均匀试验设计汇总

王中来：均匀试验设计 1 均匀试验设计

主要参考文献： 1、 方开泰. 均匀设计与均匀设计表. 北京：科学出版社，1994 2、 林维萱. 试验设计方法. 大连：大连海事大学出版社，1995 3、 栾军. 现在试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，1995 4、 茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社, 1981

一、 均匀设计的概念及特点 均匀设计是由我国数学家方开泰教授和王元教授于1978年提出的。1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50。显然，正交试验设计不能用。 对于一个水平数为m的正交试验，至少要做m2次试验，如m=10时，m2=100，即至少要做100次试验，这在实际中是难于实施的。因此，正交试验设计方法只适用于因素水平数不太多的多因素试验。 正交表的特点是使试验点“均匀分散、整齐可比”。“均匀分散”即均匀性，使试验点均匀分布在试验范围内，让每个试验点都具有一定的代表性，可以用部分试验反映全面试验的情况，大大减少试验次数。“整齐可比”就是综合可比性，使试验结果的分析十分方便，易于分析各因素及其交互作用对试验指标的影响大小及规律性。但是，为了保证整齐可比性（即“均衡搭配”），对任意两个因素而言，必须是全面试验，每个因素的水平必须有重复。这样，试验点在试验范围内就不能充分均匀分散，试验点就不能太少。 王中来：均匀试验设计 2 综上所述，正交试验为了保证“整齐可比”，使均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少，如果不考虑整齐可比（即综合可比）性，而完全保证均匀性，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结果。这种从均匀性出发的试验设计，称为均匀试验设计。 均匀试验设计的最大优点是可以节省大量的试验工作量，尤其在试验因素水平较多的情况下，其优势更为明显。例如，一个四因素七水平试验，进行一轮全面试验要做74=2401次，用正交试验也至少要做72 = 49次，而用均匀试验则仅需7次。因此，对于水平数很多的多因素试验，对于试验费用昂贵或实际情况要求尽量少做试验的场合，对于筛选因素或收缩试验范围进行逐步寻优的场合，均匀设计都是十分有效的试验设计方法。 由于均匀设计没有整齐可比性，所以试验结果的处理不能采用方差分析法，而必须用回归分析。因此，试验数据处理较为复杂，这是均匀设计的一个缺点。对于发明均匀设计法的那个年代（1978年），计算机应用尚未普及，这确实是一个大难题，但对于计算机十分普及的今天，则已不是一个难题。再说，多分析数据比多做试验，一般来讲要更为经济。 二、 均匀设计表及其使用表 与正交试验设计相似，均匀设计也是通过一套精心设计的表格来安排试验的，这种表称为均匀设计表。 均匀设计表是根据数论方法在多重数值积分中的应用原理构造的，它分为等水平和混合水平两种。 1、 等水平均匀设计表 王中来：均匀试验设计 3 等水平均匀设计表用Un (mk)表示，其中各符号的意义如下： 均匀设计表 因素数 Un(mk)

试验次数 因素水平数 表1为U6(64)均匀设计表，最多可安排4个因素，每个因素6个水平，共做6次试验。 等水平均匀设计表具有如下特点： (1) 每个因素的每个水平只做一次试验； (2) 任意两个因素的试验点画在平面格子点上，每行每列恰好有一个试验点。如表U6(64)的第1列和第3列点成图1(a)所示。 表1 U6(64) 均匀表 列号 试验号 1 2 3 4 1 1 2 3 6 2 2 4 6 5 3 3 6 2 4 4 4 1 5 3 5 5 3 1 2 6 6 5 4 1

表2 U6(64) 使用表 因素数 列 号 D(偏差值) 2 1 3 0.1875 3 1 2 3 0.2656 4 1 2 3 4 0.2990

（a）第1、3列 （4）第1、4列 图1 均匀表不同列组合的均匀性 王中来：均匀试验设计 4 上述两个特点反映了试验安排的均衡性，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。 (3) 等水平均匀表任两列之间不一定是平等的。例如，用U6(64) 的第1、3和第1、4列分别画图，得图1（a）和图1（b）。可见图1（a）的点分布比较均匀，而图1（b）的点则分布不均匀。均匀设计表的这一性质与正交表有很大不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表，以帮助我们在均匀设计时如何选列来安排各个因素。表2为U6(64) 的使用表，它告诉我们在利用U6(64) 进行均匀设计时，若只有2个因数时，则应安排在第1、3列；若有3个因数，则应安排在第1、2、3列。表2中最后一列D表示刻划均匀度的偏差（discrepancy）, D值越小，均匀度越好。 (4) 等水平均匀表的试验次数与该表的水平数相等。当水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。如水平数m从9增加到10时，试验数n也从9增加到10。但对于等水平正交试验，当水平数从9增加到10时，试验数将从81增加到100，按平方关系增加。可见，均匀设计中增加因素水平时，仅使试验工作量稍有增加，这是均匀设计的最大优点。 (5) 水平数为奇数的表与水平数为偶数的表之间，具有确定的关系。将奇数表去掉最后一行，就得到水平数比原奇数表少1的偶数表，相应地，试验次数也少，而使用表不变。例如，将U7(76)去掉最后一行，就得到了U6(66), 使用表不变。因此，许多书上只给出水平数为奇数的均匀设计表。 (6) 均匀表中各列的因素水平不能象正交表那样可以任意改变次序，而只能按照原来的顺序进行平滑。就是将原来的最后一个水平与第一个水平衔接起来，组成一个封闭圈，然后从任一处开始定为第一水平，按圈子的方向或相反王中来：均匀试验设计 5 方向，排出第二水平、第三水平，… …。 2、 混合水平均匀设计表 混合水平均匀设计表用于安排因素的水平不相同的均匀试验，其一般形式为U,321321kkknmmm式中n为试验次数，321mmm、、为列的水平数，321kkk、、

分别表示水平数为321mmm、、的列的数目。 混合水平均匀设计表是从等水平的均匀设计表，利用拟水平的方法得到的。 设某试验需考察A、B、C三个因素，A、B取三个水平，C取二个水平。这个试验可以用正交表L18(2×37)来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比L18(2×37)更小的正交表来安排这个试验。那么，是否可以用均匀设计来安排这个试验呢?？直接运用是有困难的，但可采用拟水平法对等水平均匀设计表进行改造。我们选均匀表U6(66)，按使用表的推荐用1、2、3前三列。现将第1、2列的水平作如下改造： {1，2}  1， {3，4}  2， {5，6}  3 第3列的水平作如下改造： {1，2，3}  1， {4，5，6}  2 这样，便得到了一个混合水平的均匀设计表U6(32×21)，见表3。把因素A、B、C依次放在U6(32×21)的第1、2、3列上即可。 表3有很好的均衡性（即正交表所具有的均衡搭配性质），如第1、3两列和第2、3两列的所有水平均出现且只出现一次，可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这么好。 王中来：均匀试验设计

6 表3 拟水平设计U6(32×21) 列号 试验号 1（A） 2（B） 3（C）

1 （1）1 （2）1 （3）1

2 （2）1 （4）2 （6）2

3 （3）2 （6）3 （2）1

4 （4）2 （1）1 （5）2

5 （5）3 （3）2 （1）1

6 （6）3 （5）3 （4）2

用拟水平法构造混合水平均匀设计表时，为使生成的混合水平表有较好的均衡性，不能按使用表的指示选择列，应当通过比较确定选用哪些列去生成混合水平表，使得所生成的混合水平表既有好的均衡性，又使偏差（D值）尽可能地小。 为了使用方便，书上的附录（《试验设计方法》附表9，pp.338-339）给出了常用的混合水平表的拟水平构造指导表，按指导表生成的混合水平均匀表的均衡性最好。但是，若在指导表中查不到，那只好按使用表的指示去构造了。当然，这样得到的混合水平表，其均衡性不一定是最好的。也有一些书上直接给出了已构造好的混合水平均匀设计表。 三、 均匀试验设计的基本方法 均匀试验设计的基本步骤与正交试验设计一样，也包括试验方案设计与试验结果分析两部分。 1 试验方案设计 （1） 确定试验指标； 王中来：均匀试验设计 7 （2） 选择试验因素； （3） 确定因素水平：对于均匀设计，因素水平范围可以取宽一些，水平数可多取一些； （4） 选择均匀设计表及表头设计。 根据试验因素数、试验次数和因素水平数选择均匀设计表。均匀试验结果不能用方差分析法处理，只能用多元回归分析法处理。 若各因素（x1，x2，…，xk）与响应值y之间的关系是线性的，则多元线性回归方程为：

mmxbxbxbby22110ˆ (1)

为求出这m个回归系数bi（i=1,2，…，m），就要列出m个方程（b0可由这m个回归系数求出）。为了对求得的方程进行检验，还要增加二次试验，共需m+2次试验，此时的剩余自由度1剩f，为使F检验法具有足够的灵敏度，应做到2剩f，故至少还应再增加一次试验，所以应选择试验次数n大于或等于m +3的均匀设计表。 ∵回归方程是线性的，∴方程个数m = 因素个数k。 （∵321,1mnmnfffmfnf，即，回总剩回总）。 当各因素与响应值的关系为非线形时，或因素间存在交互作用时，可回归为多元高次方程。例如，当各因素与响应值均为二次关系时，回归方程为： kiiiiTjijiTkiiixbxxbxbby121,110ˆ

(2)

式中 2)1(kkT 式（2）中的xixj反映因素间的交互作用，2ix反映因素二次项的影响，回归系数