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沪教版初三暑假班 - 第十五讲 实数与向量相乘教案

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上课内容（一）温故知新复习：1．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平行四边形法则是怎么表示的？2． a已知：向量b a ,求：（1）b a +（2） b a -（二）探索新知1．思考：已知=++a a a 3a ，那么=++→→→a a a ？ 几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？例题1 已知向量a ，如何求（1）a a a++ a学生动手画图验证猜测结论并归纳.变式：（2）求)()()(a a a-+-+-=？ 2．归纳我们规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n表示n 个a 相加；用a n-表示n 个a -相加．.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为am n 的向量.[说明] 例题1是根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量.例题2 已知非零向量a，求作,3,3,25a a a--并指出他们的长度和方向. a例题3 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 、分别是各边的中点EG 与FH 相交于点O.设bBA a AD==,b请用向量a 或b 表示向量OF OE ,，并写出图中与向量OE 相等的量.[说明]本例题将平行四边形的性质与向量加法的平行四边法则结合运用． 例题4 已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 与AC 上DE ∥BC ，3AD=4DB ，试 用向量BC 表示向量DE .[说明]本例题引导学生初步认识两个平行向量的代数表达形式 （三）巩固练习1、→a k 表示实数k 与向量→a 相乘的运算，下列表示运算是否正确： （1）→a k 表示为k ×→a 或者k ·→a （ ） （2）→a k 表示→a k （ ） （3）→a k 表示a k →（ ）2、已知非零向量a ，求作4→a ，-2→a ，-21→a ，并指出他们的长度和方向.3．如图，矩形ABCD 中，E 、M 、F 、N 是AB 、DC 的三等分点，设b DA a AB==,试用向量b a ,表示向量AD AE ,，并写出图中与DA AE ,向相等的向量.一、课堂检测*1、设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个 ,记作 ；ABCD EH GFOABE CDAEDMBF NC图1D C BACBA DFG E *2、若a 与b 是互为相反向量，则若a ＋b = ；*3、已知非零向量若OA =a ，OB 与a 的方向相同，它的长度是|a |的5倍，则OB = ； *4、如图，AD 是ABC ∆中BC 边上的中线，点G 是ABC ∆的重心，AD a=， 则AG = , GD = ;二、检测点1、向量的概念复习；2、实数与向量相乘的规律；3、实数与向量相乘作图；4、实数与向量相乘应用. 三、课外作业 *5、已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，则与向量AD 相等的向量是 ； 与向量AD 相反的向量是 ； 与向量AD 平行的向量是 ； 若a AC =，则AO = , CO = ;若b AD =，a AC =,则CB = , DO = ，DB = ; *6、已知：如图，在△ABC 中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶1∶2,a AB =,b ED =则=AD ，DF = , DB = ,=AE ， GF = ;*7、下列式子中，错误．．的是………………………………………………（ ）． （A ）2a a a +=；（B ）()0a a +-=；（C ）()a b a b -+=--；（D ）a b b a -=-． *8、如果非零向量a 与b 满足等式b a 3-=，那么向量a 与b 的方向 ． *9、已知向量a AB =，求作－3a 和a 43．**10、如图，在□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，设a BG =,b BF =，试用向量a 、b 表示向量FH 、DC 和BDAB C DG · (图八)AB图1DCBA**11、在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，b AD a AB ==,,在图中画出向量a 21-、b 21、)(21b a +**12、如图，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且5AD =2DB ，试用向量BC 表示向量DE ？**13、已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且:2:3AD DB =，试用向量DE 表示向量BC ？（一）温故知新1．已知：非零向量a，求作：13,22a a a -， （二）探索新知A BCE D A BCE D例题1 已经知非零向量a ，求作→→--+a a a a a a 21)4(,27)3(,223)2(,321)1( .问题1：观察、比较（1）与（3），（2）与（4）的结果，你有什么发现？ 归纳:同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和； 反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差（正） 相反向量的和向量为零向量.问题2：实数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，实数与向量相乘有类似的运算律吗？ 归纳：一般地，如果n m ,是非零实数，→a 是非零向量，那么a n a m a n m +=+)(， 这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律.例题2、如图，已经知非零向量a 、b．（1）等式b a b a33)(3+=+成立吗？作图验证所得的结论； （2）设实数0>k 指出对算式)(b a k+去括号的法则. ab[说明]本题为了探讨实数与向量相乘对于向量加法的运算律而设计，从特殊到一般分层递进．问题3：若实数0<k ，那么等式b k a k b a k+=+)(还成立吗？归纳：一般地，对于任意实数k 和非零向量→a 、b ，总有()k a b ka kb +=+，这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律.问题4：)3(2a =？ a )32(⨯=？(2)(3)a --=？ (2(3a --））=？它们与a 6有什么关系？ 归纳：任意的非零实数n m ,和非零向量a ，总有a mn a n m )()(=这是实数与向量相乘的结合律.概括：设n m ,为实数，则（1）a mn a n m )()(=；（2）a m a m a n m +=+)(；（3）b n a m b a m+=+)(．例题3 计算（1）)5(3b a+；（2）)23(23b a a -+-； （3）)3(2)3(c b a c b a-+--+.（三）课堂练习1、计算：cb ac b a 326)4341(8)231(3⨯+-++-. 2、如果向量x b a ,,满足关系式)(5)(3x b b a -=+，试用向量b a ,表示向量x .3、计算下列各式：（1）、)2(5→→-b a ；（2）、→→→--a b a 21)2( ；（3）、)32()2(→→→→→---+c a c b a一、课堂检测*1、下列式子中，错误．．的是………………………………………………（ ）． （A ）2a a a +=；（B ）()0a a +-=；（C ）()a b a b -+=--； （D ）a b b a -=-． *2、下列各式中错误的是（ ）．（A ）022=-a a ; （B ）a a 933=⨯;（C ）a a a 422=+; （D ）b a b a 33)(3+=+. *3、计算：=--a b a 2)(3 ;*4、计算：12)()2a b a b +--（＝ ； 二、检测点1、实数与向量相乘的规律；2平行向量的加减法；3、实数与向量相乘作图；4、实数与向量相乘应用. 三、课外作业 *5、;=++CD BC AB*6、__;__________214=⎪⎭⎫⎝⎛+b a*7、计算：3(24)5()a b a b --+= ． *8、()()________;=+---+c b a c b a*9、下列式子中，正确的是（ ）A ．00a += ；B ．()a b a b --=-- ；C ．3(2)36a b a b +=+ ；D ．00a =． *10、已知点C 是线段AB 的中点，如果设a AB =，那么下列结论中，正确的是（ ）． （A ）a AC 21=；（B ）a BC 21= ； （C ）BC AC =； （D ）0=+BC AC ． **11、计算下列各式：（1）(23)2(32)a b c a b c +---+ （2）)6(31)32(a b b a --+（3）11(22)(23)32a b c a b c b +-++-- （4）)63(31)32(c a b c b a +--+-**12、试用向量a 、b 表示下列各式中的x（1）0)(2=-+x b a （2）34(2)2a b x x +-=**13、如图，已知两个不平行的向量a 、b ．先化简，再求作：)223()27(b a b a+-+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）**14、已知：如图，两个不平行的向量a 和b ．先化简，再求作：)232()213(b a b a --+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）baba（第20题图）。

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沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。

实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。

三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。

2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。

3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。

2.实数与向量相乘的运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。

例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。

4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。

5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。

(教案)向量的数乘运算Word版含解析

(教案)向量的数乘运算Word版含解析

6.2.3向量的数乘运算课标解读课标要求核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点)3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养.2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力.3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少?答案设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?答案-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个①向量记法λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向②相同λ<0λa的方向与a的方向③相反几何意义λa中的实数λ是向量a的系数λ>0λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ<0λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到特别提醒当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.思考1:实数与向量能否进行加减运算?提示不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa +μa; (3)λ(a+b )=λa +λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b. 思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示在形式上类似. 4.共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b =λa. 思考4:λ与向量a,b 的方向有什么关系?提示若λ>0,则a 与b 同向;若λ<0,则a 与b 反向.探究一向量的线性运算例1(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9(a +13b);②12[3a +2b -(a +12b)]-2(12a +38b); ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n 满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b 表示向量m,n. 解析(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=12(2a +32b)-a-34b=a+34b-a-34b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n ①,b=m-3n ②, 则①×3+②×2得3a+2b=11m, 即m=311a+211b. ①-②×3得a-3b=11n,即n=111a-311b. 思维突破向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=16×(4a+16b-16a+8b)=16×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb.探究二共线向量定理及其应用例2设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b 与a+kb 共线. 解析(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b, CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A 、B 、D 三点共线. (2)∵ka+b 与a+kb 共线, ∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb), 即ka+b =λa +λk b,∴(k-λ)a =(λk -1)b. ∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1. 思维突破用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b =λa(a 、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在线段BD 上,且有BN=13BD,求证:M,N,C 三点共线.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+13(b-a)=16a+13b,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b=3×(16a +13b)=3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M,∴M,N,C 三点共线.探究三向量线性运算的应用例3(易错题)已知点E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b.在△EFP 中,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12·a-12b =-12(a+b).易错点拨在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1已知四边形ABCD 是一个梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析解法一:如图,连接CN, 易知AN 与DC 垂直且相等, 所以四边形ANCD 是平行四边形. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,又因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+14a. 解法二:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以a+BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)+(-b)=0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, 又因为在四边形ADMN 中有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以b+14a+MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)=0, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b. 3-2设O 为△ABC 内任意一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若D,E 分别是BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求S△ABC S △AOC的值.解析(1)证明:如图,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14×S △ABC =13S △ABC ,∴S△ABC S △AOC=3.1.已知非零向量a,b 满足a=4b,则() A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反答案C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与b 的方向相同, ∴a 与b 的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是() A.a=2e,b=-2e B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 2答案ABCA 中,b=-a,则a,b 共线;B 中,b=-2a,则a,b 共线;C 中,a=4b,则a,b 共线;D 中,a,b 不共线.3.已知向量a=e 1+λe 2,b=2e 1,λ∈R,且λ≠0,若a ∥b,则() A.e 1=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或e 1=0或e 2=0 答案D4.已知x,y 是实数,向量a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=. 答案12;12解析由已知得{x +y -1=0,x -y =0,解得x=y=12.5.已知两个非零向量e 1、e 2不共线,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2.求证:A 、B 、D 三点共线.证明∵AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2 =12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A, ∴A 、B 、D 三点共线.数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知▱ABCD 的边BC,CD 上的中点分别为K,L,且AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =①, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ +KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,DL⃗⃗⃗⃗⃗ =12e 1-14a. 又AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得a+12e 1-14a=e 2, 解得a=②.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =③.解法二:设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n,则BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12m,DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12n. 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得④,得m=23(2e 2-e 1),n=⑤,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43e 1+23e 2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与AL 的延长线交于点E,则△DLA ≌△CLE.从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 由KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得32BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 2-e 1, 即BC⃗⃗⃗⃗⃗ =⑥. 同理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =⑦.思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案①12a ②43e 2-23e 1,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1 ③-43e 1+23e 2④{-n +12m =e 1m -12n =e 2⑤23(-2e 1+e 2)⑥43e 2-23e 1⑦-43e 1+23e 2如图所示,四边形OADB 是以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b 为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b. ∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a+23b, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a+23b-16a-56b=12a-16b.1.将112[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为() A.2a-bB.2b-a C.a-bD.b-a答案B2.在△ABC 中,如果AD,BE 分别为BC,AC 上的中线,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.23a+43bB.23a-23b C.23a-43bD.-23a+43b 答案A3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+4b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b-a,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a+b),则() A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线 C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 答案B4.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ等于() A.23B.13C.-13D.-23答案A 解法一:由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 解法二:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) C.λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) 答案A 因为P 是对角线AC 上的一点(不包括端点A 、C),所以存在λ∈(0,1),使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 6.已知向量a,b 不共线,实数x,y 满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=,y=. 答案3;-4解析因为a 与b 不共线,所以{5x =3y +27,8-y =4x,解得{x =3,y =-4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与a 反向,则a=b. 答案-32解析因为b 与a 反向,所以a =λb ,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b |=|λ|, 所以λ=-32,所以a=-32b.8.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形EFGH 为平行四边形.证明∵F,G 分别是AB,AC 的中点, ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理,EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG=EH,FG ∥EH,∴四边形EFGH 为平行四边形.9.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=() A.2B.3C.4D.5答案B 由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,M 为△ABC 的重心,故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即m=3.10.(多选题)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 可以是() A.-13B.-14C.0D.-√26答案BD 当点O 与点C 重合时,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-0)·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时x=0;当点O 与点D 重合时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 此时x=-13.因为点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),所以-13<x<0.故x 可以是-14,-√26.故选BD. 11.若对于△ABC 内部的一点O,存在实数λ使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,则△OBC 与△ABC 的面积比为. 答案1∶2解析如图所示,设D,E 分别是AB,AC 的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB 为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC 为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点O 在线段DE 上.又因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以△OBC 与△ABC 的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示下列向量:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案e 2+12e 1;14e 1-e 2解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2+12e 1.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2. 13.已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的取值范围.解析(1)证明:因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又λ∈R ,λ≠1,λ≠0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A,所以A,B,M 三点共线.(2)由(1)知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点B 在线段AM 上,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC 和一点O(如图),线段OA,OB,OC 的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a,b,c 表示向量EL⃗⃗⃗⃗⃗ ,FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明:线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.解析(1)因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a,OL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c),所以EL ⃗⃗⃗⃗⃗ =OL ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c-a). 同理可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+c-b), GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b-c). (2)证明:设线段EL 的中点为P 1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OL ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a+b+c). 设FM,GN 的中点分别为P 2,P 3,同理可求得OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),所以OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.。

《实数与向量的乘法》 导学案

《实数与向量的乘法》 导学案

《实数与向量的乘法》导学案一、学习目标1、理解实数与向量乘法的定义。

2、掌握实数与向量乘法的运算律。

3、能够运用实数与向量的乘法解决相关的几何问题。

二、学习重点1、实数与向量乘法的定义及运算律。

2、利用实数与向量的乘法解决向量共线问题。

三、学习难点1、对实数与向量乘法的几何意义的理解。

2、运用实数与向量的乘法解决综合问题。

四、知识回顾1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示方法：几何表示：用有向线段表示。

字母表示：用小写字母表示，如 a ， b 等。

3、向量的加减法运算：三角形法则平行四边形法则五、新课导入在物理学中，力是一个向量，如果一个力的大小变为原来的 2 倍，方向不变，那么这个力的作用效果会怎样变化？类似的情况在数学中如何用数学语言来描述呢？这就引出了我们今天要学习的内容——实数与向量的乘法。

六、知识讲解1、实数与向量乘法的定义设λ 是一个实数， a 是一个向量，则λ a 是一个向量，它的长度为｜λ a ｜＝｜λ| ｜ a ｜，它的方向：（1）当λ ＞ 0 时，λ a 与 a 的方向相同；（2）当λ ＜ 0 时，λ a 与 a 的方向相反；（3）当λ ＝ 0 时，λ a ＝ 0 。

例如，若 a ＝（2, 3) ，λ ＝ 2 ，则λ a ＝（4, 6) ；若λ ＝－1 ，则λ a ＝（－2, －3) 。

2、实数与向量乘法的运算律设λ 、μ 为实数， a 、 b 为向量，则有：（1）结合律：λ(μ a ）＝（λμ) a例如，若 a ＝（1, 2) ，λ ＝ 2 ，μ ＝ 3 ，则λ(μ a ）＝ 2×（3×（1, 2)）＝ 2×（3, 6) ＝（6, 12) ，（λμ) a ＝（2×3)×（1, 2) ＝ 6×（1, 2) ＝（6, 12) ，两者相等。

（2）第一分配律：（λ ＋μ) a ＝λ a ＋μ a例如，若 a ＝（1, 1) ，λ ＝ 2 ，μ ＝ 3 ，则（λ ＋μ) a ＝（2 ＋3)×（1, 1) ＝ 5×（1, 1) ＝（5, 5) ，λ a ＋μ a ＝ 2×（1, 1) ＋ 3×（1, 1) ＝（2, 2) ＋（3, 3) ＝（5, 5) ，两者相等。

九年级数学上册 24.6 实数与向量相乘教案 沪教版五四制

九年级数学上册 24.6 实数与向量相乘教案 沪教版五四制

实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。

如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。

2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。

3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。

4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，则1e =。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。

由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。

精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。

用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。

例4、下列语句中，错误的是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，ACb =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。