1集合 - 难 - 习题

2018年8月17日数学随堂练习试卷一、选择题（共16小题；共80分）1. 已知集合M={x∣(x+2)(x−1)<0}，N={x∣x+1<0}，则M∩N=( )A. (−1,1)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (1,2)2. 已知A={x∣x+1>0}，B={−2,−1,0,1}，则(∁R A)∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2}C. {−1,0,1}D. {0,1}3. 已知集合A={0,a}，B={x∣−1<x<2}，且A⊆B，则a可以是( )A. −1B. 0C. 1D. 24. 已知集合A={0,1,2,3}，B={n∣n=2k−1,k∈A}，则A∩B=( )A. {1,2,3}B. {1,2}C. {1}D. {3}5. 已知全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈R∣x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为( )A. {1,2}B. {4,5}C. {1,2,3}D. {3,4,5}6. 已知P={x∣−4≤x≤2,x∈Z}，Q={x∣−3<x<1}，则P∩Q=( )A. (−1,3)B. [−2,1)C. {0,1,2}D. {−2,−1,0}7. 已知集合A={x∣x−2≥0}，B={x∣0<log2x<2}，则∁R(A∩B)是( )A. {x∣2<x<4}B. {x∣x≥2}C. {x∣x≤2或x≥4}D. {x∣x<2或x≥4}8. 已知集合A={y∣y=2x,0≤x≤1}，集合B={1,2,3,4}，则A∩B等于( )A. {0,1}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1,2}9. 已知R为实数集，集合M={y∣y=√4−x2}，N={x∣y=√x−1}，则M∩(∁R N)=( )A. {x∣0≤x<1}B. {x∣−2≤x<1}C. {x∣0≤x<2}D. {x∣−1≤x<1}10. 设集合A={x∣−1<x<2}，B={x∣ y=lg(x−1)}，则A∩(∁R B)=( )A. [−1,2)B. [2,+∞)C. (−1,1]D. [−1,+∞)11. 已知集合A={x∣x−2<0}，B={x∣x<a}．若A∩B=A，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. (−∞,2]D. [2,+∞)12. 已知集合A={0,1,2,3}，B={x∣lnx>0}，则A∩B=( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {2,3}D. {3}13. 若集合A={x∣−1<x<1,x∈R}，B={x∣y=√x−2,x∈R}，则A∪B=( )A. [0,1)B. (−1,+∞)C. (−1,1)∪[2,+∞)D. ∅14. 已知全集U=R，集合A={x∣2x>12}，B={x∣log3x<1}，则A∩(∁U B)=( )A. (−1,+∞)B. [3,+∞)C. (−1,0)∪(3,+∞)D. (−1,0]∪[3,+∞)15. 已知集合A={y∣y=2x}，B={y∣y=√x−1}，则A∩B等于( )A. {y∣y≥0}B. {y∣y>0}C. {y∣y≥1}D. {y∣y>1}16. 设连续正整数的集合I={1,2,3,⋯,238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是( )A. 204B. 207C. 208D. 209二、填空题（共7小题；共35分）17. 已知集合A={x∣−2≤x≤0}，B={x∣0<x≤3}，则A∪B=．18. 已知集合A={0,3,4}，B={−1,0,2,3}，则A∩B=．19. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)=．20. 设M={1,2}，N={1,2,3}，P={c∣c=a+b,a∈M,b∈N}，则集合P中元素的个数为个．21. 已知集合M={1,2,a3−a}，N={0,a+1,3−a2}，且M∩N={0,1}，则实数a=．22. 已知集合M={a∣a=x2−y2,x,y∈N}，对于元素7和6，有7M，6M（填“∈”或“∉”） .23. 已知集合P={−12,13,12,1,2}，集合P的所有非空子集依次记为M1，M2，⋯，M31，设m1，m2，⋯，m31分别是上述每一个子集内元素的乘积，如果P的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身，那么m1+m2+⋯+m31=．三、解答题（共5小题；共65分）24. 已知全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={x∈N∣1<x≤4}，B={x∈R∣x2−3x+2=0}，（1）用列举法表示集合A与B；（2）求A∩B及∁U(A∪B)．25. 已知集合A={x∣a−1<x<2a+1}，B={x∣0<x<1}．（1）若a=12，求A∩B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．26. 设集合A={x∣x2+4x=0}，B={x∣x2+2(a+1)x+a2−1=0}，A∩B=B，求实数a的值．27. 若集合A={x∣−2<x<4}，B={x∣x−m<0}．（1）若m=3，全集U=A∪B，试求A∩(∁U B)；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．28. 某校先后举行数、理、化三科竞赛，学生中至少参加一科的有：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的有：数、物593人，数、化371人，物、化267人；三科都参加的有213人，试计算参加竞赛的学生总数．答案第一部分1. C 【解析】∵(x+2)(x−1)<0，∴−2<x<1．∴M={x∣−2<x<1}，N={x∣x<−1}．∴M∩N={x∣−2<x<−1}．2. A3. C，故A∩B={1,2}．4. B 【解析】k=1，n=1，k=2，n=2，k=3，n=4，k=0，n=125. A6. D 【解析】集合P={x∣−4≤x≤2,x∈Z}={−4,−3,−2,−1,0,1,2}，Q={x∣−3<x<1}，则P∩Q={−2,−1,0}．7. D 【解析】因为A={x∣x≥2}，B={x∣1<x<4}，A∩B={x∣x≥2}∩{x∣1<x<4}={x∣2≤x<4}，∁R(A∩B)={x∣x<2或x≥4}．8. B 【解析】因为0≤x≤1，所以1≤2x≤2，所以A={x∣1≤x≤2}．又集合B={1,2,3,4}，则A∩B={1,2}．9. A 【解析】根据已知得M={y∣y≥0}，N={x∣x≥1}，∁R N={x∣x<1}，M∩(∁R N)= {x∣0≤x<1}．10. C【解析】由x−1>0得x>1，故B={x∣x>1}，∁R B={x∣x≤1}，所以A∩(∁R B)=(−1,1]．11. D 【解析】由A∩B=A，得B．结合数轴，确定a≥2，所以实数a的取值范围是[2,+∞)．12. C13. C14. D15. B16. C 【解析】满足7倍关系的两个数不能同时出现在T中，由此我们将I中的数分成三类：第一类：1,7,49；2,14,98；3,21,147；4,28,196；共4组；每组最多只能有两个数在集合T中（首尾两个数），即集合T中至少需要排除其中4个元素：7,14,21,28；第二类：5,35；6,42；8,56；⋯；34,238，共30−4=26组（其中7,14,21,28所在的组不在其中）；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中的26个元素；第三类：不在上面两类中的所有数：36，37，38，⋯，237，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合I中，所以这组中所有数都可以在集合T中；所以，集合T中最多可以有238−4−26=208个元素．事实上，元素个数最多的集合T可以这样构造：先将集合I中所有7的倍数（共34个）剔除；再将72的倍数（共4个）补回来．因此集合T中元素个数最多为238−34+4=208个．本题可以形象地加以理解，如图，集合 I 由如图的两种不同的分子及一种原子构成，需要通过取出一部分原子破坏所有的化学键． 第二部分17. {x ∣−2≤x ≤3} 18. {0,3}【解析】集合 A ={0,3,4}，B ={−1,0,2,3}，则 A ∩B ={0,3}． 19. {2,5}【解析】由题意知 ∁U B ={2,5,8}，则 A ∩(∁U B )={2,5}． 20. 4 21. 0【解析】因为 M ∩N ={0,1}，即 a 3−a =0，所以 a =0 或 a =±1，分别代入 N 中，知 a =±1 不合题意， 所以 a =0． 22. ∈，∉【解析】因为 x,y ∈N ，所以 x +y 与 x −y 均为整数，且 x −y ≤x +y ．令 x 2−y 2=7，即 (x +y )(x −y )=7，所以 {x −y =1,x +y =7,解得 {x =4,y =3. 即二元方程 x 2−y 2=7 有解，所以 7∈M .对于 x 2−y 2=6，即 (x +y )(x −y )=6，令 {x −y =2,x +y =3, 无整数解；再令 {x −y =1,x +y =6, 亦无整数解．因此，6∉M ．23. 5【解析】集合 P 所有子集内元素的乘积之和为函数 f (x )=(x −12)(x +13)(x +12)(x +1)(x +2) 展开式中所有项的系数之和 T −1，即 m 1+m 2+⋯+m 31=T −1．因为 T =f (1)=12×43×32×2×3=6，所以 m 1+m 2+⋯+m 31=T −1=5． 第三部分24. （1） A ={x ∈N ∣1<x ≤4}={2,3,4}，B ={x ∈R ∣x 2−3x +2=0}={1,2}， 所以用列举法表示集合 A 与 B 为：A ={2,3,4}，B ={1,2}． （2） 由（1）可得：A ∩B ={2}，A ∪B ={1,2,3,4}， 又因为 U ={0,1,2,3,4,5,6}，所以 ∁U (A ∪B )={0,5,6}． 25. （1） 当 a =12 时，A ={x ∣−12<x <2}，B ={x ∣0<x <1}，所以 A ∩B ={x ∣0<x <1}．（2） 若 A ∩B =∅，当 A =∅ 时，有 a −1≥2a +1，所以 a ≤−2，当 A ≠∅ 时，有 {a −1<2a +1,2a +1≤0或a −1≥1, 所以 −2<a ≤−12 或 a ≥2，综上可得，a ≤−12 或 a ≥2．26. 由题知 A ={0,−4}，又 A ∩B =B ，所以 A ．（1）若 B =∅，则 x 2+2(a +1)x +a 2−1=0 的 Δ<0，于是 4[(a +1)2−(a 2−1)]<0， 解得 a <−1．（2）若 B ={0}，把 x =0 代入方程得 a =±1. 当 a =1 时，B ={0,−4}≠{0}，所以 a ≠1． 当 a =−1 时，B ={0}，所以 a =−1．（3）若 B ={−4}，把 x =−4 代入得 a =1 或 a =7． 当 a =1 时，B ={0,−4}≠{−4}，所以 a ≠1． 当 a =7 时，B ={−4,−12}≠{−4}，所以 a ≠7．（4）若 B ={0,−4}，则 a =1．当 a =1 时，B ={0,−4}．所以 a =1． 综上所述：a ≤−1 或 a =1． 27. （1） 集合 A ={x ∣−2<x <4}，B ={x ∣x −m <0}．当 m =3 时，由 x −m <0 得 x <3，所以 B ={x ∣x <3}， 所以 U =A ∪B ={x ∣x <4}， 那么 ∁U B ={x ∣3≤x <4}． 所以 A ∩(∁U B )={x ∣3≤x <4}． （2） 因为 A ={x ∣−2<x <4}，B ={x ∣x <m }，A ∩B =A ， 所以 A ⊆B ， 故 m ≥4．所以实数 m 的取值范围是 [4,+∞)．28. 设 A ，B ，C 分别表示参加数学、物理、化学竞赛的学生的集合，全体学生集合为 U ， 如图：A ∩B ∩C ：三科竞赛都参加的学生有 213 人；(A ∩B )∩∁U C ：只参加数、物竞赛的学生有 593−213=380（人）； ∁U A ∩(B ∩C )：只参加物、化竞赛的学生有 267−213=54（人）； A ∩(∁U B ∩C )：只参加数、化竞赛的学生有 371−213=158（人）；A ∩∁UB ∩∁UC ：只参加数学竞赛的学生有 807−380−213−158=56（人）； ∁U A ∩B ∩∁U C ：只参加物理竞赛的学生有 739−213−380−54=92（人）； ∁U A ∩∁U B ∩C ：只参加化学竞赛的学生有 437−213−54−158=12（人）．故参加竞赛的总人数有：213+380+54+158+56+92+12=965（人）．。