振动力学3

a
O
k
c
kθa
c θl
图 E1.9
答案图 E1.9
解： 利用动量矩定理得：
Iθ = −kθa ⋅ a − cθl ⋅ l ，
I = 1 ml 2 3
ml 2θ + 3cl2θ + 3ka2θ = 0 ，
ωn =
3ka2 ml 2
3cl 2 ml 2
=
2ξωn ，
ξ = 3c ⋅ 1 < 1 ⇒ c < 2a
k
1 − s2 2 + (2ξs)2
其中：
s
=
ω1 ωn
， θ1
=
tg
−1
2ξs 1− s2
（1） （2）
1 + (2ξs)2 =
1
+
⎜⎜⎝⎛
cω1 k1 + k2
⎟⎟⎠⎞2
=
(k1
+
k2
)2
+
(c1
+
c2
) ω2 2 1
k1 + k2
故（2）为：
( ) 1 − s2 2 + (2ξs)2 =
=
⎜⎜⎝⎛1 −
2m ωn
l
mk 3
mg
⋅
l 2
=
kθ0a
⋅a
，
θ0
=
mgl 2ka2
1.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所
示。作用于薄板的阻尼力为 Fd = μ 2Sv ，2S 为薄板总面积，v 为速度。若测得薄板无阻尼 自由振动的周期为 T0 ，在粘性流体中自由振动的周期为 Td 。求系数 μ 。

l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
2u
x2
A
2u t 2
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
EI ,
A
C sin

固本浚源
积累知识是学习的目的之一
发现问题 认识问题 解决问题
运用知识是学习的另一目的
归纳总结
发展丰富人类认识自然的能力
振动Байду номын сангаас学问题的提出
Tacoma Narrow bridge（1940-11-07） 汶川地震（2008-05-12）
1940年,一座位于美国华盛顿州的巨型吊桥（Tacoma Narrow bridge）完工
桥尚未通车，该桥在不是很强的风吹动下便会开始 摆动。从桥的一端看车辆通过时，由于桥梁的振动， 可以看见车子上下摆动，因此成为新闻媒体报道焦点
11月7日，在风速60kg/h的情况下，该桥原本以频率 为60Hz、振幅为约0.5m上下的方式振动之后，改变为 扭振方式
该桥终于在通车不到4个月时断掉
Tacoma 桥的风毁事故震惊世界，自此桥梁风振研究得到前所未有的重视和发展。 随着桥越造越长，越造越柔，风对桥安全性威胁引起人们高度关切。研究得最多的是 大跨度桥梁的颤振和抖振。 颤振是在一定风速下桥梁发生的气动失稳现象；抖振则是 大气湍流成分（风的脉动分量）引起的结构随机振动
振动理论开篇
《师说》 ——韩愈（唐贞元十八年，公元802年）
◆ 古之学者必有师。师者，所以传道受业解惑也。
◆ 人非生而知之者，孰能无惑？惑而不从师,其为惑也， 终不解矣
◆ 生乎吾前，其闻道也固先乎吾，吾从而师之；生乎吾后， 其闻道也亦先乎吾，吾从而师之。吾师道也，夫庸知其 年之先后生于吾乎？
◆是故无贵无贱，无长无少，道之所存，师之所存也。
第三章 单自由度系统动力响应的逐步积分法
主要问题
平均加速度法 Newmark法 Wilson-θ法
第四章 多自由度体系的振动

1 3 2 2 0 2 1 3 2
(i ) N
1 φ(i ) 正则模态和主模态之间的关系： φ m pi
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 模态叠加法
模态 φ(i ) (i 1 ~ n) 相互正交
表明它们是线性独立的，可用于构成 n 维空间的基 系统的任意 n 维自由振动可唯一地表示为各阶模态的线性组合
主刚度矩阵
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
多自由度系统： MX KX 0
正则模态
X Rn
M、K R nn
(i )T Mφ( j ) φ N ij N 正交性条件： (i )T ( φ N KφN j ) iji2
i 1~ n
坐标变换： ΦN X N X N ：正则模态坐标 X
N
Φ N ：正则模态矩阵
T T 代入，并左乘 Φ T ：ΦN MΦN X ΦN KΦN X 0
模态坐标初始条件： X N (0) ΦN1 X 0
IX N ΛX N 0
X N (0) ΦN1 X 0
sin i t (i 1 ~ n)
i
在求得 xNi (i 1 ~ n) 后，可利用 X ΦN X N 式求得原系统的解
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度弹簧－质量系统
X 0 [2 2 0]T
x1
X 0 [0 0 0]T
x2 k m k m x3 2k
M、K R nn
X 0 [ x1 (0), x2 (0),, xn (0)]T
X 0 [ x1 (0), x2 (0),, xn (0)]T