高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)教案1 新人教版必修4

"福建省福州市平潭县城东中学高中数学 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象（2课时）教案 新人教A 版必修4 "教学目标（一） 知识与技能目标（1）了解三种变换的有关概念；（2）能进行三种变换综合应用；（3）掌握y=Asin(ωx+φ)+h 的图像信息．（二） 过程与能力目标能运用多种变换综合应用时的图象信息解题．（三） 情感与态度目标渗透函数应抓住事物的本质的哲学观点．教学重点处理三种变换的综合应用时的图象信息．教学难点处理三种变换的综合应用时的图象信息．教学过程一、复习1. 如何由y=sinx 的图象得到函数. )sin(A 的图象ϕω+=x y . )sin(A A 2.图象的影响对函数、、ϕωϕω+=x y的物理意义：其中，二、函数)0,0)(,0[)sin(A >>+∞∈+=ωϕωA x x y 函数表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.T ：. 2T 间，称为“周期”往复振动一次所需的时ωπ=f ：. 2T 1次数，称为“频率”单位时间内往返振动的πω==f :ϕω+x 称为“相位” .:ϕ x=0时的相位，称为 “初相”.三、应用例1、教材P54面的例2。

.)|)(|sin(.2的表达式求由右图所示函数图象，例πϕϕω<+=x A y解析：由图象可知A=2，.)0,0)(sin(.3求这个函数的解析式的图象的一部分，右图所示的曲线是例>>+=ωϕωA x A y解：由函数图象可知).32sin(2.32652065(22,)1265(34,2ππϕπϕππωπωππππ+=∴=∴=+⋅=∴==-==x y T A 所求函数的解析式为，即第五个点，）是“五点法”作图的，又，即.)sin(析式的图象的一段，求其解下图为思考ϕω+=x A y ：解1：以点N 为第一个零点，则,3-=A,)365(2πππ=-=T)32sin(3.3026)0,6().2sin(3,2ππϕϕππϕω+-=∴=⇒=+⨯-∴-+-==∴x y N x y 所求解析式为点此时解析式为解2：以点)0,3(πM 为第一个零点，则,22,3===T A πω 解析式为),2sin(3ϕ+=x y 将点M 的坐标代入得,32032πϕϕπ-=⇒=+⨯).322sin(3π-=∴x y 所求解析式为. 32311 3735 )0,0()sin(.4求此函数的解析式，有最小值为时，当；有最大值为时，当在同一周期内，函数例-==>>++=y x y x A k x A y ππωϕω 解由已知⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+,32,37k A k A 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.65,23k A 又，即πωππππ42,4)35311(2==-=T.21=∴ω 又），（3735π为“五点法”作图得第二个点，则有.323521πϕπϕπ-=∴=+⋅，）（ ∴所求函数的解析式为.65)321sin(23+-=πx y 四、课堂小结：的表达式：求函数)sin(ϕω+=x A y;.1由图像中的振幅确定A;.2由图像的周期确定ω 代点法平移法常用的两种方法：求)2( )1( .3ϕ 五、课后作业1.阅读教材第53～55页；2.教材第56页第3、4题． 作业：《习案》作业十三。

人教版高中必修4-1.5函数 y=Asin（ωx+ψ）教学设计在人教版高中数学必修4中，5.函数一章中，一节题型为函数y=Asin（ωx+ψ）的讲解和练习。

本文将从教学目标、教学内容、教学方法及教学评价四个方面，设计一节以此题型为主的数学课。

教学目标•了解正弦曲线的定义和性质，熟悉图像和公式的关系。

•能够描述和掌握函数y=Asin（ωx+ψ）的解析式、定义域、值域和图像。

•掌握函数y=Asin（ωx+ψ）的平移、伸缩和反演的规律，并能应用于实际问题中。

教学内容1.正弦曲线的定义和性质•定义：正弦曲线是y=Asinωx所得到的曲线。

•性质：周期为T=2π/ω，最大值为A，最小值为-A，对称轴是y=0线，过原点，奇函数。

2.函数y=Asin（ωx+ψ）的解析式、定义域、值域和图像•解析式：y=Asin（ωx+ψ）。

•定义域：x∈R。

•值域：[-A,A]。

•图像特征：平移量是ψ/ω，周期为T=2π/ω，振幅为|A|。

3.函数y=Asin（ωx+ψ）的平移、伸缩和反演的规律•平移：对于y=Asin(ω(x+α))，图像往左平移α个单位，若α<0，则向右平移|α|个单位。

•伸缩：对于y=Asin(ωx)，若ω>1，则图像在横轴上压缩，若ω<1，则图像在横轴上拉伸。

•反演：对于y=Asin(ωx)，若A<0，则图像关于x轴反演。

4.常见题型的解法•给出一个函数图像，求函数式。

•给出一个函数式，求图像和相关信息。

•根据函数式，应用平移、伸缩、反演的规律，求解函数相关信息。

教学方法1.情境模拟法：通过给出图像，学生自己体验正弦曲线的性质和特点。

2.归纳演绎法：通过讲解和练习，引导学生归纳出函数y=Asin（ωx+ψ）的相关规律。

3.案例法：通过实际问题，引导学生应用函数y=Asin（ωx+ψ）的相关规律，解决具体问题。

教学评价•检查学生是否能够准确描述和掌握函数y=Asin（ωx+ψ）的解析式、定义域、值域和图像，并能够解决常见题型。

三角函数的图象和性质变式1．三角函数图像变换将函数12cos()32y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4y x π=-的图像？解：（1）先将函数cos y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变），即可得到函数2cos y x =的图象；（2）再将函数2cos y x =上各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数2cos 2y x =的图象；（3）再将函数2cos 2y x =的图象向右平移π8个单位，得到函数2cos(2)4y x π=-的图象．变式2：将函数12cos()26y x π=-的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 解：（1）先将函数12cos()26y x π=-图象上各点的纵坐标缩小为原来的12（横坐标不变），即可得到函数1cos()26y x π=-的图象； （2）再将函数1cos()26y x π=-上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数cos()6y x π=-的图象；（3）再将函数cos()6y x π=-的图象向右平移π6个单位，得到函数cos y x =的图象． 变式3：将函数1sin(2)33y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数sin y x =的图像？ 解：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的 另解：（1）先将函数1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得到函数1sin 23y x =的图象；（2）再将函数1sin 23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数1sin 3y x =的图象； （3）再将函数1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数sin y x =的图象．2．三角函数性质求下列函数的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合． (1) 34sin(2)23y x ππ=+； (2) 6sin(2.52)2y x =-++ 变式1：已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于 （ ）（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 答案选B变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是（ ）A ．［2k π－2π，2k π＋2π］（k ∈Z ）B ．［2k π＋2π，2k π＋23π］（k ∈Z ） C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ）答案选A ．因为函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间．变式3：关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题：①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数；③存在ϕ，使f （x ）是奇函数；④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。

明目标、知重点 1.理解y＝A sin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.2.掌握y＝sin x与y＝A sin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．用“图象变换法”作y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到．3．A(A>0)对y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到，函数y＝A sin x的值域为[－A，A]，最大值为A，最小值为－A.[情境导学]数学研究生活实际，那在某次实验里面，我们测得交流电电流y随着时间x变化的图象图(1)，如果将图象局部放大，便得到图(2)，看图(2)它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似，那这个图象，它是一个形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢？这就是这节课要研究的问题．探究点一 φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响思考1 用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3比较它与函数y ＝sin x 的图象的形状和位置，你有什么发现？ 答 列表如下：x ＋π3 0 π2 π 3π2 2π x －π3 π6 2π3 7π6 5π3 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 01－1通过上表可知，利用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象通常选取的五个点依次是⎝⎛⎭⎫－π3，0，⎝⎛⎭⎫π6，1，⎝⎛⎭⎫2π3，0，⎝⎛⎭⎫7π6，－1，⎝⎛⎭⎫5π3，0.图象如下：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向左平移π3个单位长度而得到的．思考2 用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3在一个周期内的图象，比较它与函数y ＝sin x 的图象的形状和位置，你又有什么发现？答 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，可以看作是把曲线y ＝sin x 上所有的点向右平移π3个单位长度而得到的．思考3 一般地，对任意的φ (φ≠0)，函数y ＝sin(x ＋φ)的图象是由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的？答 y ＝sin(x ＋φ)的图象，可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到，上述变换称为平移变换．探究点二 ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象并与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的形状和位置做比较，你有什么发现？ 答函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的． 思考2 用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在一个周期内的图象，比较它与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？ 答函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的．思考3 一般地，对任意的ω (ω>0)，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象是由函数y ＝sin(x ＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的？答 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把函数y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．探究点三 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响思考1 作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象并与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的形状和位置做比较，你有什么发现？ 答函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有的点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到的．思考2 用五点法作出函数y ＝12sin(2x ＋π3)在一个周期内的图象，比较它与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？答 函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，可以看作是把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有的点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)而得到的．思考3 一般地，对任意的A (A >0且A ≠1)，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象是由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的？答 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的，上述变换称为振幅变换．探究点四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝sin x 的图象关系思考1 由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0)的图象？ 答 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．思考2 将函数y ＝sin x 的图象经过怎样变换，可以得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象？ 答 先把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的3倍，就得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思考3 一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，可以由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到？答 先把函数y ＝sin x 的图象向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；再把曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；然后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍，就得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 例1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 C解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．反思与感悟 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构； ②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪φω；③明确平移的方向．跟踪训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位答案 A解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4 若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴向左平移π8个单位． 例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 C解析 把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 反思与感悟 三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x 的系数不是1，需把x 的系数先提出，提出后括号中的x 加或减的那个数才是平移的量，即x 的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x 的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．跟踪训练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，x ∈R C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 答案 B解析 将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3.例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式． 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝3cos x . ∴f (x )＝3cos x .反思与感悟 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪训练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π2 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 答案 C1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C3．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移______个单位，后者需向左平移______个单位． 答案 π3 23π4．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x 解析 y ＝sin(－2x ) 左移π4个单位 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－cos 2x . [呈重点、现规律]1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．一、基础过关1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B2．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3. 3．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 C4．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增答案 B解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故B 正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故C ，D 错误．5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对． 6．下列表示函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图正确的是( )答案 A解析 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所有点向右平移π6个单位长度即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，依据此变换过程可得到A 中图象是正确的．也可以分别令2x －π3＝0，π2，π，3π2，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 7．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程． 解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ②y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 二、能力提升8．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度答案 B 解析 y ＝sin(2x ＋π6)y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)． 9．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4图象上的所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 答案 C解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2. 10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是____(将所有正确结论的序号都填上)．答案 ①③11．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________. 答案 22解析 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin(x ＋π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin(12x ＋π6)的图象，故f (x )＝sin(12x ＋π6)．所以f (π6)＝sin(12×π6＋π6)＝sin π4＝22. 12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式． 解 方法一 正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位 y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3， ∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二 逆向变换据题意，y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω>0，根据题意有⎩⎨⎧ －π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0<ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π6)＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 g (x )＝0⇒sin(2x ＋π3)＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3， 故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

【学习目标】1.理解振幅、周期、相位的定义；2.会用五点法画出函数y=Asinx 、y=Asin ωx 和sin()y A x ωϕ=+的图象，明确A 、ω与φ对函数图象的影响作用；并会由y=Asinx 的图象得出y=Asin ωx 和sin()y A x ωϕ=+的图【重点、难点】重点：函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法以及与函数y=sinx 图像的关系。

难点：函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法以及与函数y=sinx 图像的关系。

自主学习案【问题导学】1．“五点法”作函数y=sinx 简图，其中“五点”是指2 函数y = sin(x ±φ)(k>0)的图象和函数y = sinx 图像的关系是什么？3. 当0<w<1时,函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx 的图像上所有点的纵坐标 ,横坐标 而得到; 当w>1时,函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx 的图像上所有点的纵坐标 ,横坐标 而得到;4. 当A>1时，函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像上所有点的纵坐标而得到；当0<A<1时，函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像上所有点的纵坐标 而得到。

5. y = Asin(wx+ϕ)的振幅 ,周期 ,频率 ,相位 ,初相【预习自测】1．函数f(x)=sin(x+4π)的图像可由函数y=sinx 的图像 得到2.下列命题正确的是( )A.y ＝cosx 的图象向右平移2π，得y ＝sinx 的图象 B.y ＝sinx 的图象向上平移2个单位，得y ＝sin(x+2)的图象C.当φ＜0时，y ＝cosx 的图象向右平移φ个单位，可得y ＝sin(x+φ)的图象D.y ＝sin(2x+3π)的图象由y ＝sin2x 的图象向左平移3π个单位得到 3. 将函数y ＝sinx 的图像上每一个点的 坐标不变， 坐标伸长到原来的 ，可得函数y = sin2x 的图像。