=y(t)\\\end{cases},\alpha \leq t\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{x'^2+y'^2}dx}\\ &(3)C:\rho=\rho(\theta),\alpha \leq \theta\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}dx}\\ \end{align}4.旋转体侧⾯积\begin{align} &曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成的区域绕x轴旋转所得到的旋转体的侧⾯积为\\ &S=2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx}\\ \end{align}⼆、物理应⽤1.压⼒2.变⼒做功3.引⼒（较少考）例题1\begin{align} &分析题意可知,该容器由x^2+y^2=1的圆和x^2+(y-1)^2=1的偏⼼圆组成\\ &根据图像的对称性可以避免不同表达式带来的困难\\ &对圆的⼩带⼦进⾏积分，带⼦长度为x，积分区间为-1到\frac{1}{2}，\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{\pi x^2dy}\\ &由于图像的对称性，将积分结果乘⼆\\ &(1)V=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{x^2}dy=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{(1-y^2)dy}=\frac{9\pi} {4}\\ \end{align}\begin{align} &(2)W=F*S=G*S=mg*S=\rho VSg\\ &上部为W_1=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2y-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &下部为W_2=\int^{\frac{1}{2}}_{-1}(1-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &W=W_1+W_2\\ \end{align}例题2\begin{align} &F_p=P*A=\rho gh*A\\ &将图像分为上部和下部，上部为矩形区域和下部的抛物线围成的⾯积区域，对其进⾏依次求解\\ &P_1=2\rho gh\int_1^{h+1}{h+1-y}dy=\rho gh^2\\ &P_2=2\rho gh\int_0^1{(h+1-y)\sqrt{y}dy=4\rho g(\frac{1}{3}h+\frac{2}{15})}\\ &\frac{P_1}{P_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow h=2,h=-\frac{1}{3}(舍去) \end{align}。

不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。

本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。

一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。

它是函数求导的逆运算。

给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。

二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。

2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。

即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。

3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。

通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。

4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。

常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。

5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。

根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。

1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。

2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。

例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。

3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。

4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。

不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。

它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。

在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。

一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。

二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。

2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。

这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。

3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。

这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。

4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。

换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。

5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。

三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。

不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。

不定积分的性质与基本积分公式一、不定积分的性质：1.线性性质：设f(x)和g(x)是R上的两个函数，k1、k2是常数，则有∫(k1*f(x) + k2*g(x))dx = k1*∫f(x)dx + k2*∫g(x)dx2.区间可加性：如果函数f(x)在[a,b]上可积，而c是[a,b]上的一个点，则有∫(a到b)f(x)dx = ∫(a到c)f(x)dx + ∫(c到b)f(x)dx3.分部积分公式：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx4.递推公式：设F(x)是f(x)的一个原函数，则对于正整数n，有∫f(x)^(n)dx = F(x)f(x)^(n-1) - ∫(F(x)f(x)^(n-1))'dx其中^(n)表示f(x)的n次方5.替换积分变量：如果函数f(x)是R上的可积函数，x=g(t)是可导的一一映射，则有∫f(g(t))g'(t)dt = ∫f(x)dx6.对称性：如果函数f(x)在区间[a,b]上可积，则有∫(a到b)f(x)dx = -∫(b到a)f(x)dx7.常数项可提出：对于常数c，有∫c*f(x)dx = c*∫f(x)dx二、基本积分公式：1.基本初等函数的不定积分：∫dx = x + C（C为常数）∫x^a dx = (x^(a+1))/(a+1) + C（a≠-1，C为常数）∫e^x dx = e^x + C（C为常数）∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C（a>0且a≠1，C为常数）∫sin(x) dx = -cos(x) + C（C为常数）∫cos(x) dx = sin(x) + C（C为常数）∫sec^2(x) dx = ta n(x) + C（C为常数）∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C（C为常数）∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C（C为常数）∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C（C为常数）∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C（C为常数）∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)*arctan(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(a^2-x^2)) dx = arcsin(x/a) + C（a>0，C为常数）∫1/(√(x^2-a^2)) dx = arccos(x/a) + C（a>0，C为常数）2.基本初等函数的合成函数的不定积分：∫f'(x)f(x)g(f(x))dx = (1/2)g^2(f(x)) + C（C为常数）∫f'(x)f(x)^n g(f(x))dx = (1/(n+1))g(f(x))^(n+1) + C（n≠-1，C为常数）这些性质和基本积分公式是我们进行不定积分过程中经常使用的工具，根据这些性质和公式，我们可以更加方便地求解各种函数的不定积分。

不定积分的基本性质在微积分中，不定积分是求解函数的原函数的过程。

它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

不定积分具有一些基本性质，本文将对这些性质进行探讨。

1. 可加性：若函数f(x)和g(x)都在区间[a, b]上可积，那么对于常数c，有∫(f(x)+g(x))dx=∫(f(x))dx+∫(g(x))dx和∫(c*f(x))dx=c∫(f(x))dx。

这一性质使得我们能够方便地对复杂函数进行分解和计算。

2. 线性性质：对于可积函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=a∫(f(x))dx+b∫(g(x))dx。

这个性质使得我们能够将积分运算与常数的乘法和加法进行简化。

3. 等式：在区间[a, b]上，如果函数f(x)和g(x)除了有一个常数差别外是相等的，即f(x)=g(x)+C，其中C为常数，那么∫(f(x))dx=∫(g(x))dx+C。

这个性质使得我们能够在不知道函数的具体形式时，通过找到它的一个原函数来求解不定积分。

4. 替代法则：替代法则，也被称为链规则，是求解不定积分中常用的一种方法。

如果u=g(x)是函数f(x)的可导函数，那么∫(f(g(x))*g'(x))dx=∫(f(u))du。

这个法则可以帮助我们将复杂函数的不定积分转化为简单函数的不定积分。

5. 分部积分法则：分部积分法则是求解不定积分中另一种常用的方法。

如果u=u(x)和v=v(x)都是可导函数，那么∫(u*v')dx=u*v-∫(u'*v)dx。

这个法则可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，通过反复应用该法则，可以逐步减小被积函数的难度。

6. 基本初等函数的不定积分：对于一些基本初等函数，我们知道它们的不定积分形式。

如常数函数的不定积分为Cx，幂函数的不定积分为x^(n+1)/(n+1)+C，其中n不等于-1，三角函数、指数函数、对数函数等的不定积分也都有相应的形式。

不定积分基本概念数学中的积分是微积分的重要概念之一。

在求解函数的不定积分时，我们会遇到一些基本概念，本文将对这些概念进行详细介绍。

1. 不定积分的定义不定积分是求解一个函数的原函数的过程。

若函数F(x)在区间[a, b]上可导，且对于该区间上任意一点x，都有F'(x) = f(x)，则F(x)就是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。

我们将F(x)称为原函数，而f(x)称为被积函数。

不定积分表示为∫f(x)dx，其中∫表示积分运算。

2. 不定积分的性质不定积分具有如下几个重要的性质：- 线性性质：对于任意的常数a和b，有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx +b∫g(x)dx。

即不定积分具有可分配律。

- 求导与积分的关系：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F'(x) = f(x)，同时也可以推出f(x)是F(x)的一个原函数。

- 积分的逆运算：对于连续函数f(x)，如果它在区间[a, b]上的一个原函数存在，那么∫(f'(x))dx = f(x) + C，其中C表示常数项。

3. 常见的不定积分公式在求解不定积分时，我们常常会用到一些常见的不定积分公式，下面列举一些常见的例子：- 常数函数的不定积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为常数项。

- 幂函数的不定积分：∫x^ndx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，C为常数项。

- 正弦函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，其中C为常数项。

- 余弦函数的不定积分：∫cosxdx = sinx + C，其中C为常数项。

4. 换元积分法换元积分法是求解复杂函数不定积分的一种常用方法。

它通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。

换元积分法的基本步骤是：- 选择适当的变量代换，将不定积分转化为新变量的积分表达式。

- 对新变量进行积分运算，得到结果。