二次根式 (一)定义、性质、性质应用

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个性化教学辅导教案

教师姓名 学生姓名 上课时间

学科 数学 年级 教材版本 浙教版

课称名称 二次根式 （一）定义、性质、性质应用

教学目标 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握结论利用它们进行计算和化简

教学重点 结论及其运用

教学难点 利用结论解决具体问题

课

堂

教

学

过

程

知识点一：二次根式的概念

一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

理解并掌握下列结论：

， ，

并利用它们进行计算和化简．

知识点二：二次根式的性质

1. 非负性：aa()0是一个非负数．

2. ()()aaa20．

3. aaaaaa200||()()

4. 公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系

（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．

（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．

5 积的算术平方根的性质：；

2 6. 商的算术平方根的性质：.

知识点三：代数式

形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic

expression).

例题解析

类型一：二次根式的概念

例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．

思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；

不是二次根式的有：、、、．

例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？

思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，在实数范围内有意义．

总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

3 举一反三

【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？

(1)； (2)；

解：(1)由≥0，解得：x取任意实数

∴ 当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.

(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1

∴ 当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？

思路点拨：要使+在实数范围内有意义，

必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

练习：1若式子13x有意义，则x的取值范围是 ．[

2使代数式43xx有意义的x的取值范围是（ ）

A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

3、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

4 4、当x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）32x______；（2）121x______；（3）421xx_________；（4）23x_______；

类型二：二次根式的性质

例1、计算：

(1) (2) (3) (4)

(5)(b≥0) (6)

思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．

解：

(1) (2)=； (3)；

(4)=； (5)；

(6)．

举一反三

【变式1】计算：

(1)； (2)；

(3)； (4).

思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0； (2)a2≥0；

(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0； (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．

所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．

解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0

；

5 (2)∵a2≥0，∴；

(3)∵a2+2a+1=(a+1)2

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；

(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2

又∵(2x-3)2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.

例2、化简:

(1)； (2)； (3)； (4).

思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．

解：(1)==3； (2)==4；

(3)==5； (4)==3.

例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，•并根据这一性质回答下列问题．

(1)若=a，则a可以是什么数？

(2)若=-a，则a可以是什么数？

(3)＞a，则a可以是什么数？

思路点拨：

∵=a(a≥0)，

∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，

因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？

6 解：(1)因为，所以a≥0；

(2)因为，所以a≤0；

(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，

要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.

练习：已知2x,则化简244xx的结果是

A、2x B、2x C、2x D、2x

类型三：二次根式性质的应用

例1、当x=-4时，求二次根式的值.

思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.

解：将x=-4代入二次根式，得=.

例2、(1)已知y=++5，求的值．

(2)若+=0，求的值．

解：(1)由可得，，

(2)

例3、在实数范围内分解因式：

(1)x2-5； (2)x3-2x；

解:(1)原式

7 .

(2)原式

举一反三：

1、若23a，则2223aa等于（ ）

52a B. 12a C. 25a D. 21a

2、当a＜l且a≠0时，化简aaaa2212＝ ．

3如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+2()ab 的结果等于（ ）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

4、实数a在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______aa．

5化简21816xxx的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）

（A）x为任意实数 （B）1≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1

6.若代数式22(2)(4)aa的值是常数2，则a的取值范围是（ ）

Ａ．4a≥ Ｂ．2a≤ Ｃ．24a≤≤ Ｄ．2a或4a

7如果11a2aa2，那么a的取值范围是（ ）

A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1

1 0 1 2 a oba

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下节课应用

1.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

2.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

3.二次根式的运算：

⑴二次根式的加减运算：

先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：

①ab=ba•（a≥0,b≥0）； ②0,0bababa

课堂练习

课后作业

课

后

评

价

本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________

学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ ________________________________

学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ ________________________________

学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________

评价

教务主任审批 学管审批