格林函数 解的积分公式 泊阿松方程

（3）球外空间的格林函数
设点电荷Q = 1 坐标为 P(x, y, z)
观察点为 P(x, y, z)
R x
x2 y2 z2
R x
x2 y2 z2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
PP
r
x
x
R2 R2 2RRcos
（设它假在想O点P电 连荷线在上P， ，题它中的b对坐应标这为里的RR02R2
)
G ( x
,
x)
]
dS
S
n
n
V
G
(
x,
x)
2
(
x
)dV
1
0
G(x, x)(x)dV
V
G(Vx,
(
x
)
2
G(
x) 0
x,
x)dV
1
0
(x) (x x)dV
1
(x)
V
0
S
(x)
V G(x, x)(x)dV 0
(x) G(x, x)dS
S n
2．第二类边值问题解的格林函数方法
ds R
x)
G( x n
x)
ds
V0
2
a
RdR
0
2
d
0
R2
z2
R2
z
2RRcos(
)
3 2
V0z
2
a 0
RdR
2 0
d
(R2
1
z2)
1
R2
2RR c os (
R2 z2
) 32
在很远处，(R2+z2>>a2 )的电势可以展开成幂级数，

泊松方程泊松方程（英语：Poisson’s equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。

当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程"。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。

现在有很多种数值解.像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。

静电学在静电学很容易遇到泊松方程。

对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。

在国际单位制（SI)中:此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米）,而是真空电容率（单位为法拉/米).如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：[编辑]高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度:此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf（x)代表的是误差函数.注意：如果r远大于σ,erf（x)趋近于1，而电场Φ（r）趋近点电荷电场；正如我们所预期的。

[编辑]参阅•离散泊松方程[编辑］参考资料•Poisson Equation at EqWorld： The World of Mathematical Equations.•L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence， 1998。

ISBN 0—8218—0772-2• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists， Chapman & Hall/CRC Press， Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488—299-9。

T
T
vu dS vudV vudV

T
T
上述两式相减得到


(u
v n

v
u )dS n


T
(uv

vu)dV
第二格林公式
表示沿边界
n
的外方向求导数
6
三 泊松方程的解用点源函数与边界条件表示——解出积分公式 1. 泊松方程的求解：
T K
T K
9
[G(r , r0 )u u(r )G(r , r0)]dV G(r, r0) f (r )dV
T K
T K
应用第二类格林
公式将左边的体 积分化为面积分


(u
v n

v
u )dS n


T
(uv

vu)dV
(G u u G)dS (G u u G)dS Gf dV (3)
u(r )乘以 G(r , r0 ) (r r0 ) u(r )G(r , r0 ) u(r ) (r r0 ) (2)
8
(1)—(2)式
G(r , r0 )u u(r )G(r , r0 ) G(r , r0 ) f (r ) u(r ) (r r0)
第十二章 格林函数法 (Method of Green Function)
Introduction
行波法
无界空间波动问题，有局限性
分离变量法 格林函数法
各种定解问题（有界）， 其解为无穷级数
直接求特解，各种定解问题， 解一个含有格林函数的有限积分
1
格林（Green）函数：又称为点源影响函数，是数学物理中的

R4 ρ2 ρ02 2R20cos R
1
4π
0cos ρ
2 0
ρ2
20cos
32
R ρρ02 R20cos R4 ρ2 ρ02 2R20cos
3 2 R
1 4π
R
R2 ρ02
2 0
R2
2R0cos
32
代入相应积分公式，可得
uM
0
R
f
M
GM;M
n
0
dS
f M 1
利用余弦定理，有
rMM0 02 ρ2 20cos
0rMM1 0 R2 0 2 ρ2 2 R2 0 cos
R4 ρ2 ρ02 2R20cos
其中γ是OM0与OM之间的夹角。
G G n R R
G
M;M
0
1 4πrMM
0
R 0
4πrMM1
1
1
R
4π 02 ρ2 20cos
及
Δg 0, g U，
在D内， 在B上
基本解在前面已经求出，有边界区域齐次方程解的求法在下 一节介绍。
三维问题解的积分公式
假设格林函数已经求出，下面研究三维拉普拉斯算子第一 边值问题解的积分表示。
若 u 满足如下定解问题
Δu f x,y,z, u x,y,z，
在内， 在S上
则解 u 的积分公式为
U Ar
其中A为待定系数。将表达式代入方程（ a ），可得
A 1
8
于是，最后得到双调和方程的基本解
U r
8
6.3 格林函数
二维格林函数的定义
定义2 满足
ΔG2G0， x x0, y y0 ,
在D内， 在B上