第四节 无穷小与无穷大教学目的：1. 使学生理解无穷小的概念及性质；2. 使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系;3. 掌握无穷小的比较方法.教学过程:一、复习函数极限的定义及性质二、讲解新课1.3 无穷小量和无穷大量一、无穷小量1、 定义,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim =∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn注意 （1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。
例：自变量x 在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。
（1）11-=x y （2）12-=x y （3）x y 2= （4）x y )41(= 2、无穷小与函数极限的关系,)(lim 0A x f x x =→设,)()(A x f x -=α令 ,0)(lim 0=→x x x α则有).()(x A x f α+=∴ 充分性),()(x A x f α+=设,)(0时的无穷小是当其中x x x →α))((lim )(lim 00x A x f x x x x α+=→→则)(lim 0x A x x α→+= 例：当∞→x 时，将函数xx x f 1)(+=写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。
3、无穷小的运算性质:是无穷小，时例如n n 1,,∞→.11...11lim 不是无穷小但个=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n .推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.xx x x x 1arctan ,1sin ,0,2时当例如→都是无穷小 例1、 求下列极限xx x sin lim .1∞→ 解：因为xx 1lim ∞→=0，而1sin ≤x 即sinx 有界, 由无穷小性质 得原式=0 x e x x cos lim .2∞-→ 解：=∞-→x x e lim 0 ,1cos ≤x ∴ 原式=0 二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim ()(lim )()(00-∞=+∞=∞→→∞→→x f x f x x x x x x 或注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;.)(lim 20认为极限存在）切勿将（∞=→x f x x （3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.但不是无穷大是一个无界变量时当例如,1sin 1,0,xx y x =→分析：（1）取k x ),3,2,1,0(221=+=k k ππ,22)(ππ+=k x y k .)(,M x y k k >充分大时当 无界， ),3,2,1,0(21)2( =''='k k x k π取,,δ<''k x k 充分大时当ππk k x y k ''='2sin 2)(但.0M <=不是无穷大。
