函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案
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函数的定义域
【考纲说明】
1、理解函数的定义域,掌握求函数定义域基本方法。
2、会求较简单的复合函数的定义域。
3、会讨论求解其中参数的取值范围。
【知识梳理】
(1) 定义:定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 (2) 确定函数定义域的原则
1.当函数y=f(x)用列表法给出时,函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。
2.当函数y=f(x)用图象法给出时,函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。
3.当函数y=f(x)用解析式给出时,函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。
4.当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数定义域要使函数有意义,同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据:
①f(x)是整式(无分母),则定义域为 ;
②f(x)是分式,则定义域为 的集合; ③f(x)是偶次根式,则定义域为 的集合;
④对数式中真数 ,当指数式、对数式底中含有变量x 时,底数 ; ⑤零次幂中, ,即x 0中 ;
⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数,则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan =
4、抽象函数的定义域(难点)
(1)已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可
得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 (2)已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域
方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
(3)已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
(4)已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。
【经典例题】
1. (陕西文2)函数21lg )(x x f -=的定义域为
(A )[0,1] (B )(-1,1)
(C )[-1,1]
(D )(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由1-x 2
>0得-1 2、(06广东卷)函数2()lg(31) f x x = ++的定义域是 A.1 (,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3 -∞- 解:由131 1301<<-⇒⎩⎨ ⎧>+>-x x x ,故选B. 3. (江西文3)函数1()lg 4 x f x x -=-的定义域为( ) A.(1 4), B.[1 4), C.(1)(4)-∞+∞U ,, D.(1](4)-∞+∞U ,, 解析:10(1)(4)0,1 4.4 x x x x x ->⇒--<∴<<-选A. 4. (湖南卷)函数y ( ) A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 解:函数2log 2-=x y 的定义域是2log 2x -≥0,解得x ≥4,选D. 5、(湖北卷4)函数1 ()f x x = 的定义域为D A. (,4][2,)-∞-+∞U B. (4,0)(0.1)-U C. [-4,0)(0,1]U D. [4,0)(0,1)-U 6、(2012高考四川文13 )函数()f x =____________。(用区间表示) 【答案】)2 1,(-∞. 【解析】根据题意知021>-x ,21 1,(-∞. 7、2012高考山东文3 】函数1 ()ln(1) f x x = + (A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 【答案】B 【解析】方法一:特值法,当2-=x 时,)1ln()(+=x x f 无意义,排除A,C.当0=x 时,01ln )10ln()0(==+=f ,不能充当分母,所以排除D,选B. 方法二:要使函数有意义则有⎪⎩ ⎪ ⎨⎧≥-≠+>+0 40)1ln(012x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201 x x x ,即01<<-x 或20≤ 8、已知函数()f x 的定义域为[]15-,,求(35)f x -的定义域. 分析:该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数,其中x 是自变量,u 是中间变量,由于()f x 与 ()f u 是同一个函数,因此这里是已知15u -≤≤,即1355x --≤≤,求x 的取值范围. 解:()f x Q 的定义域为[]15-,,1355x ∴--≤≤,410 33x ∴≤≤. 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ , 9、已知函数2 (22)f x x -+的定义域为[]03,,求函数()f x 的定义域. 分析:令222u x x =-+,则2(22)()f x x f u -+=, 由于()f u 与()f x 是同一函数,因此u 的取值范围即为()f x 的定义域. 解:由03x ≤≤,得21225x x -+≤≤. 令222u x x =-+,则2(22)()f x x f u -+=,15u ≤≤. 故()f x 的定义域为[]15,.