初中数学沪科版九年级上册第二十一章21.4二次函数的应用练习题一、选择题1.如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是()A. 25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB. 线段CD的函数解析式为s=32t+400(25≤t≤50)C. 5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D. 曲线段AB的函数解析式为s=−3(t−20)2+1200(5≤t≤20)2.二次函数y=x2−8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于1的点P共有()2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读数节活动”，决定降价促销，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=(30−x)(200+40x)B. y=(30−x)(200+20x)C. y=(30−x)(200−40x)D. y=(30−x)(200−20x)4.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为()A. y=(x−40)(500−10x)B. y=(x−40)(10x−500)C. y=(x−40)[500−10(x−50)]D. y=(x−40)[500−10(50−x)]5.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为()A. y=2a(x−1)B. y=2a(1−x)C. y=a(1−x2)D. y=a(1−x)26.为解决药价虚高给老百姓带来的求医难问题，国家决定对药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是18元/盒，降价后的价格为y元/盒，则y与x之间的函数关系式是()A. y=36(1−x)B. y=36(1+x)C. y=18(1−x)2D. y=18(1+x2)7.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0<x<2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是()A. y=x2B. y=4−x2C. y=x2−4D. y=4−2x8.矩形的周长为12cm，设其一边长为xcm，面积为ycm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是()A. y=−x2+6x(3<x<6)B. y=−x2+6x(0<x<6)C. y=−x2+12x(6<x<12)D. y=−x2+12x(0<x<12)9.长方形的周长为24cm，其中一边为xcm(其中x>0)，面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为()A. y=x2B. y=(12−x)2C. y=(12−x)xD. y=2(12−x)10.广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y(x2+6x(0≤x≤4)，米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y=−32那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是()A. 1米B. 2米C. 5米D. 6米二、填空题11.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=________．12.据权威部门发布的消息，2021年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是____．13.如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长为18m，设AD的长为x m，菜园ABCD的面积为y m2，则y关于自变量x的函数关系式是___________________________．14.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，商品进价为每件40元，若设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为______．15.某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量万件与x之间的关系应表示为______．三、解答题16.已知抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0,3)．(1)求b，c的值；(2)直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l//y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x=1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．17.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；(3)若点K为抛物线的顶点，点M(4,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．18.在平面直角坐标系中，函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与y轴交于点A．(1)求点A的坐标．(2)当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．(3)当x≤0时，若函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2，求a的值．(4)设a<0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a−1)、G(0,a−1).当函数y=x2−2ax−1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合)，过点A 作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′，直接写出a的值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键.根据函数图象中的信息，利用数形结合求相关线段的解析式解答即可．【解答】解：A.25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000−1200=800m ，故A 正确；B .设线段CD 的函数解析式为s =kt +b ，把(25,1200)，(50,2000)代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b， 解得：{k =32b =400， ∴线段CD 的函数解析式为s =32t +400(25≤t ≤50)，故B 正确；C .在A 点的速度为5255=105m/min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m/min ，速度从快变慢，故C 错误；D .当t =5，20时，由图象可得s =525，1200m ，将t =5，20分别代入s =−3(t −20)2+1200(5≤t ≤20)得s =525，s =1200，故D 正确．故选C ．2.【答案】D【解析】【分析】本题结合图象的性质考查二次函数的综合应用，难度中等．要注意函数求出的各个解是否符合实际．由题可求出MN 的长，即△MNP 的底边已知，要求面积为12，那么根据面积即可求出高，只要把相应的y 值代入即可解答．【解答】解：y =x 2−8x +15的图象与x 轴交点(3,0)和(5,0)，|MN|=2，设p 点(x,y)，y =x 2−8x +15，面积=12=12|MN|⋅|y|，可得y 1=12，或者y 2=−12，当y =12时，x =8±√62； 当y =−12时，x =8±√22， 所以共有四个点．故选：D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．根据降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，由题意可得等量关系：总销售额为y =销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：设每本降价x 元，则售价为(30−x)元，销售量为(200+20x)本，根据题意得，y =(30−x)(200+20x)，故选B ．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出销量是解题关键．直接利用每千克利润×销量=总利润，进而得出关系式．【解答】解：设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为：y =(x −40)[500−10(x −50)]．故选：C ．5.【答案】D【解析】解：由题意得第二次降价后的价格是a(1−x)2．则函数解析式是y=a(1−x)2．故选D．原价为a，第一次降价后的价格是a×(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×(1−x)×(1−x)=a(1−x)2．本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2，则函数关系式即可求得．【解答】解：原价为18，第一次降价后的价格是18(1−x)；第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18(1−x)×(1−x)=18(1−x)2．则函数解析式是：y=18(1−x)2．故选C．7.【答案】B【解析】解：设剩下部分的面积为y，则：y=−x2+4(0<x<2)，故选：B．根据剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面积得出是解题关键．8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)cm，根据矩形的面积公式即可解答．【解答】解：已知一边长为xcm，则另一边长为(6−x)．则y=x(6−x)化简可得y=−x2+6x，(0<x<6)，故选：B．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查列二次函数关系式，得到长方形的另一边长是解决本题的关键点．先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x(其中x>0)，∴长方形的另一边长为12−x，∴y=(12−x)⋅x．故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的顶点式．根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：方法一：根据题意，得y=−32x2+6x(0≤x≤4)，=−32(x−2)2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x=−62×(−32)=2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．11.【答案】a(1+x)2【解析】【分析】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，关键是由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×(1+x)，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为a元，二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴二月份新产品的研发资金为a(1+x)元，∴三月份新产品的研发资金为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元，即y=a(1+x)2．12.【答案】y=0.75(1+x)2【解析】【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，属于中考常考题型．第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，第二季度安徽省城镇居民人均可支配收入是0.75(1+x)元，第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为0.75(1+x)2元，则函数解析式即可求得．【解答】解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y=0.75(1+x)2．故答案为y=0.75(1+x)2．13.【答案】y=−2x2+40x(11≤x<20)【解析】【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式、矩形的面积公式的运用，利用篱笆的总长用含x的代数式表示出平行于墙的边长是解题的关键．先用含x的代数式表示出平行于墙的边长，再由矩形的面积公式就可以得出结论；【解答】解：根据题意，AD边的长为x米，则AB边的长为(40−2x)米，∴y=x(40−2x)，即y与x之间的函数关系式为y=−2x2+40x；0<40−2x≤18，11≤x<20，故答案为y=−2x2+40x(11≤x<20)．14.【答案】y=10x2−500x+6000【解析】解：设涨价x(x>0)元，总利润为y元，则y与x的函数关系式为：y=(60−40−x)(300−10x)=10x2−500x+6000．故答案为：y=10x2−500x+6000．直接利用销量×每件利润=总利润，进而得出函数关系式．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出销量和每件利润是解题关键．15.【答案】y=20+20(x+1)+20(x+1)2【解析】解：y与x之间的关系应表示为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．故答案为：y=20+20(x+1)+20(x+1)2．根据平均增长问题，可得答案．本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键． 16.【答案】解：(1)由题意得：{b2=1c =3， ∴b =2，c =3，(2)①如图1，∵点C 关于直线x =1的对称点为点D ，∴CD//OA ，∴3=−x 2+2x +3，解得：x 1=0，x 2=2，∴D(2,3)，∵抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3，∴令y =0，解得x 1=−1，x 2=3，∴B(−1,0)，A(3,0)， 设直线AC 的解析式为y =kx +b ，∴{3k +b =0b =3，解得：{k =−1b =3， ∴直线AC 的解析式为y =−x +3，设F(a,−a 2+2a +3)，E(a,−a +3)，∴EF =−a 2+2a +3+a −3=−a 2+3a ，四边形CEDF 的面积=S △EFC +S △EFD =12EF ⋅CD =12×(−a 2+3a)×2=−a 2+3a =−(a −32)2+94， ∴当a =32时，四边形CEDF 的面积有最大值，最大值为94．②当△PCQ∽△CAP 时，∴∠PCA =∠CPQ ，∠PAC =∠PCQ ，∴PQ//AC ，∵C(0,3)，A(3,0)，∴OA =OC ，∴∠OCA=∠OAC=∠PCQ=45°，∴∠BCO=∠PCA，如图2，过点P作PM⊥AC交AC于点M，∴tan∠PCA=tan∠BCO=OBOC =13，设PM=b，则CM=3b，AM=b，∵AC=√OC2+OA2=3√2，∴b+3b=3√2，∴b=34√2，∴PA=34√2×√2=32，∴OP=OA−PA=3−32=32，∴P(32,0)，设直线l的解析式为y=−x+n，∴−32+n=0，∴n=32．∴直线l的解析式为y=−x+32．【解析】(1)根据抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标可求出b、c的值；(2)由题意先求出D点坐标为(2,3)，求出直线AC的解析式，设F(a,−a2+2a+3)，E(a,−a+3)，则EF=−a2+3a，四边形CEDF的面积可表示为12EF⋅CD，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；(3)当△PCQ∽△CAP时，可得∠PCA=∠CPQ，∠PAC=∠PCQ=∠OCA=45°，则PQ//AC，∠BCO=∠PCA，过点P作PM⊥AC交AC于点M，可求出PM、PA、OP的长，用待定系数法可求出函数解析式．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵点A(−1,0)，B(5,0)在抛物线y =ax 2+bx −5上，∴{a −b −5=025a +5b −5=0，解得{a =1b =−4，∴抛物线的表达式为y =x 2−4x −5，(2)设H(t,t 2−4t −5)，∵CE//x 轴，∴点E 的纵坐标为−5，∵E 在抛物线上，∴x 2−4x −5=−5，∴x =0(舍)或x =4，∴E(4,−5)，∴CE =4，∵B(5,0)，C(0,−5)，∴直线BC 的解析式为y =x −5，∴F(t,t −5)，∴HF =t −5−(t 2−4t −5)=−(t −52)2+254，∵CE//x 轴，HF//y 轴，∴CE ⊥HF ，∴S 四边形CHEF =12CE ⋅HF =−2(t −52)2+252，∴H(52,−354)；(3)如图2，∵K 为抛物线的顶点，∴K(2,−9)，∴K 关于y 轴的对称点K′(−2,−9)，∵M(4,m)在抛物线上，∴M(4,−5)，∴点M关于x轴的对称点M′(4,5)，∴直线K′M′的解析式为y=73x−133，∴P(137,0)，Q(0,−133).【解析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；(2)先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；(3)利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P，Q的位置，是一道中等难度的题目．18.【答案】解：(1)当x=0时，y=x2−2ax−1=−1，∴点A的坐标为：(0,−1)；(2)将点(1,2)代入y=x2−2ax−1，得：2=1−2a−1，解得：a=−1，∴函数的表达式为：y=x2+2x−1，∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x=−1，如图1所示：∴当x>−1时，y随x的增大而增大；(3)抛物线y=x2−2ax−1=(x−a)2−a2−1的对称轴为：x=a，顶点坐标为：(a,−a2−1)，当a>0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A(0,−1)，∵图象的最低点到直线y=2a的距离为2，∴2a−(−1)=2，解得：a=12；当a<0，对称轴在y轴左侧，顶点(a,−a2−1)就是最低点，如图3所示：∴2a −(−a 2−1)=2，整理得：(a +1)2=2，解得：a 1=−1−√2，a 2=−1+√2(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为12或−1−√2；(4)∵a <0，Rt △EFG 三个顶点的坐标分别为E(−1,−1)、F(−1,a −1)、G(0,a −1)， ∴直角边为EF 与FG ，∵抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为：x =a ，A(0,−1)， ∴AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则x p =−1，∵EA =OA =1，∴点P 在对称轴x =a 的左侧，∴PP′=2(a +1)，∵AA′=2PP′，∴−2a =2×2(a +1)，解得：a =−23；当点P 在FG 边上时，如图5所示：则y p =a −1，∴x 2−2ax −1=a −1，解得：x 1=a +√a 2+a ，x 2=a −√a 2+a ，∴PP′=a +√a 2+a −(a −√a 2+a)=2√a 2+a ，∵AA′=2PP′，∴−2a =4√a 2+a ，解得：a 1=−43，a 2=0(不合题意舍去)；综上所述，a 的值为−23或−43．【解析】(1)当x =0时，代入y =x 2−2ax −1，即可得出结果；(2)将点(1,2)代入y =x 2−2ax −1，得a =−1，则函数的表达式为y =x 2+2x −1，由y =x 2+2x −1=(x +1)2−2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x =−1，则当x >−1时，y 随x 的增大而增大；(3)抛物线y =x 2−2ax −1=(x −a)2−a 2−1的对称轴为x =a ，顶点坐标为(a,−a 2−1)，当a >0时，对称轴在y 轴右侧，最低点就是A(0,−1)，则2a −(−1)=2，即可得出结果；当a <0，对称轴在y 轴左侧，顶点(a,−a 2−1)就是最低点，则2a −(−a 2−1)=2，即可得出结果；(4)易证直角边为EF 与FG ，由抛物线的对称轴为x =a ，A(0,−1)，则AA′=−2a ，当点P 在EF 边上时，PP′=2(a +1)，则−2a =2×2(a +1)，即可得出结果；当点P 在FG 边上时，求出PP′=2√a 2+a ，则−2a =4√a 2+a ，即可得出结果．本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．1、最困难的事就是认识自己。
