振动力学(倪振华)

《高等结构动力学》课程Case Study斜坡缓冲车辆的运动学模型与缓冲距离影响因素分析姓名： 班号： 学号：摘要： 为了计算无动力车辆在斜坡上的最小缓冲距离，本文建立了斜坡行驶车辆的半车模型的运动学方程，采用龙格库达法对微分方程求解，得到初始速度与斜坡角度对缓冲距离的影响规律。

1.引言为防止制动失灵的车辆冲下山谷, 盘山公路的下行方向每隔一定距离需要设置一个缓冲区，如图1所示。

缓冲区一般由一段具有上升坡度的渣土路面形成。

制动失灵的车辆驶入缓冲区后，其动能一部分转换成势能，一部分由车轮与路面的摩擦耗散。

图2所示为一车辆简化模型，车体高h=1.8m, 长b=5m 。

已知前轮刚度K 1=5.5*105N/m, 前轮阻尼系数C 1=8*104N •s/m, 后轮刚度K 2=8.5*105N/m, 后轮阻尼系数C 2=C 1; 车体按匀质记，总重10吨，质心距地面高度H=1.5m 。

摩擦力按下式计算：()()i i f t N t μ=⋅ i=1, 2 μ—摩擦系数，μ=0.3N i -- 车轮所受地面的正压力。

图1 盘山公路缓冲区示意图 图2 车辆简化模型假设: ① 车辆行驶过程中的车体变形很小,可忽略不计。

② 车轮质量与车身质量相比很小,可忽略不计。

分别给出缓冲区坡度为300和450时的车辆驶入速度与缓冲区长度的关系曲线以及车速为70Km/小时时缓冲区的最小长度。

2 斜坡行驶车辆的动力学模型斜坡行驶车辆的物理模型与力学模型分别如图3和图4所示。

图3 斜坡行驶车辆物理模型图4 斜坡行驶车辆力学模型2）.图5 斜坡行驶车辆模型受力分析建立如图5所示的斜坡行驶车辆的力学模型，以质心C 点垂直方向坐标cy 和转角c θ为广义坐标，1y 和2y 分别为弹簧位置垂直方向坐标（均取在弹簧原长的位置处），采用达朗贝尔原理建立车辆运动的微分方程如下。

以C 点垂直斜面方向的力平衡方程：111222()()cos 0c my k y cy k y cy mg α++++-=(1)以C 点沿斜面方向的力平衡方程：111222()sin 0c mx k y cy k y cy mg μα+++++=(2)以质心C 点取矩的力矩平衡方程：111222111222()()()()()()022cc c L LJ cy k y cy k y H y k y cy H y k y cy θμμ-+-++-++-+=+(3)式中，车辆转动惯量22()12m J b h =+；A 点坐标12c c Ly y θ=-，B 点坐标12c c Ly y θ=+，坐标几何关系如图6所示。

《振动力学》课程教学大纲课程编号：20311103总学时数：48（实验6）总学分数：3课程性质：专业必修课适用专业：工程力学一、课程的任务和基本要求：《振动力学》课程是工程力学专业的一门主要课程，主要研究在确定性激励下分析系统的动力响应的基本理论和基本方法。

通过本课程的学习，使学生能够初步掌握建立振动问题力学模型的方法；掌握振动力学的基本概念、基本理论和基本分析计算方法，并能初步应用振动理论研究和解决工程中的各种振动问题。

结合本课程的学习，培养学生的分析能力、计算能力和分析解决工程实际问题的初步能力。

二、基本内容和要求：（一）概论振动的定义，振动具有两重性，研究目标（目的），振动问题的研究方法，振动分析的力学模型，振动的分类，振动研究的分析工具。

（二）谐振振动与谱分析谐振振动的表示方法，谐振振动的谱分析方法，非周期振动的谱分析方法。

（三）单自由度系统的自由振动单自由度线性系统的力学模型和基本概念，单自由度无阻尼系统的自由振动，固有频率的计算，等效质量与等效弹簧刚度，有阻尼系统的自由振动。

（四）单自由度系统的强迫振动简谐激励引起的强迫振动，简谐激励引起的强迫振动瞬态响应过程，偏心质量引起的强迫振动，支撑运动引起的强迫振动，振动的隔离，惯性式测振仪的基本原理，强近振动中的能量关系，阻尼理论，任意周期激励的响应，任意激励的响应。

（五）多自由度系统的振动多自由度系统的运动微分方程，坐标耦合与主坐标，固有频率与主振型，主坐标与正则坐标，固有频率相等和固有频率为零的情况，系统对初始条件的响应，动力减振原理与减振器，有阻尼系统的响应，一般阻尼系统的响应。

（六）多自由度系统振动的近似解法邓克利法，瑞利法，里茨法。

（七）弹性体的振动一维波动方程、弦横向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的自由振动解、等直杆纵向振动的强迫振动解、梁的横向振动、梁的横向强迫振动。

三、实践环节和要求：实习一、简谐振动振幅与频率测量；实验目的：掌握激振器（及其功率放大器）、加速度传感器的安装和使用；了解激振器、加速度传感器的工作原理；掌握简谐振动振幅简单的测量方法。

什么是机械振动？各种⼯程机械与结构，⼤到航天飞机，⼩到微型马达，或多或少都存在振动问题，为了保证这些结构的可靠性，振动问题已成为⼯程技术领域⾥普通需要认真研究和解决的重要课题。

掌握振动理论已经成为⼯程技术⼈员正在进⾏产品或结构的动⼒学特性设计所必需的基本要求。

本⽂主要内容包括：1. 基本概念；2. 振动的分类；3. “输⼊-振动系统-输出”模型；4. 振动要解决的问题。

1基本概念振动是指机械或结构围绕其平衡位置作往复运动。

从⼴义上讲，表征运动的物理量作时⽽增⼤时⽽减⼩的反复变化，就可以称这种运动为振动。

如果变化的物理量是机械量或⼒学量，例如物体的位移、速度、加速度、应⼒及应变、噪声等，这种振动便称为机械振动。

相对⽽⾔，我们经常⽤位移、速度和加速度来描述机械振动，这些振动物理量有别于我们通常所说的位移、速度和加速度。

在这，以车辆的⾏驶加速度与振动加速度来说明⼆者的区别。

我们通常所说的振动加速度不是汽车⾏驶过程中的加速度。

当汽车原地不动时，发动机怠速，我们可以测量汽车不同位置的振动加速度，如⽅向盘、座椅导轨等处的振动加速度。

⽽此时汽车的⾏驶加速度却是零。

因此，通过这⼀点，我们可以明⽩了⼆者虽然都是加速度，但是有着本质的区别，我们通常所说的汽车振动加速度不是汽车⾏驶中的加速度。

实旨上，我们在《信号AC与DC的区别》⼀⽂中，已经解释过它们的区别了：车辆实际⾏驶的加速度对应是0Hz的速度，也就是DC部分，车体振动加速度是⾮零频信号，即AC部分，但是⾏驶的加速度并不是振动加速度的直流分量。

机械振动对于⼤多数的⼯业机械、⼯程结构及仪器等结构都是有害的，如共振会导致灾难性的事故，如⼤桥坍塌、结构疲劳断裂等。

例如，1940年美国tacoma⼤桥风毁事故，是⼀定流速的流体（风速19m/s）流经边墙时，产⽣了卡门涡街；卡门涡街后涡的交替发放，会在物体上产⽣垂直于流动⽅向的交变侧向⼒，迫使桥梁产⽣振动，当发放频率与桥梁结构的固有频率相耦合时，就会发⽣共振，造成⼤桥坍塌，如下⾯的视频所⽰。

横向流中细长圆柱的热弹性颤振李云东;杨翊仁【摘要】研究了细长圆柱体在热环境下的横向流致振动.应用迦辽金法将非线性运动控制偏微分方程离散为常微分方程组,首先分析了热载荷对系统临界流速的影响,然后采用数值方法得到了系统分岔区,以及它在参数空间的分布情况.应用分岔图、相图对系统的运动性质进行了判定.系统随着参数的变化呈现周期运动,温度增加,系统发生颤振的临界速度减小.当温度载荷不变时,流速增加,系统周期振动的振幅越来越大,系统发生极限环振动,周期3运动、拟周期运动和混沌运动.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2015(013)002【总页数】6页(P106-111)【关键词】圆柱阵;分岔;流弹性失稳;混沌【作者】李云东;杨翊仁【作者单位】西南交通大学力学与工程学院成都610031;四川理工学院理学院,自贡643000;西南交通大学力学与工程学院成都610031【正文语种】中文引言管束振动是当流体流过换热器的管阵时，流体力、惯性力、和弹性力联合作用下动力失稳而发生的自激振动.动力失稳将引起管的毁坏，管大幅度的振动可能会引起管与管之间的碰撞以及管与折流板之间的磨损［1］.在一定流速下，如果流体给管子的能量大于管子阻力消耗的能量，管子的振幅突然增大，即发生了一般所说的流弹性振动.在流弹性失稳后，随着流速增加，结构运动的幅度增大，系统非线性影响变得重要.Weaver［2］指出非线性是换热器管阵结构的固有性质，主要来自于管与松散支撑的折流板的碰撞.Paidoussis和Li［3］、Chen etal［4］、Cai和Chen［5］、de Bedout［6］、王琳［7］都研究过管阵中管子带有结构强非线性的横向流致振动，复杂的动力学行为可能出现，尤且是可能出现混沌运动.以上研究均未考虑热效应的影响，实际上换能器中的管阵，将经历严酷的热环境.本文是在Paidoussis和Li［3］研究的基础上，继续考虑管的非线性响应问题.以圆柱阵中一根典型单柱为研究对象，首先建立了考虑热效应的圆柱的动力学方程，然后应用Galerkin方法离散运动方程，首先分析了热载荷对系统临界流速的影响，采用数值方法研究了随着横向流速的变化，系统出现的非线性动力学现象，包括混沌和周期窗口在内的各种复杂响应.1 动力学方程本文为了分析方便，把管当作圆柱来处理，横向流作用下的圆柱阵中，取一根弹性圆柱，其两端固支，中间受到折流板的约束的圆柱模型，如图1所示.圆柱排外部遭受横向流，流体速度和密度为U和ρ，圆柱直径为D，圆柱长度为l.在模型中，考虑振动圆柱中间受到折流板的约束，模拟为圆柱中间作用有非线性弹簧，其弹簧约束考虑为立方非线性弹簧，弹簧约束力与圆柱振动位移关系为：其中：k1为刚度，δ为Dirac delta函数Mx是圆柱的弯矩；w为圆柱横向振动的变形；c是结构的黏性阻力系数；m是每单位长度圆柱质量；F是横向流作用在圆柱上的流体力.圆柱横向位移导致圆柱轴向伸长而引起的附加力其中：σ是应力，A是圆柱的横截面.根据Wickert的弹性梁简化模型，应变位移关系为：设材料为完全弹性材料，考虑温度的影响，有：其中：E是弹性模量，αT是热膨胀系数，ΔT＝TT0，T0：初始温度，T：升高温度.把（3）代入（4）得到沿x轴变化的附加轴力为：弯矩Mx：其中：I截面惯性矩.把（5）（6）代入（1），有：流体力F是圆柱运动位移函数，文献［3］［7］给出了“准稳态”模型来表示，Price和Paidoussis［8］展示了运用此模型的得到的管阵稳定性结果与实验数据具有较好的一致性.图1 （a）横向流中的圆柱阵（b）中间约束的弹性圆柱Fig.1（a）Array of cylinders in cross flow（b）A single elastic cylinderwith intermediate constraints其中：CL和CD是圆柱阵中圆柱的升力和阻力系数，Cma是流体附加在圆柱上的附加质量系数，U是来流速度，D是圆柱直径，ρ是流体密度，Δt是时间延迟来自于圆柱运动和流体力之间的耦合作用时有滞后效应.引入无量纲参数：把无量纲量（10）代入方程（7）得到无量纲的运动方程为其中为固支梁的第一阶无量纲特征值.2 运动方程离散采用Galekin方法对方程（11）进行离散，满足固支边界条件的圆柱位移函数取为：其中：为固支梁的振型函数.由参考文献［9］，得固支梁的前五阶特征根为由此算得：将式（12）代入方程（11），利用振型函数的正交性，并在［0，1］区间内积分，可得微分方程：式中本文所用参数取值如下［2］：3 线性系统稳定性分析由式（17）方程的系数可以得到，对于方程（16）的线性部分奇数阶模态和偶数阶模态是解耦.一般地，系统首先是发生低阶模态失稳，为了方便计算，本文截取前1，3阶模态进行分析，由式（16），且令可得：很显然式（19）有一个平衡点（0，0，0，0），在平衡点附近，线性化方程（19），得：其中：这里各参数为：设方程（20）的解为把上式代入（20）得，特征方程为：设λ＝σ+iω，当σ＜0时，平衡态是渐进稳定的，当σ＞0时，平衡态是不稳定的.当σ＝0，系统的特征值有一对纯须根，一般地，这时候系统会出现颤振.把代入（22），并且分离方程的实部和虚部，可以得到：为虚部的方程.为实部的方程.通过求解方程（23）（24），可以得到系统发生HOPF分岔的临界速度和对应的无量纲频率，如表1.接下来，作者将给出在不同热载荷作用下的临界速度.表1 随温度升高无量纲临界速度和频率Table 1 Dimensionless critical velocity and frequency with increasing temperatureThermal load Rx Critical flow velocity UH Dimensionless frequency Rx＝0 1.785 0.824 Rx＝1 1.562 0.717 Rx＝2 1.295 0.588 Rx＝4 0.943 0.417从表1可以看出，随着热载荷的增加，系统发生颤振的临界速度在不断降低.在实际工程应用中，管阵作为能量交换设备，我们应该考虑热环境的影响，系统实际发生失稳的临界速度应该比没有考虑热载荷计算出来的临界速度要小.4 数值分析及结果一般地，线性稳定性分析是用来预测参数值接近稳定边界的行为.然而无法预测参数值远离稳定性边界以后的系统响应情况.在这节里我们将采用数值算法，研究参数值远离稳定性边界后的动力学行为.采用龙格-库塔算法对运动控制常微分方程（16）进行计算，初始条件取为由方程（16）可以看到，在非线性项里，奇数阶模态和偶数阶模态不再解耦，所以我们取固支梁的前五阶模态进行数值计算.取温度Rx＝1，γ＝300，k＝104，采用分岔图和相图描述圆柱位置ξ＝0.5处的响应.当位置在ξ＝0.5处的响应到达稳态时，速度为零时，记录此时的位移，便得到了位移随流速变化的分岔图，如图2所示.从分岔图可以看出，系统经历了稳定状态，周期运动状态，拟周期运动状态，最后是周期1运动变为混沌运动.图2 ξ＝0.5处流速参数区域分岔图（a）0≤U≤7.2（b）7.2≤U≤8.2Fig.2 Bifurcation diagram of the parameter of fluid speed atξ＝0.5（a）0≤U≤7.2（b）7.2≤U≤8.2从图2中看到，随着横向流速的不断增加，系统呈现非常复杂的非线性动力学现象.当流速U＜1.562时，系统呈现为稳态运动；当流速1.562＜U＜3.83时，系统发生极限环运动；流速在3.83＜U＜6.85时，系统呈现为周期3运动；流速在6.85＜U＜7.18时，系统发生短暂时的拟周期运动；流速在7.18＜U＜7.42时，系统又呈现极限环运动，当U＞7.42以后，系统出现混沌运动.下面我们将以相图更加清楚地描述了系统的运动过程.图3（a）为U＝1.9（U＞Ucr＝1.562）时的情况，系统发生极限环振动.当U＝5.5时，系统出现周期3运动（图（b）），时，系统发生拟周期运动，U＝7.3时，出现周期1运动，U＝8.0时，系统呈现混沌运动相图.图3 各流速下系统的相轨迹图Fig.3 Phase portraits of system with various velocity5 结论本文考虑横向流圆柱阵中单弹性细长圆柱体，在定常温度下，圆柱的热弹性颤振问题.基于横向弯曲振动引起轴力变化的以及圆柱振动与折流板发生碰撞，建立了温度效应下弹性圆柱横向流致振动的动力学方程.研究了系统的分岔，并采用数值方法研究了系统的非线性响应，得到了一些结论：（1）线性颤振分析得到了颤振临界度随温度变化的关系，温度升高降低了系统的稳定性.（2）随着横向流速增加，系统经历了稳态运动和极限环运动、拟周期运动，然后再次发生周期运动，最后进入混沌运动.参考文献1 Paidoussis M P，Price S J，Langre E de.Fluid structure interaction cross-flow-induced instability.New-York：Cambridgeuniversity press，First published，20112 Weaver D S，Fttzpatrick J A.A review of cross-flow induced vibrations in heat exchanger tubes arrays.Journal of Fluids and Structures，1988，2：73～933 Paidoussis M P，Li G X.Cross-flow induced chaotic vibrations of heat-exchanger tubes impacting on loose supports.Journal Sound of Vibration，1992，152：305～3264 Chen S H，Chen S S.Chaotic vibration in fluid-stiffnesscontrolled instability of a tube row in crossflow.Journal of Applied Mechanics，1996，63：487～4925 Cai Y，Chen S S.Chaotic vibration of nonlinear supported tubes in cross flow.Journal of Pressure Vessel Technology，1993，115：128～1346 De Langer E，Hadj-sadok C，Beaufils B.Non-linear vibrations induced by fluidelastic forces in tube bundles.In proceedings International Symposium on Flow-induced Vibration of Cylinder Array.New York：ASME，1992：107～1347 王琳.横向流引起含松动支撑细长圆柱体的失稳与非线性振动.第十二届全国非线性振动暨第九届全国非线性动力学和运动稳定性学术会议论文集.镇江：江苏大学出版社，2009（Wang L.Cross-flow-induced instability and non-linear vibrations of slender cylinder subjected to loose support.In：The TwelfthNational nonlinear vibration＆the Ninth National Conference on nonlinear dynamics and stability of motion，Zhenjiang：Jiangshu University Press，2009（in Chinese））8 Price S J，Paidoussis M P.A single-flexible-cylinder analysis for the fluidelastic instability of an array of flexible cylinders in cross flow.Journal of Fluids Engineering，1986，108：193～1999 倪振华.振动力学.西安：西安交通大学出版社，1989（Ni Z H.Mechanism of vibration.XiAn：Xian Jiaotong University Press，1989（in Chinese））。

题目：棒球最佳击球点的探究摘要本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，给出了“最佳击球点”的位置，并在此基础上论证了球棒上添加填充物、不同材料球棒对“最佳击球点”的影响。

问题一,首先确定球棒的外部特征，做出几何图形，对其定量描述。

然后根据棒球的击球方式，找出其中的物理规律，运用动量守恒定理、角动量守恒定理以及恢复系数建立刚体动力学模型，推导出击打后球的速度表达式：121(1)[((0.564))]((0.564))I e v r R v v I m r R ω+--+=-+-+初初末初球 带入数据，得到普通木质球棒的“最佳击球点”为距棒手柄端点70cm 处。

问题二,添加填充物后引起了球棒的物理性质的变化，本文从球棒的质量、质心、转动惯量的变化出发，分析了添加填充物对击球效果的影响，得到“添加填充物降低了棒球的速度”的结论。

问题三，本问主要考虑不同的材质导致球棒的物理性质的改变，本文中着重分析了转动惯量和恢复系数的不同对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并且会导致体育“装备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。

在上述问题的基础上，本文考虑击球时存在机械震动的客观事实，通过力学的Hertz 模型和振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出高速球的结论。

关键词：动量守恒 恢复系数 转动惯量 动力学模型 Hertz 模型一、问题重述在所有的球类运动中，棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个典型的例子。

通过查找相关的资料，建立相关数学模型，解决以下问题：(1)每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。

基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。

构建模型，解释最佳击球点棒球棒的最末端的原因。

华工大考博辅导班：2019华南理工大学机械与汽车工程学院考博难度解析及经验分享华南理工大学2019年实行公开招考、申请考核、直接攻博以及硕博连读四种考试方式招收攻读博士学位研究生。

对于学术型博士研究生，除马克思主义学院、公共管理学院和工商管理学院不实行“申请考核制”外，其他招生学院均实行上述四种招考方式同时进行选拔录取博士研究生。

对于工程类专业学位博士研究生，各学院全部采用“申请考核制”考试方式。

下面是启道考博辅导班整理的关于华南理工大学机械与汽车工程学院考博相关内容。

一、院系简介华南理工大学机械与汽车工程学院于2008年1月，由原机械工程学院、工业装备与控制工程学院、汽车工程学院等三个学院合并组建而成，是华南理工大学规模最大的学院之一。

学院设有机械制造工程系、机械电子工程系、机械学系、汽车工程系、工业装备与控制工程系、高分子材料先进制造技术与装备研究所、金属材料制备成形及装备研究所、工程训练中心等教学与科研行政机构，拥有2个国家工程研究中心、2个国家工程实验室，22个省部级科研基地。

学院现有教职工322人，其中专任教师216人，其中教授93人（其中博士生导师75人）、副教授68人、其他高级职称16人，讲师60人，其他中级职称46人。

学科队伍中有教育部创新团队2个，中国工程院院士1人，国家教学名师1人，国家杰出青年科学基金获得者2人，长江学者特聘教授1人，全国模范教师1人，百千万人才工程国家级人选3人，教育部“跨（新）世纪人才”13人；广东省“珠江学者”特聘教授2人，广东省教学名师3人，广东省“千百十工程”国家级培养对象5人、省级培养对象13人，享受国务院颁发的“政府特殊津贴”13人。

在本科教育方面，学院设有机械工程（国家级特色专业、广东省名牌专业）、机械电子工程（广东省名牌专业）、过程装备与控制工程、安全工程、材料成型及控制工程、车辆工程等6个本科专业及机械工程创新班、机械工程卓越双语班两个特色班。

⼒学课程课程名：理论⼒学（I）Theoretical Mechanics (I)理论⼒学主要通过讲解⼒学的基本概念、定理及其应⽤，介绍处理⼒学问题的基本⽅法。

核⼼任务是利⽤⽜顿定律和分析⼒学原理建⽴质点、质点系和刚体运动的微分⽅程。

作为理⼯科学⽣的基础⼒学课程，学习理论⼒学务必达到以下要求：准确理解基本概念，熟悉基本定理和公式并能灵活应⽤，学习⼀些研究⼒学问题的基本⽅法。

理论⼒学的课程可以按内容分为运动学、静⼒学和动⼒学三部分，也可以按研究⽅法分为⽜顿⼒学和分析⼒学两部分。

在《理论⼒学(I)》中，主要讲述⽜顿⼒学内容，包括：点的运动学、刚体运动学、复合运动、⼏何静⼒学、质点动⼒学、质点系动⼒学、刚体动⼒学。

课程包括基本理论⼒学实验。

先修要求：微积分、⼤学物理教材及参考书：李俊峰、张雄、任⾰学、⾼云峰，《理论⼒学》，清华⼤学出版社/Springer出版社；⾼云峰、李俊峰，《理论⼒学辅导与习题集》，清华⼤学出版社/Springer出版社。

课程名：理论⼒学（II）Theoretical Mechanics (II)理论⼒学主要通过讲解⼒学的基本概念、定理及其应⽤，介绍处理⼒学问题的基本⽅法。

核⼼任务是利⽤⽜顿定律和分析⼒学原理建⽴质点、质点系和刚体运动的微分⽅程。

作为理⼯科学⽣的基础⼒学课程，学习理论⼒学务必达到以下要求：准确理解基本概念，熟悉基本定理和公式并能灵活应⽤，学习⼀些研究⼒学问题的基本⽅法。

理论⼒学的课程可以按内容分为运动学、静⼒学和动⼒学三部分，也可以按研究⽅法分为⽜顿⼒学和分析⼒学两部分。

在《理论⼒学(I)》中，主要讲述分析⼒学内容，包括：分析⼒学基本概念、变分原理、拉格朗⽇⽅程、哈密顿⽅程。

先修要求：微积分、⼤学物理、理论⼒学（I）教材及参考书：李俊峰、张雄、任⾰学、⾼云峰，《理论⼒学》，清华⼤学出版社Springer出版社；⾼云峰、李俊峰，《理论⼒学辅导与习题集》，清华⼤学出版社/Springer出版社；⾃编补充讲义。