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均匀试验设计均匀设计均匀设计(uniform design)是中国数学家方开泰和王元于1978年首先提出来的，它是一种只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
与正交试验设计类似、均匀设计也是通过一套精心设计的均匀表来安排试验的。
由于均匀设计只考虑试验点的“均匀散布”而不考虑“整齐可比”，因而可以大大减少试验次数，这是它与正交设计的最大不同之处。
例如，在因素数为5,各因素水平数为31的试验中，若采用正交设计来安排试验，则至少要作3俨=961次试验，这将令人望而生畏，难以实施，但是若采用均匀设计，则只需作31次试验。
可见，均匀设计在试验因素变化范围较大，需要取较多水平时，可以极大地减少试验次数。
经过20多年的发展和推广，均匀设计法已广泛应用于化工、医药、生物、食品、军事工程、电子、社会经济等诸多领域，并取得了显著的经济和社会效益。
1.均匀设计表1.1等水平均匀设计表均匀设计表，简称均匀表，是均匀设计的基础，与正交表类似，每一个均匀设计表都有一个代号，等水平均匀设计表可用U n ( r1)或U n* (r1)表示，其中，U为均匀表代号；n为均匀表横行数(需要做的试验次数)；r为因素水平数，与n相等；I为均匀表纵列数。
代号U右上角加“*”和不加“*”代表两种不同的均匀设计表，通常加“* ”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先选用。
表1-1、表1-3分别为均匀表U7 (74)与U7* (7 4)，可以看出，U7 ( 74)和U7*(74) 都有7行4列，每个因素都有7个水平，但在选用时应首选U7*(74 )。
表1-1 U7 (74)474747每个均匀设计表都附有一个使用表，根据使用表可将因素安排在适当的列中。
例如，表1-2是U7 ( 74)的使用表，由该表可知，两个因素时，应选用1，3两列来安排试验；当有三个因素时，应选用1,2,3三列，。
最后一列D表示均匀度的偏差((discrepancy)，偏差值越小，表示均匀分散性越好。
第一章试验设计和均匀设计1.1试验设计在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。
例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，要通过试验来摸索工艺条件或配方。
如何做试验，其中大有学问。
试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。
本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇尔(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。
随后，F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。
60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。
田口玄一的方法对我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响，70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进行试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果，出版了许多成果汇编，举办了不少成果展览会。
在广泛使用试验设计方法的洪流中，必然会出现一些新的问题，这些总是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决，特别是当试验的范围较大，试验因素需要考察较多等级（在试验设计中这些等级称之为水平）时，用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验，常使得试验者望而生畏。
许多实际问题要求一种新的试验方法，它能有效地处理多水平的试验，于是王元和方开泰于1978年提出了均匀设计（见文献「1－3」），该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内，使得能用较少的试验点获得最多的信息。
10多年来，均匀设计在国内得到了广泛应用，并获得不少好的成果。
试验设计在工业生产和工程设计中能发挥重要的作用，例如：1）提高产量；2）减少质量的波动，提高产品质量水准；3）大大缩短新产品试验周期；4）降低成本；5）延长产品寿命。
目录序言 (2)前言 (4)第一章试验设计和均匀设计 (5)1.1试验设计 (5)1.2试验的因素和水平 (7)1.3因素的主效应和因素间的交互效应 (9)1.4全面试验和多次单因素试验 (13)1.5正交试验法（正交设计） (16)1.6均匀设计 (18)1.7均匀设计表的使用 (21)第二章回归分析简介及其在均匀设计中的应用 (24)2.1一元线性回归模型 (24)2.2多元线性回归模型 (29)2.3二次型回归模型与变量筛选 (31)2.4应用实例 (32)2.5寻求最优工艺条件 (35)第三章均匀设计表的构造和运用 (36)3.1 均匀设计表的构造 (36)3.2 均匀性准则和使用表的产生 (39)3.4 均匀设计和正交设计的比较 (46)第四章配方均匀设计 (49)4.1 配方试验设计 (49)4.2 配方均匀设计 (51)4.3 有约束的配方均匀设计 (53)4.4 均匀设计在系统工程中的应用 (56)序言在科学实验与工农业生产中，经常要做实验。
如何安排实验，使实验次数尽量少，而又能达到好的试验效果呢？这是经常会碰到的问题。
解决这个问题有一门专门的学问，叫做“试验设计”。
试验设计得好，会事半功倍,反之就会事倍功半了。
60年代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”，即国外的斐波那契方法，与我国的数理统计学者在工业部门中普及的“正交设计”法都是试验设计方法。
这些方法经普及后，已为广大技术人员与科学工作者掌握，取得一系列成就，产生了巨大的社会效益和经济效益。
随着科学技术工作的深入发展，上述两种方法就显得不够了。
“优选法”是单变量的最优调试法，即假定我们处理的实际问题中只有一个因素起作用，这种情况几乎是没有的。
所以在使用时，只能抓“主要矛盾”，即突出一个因素，而将其他因素固定，这样来安排实验。
因此“优选法”还不是一个很精确的近似方法。
“正交设计”的基础是拉丁方理论与群论，可以用来安排多因素的试验，而且试验次数对各因素的各水平的所有组合数来说是大大地减少了，但对于某些工业试验与昂贵的科学实验来说，试验仍嫌太多，而无法安排。
均 匀 设 计 的 理 论 发 展 和 均 匀 设 计 学 会 大 事 记[78-80年][81年][85年][86年][88年][89年][90年][92年][93年][94年][95年][96年][97年][98年][99年][00-01年]1978年 ： •七机部三院赵利华在C801导弹指挥仪的项目中遇到困难，向中国科学院数学研究所方开泰求援，希望能提供一种充满空间的试验设计方法。
在他们的任务中，需要一个试验设计方案，能安排5个12个水平以上的因素，其试验次数不超过50次。
随后，七机部三院另两个项目也向方开泰提出类似的要求。
在实际问题的推动下，中国科学院数学所王元和方开泰提出了"均匀设计"的理论并计算出一批均匀设计表。
他们的论文《均匀设计--数论方法在试验设计中的应用》最初刊登在中国科学院数学研究所编辑的《概率统计通讯》第一期，56-97。
1979年 ： •按照均匀设计理论和方法，赵利华、王济成、 马恒华、张炳辉、张建舟、黄树山、 谷巨卿、柯繁等分别给出了三种型号的指挥仪数学模型中弹道坐标的两种形式的回归关系式。
这是均匀设计在电脑仿真试验中的三项先驱的应用。
•方开泰撰写的《均匀设计》讲义由中国科学院数学研究所资料室发行。
1980年 ： •论文《均匀设计》刊登在《应用数学学报》第三卷367-372页。
1981年 ： •王 元、方开泰的论文"A note on uniform distribution and experimental design"在《科学通报》上发表。
•七机部三院黄树山、丁长福、赵蓉华 《用逐步回归分析法对气动数据（表格或曲线）的拟合》在《飞航导弹技术》，N0：2，11-19发表。
1983年 ： •华中工学院钱进编著的《均匀设计原理及自动实现》由华中工学院图象识别与人工智能研究所发表。
•纺织学报发表张季伦和王晓琪的论文《均匀设计在纺织工业中的应用》。
均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
第十章均匀试验设计均匀设计是我国数学家方开泰教授将数论的原理和多元统计结合创立的一种安排多因素多水平的试验设计，这种设计是利用均匀设计表安排试验可减少试验次数，而让试验点在试验范围内均匀分散、具有更好的代表性。
§10-1 基本概念10-1.1 概述一、均匀试验的特点对应多因素多水平试验，前章介绍的正交设计具有“均匀分散、整齐可比”的特点，均匀分散性使试验点均衡地分布在试验范围内，具有充分的代表性，即使在正交表各列都排满的情况下，也能得到满意的结果；整齐可比性使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的效应和部分交互作用，从而掌握各指标的影响大小和变化规律。
然而，正交试验为了达到“整齐可比”，试验次数往往比较多，例如一个9水平试验，正交试验至少要92次，试验次数这么多，一般是很难实现的，为此我们不考虑“整齐可比”，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，具有更好的代表性，这种从均匀性出发的试验设计称为均匀设计。
均匀设计具有如下优点：（1）试验次数少。
均匀设计让试验点在其试验范围内尽可能地“均匀分散”，试验次数降为与水平数相等。
如6水平时，只需要6次试验就可以了。
（2）因素的水平数可多设，可适当调整，可避免高低水平相遇，防止试验中发生意外或反应速度太慢。
尤其适合在反应剧烈的情况下考察工艺条件。
（3）均匀设计试验分析求得的回归方程，便于分析各因素对试验结果的影响，可以定量地预知优化条件及优化结果的区间估计。
二、均匀设计的应用范围凡多因素，水平数≥5,特别是水平需从量变关系进行考察分析的试验设计，都可采用均匀设计，例如中医多指标的量变关系对病症的影响、中药方剂中多味中医的量变关系对整个处方疗效的影响、中药药剂学中各剂型的制备条件对制剂总体疗效的影响、理化反应最近条件组合等研究，由于每个因素的每一水平只做一次试验，故要求被试因素与非处理因素均易于严格控制，试验条件不易严格控制或考察因素不易数量化的不易用均匀设计，病人个体差异较大，治疗过程中非处理因素的干扰也较难控制，所以，均匀设计不易用于临床疗效研究。
目录序言 (2)前言 (4)第一章试验设计和均匀设计 (5)1.1试验设计 (5)1.2试验的因素和水平 (7)1.3因素的主效应和因素间的交互效应 (10)1.4全面试验和多次单因素试验 (15)1.5正交试验法（正交设计） (18)1.6均匀设计 (21)1.7均匀设计表的使用 (25)第二章回归分析简介及其在均匀设计中的应用 (28)2.1一元线性回归模型 (28)2.2多元线性回归模型 (33)2.3二次型回归模型与变量筛选 (36)2.4应用实例 (38)2.5寻求最优工艺条件 (40)第三章均匀设计表的构造和运用 (43)3.1 均匀设计表的构造 (43)3.2 均匀性准则和使用表的产生 (46)3.4 均匀设计和正交设计的比较 (54)第四章配方均匀设计 (59)4.1 配方试验设计 (59)4.2 配方均匀设计 (61)4.3 有约束的配方均匀设计 (64)4.4 均匀设计在系统工程中的应用 (67)序言在科学实验与工农业生产中，经常要做实验。
如何安排实验，使实验次数尽量少，而又能达到好的试验效果呢？这是经常会碰到的问题。
解决这个问题有一门专门的学问，叫做“试验设计”。
试验设计得好，会事半功倍,反之就会事倍功半了。
60年代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优选法”，即国外的斐波那契方法，与我国的数理统计学者在工业部门中普及的“正交设计”法都是试验设计方法。
这些方法经普及后，已为广大技术人员与科学工作者掌握，取得一系列成就，产生了巨大的社会效益和经济效益。
随着科学技术工作的深入发展，上述两种方法就显得不够了。
“优选法”是单变量的最优调试法，即假定我们处理的实际问题中只有一个因素起作用，这种情况几乎是没有的。
所以在使用时，只能抓“主要矛盾”，即突出一个因素，而将其他因素固定，这样来安排实验。
因此“优选法”还不是一个很精确的近似方法。
“正交设计”的基础是拉丁方理论与群论，可以用来安排多因素的试验，而且试验次数对各因素的各水平的所有组合数来说是大大地减少了，但对于某些工业试验与昂贵的科学实验来说，试验仍嫌太多，而无法安排。
1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰教授在几年前，曾为近似计算一个多重积分问题找过我，我向他介绍了多重数值积分的方法并取得了好结果，这就使他想到是否可能用数论方法于试验设计的问题，于是我们经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效，我们的文章在80年代初发表后，15年来，均匀设计已在我国有较广泛的普及与使用，取得了一系列可喜的成绩。
均匀设计属于近30年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。
将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼(J.von Neumann)在40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。
蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。
50年代末，有些数学家试图用确定性方法寻找空间中均匀散布的点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数，已经找到的点集都是用数论方法找到的。
按照外尔（H. Weyl）定义的测度来度量，它们的均匀性很好，但独立性差些，用这些点集来代替蒙特卡罗方法中的随机数，往往会得到更精确的结果。
这一方法称为伪蒙特卡罗方法或数论方法，数学家首先将这一方法成功地用于多重积分近似计算。
从统计学的观点看，伪随机数就是一个均匀分布的样本。
数值积分需要大样本，均匀设计则要找一些小样本。
由于这个样本比正交设计所对应的样本要均匀，所以用它来安排实验会得到好的效果。
当然在寻求小样本时，寻求大样本的方法是起了借鉴作用的。
均匀设计只是数论方法的一个应用，数论方法还有广泛应用的园地。
例如多重插值公式的建立，某些积分与微分的近似求解，求函数整体极值，求某些多元分布的近似代表点，及用于统计推断的一些问题，如多元正态性检验及多元球性检验。
早在50年代末，外国刚开始研究为蒙特卡罗方法时，华罗庚就倡议并领导了这一方法在我国的研究，他的开拓性成果总结在我们的专著“数论在近似分析中的应用”（科学出版社，1978年；英文版：Springer-Verlag and Science Press,1981）中，这些工作是方开泰教授与我合作的工作重要的背景与参考材料之一。
我与方开泰教授合作了近20年，由于他既是一个数学家，又有长期在中国各工业部门普及应用数理统计的宝贵经验，所以他有很好的应用数学背景与洞察力。
他能及时地提出有价值的研究问题及解决问题的可能途径，我们的合作既是愉快的，又是富于成效的，我们的成果总结在我们的专著”Number-Theroretic Methods in Statistics”（Chapman and Hall,1993,中文版在出版过程中）之中。
方开泰教授的这本书着重于应用及普及，但也包括了他的最新成果，书后的均匀设计表就是最近他用准确的偏差方法算出来的，比过去的结果有较大的改进，我相信本书的出版，对于在我国进一步普及与应用均匀设计将是很重要的，我愿借此机会预祝本书成功。
王元1994年2月前言均匀设计是1978年王元教授和我共同提出的，10多年来，均匀设计在理论上有了不少新的发展，如各种均匀性度量的探讨，拉丁方均匀设计的提出将均匀设计用于配方设计而产生的配方均匀设计，特别地，最近我们又发现了一批奇数的均匀设计表，它们比原来的表均匀性有显著地改善，这些表和它们的均匀表都已收集在本书的附录中，由于实际的需要，利用拟水平的技术可以产生有混合水平的均匀设计表，本书也给出了不少这一类的设计表，并列出它们的均匀度，此外，本书给出了均匀设计和正交设计的比较。
本书是一本普及教材，目的是向广大科技工作者介绍均匀设计的原理，方法和应用，读者并不需要具备高深的数学和统计知识，中国数学会均匀设计学会已经研制了有关软件和教学录象带，方便使用者有效地使用均匀设计，特别是数据分析方面，该软件包含了丰富的内容，比本书的材料更为丰富，本书也可作为大学和研究生的教材和参考书。
本书共分四章，第一章介绍试验设计的重要性，正交设计和如何使用均匀设计来设计试验。
第二章首先对回归分析作了简单的介绍，随后介绍均匀设计的数据分析，工艺条件的优化。
第三章介绍均匀设计表的构造，使用表的构造，均匀度准则，以及正交设计和均匀设计的比较。
第四章讨论配方设计，首先介绍文献中推荐的三种配方设计方法，然后给出配方均匀设计，有约束配方均匀设计，最后给出均匀设计在系统工程等方面的应用。
在编写这本讲义中，中国科学院院士王元教授给出了许多指导性意见，并为本书写了精彩的序言，没有华一王（华罗庚王元）当年开创性的工作，就不可能有均匀设计。
中国航天工业总公司三院张建舟高级工程师，东北制药总厂张承恩高级工程师，北京军事医学科学院张学中研究员给了我很多支持和帮助，中国科学院应用数学所我的学生李润泽和张金廷同志协助我整理和打印，在此表示衷心地感谢。
由于作者水平有限，加之本书是利用春节假期匆匆赶出来的，难免有错误或不恰当之处，欢迎读者批评指正。
方开泰中国科学院应用数学研究所香港浸会大学1994年2月第一章试验设计和均匀设计1.1试验设计在工农业生产和科学研究中，经常需要做试验，以求达到预期的目的。
例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗，特别是新产品试验，未知的东西很多，要通过试验来摸索工艺条件或配方。
如何做试验，其中大有学问。
试验设计得好，会事半功倍，反之会事倍功半，甚至劳而无功。
本世纪30年代，由于农业试验的需要，费歇尔(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。
随后，F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和G.E.P.Box对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。
60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献。
田口玄一的方法对我国试验设计的普及和广泛应用有巨大的影响，70年代我国许多统计学家深入工厂、科研单位，用通俗的方法介绍正交试验设计，帮助工程技术人员进行试验的安排和数据分析，获得了一大批优秀成果，出版了许多成果汇编，举办了不少成果展览会。
在广泛使用试验设计方法的洪流中，必然会出现一些新的问题，这些总是用原有的各种试验设计方法不能圆满地解决，特别是当试验的范围较大，试验因素需要考察较多等级（在试验设计中这些等级称之为水平）时，用正交试验及其它流行的试验方法要求做较多的试验，常使得试验者望而生畏。
许多实际问题要求一种新的试验方法，它能有效地处理多水平的试验，于是王元和方开泰于1978年提出了均匀设计（见文献「1－3」），该设计考虑如何将设计点均匀地散布在试验范围内，使得能用较少的试验点获得最多的信息。
10多年来，均匀设计在国内得到了广泛应用，并获得不少好的成果。
试验设计在工业生产和工程设计中能发挥重要的作用，例如：1）提高产量；2）减少质量的波动，提高产品质量水准；3）大大缩短新产品试验周期；4）降低成本；5）延长产品寿命。
在自然科学中，有些规律开始尚未由人们所认识，通过试验设计可以获得其统计规律，在此基础上提出科学猜想,这些猜想促进了学科的发展，例如遗传学的许多发现都藉助于上述过程。
材料工业是工业中的栋梁，汽车拖拉机的制造离不开各种合金钢，钛合金的发明和发现使飞机制造工业产生飞跃。
超导的研究和超导材料的配方息息相关。
配方试验又称混料试验（Experiments with Mixtures），不仅出现于材料工业，而且在人们生活和其它工业中处处可见，例如在中药、饮料、混凝土的配方中。
由于在配方中各种材料的总和必须为100％，其试验设计必须考虑到这个约束条件，由于这个原因正交试验设计等方法不能直接用于配方设计。
针对配方设计的要求，Scheffé于1958年提出了单纯形格子点设计，随后于1963年他又提出了单纯形重心设计。
Cornell[27]对配方试验设计的各种方法作了详尽的介绍和讨论。
显然，均匀设计的思想也能用于配方试验，王元和方开泰[9]给出了配方均匀设计的设计方法和有关的讨论。
