第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。
分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。
单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。
实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。
为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。
在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。
从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。
表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。
多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。
§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠ 分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。
在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。
由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。
与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点：1) 描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上有规则性或相似性。
2) 欧氏几何具有标度，理想的分形具有无限的几何标度，而无特征长度。
3) 欧氏几何描述特征是整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维是大于1的非整数，具有分形的表面分维是大于2的非整数。
㈡ 分数布朗运动定义3.1 设H 满足10<<H ，0b 为任意实数，若随机函数满足：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅+Γ==⎰⎰∞----002121210),(),()21(1),(),0(w s dB s t w s dB s s t H w t B b w B t H H H H H 则称),(w t B H 为分数布朗运动。
其中H 为分形参数，2/1=H 时，),(w t B H 为普通布朗运动，w 为样本空间Ω的样本。
分数布朗运动(FBM)是一种分形模型，可以很好的描述分形信号，它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性。
FBM 的增量是平稳的零均值Gaussian 随机过程。
设)(x B H 为一高斯随机场，对于10<<H ，若满足)()()(y F y x x B x x B P H H H =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<∆-∆+γ (3.1) 则称)(x B H 为FBR 场（分数布朗随机场）。
其中)(⋅γP 表示概率测度；表示范数；H 为Hurst 分形指数,)(y F 为高斯分布函数。
对(3.1)式取数学期望， 有H H h t y E t B t t B E 22/1||||)2(1|][||])()([|∆==-∆+σπ (3.2) ㈢ 分形参数① 分形维数FD (Fractal Dimension)，可由下式通过Hurst 指数得到，也有其它许多估计方法（见下节）FD=D+1-H ， H 参数的估计有时域法和频域法，D 是拓扑维，对可求长的光滑曲线D=1；对FBR 表面D=2；FD 是描述分形的主要参数，一般的，当不规则曲线的FD 大于1或纹理表面的FD 大于2时，认为它们具有分形性。
② 增量标准差σ，也由（3.2）式得出。
③ 无标度区),(max min εε，理想分形满足（3.2）式，具有无限标度；对于实际图象，由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使（3.1）满足线性关系，称为无标度区。
实际图象越接近理想分形，其无标度区间越大，即min max /εε的值越大。
在此区间，可用线性回归方法估计H 值。
3.1.2 分形维数的估计法分维的估计有许多方法[5]，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种：1) 数盒子法： 对于分形曲线，用可变尺度ε 沿曲线度量长度所需)(εN 次，)(εN 是随ε而变的，分维由下式确定：))log())(log((lim 0εεεN D →= 为求)(εN ，在计算时以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，ε为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即)(εN 。
最后利用双对数曲线估计分维值。
同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体来代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸ε对应的小立方体总数)(εN ，进而求得分形表面的分维值。
2) 功率谱法： 对图象先作付氏变换成为频谱图，其功率谱为2|)(|w P ，而频率半径为22V U R +=，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归法求取分维值。
3) 地毯覆盖法：设分形表面为),(j i g ，形象的用厚度为ε2的地毯覆盖，则毯的上表面点集为),(j i t ε和下表面),(j i b ε，初始状态为),(),(),(00j i g j i b j i t ==，当厚度 ,3,2,1=ε，变化时，)},(max ,1),(max{),(1),(1n m t j i t j i t Sn m --+=εεεε )},(max ,1),(max{),(1),(1n m b j i b j i b Sn m -∈--=εεε 其中S 为点),(j i 邻域点集，则在尺度ε下，毯的面积∑-=ji j i b j i t A ,2/))],(),(([)(εεεε在近来实际的工程应用中，研究者们针对一些分形维数的定义，也提出了许多关于分形维数计算的方法，如谢和平[30]等人提出的修正盒计数维数、填隙维数、两脚规维数等。
又如在图象处理方面还有Gangepain 等的计网格元法（Reticular Cell Counting ）、Keller 等的基于概率的估算法、基于分形布朗运动自相似模型的估计法[6]及Sarkar 等的微分计盒法（Differential BoxCounting，DBC）等。
其中DBC法和基于分形布朗运动自相似模型的估计方法覆盖了图象FD较大的动态范围，但是这两种方法随纹理图象粗糙度的变化反映出的FD估计值的变化趋势是不一样的。
DBC法对粗糙度小的纹理敏感，粗糙度小时其变化更剧烈，而基于分形布朗运动自相似模型的估计方法在粗糙度小时其变化较前者平缓，在高粗糙度的情况下的变化比前者剧烈，因此更好地反映了大FD情况的FD估计差异。
我们的论文工作中，为了在下一章中利用FD进行边缘检测，这里介绍利用基于分形布朗运动自相似模型来估计分维FD的方法。
3.1.3 基于分形布朗运动模型的FD估计法分形几何为图象几何特征的描述开辟了一个新途径。
Pentland[7] 的研究证明，自然界大多数景物表面是空间各向同性的分形，它们的表面映射成的灰度图象是具有分形特性的分形灰度表面；而各向同性的分数布朗随机场模型（FBR）是描述自然景物的有效方法之一，同一图象区域的灰度表面具有统计意义上的自相似性，通过对其FBR模型参数的提取和研究，可以获得图象许多重要的几个参数[7]。
然而，在不同图象区域的交界处，这种分形的一致性将被破坏，在此求出的分形参数H值将会超出其理论取值范围（如用DFBR 描述图象灰度表面，其分形参数H的理论取值范围应为(1<H)，正是这些H0<值发生奇异的地方预示了不同区域的交界位置。
因此，通过对H值的计算和分析，可以检测出图象中的边缘[6]。
本节将采用DFBR场模型作为描述图象区域的数学模型，据此定义一种新的分形参数H值的计算方法，分析探讨边缘处H值的奇异性，并将它用于图象边缘的检测实验。
㈠ 图象区域的DFBR 场模型定义3.3 若x 与x ∆取离散值为n 和m ，则称),()(),(m n B n B m n c H H -=为离散分数布朗随机场（即DFBR 场）。
由以上定义可知，分数布朗随机场是非平稳的，而对应的离散增量（即DFBR 场）则具有统计平稳自相似性，即DFBR 场满足：HH H H H m n B n B E n B m n B E |||||})()1({||})()({|⋅-+=-+H H H H H m n B n B E n B m n B E 222||||}|)()1({|}|)()({|⋅-+=-+由上式看出，DFBR 场的一、二阶绝对矩是各向同性的。
DFBR 场模型是描述自然景物自相似性的一种有效模型，其局部统计特性能有效地吻合图象区域的局部统计特性[8]。
因此，用DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型，H 参数能够表征同一图象区域的自相似性（即灰度表面的均匀程度），对应的图象区域灰度表面的分形维数D 可由H 参数获得：H D D T -+=1式中T D 为图象区域的拓扑维数，2=T D 。
㈡ H 参数的定义设图象区域的灰度表面满足DFBR 场模型，),(00y x I 表示图象中),(00y x 处的灰度值，由DFBR 场模型的性质得：{}{}H y x I y x I E y x I y x I E γ∆-=-),(),(),(),(001100式中， 2020)()(y y x x -+-=∆γ；1)()(201201=-+-y y x x若定义2020)()(y y x x -+-=γ|),(),(|)(00y x I y x I I -=∆γ则上式可写成：H I E I E γγ⋅∆=∆)}1({)}({ 1>γ两边取对数得：)log()}1({log )}({log )(γγγI E I E H ∆-∆= (3.3) 由DFBR 场模型的定义及性质知，DFBR 场为平稳过程，满足均值历经性，则有：)}({)(1)(1γγγγγI E I N I ∆=∆>=∆<∑> 式中γN 为到点),(00y x 之间距离为γ的象素点数。
上式可改写为：=)(γH [log∑>--100|),(),(|1γγy x I y x I N log ∑=-100),(),(|1γγy x I y x I N ])log(|γ (3.4)§3.2 多重分形的有关概念及性质3.2.1 概念多重分形[9]研究物理量或其它量在几何支集上的分布。
