高等数学 第4讲 无穷大与无穷小(1)(PPT)

轻松理解数学中的无穷大与无穷小

无穷大与无穷小是数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等领域中起着至关重要的作用。本文将以轻松易懂的方式解释数学中的无穷大与无穷小，并探讨它们的性质与应用。

1. 无穷大的定义与性质

在数学中，无穷大是指趋向于正无穷或负无穷的数。我们用符号∞表示正无穷，用符号-∞表示负无穷。无穷大具有以下性质：

1) 任何有限数与无穷大相加、相乘或相除，结果仍为无穷大；

2) 无穷大与无穷大相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷大、有限数或不存在。

例如，考虑数列{1, 2, 3, ...}，它的每一项都比前一项大1。当n趋向于无穷大时，数列的项也趋向于无穷大。这意味着数列{1, 2, 3, ...}中的每一项都可以被认为是无穷大。

2. 无穷小的定义与性质

与无穷大相对应的是无穷小。无穷小是指趋向于零的数，通常用符号ε表示。无穷小具有以下性质：

1) 任何有限数与无穷小相加、相乘或相除，结果仍为无穷小；

2) 无穷小与无穷小相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷小、有限数或不存在。

举个例子，考虑数列{1/n}，其中n为正整数。当n趋向于无穷大时，数列的每一项都趋向于零。这意味着数列{1/n}中的每一项都可以被认为是无穷小。

3. 无穷大与无穷小的关系 无穷大和无穷小是相对的概念。当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。换句话说，无穷大与无穷小是互为倒数。这一性质在数学分析中有着重要的应用。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。当x趋向于正无穷时，函数f(x)趋向于零；当x趋向于零时，函数f(x)趋向于正无穷。这说明函数f(x)中的无穷大与无穷小是互为倒数的关系。

4. 无穷大与无穷小的应用

无穷大与无穷小在微积分中有着广泛的应用。它们常用于描述函数的极限行为、导数和积分等。

在求极限的过程中，我们经常需要使用无穷大与无穷小的概念。例如，当我们计算函数在某一点的极限时，可以利用无穷小的性质来简化计算。同时，无穷大与无穷小也用于定义导数和积分，它们是微积分中的基本概念。

第4、5讲 无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限

一、计划学时：2节

二、内容

三、要求

四、重点

五、难点

六、教学过程：

（一） 无穷小与无穷大

一、无穷小量

定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。

无穷小量只是极限的一个特殊情况（A=0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x→x0为例给出无穷小的精确定义：

定义2 设函数f(x)当x充分大时有定义。若  M>0， X >0， |x|> X  f (x) >M，则称函数f (x)当x→∞时为无穷大量，记为)()(xxf或)(limxfx.

注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。且若函数是无穷大，则函数必无极限。但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。

如：x→0时，x1是无穷大；x→ -1时，2)1(1x也是无穷大；x→∞时，1-ln x是无穷大。显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x→∞， 的值非负且越来越大，而1-ln x则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。将定义2中的“|x|> X”相应地改为“x< X ”和“x>-X ”即可得到x→∞时正无穷大和负无穷大的定义。共有21种无穷大的定义。

例2 证明11lim1xx.

证  M >0，要使f (x) =│11x│>M，只要

| x -1|< M1，取  =M1，则当|1|0x时，

 │11x│>M， ∴ 11lim1xx.

注 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。

 从图形(图10—13)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。 图10—13 2)1(1xy

y=1

1

高等数学-第1章--函数、极限和连续§1.3无穷小和无穷大

1 / 9 旧课复习（5′）

1．数列的极限；

2．函数的极限；

3．极限的四则运算；

4、两个重要极限

新课内容

§1.3 无穷小与无穷大（53）

1、无穷小定义

如果 lim()0xfx，则称xxf是)(时的无穷小量，简称无穷小。

例如，函数24yx是当2x时的无穷小，因为2lim(24)0xx，

注：（1）不要把无穷小与很小的数混为一谈。无穷小表达的是量（函数）变化状态，而不是量的大小。一个量不管多么小，都不是无穷小量。零是惟一可作为无穷小的常数。

（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势。

2、无穷大定义

当x时，()fx无限增大，则称)(xf是x时的无穷大量，简称无穷大。记作lim()xfx。

例如，11lim1xx，2limxx。

注：（1）不要把无穷大与很大的数混为一谈。

（2）说一个函数是无穷大，必须指明自变量的变化趋势。

（3）按极限的定义，为无穷大的函数的极限是不存在的，但为了讨论问题方便起见，我们也说“函数的极限是无穷大”。

3、无穷大与无穷小的关系

如果lim()xfx，那么1lim0()xfx；

如果lim()0xfx（lim()0xfx），那么1lim()xfx。 高等数学-第1章--函数、极限和连续§1.3无穷小和无穷大

2 / 9 证明从略。

例1：计算

分析：分母的极限为0，不能用商的极限法则。分子的极限不为0，如果将分式倒过来则极限为0，因此可以根据无穷大与无穷小的关系计算此极限。

2123lim54xxxx

例2 计算2332lim21xxxx。

分析：x时分子，分母，不能使用商的极限法则，可以考虑分子分母同时除以分母的最高次幂3x

解 23233232limlim021211xxxxxxxxx。

第一章 第四节 无穷大与无穷小

A组

一、选择题：

§7无穷小的比较

1.下列说法正确的是：

（A）,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~则必有~。

（B）0x时0limsinsinlim,~sin303xxxxxtgxxxxx

（C）已知11coslim0xxx，由此可断言，当)1(cos,0xxx与时为等价无穷小

（D）当0x时，x3sin 与1xe 是同阶无穷小 。

1、x→0时，1—cosx是x2的 。

(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小

2、当x→0时，（1—cosx）2是sin2x的 。

(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小

3、如果应满足则高阶的无穷小是比时cbaxcbxaxx,,,111,2 。

(A)1,1,0cba (B) 为任意常数cba,1,0

(C) 为任意常数cba,,0 (D) 都可以是任意常数cba,,

4、1x时与无穷小x1等价的是 。

(A)3121x (B) x121 (C) 2121x (D) x1

5．下列极限中，值为1的是 。

(A) xxxsin2lim (B) xxxsin2lim0

(C) xxxsin2lim2 (D) xxxsin2lim

1.下列说法正确的是：

（A）两个无穷小之和仍是无穷小 （B）无界变量必是无穷大量。