多边形知识点及经典习题
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多边形
一． 考点：三角形的角度，边长关系，角和与外角和，用正多边形铺设地板
二． 热点：角和与外角和
三． 知识讲解
★★★主要知识点：
1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2、三角形的分类.
钝角三角形直角三角形锐角三角形
)(等边三角形等腰三角形不等边三角形
3、一般三角形的性质
(1)三角形的角和定理及性质
定理：三角形的角和等于180°.
推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。
(2)三角形的三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。
(4) 三角形具有稳定性
(5)三角形的主要线段的性质(见下表)：
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 名称 基本性质
角平分线 ①三角形三条角平分线相交于一点（心）；心到三角形三边距离相等；②角平分线上任一点到角的两边距离相等。
中线 三角形的三条中线相交于一点。（重心);性质：到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍。
高 三角形的三条高相交于一点。（垂心）
边的垂直平分线 三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；外心到三角形三个顶点的距离相等。
中位线 连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；性质：中位线平行第三边并且等于第三边的一半 三角形
(按角分) 三角形
(按边分) 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
3. 几种特殊三角形的特殊性质
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、
底边上的中线、底边上的高重合。（三线合一）这条线段所在的直线是等腰三角
形的对称轴。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（1）直角三角形的特殊性质：
A/直角三角形的两个锐角互为余角；
B/在直角三角形中如果 有一个角等于30°，那么这个角的对边等于斜边的一半；
如果有一条边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角等于30°。
C/直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D/直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba
4. 三角形的面积一般三角形：S △ = 21a h（ h 是a边上的高 ）
4、多边形、
1、任意多边形的外角和恒为360°
2、多边形及多边形的对角线
①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的
同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，
称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:
A.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(nn条对角线。
9、边形的角和公式及外角和
①多边形的角和等于（n-2）×180°(n≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的角和为360°。
例1： (基础题) ①在△ABC中，已知∠B = 40°，∠C = 80°，则∠A = （度）
②如图，△ABC中，∠A = 60°，∠C = 50°，则外角∠CBD = 。
③已知，在△ABC中， ∠A + ∠B = ∠C，那么△ABC的形状为（ ）
A、直角三角形 B、钝角三角形
C、锐角三角形 D、以上都不对
④下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm
C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm
⑤如果一个三角形的三边长分别为x，2，3，那么x的取值围是 。
⑥小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ ．
⑦已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为
⑧在△ABC中，AB = AC，BC=10cm,∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。BD=______,CD=________
⑨如图，AB = AC，BC ⊥ AD，若BC = 6，则BD = 。
例3： (提高)
①△ABC中，∠C=90°，∠B-2∠A=30°，则∠A= ，∠B=
③在等腰三角形中，一个角是另一个角的2倍，求三个角？_______________________
④：在等腰三角形中，，周长为40cm,一个边另一个边2倍，求三个边？_________________
例6.ABC为等边三角形，D是AC中点，E是BC延长线上一点，且CE = 21BC
求证： BD = DE
一、选择题：
等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A.150° B.80° C.50°或80° D.70°
2． 在△ABC中， ∠A＝50°， ∠B，∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是( )
A． 65° B． 115° C． 130° D． 100°
3．如图，如果∠1＝∠2＝∠3，则AM为△ 的角平分线，
AN为△ 的角平分线。
三、解答题：
2
C 3 N M B
1
A 14、如图4，∠1+∠2+∠3+∠4= 度；
15、如图；ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD
上钉上一根木条，现量得AB=80㎝，BC=60㎝，
CD=40㎝，AD=50㎝，试问所需的木条长度至少要多长？
16、图1-4-27，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∠ABC的平分线BD交AC于D.
求：∠ADB和∠CDB的度数.
.
18。已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4。
求等腰三角形各边的长。
23．、如图，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线。试探求∠F与∠B、∠D之间的关系，并说明理由。
例1、填空：
（6）正二十边形的每个角都等于 。
（7）一个多边形的角和为1800°，则它的边数为 。
（8）n多边形的每一个外角是36°，则n是 。
（9）多边形的每一个角都等于150°，则从此多边形一个顶点出发引出的对角线有 条。
（10）如果把一个多边形截去一个三角形，剩下的多边形的角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 。
（11）一多边形除一角外，其余各角之和为2570°，
则这个角等于 。
B C A
D
E
F D
C
B A
与三角形有关的线段 一、 三角形的基本概念：
⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．
三角形具有稳定性．
⑵三角形的角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的角．
在同一个三角形，大边对大角．
⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角．
⑷三角形的分类：
()()():直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形
注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．
三角形的三个角中，最大的一个角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．
二、 与三角形相关的边
⑴三角形中的三种重要线段
①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的心，而且它一定在三角形部．
②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．
注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形部．
③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线．
注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．
锐角三角形的高均在三角形部，三条高的交点也在三角形的部；
钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，
直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．
画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．
⑵三角形三条边的关系
