《对数与对数运算》(第1课时)2

2.2.1 对数与对数运算

第一课时 对数的概念

三维目标定向

〖知识与技能〗

理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗

从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗

增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计

一、问题情境设疑

引例1：已知2524,232，如果226x，则x = ？

引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？

分析：设经过x年国内生产总值比2006年翻两番，则有aax4%)81(，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式baN中，求b的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x表示出来。

二、核心内容整合

1、对数：如果)10(aaNax且，那么数x叫做以a为底N的对数，记作Nxalog。其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a > 0且1a时，NxNaaxlog（符号功能）——熟练转化

如：1318log131801.101.1xx，4 2 = 16  2 = log 4 16

2、常用对数：以10为底10logN写成lgN；

自然对数：以e为底logeN写成lnN（e = 2.71828…）

3、对数的性质：

（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；

（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；

（3）如果把baN中b的写成logaN，则有NaNalog（对数恒等式）。 三、例题分析示例

1 §2.2 对数函数

2.2.1 对数与对数运算

第1课时 对 数

学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．

知识点一 对数的概念

对数的概念：

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.71828…)为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.

知识点二 对数与指数的关系

思考 求loga1(a>0，且a≠1)的值．

答案 设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.

梳理 一般地，有对数与指数的关系：

若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.

对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1)．

对数的性质：

(1)1的对数为零；

(2)底的对数为1；

(3)零和负数没有对数．

1．若3x＝2，则x＝log32.( √ )

2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.( √ )

3．logaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( × )

4．若lnN＝12，则N＝12e.( × )

类型一 对数的概念 2 例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )

A．b<2或b>5 B．2

C．4

考点 对数的概念

题点 对数的概念

答案 D

解析 ∵ b－2>0，5－b>0，5－b≠1，∴2

反思与感悟 由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.

跟踪训练1 求f(x)＝logx1－x1＋x的定义域．

考点 对数的概念

题点 对数的概念

解 要使函数式有意义，需 x>0，x≠1，1－x1＋x>0，解得0

师：说得有道理！把Ｙ＝　（ａ＞０，且ａ≠１）化为对数式　

时，　等于什么？　

生３：　＝ｌｏｇ＃．　

师：　＝ｌｏｇｇｙ是一个函数吗？　

（学生在默默地思考．）　

师：（启发）可以结合与之等价的指数函数的图象与对应关　

系来解释．　

生　：给定一个正实数Ｙ的值，由指数函数的图象可知Ｙ取　

对数后只能得到一个　的值与之对应，可见满足函数的定义，　

因此Ｙ＝ｌｏｇ￣ｘ是一个函数．　

师：说得太棒了！只不过这里Ｙ是自变量，　是Ｙ的函数．　

按照习惯我们交换　与Ｙ，就可得到对数函数的概念，谁能叙述　

一下？　

生　：函数Ｙ＝ｌｏ　叫做对数函数．　

师：还应该说明常数。，自变量　与函数Ｙ分别取什么值？　

谁能补充一下？　

生　：常数。应该与指数函数中ａ的取值一样，自变量　与　

函数Ｙ取一切实数．　

师：（追问）为什么？　生　：因为Ｙ＝ｌｏｇ￣ｘ与　＝ａｙ等价，所以两个式子中ｎ的取值　

一样．　

师：（追问）自变量　取一切实数正确吗？　

生　：应该正确吧．　

生，：不正确，根据Ｙ＝ｌｏｇ￣ｘ与　＝　等价，　应该取正实　

数，前面学过负数和０没有对数．　

师：说得有理有据！把生　、生　、生　说的归纳在一起，对　

数函数可定义如下．　

（教师板书．）　

一般地，把函数Ｙ＝ｌｏｇ￣ｘ（ｎ＞０，且。≠１）叫做对数函数，　

其中自变量　∈（０，＋ｏ。）．　

师：注意函数Ｙ＝ｌｏ　与函数　＝　都是一个整体，不能割　

裂开．继续思考有何特征？　

生。：右边对数式的系数与指数都为１，　的系数与指数也都　

是１．　

师：特征观察得基本准确．既要注意整体性又要注意形式　化，凡在形式上符合的函数或可化为该形式的函数都可以，在　

Ｙ：ｌｏｇ．ｘ中，常数。称为对数的底数，Ｙ叫做　的对数．与指数　

函数既相互联系，又相互区别，它们反映不同的函数关系．关于　

它们的相互关系在后面的内容中将有专门研究．　

【点评】教师以问题１和问题２为载体，用“师生对话”引　

导学生参与“对数函数概念”形成过程的教学活动．在此活动中　

2013级高一新生预科 数学讲义

信心+决心+恒心 1 2.2.1对数与对数运算（一）

（一）教学目标

①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；

②掌握对数式与指数式的关系 .

（二）教学重点、难点；对数式与指数式的互化

（三）教学过程

（

课本P

57例8）131.01x

y

中，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……，该如何解决？ 即：182030

1.01,1.01,1.01,

131313xxx



在个式子中，x

分别等于多少？

象上面的式子，已知_____________，求_______，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概

念）.

一．对数概念： _____________________________

_______________________________________________________

_____________________________________________________例： 2

4416,2log16则

，读作2是以4

为底，16的对数.

1

242，则

41

log2

2，读作1

2是以4为底2的对数

二. 对数式与指数式的互化

（1）底数的限制a

＞0，且a

≠1； N＞0（2）logx

aaNNx

例：若log

(x

—1)（2x—1），则x的

取值范围为＿＿＿

log

aN

可看作一记说明：对数式

号，表示底为a

（a

＞0，且a

≠1），幂为

程x

aN

（a

＞0，N的指数,也表示方

以看作一种运算，即且a

≠1）的解. 也可

已知底为a

（a

＞0，且a

≠1）幂为N，求

此，对数式log

aN

幂指数的运算. 因

又可看幂运算的逆运算.

三. 对数的性质：

（1）负数和零没有对数 （2）log

a 1=__ , log

a a

=___

式子 名称

a

b

N

指数式

b

aN

对数式

log

aNb

2013级高一新生预科 数学讲义

信心+决心+恒心 2 （

3）