数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05

第三章第三章函数极限 一、填空题一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+®x x f x ，则=®20)(lim xx f x _________ 2．=--+-®xxe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ÷øöçèæ+-=11)(，则=+¥®)1(lim x f x ____________ 4．已知ïîïíì>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=xe x g ，[]=®)(lim 0x gf x ________ 5．()x x x x ln cos arctan lim -+¥®=_________________ 6．[]=®x x x tan)sin(sin sin lim0_____________7．________24tan lim =÷øöçèæ+¥®n n x p8．________ln 1ln ln lim 20=÷øöçèæ+®x x x x9．)1ln(lim 2cos 0x x e e x x x x +-®=__________ 10．=×+-¥®x xx x x cos 1sin 21lim 22_________ 11．=÷øöçèæ-®x x xx tan 11lim 2_________ 12．310)(1lim e x x f x xx =úûùêëé++®，则úûùêëé+®20)(1lim x xf x =_______13．()=+++®)1ln(cos 11cos sin 3lim 20x x xx x x ___________二、选择填空二、选择填空1．=-®tt t cos 1lim( ) A.0 B.1C.2D.不存在不存在 2．函数x x x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是() A.有界的有界的 B.无界的无界的 C.单增单增 D.单减单减 3．已知()25lim 2=++-+¥®cyx ax x ，则必有() A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b aD.2,1==b a 4．设nn n x n x f ÷øöçèæ-+=+¥®2lim )1(，则=)(x f ( ) A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe -5．若22lim222=--++®x x b ax x x ，则必有() A.8,2==b a B.5,2==b a C. 8,0-==b aD. 8,2-==b a 6．0)(6sin lim30=+®x x xf x x ，则=+®20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36D.¥ 7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ££j ，且[]0)()(lim =-¥®x x g x j ，则=¥®)(lim x f x () A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在一定不存在D.不一定存在不一定存在 8．当0®x 时，变量x x 1sin12是( ) A.无穷小无穷小 B.无穷大无穷大C.有界，但不是无穷小有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大无界的，但不是无穷大9．=-+÷øöçèæ+¥®p 21sin 1])1(1[lim n nn n() A.peB.p 1eC.1D.p 2e 10.=--®xx x xx x tan )(arctan 1lim 220()A.0B.1C.21D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==ò,则当0®x 时，)(x f 是)(x g 的() A.高阶无穷小高阶无穷小 B.低阶无穷小低阶无穷小 C.同阶非等价无穷小同阶非等价无穷小 D.等价无穷小等价无穷小三、计算题三、计算题1.求下列极限：求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --p ®； (2)1x x 21x lim 220x ---®； (3)1x x 21x lim 221x ---®； (4)3230x x2x )x 31()1x (lim +-+-®；(5)1x 1x lim m n 1x --®，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim 4x --+®;(7))0a (,xa x a lim 20x >-+®；(8)x x cos x lim x -¥®； (9)4x xsin x lim 2x -¥® ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+¥® 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0¹++++++++=---- 0b 0¹，m ≤n ，试求).x (f lim x ¥® 3．求下列极限(其中n 为自然数)：(1)2x x 11x xlim +®；(2)20x x 11x x lim ++®； (3)1x nx x x lim n 21x --+++® ；(4)x1x 1lim nx -+®;(5)úûùêëé®x 1lim 0x ;(6)[]x x1lim x +¥®. 4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。

《数学分析选论》习题解答第 五 章 级 数１．下列命题中有些是真命题，有些是伪命题．对真命题简述理由；对假命题举出反例（题中“∑n a ”是“∑∞=1n n a ”的简写）： （１）∑n a ，∑n b 发散⇒∑±)(n n b a 发散； （２）∑n a ，∑n b 收敛⇒∑nn b a 收敛； （３）∑∑n nb a 22,收敛⇒∑nn b a 收敛； （４）∑n a ，∑n b 绝对收敛⇒∑nn b a 绝对收敛；（５）∑n a 收敛，∑n b 绝对收敛⇒∑nn b a 绝对收敛；（６）∑n a 收敛，1lim=∞→n n b ⇒∑nn b a 收敛；（７）∑||n a 收敛，1lim =∞→n n b ⇒∑||n n b a 收敛；（８）0lim =∞→n n a ⇒ -+-+-+-332211a a a a a a 收敛； （９）∑n a 收敛⇒∑na n收敛； （１０）∑n a 收敛⇒0lim =∞→n n a n ；（１１）∑||n a 收敛⇒∑++)(1n n a a a 收敛；（１２）∑na 收敛⇒∑+-||1n n a a 收敛；（１３）{}n a 与∑++)(1n n a a 收敛⇒∑n a 收敛；（１４）∑+||1n n a a 收敛⇒∑n a 收敛；（１５）1||≥n a n ⇒∑n a 发散；（１６）∑na 2收敛⇒∑na 3收敛；（１７）0lim =∞→n n a ⇒∑+-||1n n a a 收敛；*（１８）∑+-||1n n a a 收敛⇒{}n a 收敛；（１９）||n a ～)(∞→n n c p⇒∑||n a 与∑pn 1同敛态； *（２０）∑n a 收敛⇒0)2(1lim21=+++∞→n n a n a a n ． 解 其中有十二个真命题：（３），（４），（５），（７），（８），（９），（１１）， （１３），（１６），（１８），（１９），（２０）；其余八个是伪命题．现依此简述如下：（１）反例：0)(,,=+-==∑n n n n b a n b n a 为收敛．（２）反例：∑-nn)1(收敛，∑∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-n n n 1)1(2为发散． （３）因nn n n b a b a 22||+≤． （４），（５） 因∑n a 收敛⇒)(1||0lim N n a a n n n >≤⇒=∞→∑∑⇒⎭⎬⎫≤⇒||||||||n n n n n n b a b b b a 收敛收敛．（６）反例：nb na nn nn )1(1,)1(-+=-=，∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n b a n n n 1)1(为发散．（７）因 1lim =∞→n n b ⇒)(2||N n b n >≤，∑∑⇒⎭⎬⎫≤⇒||||||2||n n n n n n b a a a b a 收敛收敛．（８）因0lim )(0,0122=⇒∞→→==∞→-n n n n n S n a S S ． （９）据阿贝尔判别法，∑n a 收敛，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调有界，故∑na n收敛． （１０）反例：=∑n a ∑-nn)1(收敛，而{}{}n n a n )1(-=不存在极限．（１１）由∑||n a 收敛，∑++⇒≤++⇒≤++≤++⇒.绝对收敛)(||)(||||1111n n n n n n n a a a a M a a a M a a a a（１２）反例：=∑n a ∑-n n )1(收敛，∑∑++=-+)1(12||1n n n a a n n 发散． （１３）{}.收敛收敛已知收敛收敛∑∑∑⇒-⎭⎬⎫+-⇒++n n n n n n a a a a a a 2)()()(11（１４）反例：=∑n a ++++=-+∑10102)1(1n发散，但因01≡+n n a a ，故0||1=∑+n n a a 为收敛．（１５）反例：=∑n a ∑-nn)1(收敛，满足1||≥=n a n n ．（１６）∑∑⇒>≤⇒>≤⇒.绝对收敛收敛3232)(||)(1||n nn n n a N n a a N n a a （１７）反例：同（１２）题．（１８）∑+-||1n n a a 收敛N n N >∈∃>ε∀⇔+当,,0N 时，+∈∀N p ，有.ε<-++-≤-⇒ε<-++-+-++++++++++pn p n n n p n n p n p n n n a a a a a a a a a a 1211121,所以{}n a 满足柯西条件，从而收敛．（１９）||n a ～)(∞→n nc p∞+<=⇔∞→c a n n p n ||lim ．可见∑||n a 与∑pn 1同时收敛，或同时发散． （２０）设∑na 的前n 项部分和为 ,2,1,=n S n ，且S S n n =∞→lim ．则有()..011lim 21lim )(,)()(2212121121112121=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++-=+++⇒+++-=-++-+=+++-∞→∞→--S S n n n S S S S a n a a n S S S S n S S n S S S a n a a n n n n n n n n n n □２．设∑∞=1n n a 为证项级数，试证对数判别法：（１）若存在0>ε和+∈N N ，使得当N n > 时，有ε+≥11ln ln 1n a n.， 则∑∞=1n n a 收敛；（２）若存在+∈N N ，使得当N n > 时，有11ln ln 1≤n a n .，则∑∞=1n n a 发散． 证 把不等式分别改写成： （１）ε+ε+≤≥111,ln 1lnn a n a n n 即； （２）na n a n n 1,ln 1ln≥≤即．根据比较法则，（１）时∑∞=1n n a 收敛；（２）时∑∞=1n n a 发散． □３．利用对数判别法鉴别下列正项级数的敛、散性： （１）∑∞=1ln 31n n； （２）∑∞=1ln ln )ln (1n nn ； （３）)0(1ln >∑∞=x n n x．解 （１）n n a ln 31=，050109813ln 1ln ln 1...+>≈=n a n，故收敛． （２）nn n a ln ln )ln (1=，)16(0101ln ln 1ln ln 1≥+>=n n a nn ..，故收敛． （３）x n n a ln =，由于x n n x a nn 1ln ln ln ln 1ln ln 1=-=.， 故当)0(e 101>ε∀≤<ε+x 时收敛；e1≥x 时发散． □ ４．证明：（１）若∑∞=1n n a n 收敛，则∑∞=1n n a 收敛；（２）若∑∞=1n p n n a 收敛，则p x >时∑∞=1n x nn a 也收敛． 证 （１）∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111n n n n n a n a .．由阿贝尔判别法，已知∑∞=1n n a n 收敛，而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1 单调有界，故∑∞=1n n a 收敛．（２）同理，由∑∑∞=-∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111n px p n n x n n n a n a .，∑∞=1n p n n a 收敛，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-p x n 1当p x >时单调有界，故∑∞=1n xnn a 收敛． □ ５．证明：若{})(x f n 与{})(x g n 都在E 上一致收敛，则{})()(x g x f n n ±在E 上也一致收敛．证 设)(x f n →→)(x f ，)(x g n →→)(x g ，E x ∈．依据定义，+∈∃>ε∀N N ,0，当N n >时，对一切E x ∈，恒有2)()(ε<-x f x f n ， 2)()(ε<-x g x g n ； 于是又有[][]ε<-+-≤±-±)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f n n n n ．所以)()(x g x f n n ±→→)()(x g x f ±，E x ∈．注：本题也可用确界逼近准则（ p .138 定理5.2 ）来证明． □６．设f 在区间I 上一致连续，)(x n ϕ→→)(x ϕ，E x ∈，且)(,)(E I E n ϕ⊂ϕ，,2,1=n ．试证：))((x f n ϕ→→))((x f ϕ，E x ∈．证 因f 在I 上一致连续，故0,0>δ∃>ε∀，只要δ<''-'u u ),(I u u ∈'''， 便有ε<''-')()(u f u f ．对上述δ，由)(x n ϕ→→)(x ϕ，E x ∈，必定+∈∃N N ，当N n >时，对一切E x ∈，均有δ<ϕ-ϕ)()(x x n ．记I x u I x u n ∈ϕ=''∈ϕ=')(,)(，则有ε<ϕ-ϕ=''-'))(())(()()(x f x f u f u f n ．这就证得 ))((x f n ϕ→→))((x f ϕ，E x ∈． □ ７．证明：∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛的必要条件是)(x f n →→E x ∈,0．证 设,)()(1∑==nk k n x f x S )(x S n →→E x x S ∈,)(，则=)(x f n )(x S n )(1x S n --．由题５易知)(x f n →→E x x S x S ∈=-,0)()(． □８．设∑∞=1n n a 收敛，试证),0[e 1∞+-∞=∑在x n n n a 上一致收敛．证 由一致收敛的阿贝尔判别法，数项级数∑∞=1n na 收敛即一致收敛；对每个0≥x ，xn -e 对n 单调（减），且一致有界,),),0[,1e (+-∈∞+∈≤N n x x n 故xn n n a -∞=∑e 1在),0[∞+上一致收敛． □９．判别下列函数序列或函数项级数在指定的区间上是否一致收敛：（１）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n nxsin ，),(∞+∞-∈x ； （２）∑∞=+-1sin )1(n n x n ，),(∞+∞-∈x ； )3(*]1,0[,,)()(,,)()(,)(1121∈===-x x f x x f x f x x f x x f n n ；（４）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+1nn x x ，（ⅰ）]1,0[∈x ，（ⅱ）)10(]1,0[<δ<δ-∈x ； （５）]1,0[,)(12∈+∑∞=+x nn x x n nn ．解 （１）由于0sin lim=∞→nnx n ，且 )(010sin sup),(∞→→=-∞+∞-∈n nnnx x ，因此nnx sin →→0，),(∞+∞-∈x ． （２）由函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法，1)1(1≤-∑=nk k为一致有界；),(∞+∞-∈∀x ，xn sin 1+关于n 单调（减）；且0sin 1lim=+∞→x n n ， )(0110sin 1sup),(∞→→-=-+∞+∞-∈n n x n x ，从而x n sin 1+→→0，),(∞+∞-∈x ．所以，∑∞=+-1sin )1(n nxn 在),(∞+∞-上为一致收敛．（３）事实上，)()()(211∞→=→=-n x x f xx f nn ．记]1,0[,)()()(211∈-=-=-x x xx f x f x g nn n ，由 01211)(21=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-nx x g n n，求出)(x g n 的最大值点nn n x 2211⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，和最大值nn nn n x g 2211121)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．由于 )(0e 0)()(m ax )(sup 1-]1,0[]1,0[∞→=→==∈∈n x g x g x g n n n x n x .，因此)(x f n →→]1,0[,∈x x ．（４）设1111)(+-=+=nnn n x x x x f ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=∈==∞→.1,21,)1,0[,0)()(lim x x x f x f n n （ⅰ）由于)(0\21111sup )()(sup)1,0[)1,0[∞→→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-∈∈n x x f x f nx n x ，因此{})(x f n 在)1,0[上不一致收敛，从而在]1,0[上更不一致收敛．（ⅱ）当)10(]1,0[<δ<δ-∈x 时，由于)(01)1(11)()(sup]1,0[∞→→+δ--=-δ-∈n x f x f nn x ，因此)(x f n →→)(x f ，)10(]1,0[<δ<δ-∈x ．（５）设nn n nn x x x f ++=2)()(．由于]1,0[,0])1([)()(21∈>+++='+-x nn x n n x x f nn n ，因此有2223)11(1)1()1()(0nn n n n f x f nnn n n <+=+=≤≤+．根据优级数判别法，由∑∞=123n n收敛，可知∑∞=++12)(n nn nn x x 在]1,0[上一致收敛． □１０．证明：∑∞=+-122)1(n n nn x 在任何闭区间],[b a 上一致收敛；但对任何x 不绝对收敛． 证 由于1)1(1≤-∑=nk k为一致有界，],[b a x ∈∀，22nn x +关于n 单调（减），0lim22=+∞→nn x n ，,(00sup2222],[∞→→+=-+∈n nn b nn x b a x 设)||||a b ≥，因此根据狄利克雷判别法，该级数在任何],[b a 上一致收敛．又因对任何x ，n n n x n1)1(22≥+-，所以∑∞=+-122)1(n n n n x 发散． □11*．设)(0x u 在],[b a 上可积，,2,1,d )()(1==⎰-n t t u x u xan n ．试证∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛．证 设M x u ≤)(0，],[b a x ∈．则可依次估计得：)(d )(d )()(001a x M t t u t t u x u x axa-≤≤=⎰⎰，.........................,)(!2d )(d )()(212a x Mt a t M t t u x u xax a-=-≤≤⎰⎰n n x an n a b n Ma x n M t a t n M x u )(!)(!d )(!)1()(1-≤-=--≤⎰-．而∑∞=-1)(!n n a b n M易用比式判别法得知它收敛，故级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上一致收敛． □１２．已知∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛．试讨论：当)(x g 在E 上满足何种条件时，就能保证∑∞=1)()(n n x f x g 在E 上一致收敛？解 这里可用一致收敛的柯西准则来讨论．由于∑∞=1)(n n x f 在E 上一致收敛，故+∈∃>ε∀N N ,01，当N n >时，对一切E x ∈和+∈N p ，恒使11)(ε<∑++=p n n i i x f ．而∑∑++=++==p n n i i pn n i i x f x g x f x g 11)()()()(.，因此当设)(x g 在E 上有界，即E x M x g ∈≤,)(时，就有ε=ε<≤∑∑++=++=111)()()(M x f Mx f x g p n n i i pn n i i ．此即表示∑∞=1)()(n n x f x g 在E 上一致收敛． □31*．证明：若对每个,n )(x f n 是],[b a 上的单调函数，且∑∞=1,)(n n a f ∑∞=1)(n n b f 都绝对收敛，则∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上为绝对一致收敛．证 由假设条件，对每一个,n 有{})(,)(max )(a f a f x f n n n ≤[]nn n n n M b f a f b f a f ==-++=def )()()()(21． 由于∑∞=1)(n n a f 与∑∞=1)(n n b f 都收敛，因此[]∑∞=+1)()(n n n b f a f 与[]∑∞=-1)()(n n n b f a f也都收敛，从而∑∞=1n nM 收敛．依据优级数判别法，证得∑∞=1)(n n x f 在],[b a 上为一致收敛． □１４．设]2,0[,)10(cos )(0π∈<<=∑∞=x r nx r x S n n ．试求⎰π20d )(x x S ．解 由于nnr nx r ≤cos ，而r r n n-=∑∞=110为收敛，因此∑∞=0cos n nnx r 为一致收敛，于是可以逐项求积．据此便可求得⎰π20d )(x x S π=+π==∑∑⎰∞=∞=π20.2d cos 120n n n nr x nx r． □51*．设函数f 在)1,(+b a 内连续可微)(b a <，记,2,1,),(,)()1()(=∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n b a x x f n x f n x f n ．试证：（１）{})(x f n 在任何],[βα),(b a ⊂上一致收敛于)(x f '；（２）)()(d )(limα-β=⎰βα∞→f f x x f n n ．证 （１）由于)(x f '在],[βα上连续，从而一致连续．故0,0>δ∃>ε∀，只要∈'''u u ,],[βα 且δ<''-'u u , 便有ε<'''-'')()(u f u f ．而由假设，..],[,)1,(,)(1)()()1()(βα∈+∈ξξ'=ξ'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x n x x f nf n x f n x f n x f n n n n所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡δ=∃1N ，当)1(δ<>n N n 时，对任何∈x ],[βα，恒有ε<'-ξ'='-)()()()(x f f x f x f n n ．这就证得)(x f n →→)(x f '，∈x ],[βα),(b a ⊂．（２）利用逐项积分定理，易得)()(d )(d )(lim d )(lim α-β='==⎰⎰⎰βαβα∞→βα∞→f f x x f x x f x x f n n n n ． □ １６．证明：函数∑∞==13sin )(n nnx x S 在),(∞+∞-上连续，且有连续的导数)(x S '． 证 由于331sin nn nx ≤，∑∞=131n n 收敛，因此∑∞=13sin n nnx 在),(∞+∞-上一致收敛．又 2231cos sin n n nx n nx ≤='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，∑∞=121n n 收敛， 故∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13sin n n nx 在),(∞+∞-上也一致收敛． 因为∑∞=13sin n nnx 在),(∞+∞-上满足定理45'.和定理65'.的条件，所以)(x S 在),(∞+∞-上连续，且有∑∞=='12cos )(n nnx x S ，),(∞+∞-∈x ． 又因为∑∞=12cos n n nx 在),(∞+∞-上也满足定理45'.的条件，所以)(x S '在),(∞+∞-上同样也连续． □１７．试求以下各级数的和函数：（１）)1,1(,11-∈∑∞=+x nx n n ； （２）0,e 1>∑∞=-x n n x n ．解（１）设)()(211211x T x nx x nx x S n n n n ===∑∑∞=-∞=+．由于 21111)1(11)()(x x x x x nx x T n n n n n n -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='==∑∑∑∞=∞=∞=-， 因此求得)1,1(,1)()(22-∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x x x T x x S ．（２）设0,e )(1>=∑∞=-x n x S n x n ．类似地得到 .0,)1e (e1e 1e 1e )e (e )e ()(2111>-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='-=--∞=-∞=-∞=-∑∑∑x x S x xx x x n n x n x n n x n □ 上必定不一致收敛；并可知道定理５.６的条件和结论都不成立． □。

9．（1）证明：若 存在，则 。
（2）若 存在，试问是否成立 ？
解：（1）证明因为 存在，设 ，则任给 ，存在 ，使得当 时，有 。此时取 ，则当 时， ，从而有 ，故有 。
（2）若若 存在， 并不一定成立。
例如
这里 存在，但 不存在，但是 则 。
3．函数极限存在的条件
1．叙述函数极限 的归结原则，并应用它证明 不存在。
所以 。
2．利用迫敛性求极限：
（1） ；（2） 。
解：（1）因为 趋于负无穷，所以当 时，
，而 ，由迫敛性定理得 。
（2）因为 趋于正无穷，所以当 时， 。而 ， 。由迫敛性定理得 。
3．设 ， ，证明：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
证明：（1）因为 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。 ，则对任给的 ，存在 ，当 时， 。对已给定的 ，取 ，当 时， 与 同时成立。当 时，
，对 ，存在 ，使得当 时，有 ，于是取 ，则当 ，即在 内有 。
8．求下列极限（其中 皆为正整数）：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
解：（1） 。
（2） 。
（3）由于
。由极限的四则运算法则，有
。
（4）由于 ，
。
（5）由于 ，当 时， 或 。对于两种形式，均有 ，由迫敛性定理得 。
解归结原则：设函数 为定义在 上的函数，则 存在的充要条件是：对任何含于 且趋于正无穷的数列 ，极限 都存在且相等。
证明由于 在 上有定义，设 ，则显然有 且 ，
但 ，有归结原则知 不存在。
2．设 为定义在 上的增（减）函数。证明： 存在的充要条件是 在 上有上（下）界。
证明只证一种情况即可。

第六章 微分中值定理及其应用2•若 lim1 acosx -bsin ^1，则 a = X T 0 x 23.曲线y = e x在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4•设y =4x J —2，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________x6•设f(x) =x(x 2 —1)(x —4)，则f (x) = 0有 ______________ 个根，它们分别位于 __________区间；7.函数f (x) =xln x 在1,2 ］上满足拉格朗日定理条件的© = _________________8•函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________9.函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的©= ______ ;xe 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ;x311. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ，极大值是 。

12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ，则函数f (n)(x)在X 二 处取得极小值 ________________________________________ 。

3 213. 已知f(x)二x ax bx ，在x =1处取得极小值- 2，则a = _________________ , b = _____2 2一、填空题1若a 0,b0均为常数，贝U5. lim(1 x )x -ex —.Qx2XaH XX14. 曲线y =k(x -3)在拐点处的法线通过原点，则k= _______ 。

15 •设 f (x)二 n (1 - x)n(n =1,2 ) , M n 是 f (x)在〔0,1 上的最大值，则lim M n = ________ 。