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第一章 自由振动1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。
求系统的固有频率。
解：方法一：能量法求等效刚度和等效质量。
取刚性杆绕悬挂点的转角x 为参考坐标，系统的动能为：2222221111111()22323T m xl m l x ml m l x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭势能为:121(1cos )(1cos )2122lU mgl x m g x l mgl m g x =-+-⎛⎫≈+ ⎪⎝⎭n ω==方法二：列动力方程。
仍取刚性杆绕悬挂点的转角x 为参考坐标，由0OM=∑得 22111sin sin 032lm l ml x mgl x m g x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭因为x 远小于零，故sin x x ≈22111032l m l ml x mgl m g x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 亦有n ω=1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA =a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。
求系统的固有频率。
解：方法一：能量法求等效刚度和等效质量。
系统的振动是绕接地点的微小转动，取转角θ为广义坐标，系统的动能为2222221111322222T J mR mR mR θθθ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭势能为2212()2U k R a θ=⨯+图E1.1图E1.2nω===方法二：列动力方程OM=∑2232()02mR k R aθθ⎛⎫++=⎪⎝⎭亦有nω=1.3 转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k，2k和3k的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3解：方法一：能量法。
设圆盘的转动角度为θ2k和3k相当于串联，则有：332232,θθθθθkk=+=以上两式联立可得：θθθθ32233232,kkkkkk+=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=kkkkkkkkkkU系统的动能为212T Jθ=nω=方法二：列扭转振动的方程23123k kJ kk kθθ⎛⎫++=⎪+⎝⎭nω==1.4在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。
工程力学中的振动力学分析振动力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到外力或扰动作用下，产生周期性的振荡运动的力学现象和规律。
在工程设计和实际应用中，对于机械、结构、电路等系统的振动性能进行分析是非常关键的，既可以用于确保系统的稳定性和可靠性，也可以用于优化系统的性能和寿命。
本文将从振动力学的基本概念、振动系统的建模与分析方法、振动控制等方面进行阐述。
1. 振动力学的基本概念振动力学研究的基础是力学和数学，涵盖了力学中的动力学和弹性力学以及数学中的微分方程和线性代数等基础知识。
振动力学分析主要涉及以下几个重要概念：1.1 自由振动：物体在无外界干扰的情况下，受到初位移或初速度激发后，以一定的频率和振幅沿某个方向进行振荡的现象。
1.2 强迫振动：物体在受到外界作用力驱动下，产生周期性振动。
1.3 阻尼：振动系统中由于与外界介质的相互作用，能量逐渐耗散而减小振幅的现象。
1.4 谐振：当外力频率与振动系统的固有频率相等或非常接近时，系统振幅达到最大值。
2. 振动系统的建模与分析方法振动系统的建模是研究振动问题的关键步骤之一，常用的建模方法包括单自由度系统、多自由度系统和连续系统。
其中，单自由度系统是最简单的模型，通常用弹簧和阻尼器模拟物体的弹性和阻尼特性。
2.1 单自由度系统: 单自由度系统是指只有一个独立的振动自由度，常用的模型是弹簧质点系统和单摆系统。
通过施加外力，可以分析系统的自由振动、强迫振动和阻尼振动。
2.2 多自由度系统: 多自由度系统是指在一个系统中存在多个相互独立的振动自由度。
常见的多自由度系统包括梁的弯曲振动、桥梁的横向振动等。
通过建立系统的动力学方程，可以求解各个自由度上的位移响应和系统共振频率。
2.3 连续系统: 连续系统是指物体的振动是连续的，例如梁和板的振动。
在连续系统中，可以利用变分原理、模态分析和有限元法等方法进行振动分析。
3. 振动控制振动控制是指通过控制手段，减小或消除系统的振动响应，以提高系统的性能和稳定性。
振动力学研究物体振动的力学原理振动力学是研究物体振动的一门学科，通过对物体在外界作用下的振动行为进行分析和研究，揭示物体的振动规律和机理。
振动是物体围绕平衡位置作周期性往复运动的现象，广泛存在于自然界和工程实践中。
本文将简要介绍振动力学的基本概念、力学原理以及对物体振动特性的影响因素。
一、振动力学基本概念振动力学涉及的基本概念主要包括振动现象的周期性、振幅、频率和相位。
周期性是指物体振动的运动状态呈现出重复性，即物体在一定时间内完成一个往复运动的过程。
振幅表示物体振动运动中离开平衡状态最大的位移，通常用符号A表示。
频率是指物体在单位时间内完成的振动周期数，通常用符号f表示，其倒数称为振动的周期T。
相位描述了物体运动状态相对于参考点的先后关系，常用角度表示。
二、弹簧振子的力学原理弹簧振子是研究物体振动的典型模型，它通过振子质点围绕平衡位置做简谐振动来展示振动力学的基本原理。
在弹簧振子的振动过程中，存在着弹性势能和动能的转换。
根据胡克定律，当弹簧受到外力F作用时，其形变x与外力之间具有线性关系，并满足以下公式：F = -kx其中，k为弹簧的劲度系数，它衡量了弹簧的刚度，x为弹簧受力方向上的位移。
根据牛顿第二定律，弹簧的受力与加速度之间也存在线性关系：F = ma结合弹簧受力表达式，可推导出振子的运动方程：m(d^2x/dt^2) + kx = 0考虑到振动是周期性的，假设振动解为：x(t) = A*sin(ωt + φ)其中，A为振动的振幅，ω为角频率，φ为相位常数。
将该解代入运动方程，可得到振动方程：mω^2A*sin(ωt + φ) + kA*sin(ωt + φ) = 0化简后可得到角频率的表达式：ω = ±√(k/m)通过这一表达式，我们可以看出物体的振动频率与弹簧的刚度和质量有关，增加刚度或减小质量都将导致振动频率的增加。
三、物体振动特性的影响因素物体振动的特性受到多种因素的影响，包括质量、刚度、阻尼等。
振动力学知识点章末总结首先，振动力学的基本概念包括自由振动、强迫振动、阻尼振动等。
自由振动是指物体在没有外力作用下由于其固有属性而产生的振动。
强迫振动是指物体受到外力作用而产生的振动。
阻尼振动则是指物体在振动过程中会受到阻尼力的影响而衰减的振动。
这些基本概念是理解振动力学知识的基础，同时也是振动现象的基本分类。
其次，振动力学的数学描述是振动研究的重要内容。
在振动力学中，物体的振动状态可以通过振动方程进行描述和分析。
振动方程通常是一个二阶常微分方程，描述了物体振动的规律。
解振动方程可以得到物体振动的频率、振幅、相位等重要参数，从而帮助我们理解和预测振动现象。
同时，振动力学中的拉普拉斯变换、频谱分析等数学方法也是对振动现象进行研究和分析的重要工具。
另外，振动力学的能量和动量是在振动研究中重要的物理量。
在振动过程中，物体的能量会发生转换和传递，了解振动系统的能量变化规律有助于我们对振动的特性有更深入的理解。
同时，振动系统的动量也是有其特殊性质，它的守恒性质使得我们可以通过对振动系统的分析，了解振动系统的均衡和稳定性。
能量和动量是振动力学研究的核心内容，通过对它们的研究，我们可以更好地掌握振动系统的特性。
此外，振动力学中的共振现象是一个重要的研究内容。
共振是指当外力的频率与系统的固有频率相等或接近时，系统会出现明显的振幅增长和能量传输的现象。
共振现象在工程设计和科学研究中有重要的应用，我们需要通过对共振现象的分析和研究，避免共振对系统的破坏性影响。
最后，振动力学的应用包括在机械工程、土木工程、航空航天等领域。
振动力学的知识在设计和维护机械设备、建筑结构、飞行器等方面都有着重要的作用。
了解振动系统的特性，可以帮助我们优化设计和改进系统，避免由于振动引起的故障和事故。
总之，振动力学是一个重要的力学学科，通过对振动力学知识的学习，我们可以更好地理解和应用振动现象，提高工程设计和科学研究的水平。
振动力学的研究内容包括基本概念、数学描述、能量和动量、共振现象和应用等方面，对这些内容的深入研究可以帮助我们更好地掌握振动力学的理论和方法，更好地应用和发展振动力学知识。
有限元方法在振动力学上的应用分析Xxxxxxxxxxxxxx有限元方法在振动力学上的应用分析摘要：有限元法是一种可用于精确地(但近似)解决许多复杂的振动问题的数值方法。
对于基本的一维元素进行有限元分析，能得到质量矩阵与刚度矩阵和所需的力矢量，对于二维三维，元素矩阵会转换成相关的更高维的空间。
使用一致的和集中质量矩阵的有限元方程并结合边界条件能为复杂系统提供解释。
最后,使用MA TLAB程序得到在轴向载荷下的指定节点位移,固有振动频率和特征值分析。
[1]关键词：有限元振动力学固有频率特征值目录1发展背景 (3)1.1有限元的发展背景 (3)1.2有限元法应用于工程计算的发展背景 (3)2基础理论推导 (4)2.1有限元理论 (4)2.2理论推导 (4)3参数影响 (8)3.1边界条件的影响 (8)3.2网格划分对有限元模态分析的影响 (8)3.3单元类型的影响 (8)4实例分析 (9)4.1杆件分析 (9)4.2梁的自然频率 (10)5结论 (11)1，发展背景1.1有限元的发展背景有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。
自从提出有限元概念以来,有限元理论及其应用得到了迅速发展。
过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的解决方案。
传统的FEM假设：分析域是无限的；材料是同质的，甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。
但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。
为解决这类问题,美国学者提出用GFEM （Gener-alized Finite Element Method）解决分析域内含有大量孔洞特征的问题。
[2]比利时学者提出用HSM （the Hybrid metis Singular element of Membrane plate）解决实际开裂问题。
在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较向优化设计方向发展。
印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计，结果不但降低了约40%的前桥自重，还避免了在制造过程中的大量焊接工艺，降低了生产成本。
[3]目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估计并控制误差,常用基于后验误差估计的自适应有限元法。
基于后处理法计算误差,与传统算法不同，将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。
在均匀化迭代过程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便得到一个合适的起始均匀网格；[4]在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭代的结果，在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的网格能光滑衔接，从而提高网格质量。
整个方案简单易行，稳定可靠，数次迭代即可快速收敛,生成的网格布局合理，质量高。
1.2 有限元法应用于工程计算的发展背景FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法，已经历了50余年的发展。
20世纪50年代，它作为处理固体力学问题的方法出现。
1943年，Courant第一次提出单元概念。
1945~1955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展。
1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题。
1960年,Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”,并描绘为“有限元法 = Rayleigh Ritz法 + 分片函数”。
几乎与此同时,我国数学家冯康也独立提出了类似方法。
FEM理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。
自20世纪60年代以来,人们加强了对FEM数学基础的研究。
如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。
FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。
20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析(FEA: Finite Element Analysis)系统,如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析,从而推动了FEM在工程中的实际应用。
20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用,原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统,如ANSYS-PC、NISA,SUPERSAP 等。
20世纪90年代以来,随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于Windows的微机版FEA系统。
经过半个多世纪的发展,FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题;从静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题;从线性问题扩展到非线性问题；从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域；从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。
它经历了从低级到高级、从简单到复杂的发展过程,目前已成为工程计算最有效的办法之一。
[5]2基础理论推导2.1有限元理论有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方法。
它先将拟分析的工程结构模型，假想地分割成有限个单元，组成离散化模型。
各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来，单元节点可为铰接或其它形式。
然后导出各单元体的运动方程式，最后将这些单元体的运动方程式叠加而得到离散了的工程结构的有限元运动方程式。
因此，有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元组成的与原结构非常接近的离散系统，有限元法是离散化方法。
计算所得结果的精确程度取决于单元体的划分。
有限元法的基本过程为， （1）将结构离散化，即把结构划分成离散的单元。
（2）考虑单元的性质，建立单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷矩阵，推导出单元体的运动方程式。
（3）组合与叠加各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵，得到整个离散系统的运动方程式。
（4）解特征方程，求出频率与振型，或求解动力响应问题和动应力问题。
有限元法中采用的单元类型有二维、三维等，其形状、大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因此它能适应复杂的结构，如板、壳、杆等组合的结构物，也适用于各种不同的边界条件。
有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此便于计算机计算，并安排标准程序和通用程序。
2.2理论推导2.2.1单元的质量、刚度矩阵 （1）杆单元一个杆单元是从杆上划分出的一个小段，如下图所示。
由于单元很小，ρ、A 均视为常量。
很容易就可以推导出它的质量、刚度矩阵，等效节点力，这里就不再赘述（2）梁单元如下图所示，一个梁单元也是有两个节点，但是有四个自由度，每个节点处，有两种位移形式，一个是线位移，即挠度，一是角位移。
图中 是力 是力矩 是对应的线位移 是对应的角位移 是分布载荷 是梁单元上任意位移 x 处的挠度。
[6]在静载弯曲条件下，梁单元上任意点出的挠度是x 的三次方程，可写成：()() ,31t f t f ()()t f t f 42, ()() ,31t t ωω()()t t 42, ωω()t x f ,()t x ,ω此方程必须满足下面的边界条件：由此可以求解处a (t)、b (t)、c (t)、d (t)，进而挠度方程为：上式可以写成形状函数的表示：其中，形函数分别为：梁单元的动能、势能、虚功表达式分别为：[7]上式中：通过上式，可以得到梁单元的质量、刚度矩阵，等效节点力：2.2.2单元矩阵的坐标变换局部坐标系：以各个单元本身的轴线为基准所设立的坐标系。
便于计算节点位移。
缺点：如果整个系统里各个单元取向各异，各个节点位移方向不一致，如下图。
如何使汇交于一个节点的各个杆件的节点位移真正相等?解决方法：进行坐标变换如左图的系统，有四个杆件，u 1(t) 、u 2(t)为局部坐标系的节点位移，U i 为全局坐标系下的位移.[8]如下图，节点位移在局部、全局坐标系中的关系坐标变换矩阵其中，因为单元的动能、势能与坐标系无关:得到在全局坐标下的单元质量、刚度矩阵为：类似地，根据单元在两个坐标系下的力所做的虚功相等：得到在全局坐标系下的等效节点力：2.2.3全系统运动方程经过坐标变换，各个单元的节点位移方向被统一起来，但是不同的节点有不同的节点位移，为了便于综合出全系统的运动方程，首先要建立全系统的节点位移向量。
[9]每个单元的节点位移向量与全系统的节点位移向量之间的关系：把每个单元的动能相加，就得到了整个系统的动能：这样就得到了整个系统的质量矩阵:类似地，考虑整个系统的势能，便可以得到整个系统的刚度矩阵：整个系统的广义力向量：最后得到整个系统的运动方程：3参数影响3.1边界条件的影响N：结构中自由节点位移的数目前文中，节点没有固定，结构在节点力的作用下会发生刚体位移。
也就是说，矩阵[K]是奇异矩阵。
通常情况下，我们希望结构的位移为零。
因此，我们需要添加边界条件对矩阵[M]、[K]和向量F进行约束。
3.2网格划分对有限元模态分析的影响7级精度等级不同网格的模态频率值1)在求解精度满足要求的情况下,有限元模态分析在不同精度等级和不同网格划分数量的求解中得出的模态频率有较小的差异,模态振型基本一致。
2)有限元模态分析在有限元软件中相同精度等级,不同网格划分数量的求解中得出的模态频率可以认为没有差异,模态振型一致。
3)利用有限元进行有限元模态分析时,在满足求解精度要求的情况下,可适当减少网格划分的数量以提高计算效率。
3.3单元类型的影响单元类型的选择,跟你要解决的问题本身密切相关。
在选择单元类型前,首先你要对问题本身有非常明确的认识,对工程问题所处的环境有清晰的认识,然后,对于每一种单元类型,每个节点有多少个自由度,它包含哪些特性,能够在哪些条件下使用。
[12]4，实例分析1）杆件分析如图：均质；长0.5m；断面截面积5e-4m^2；杨氏模量200GPa；密度7850Kg/m^3；左端固定。
a.节点2处施加1000N静态轴向外力u2，求应力b.求系统固有频率解：a：平衡方程：A=5e-4，E=2e11，l = 0.5，f2=1000，代入方程得：u1：位移，f1：节点1处应力，添加边界条件：u1=0，解得：u2=5e-10m由应力与应变的关系：b：由刚度矩阵和质量矩阵，得特征值方程：式中w位固有频率，U1、U2分别是节点1、2的振幅，添加边界条件：U1=0；解得：2）梁的自然频率[10]解：梁被理想化为单一单元，局部和整体的节点位移相同，如图所示：[11]梁的刚度矩阵：质量矩阵：节点位移向量：与端点相关的边界条件：W1=0，W3=0；解得：求解特征值：乘以l/2EI得：令系数矩阵的行列式等于0得：方程的根即梁的自然频率：结果可以和精确解比较：5，结论有限元法是一种高效能、常用的计算方法．有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。
