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第八课时 同角三角函数关系的应用教学目标：熟练运用同角三角函数化简三角函数式，活用同角三角函数关系证明三角恒等式，明确化简结果的要求，掌握证明恒等的方法；通过化简与证明，使学生提高三角恒等变形的能力，树立化归的思想方法.教学重点：三角函数式的化简，三角恒等式的证明.教学难点：同角三角函数关系的变用、活用.教学过程：［例1］化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α法一：原式＝（sin 2α＋cos 2α）－cos 4α－sin 4α（sin 2α＋cos 2α）－cos 6α－sin 6α＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α（cos 2α＋sin 2α） ＝23法二：原式＝（1－cos 2α）（1＋cos 2α）－sin 4α （1－cos 2α）（1＋cos 2α＋cos 4α）－sin 6α＝sin 2α（1＋cos 2α－sin 2α） sin 2α（1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α）＝2cos 2α 1＋cos 2α＋（cos 2α＋sin 2α）（cos 2α－sin 2α）＝2cos 2α 1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α ＝23法三：原式＝1－（cos 4α＋sin 4α）1－（cos 6α＋sin 6α）＝1－[（cos 2α＋sin 2α）2－2 cos 2αsin 2α] 1－（cos 2α＋sin 2α）（cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α）＝1－1＋2cos 2αsin 2α 1－[（cos 2α＋sin 2α）2－3cos 2αsin 2α] ＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α ＝23①以上三种解法虽思路不同，但都应用了公式sin 2α+cos 2α＝1,其中生2、3是顺用公式，1是逆用公式，显然1的解法简单明了.②在1的解法中逆用公式sin 2α＋cos 2α＝1，实质是“1”的一种三角代换“1＝sin 2α＋cos 2α”.对于利用同角三角函数关系式化简时，其结果一般要求：①函数种类少；②式子项数少；③项的次数低；④尽量使分母或根号内不含三角函数式；⑤尽可能求出数值（不能查表））.［例2］求证cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x 证法一：由cos x ≠0知1＋sin x ≠0，于是左＝cos x （1＋sin x ）（1－sin x ）（1＋sin x ） ＝cos x （1＋sin x ）1－sin 2x＝cos x （1＋sin x ） cos 2x ＝1＋sin x cos x ＝右证法二：由1－sin x ≠0，cos x ≠0于是右＝（1＋sin x ）（1－sin x ）cos x （1－sin x ） ＝1－sin 2x cos x （1－sin x ） ＝cos 2x cos x （1－sin x ） ＝cos x 1－sin x＝左 证法三：左－右＝cos x 1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －（1＋sin x ）（1－sin x ）cos x （1－sin x ）＝cos 2x －（1－sin 2x ）cos x （1－sin x ） ＝cos 2x －cos 2x cos x （1－sin x ）＝0 ∴cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x 证法四：(分析法) 欲证cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x 只须证cos 2x ＝（1＋sin x ）（1－sin x ）只须证cos 2x ＝1－sin 2x 只须证sin 2x ＋cos 2x ＝1∵上式成立是显然的，∴cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x 成立 分析法证题的思路是“执果索因”：从结论出发，逐步逆推，推出一个真命题或者推出的 与已知一致，从而肯定原式成立.要注意论证格式Ⅲ.课堂练习已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求tan θ的值. 分析：依据已知条件sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求得2sin θcos θ的值，进而求得sin θ－cos θ的值，结合sin θ、cos θ的值再求得tan θ即可.解：∵sin θ＋cos θ＝15，(1) 将其平方得，1＋2sin θcos θ＝125 ∴2sin θcos θ＝－2425， ∵θ∈(0，π) ∴cos θ＜0＜sin θ∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925 ∴sin θ－cos θ＝75(2) 由（1）（2）得sin θ＝45 ，cos θ＝－35 ， ∴tan θ＝－43Ⅳ.课时小结本节课我们讨论了同角三角函数关系式的两个方面的应用：化简与证明，与同学们讨论了化简的一般要求，证明恒等的常用方法，对于化简与证明另外还应注意两种技巧：一种是切化弦”，一种是“1”的代换，“1”的代换不要仅限于平方关系的代换，还要注意倒数关系的代换，究竟用哪一种，要由具体问题来决定.Ⅴ.课后作业课本P 24习题 10、11、12.同角三角函数关系的应用1．式子sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ的结果是 （ ）A. 14B. 12C. 32D.12．已知tan θ＝2a a 2－1(其中0＜a ＜1，θ是三角形的一个内角)，则cos θ的值是 （ ） A. 1－a 2a 2＋1 B. 2a a 2＋1 C. a 2－1a 2＋1 D.±a 2－1a 2＋13．若sin α＝a －3a ＋5 ，cos α＝4－2a a ＋5，π2 ＜α＜π，则a 的值满足 （ ） A.a ＝0 B.a ＞3或a ＜－5 C.a ＝8 D.a ＝0或a ＝84．化简1－sin 24 的结果为 （ ）A.cos4B.－cos4C.±cos4D.cos 225．已知sin α＝45，且α为第二象限角，那么tan α＝ 6．已知sin αcos α＝18 ，且π4 <α<π2，则cos α－sin α的值为 7．若tan α＝13 ,π<α<32π，则sin α·cos α＝ 8．若β∈［0，2π)，且1－cos 2β ＋1－sin 2β ＝sin β－cos β，求β的取值范围.9．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1.10．求证：tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θ·sin 2θ.同角三角函数关系的应用答案1．D 2．C 3．C 4．B 5．－43 6．－32 7．3108．若β∈［0，2π)，且1－cos 2β ＋1－sin 2β ＝sin β－cos β，求β的取值范围.分析：依据已知条件得cos β≤0，sin β≥0，利用同角三角函数之间的关系式求解. 解：∵1－cos 2β ＋1－sin 2β＝sin 2β ＋cos 2β ＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β∴sin β≥0，cos β≤0∴β是第二象限角或终边在x 轴负半轴和y 轴正半轴上的角∵0≤β≤2π ∴π2≤β≤π 9．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1. 原式＝sin 2x sin x －cos x －（sin x ＋cos x ）cos 2x sin 2x －cos 2x＝sin 2x （sin x ＋cos x ）－（sin x ＋cos x ）cos 2x sin 2x －cos 2x＝sin x ＋cos x 10．求证：tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θ·sin 2θ. 左边＝tan 2θ－sin 2θ＝θθ22cos sin －sin 2θ ＝sin 2θ·θθ22cos cos 1-＝sin 2θ·θθ22cos sin ＝sin 2θ·tan 2θ＝右边。

§3．2 三角函数的积化和差与和差化积（一）教学目标1．知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化 . 2．能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明 .3．情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.（二）教学重点、难点本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用 .（三）教学方法观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法.（四）教学过程教学 教学内容师生互动设计意图环节复习两角和与差的正弦和余 让学生将两角和与差的正弦、余 复习旧知识，弦公式弦公式写出来 .同 时 为 推 导cos()积 化 和 差 公式作准备 .复 cos cossin sin; ①习引 cos()入cos cos sin sin ; ②sin()sin cos cos sin ; ③sin()sin coscos sin ; ④积化 推导积化和差公式：师：考察写出来的两角和与差的 培 养 学 生 应和差1正弦、余弦这四个公式，你能否 用 已 有 知 识公式 cos cos用 sin() ， cos()分 析 问 题 的=2，的能 力 和 问 题推导[ cos()cos() ]； sin() ， cos()来表示探究的能力，同 时 也 使 学1cos cos， sinsin，生 认 识 到 了sin sin新 公 式 产 生=2sin cos ， cos sin的根源 ..[ cos()cos()]；生：①与②式两边分别相加和相减除以 2 得到：11sin cos = 2cos cos = 2 [cos()[ sin( )sin （ － ） cos( ) ];];cos sin1sin sin1[ cos()= 2= 2 [ sin( )sin （ － ） cos( )];].③与④式两边分别相加和相减 除以 2 得到：积 化 和 教材练习 A 第 2 题 .差 公 式 的应用和 差 化 推导和差化积公式：积 公 式 sin x sin y的推导2sinxycosxy ;22sin x sin yx y x y 2cossin22 ；cosx cos y1sin cos = 2 [ sin()sin （ － ）];cos sin1sin( )= 2 [sin （－ ）].师：这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式 ”化为“和差 ”，有利于简化计算 .学生做练习教师巡视检查 .师：从上面的积化和差公式变形可以得到：＝cos()cos() =2coscos;＝ cos() cos() = － 2 sinsin ;sin() sin （ － ） =2sincos ;让 学 生 初 步学 会 应 用 公式 .引 导 学 生 由积 化 和 差 公式 推 导 和 差化积公式，在推 导 过 程 中运 用 了 代 换法 进 行 角 的转化 .通 过 组 织 学生讨论探究，逐 步 培 养 学生 团 结 协 作的思想品质，提 高 学 生 综2cosxycosxy sin( )sin （ － ） =222 ；cossincosx cos y.2sinxysinxy左边是和差的形式，右边是积的x ，y22.形式，设后请学生自己将上面的四个式子合 运 用 知 识思 考 问 题 解决 问 题 的 能力 .和 差 化 例 1 化 cos3cos 为积的积 公 式的应用形式 .巩固练习：练习 A,1,3.练习 B ， 1.o例 2 已知 A+B+C=180 ,求证sin A sin Bsin C＝A B C4coscos cos222 .巩固练习：练习B ， 3.加以整理， 把,用x, y换下来 .学生整理后得到和差化积公式 .师：下面同学们看课本中的“探索与研究 ”，同学们讨论一下如何运用向量的知识来推导和差化积的公式 .组织学生讨论 .师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用 .利用和差化积这四个公式和其他例 1 是和差三角函数关系式，我们可以把某 化 积 公 式 的些三角函数的和差化成积的形式. 直接应用，要老师指导学生做例1，并检查学生让 学 生 明 确做的情况，用投影仪订正.并强调 化 积 问 题 对说明化积的最后结果必须是几个最 后 结 果 的三角函数积的形式，但这样显然 要求 .不 符 合 要 求 ， 最 后 结 果 应 为 例 2 这是一道 典 型 的 综 2cos coscos2 .合性问题，对2于 它 的 解 题例 2 是一道综合性较强的证明题，过 程 的 深 入要用到诱导公式、二倍角的正弦探讨，有益于公式、和差化积公式，教师要板 启 发 学 生 思演整个解题过程，并在解题过程 维，提高学生中主要引导学生思考 .分 析 问 题 和解 决 问 题 的能力 .小结从知识、方法两个方面来对本 本节课的重点学习了两组公式， 让 学 生 明 确 节课的内容进行归纳总结 .对于公式不要求记住，但要学会 本 节 课 的 重 运用这些公式进行三角函数和差 点 和 要 达 到 与积的互化，并能够运用公式解 的要求 .决一些求值、化简和证明问题；把一个式子化为积的形式是一类重要题型，尤其是要注意其最后结果的形式是否符合要求；在公式的推导过程中我们用到了换元法，要注意该方法在解题中的应用 .布置教材习题3－ 3 A 组 3， 4.作业对本节内容及时巩固 .。

《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。

任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数整体设计教学分析学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.三维目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符.2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.重点难点教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.思路 2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数. 推进新课新知探究提出问题问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.图1如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sin α=OP MP =r b ,cos α=OP OM =r a ,tan α=OP MP =ab . 讨论结果:①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.②sin α=OP MP =rb ,cos α=OP OM =r a ,tan α=OM MP =a b . 提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.此时sin α=OPMP =b,cos α=OP OM =a,tan α=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.图2如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y;(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=xy (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三角函数.在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质.教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么.特别注意α既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sin α不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有sin α=OP MP =rb ,cos α=OP OM =r a , tan α=OP MP =a b . 由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变.②能.提出问题问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符填入图3中的括内. 三角函数定义域 sin αcos αtan α图3教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符等结论.对于正弦函数sin α=y,因为y 恒有意义,即α取任意实数,y 恒有意义,也就是说sin α恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tan α=x y ,因为x=0时,xy 无意义,即tan α无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,xy 恒有意义,即tan α恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠2π +k π(k∈Z ).(由学生填写下表) 三角函数定义域 sin αR cos αR tan α {α|α≠2π+k π,k∈Z } 三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符,取决于x,y 的符,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.讨论结果:①定义域、值域、单调性等.②y=sin α与y=cos α的定义域都是全体实数R ,值域都是[-1,1].y=tan α的定义域是{α｜α≠2π +k π(k∈Z )},值域是R . 应用示例思路1例1 已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P 与原点的距离r=22y x +>0,那么:图4①r y 叫做α的正弦,即sin α=ry ; ②r x 叫做α的余弦,即cos α=rx ; ③x y 叫做α的正切,即tan α=x y (x≠0). 这样定义三角函数,突出了点P 的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P 在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点. 解:由已知,可得OP 0=22)4()3(-+-=5.图5如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0,则|M 0P 0|=4,|MP|=-y,|OM 0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM 0P 0,于是sin α=y=1y =||||OP MP -=||||000OP P M -=54-; cos α=x=1x =||||OP OM -=||||00OP OM -=53-;tan α=x y =a cos sin =34. 点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.变式训练求35π的正弦、余弦和正切值.图6解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=35π,如图6. 易知∠AOB 的终边与单位圆的交点坐标为(21,23-), 所以sin 35π=23-,cos 35π=21,tan 35π=3-. 例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.⎩⎨⎧><.0tan ,0sin θθ 活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符,取决于x,y 的符,当点P 在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P 在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.因为①sin θ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上;又因为②式tan θ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.于是角θ为第三象限角.反过来请同学们自己证明.点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.变式训练(2007北京高考)已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角答案:C例3 求下列三角函数值: (1)sin390°;(2)cos 619π;(3)tan(-330°). 活动:引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?为什么?引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):sin(α+k·2π)=sin α,cos(α+k·2π)=cos α,tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z .利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”. 解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=21; (2)cos 619π=cos(2π+67π)=cos 67π=23-; (3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=33. 点评:本题主要是对诱导公式一的考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角函数的值.思路2例1 已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sin α+3sec α=.活动:要让学生独立思考这一题目,本题虽然是个填空题,看似简单但内含分类讨论思想,可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励,对思路受阻的学生要引导其思路的正确性.并适时地点拨学生:假如是个大的计算题应该怎样组织步骤.解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k,r=22(-3k)k +=10｜k ｜.(1)当k>0时,r=10k ,α是第四象限角,sin α=r y =kk 103-=10103-,sec α=x r =k k 10=10,∴10sin α+3sec α=10×10103-+310=-310+310=0. (2)当k<0时,r=k 10-,α为第二象限角,sin α=r y =kk 103--=10103,sec α=x r =k k 10-=10-, ∴10sin α+3sec α=10×10103+3×(10-)=310-310=0. 综合以上两种情况均有10sin α+3sec α=0.点评:本题的解题关键是要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限内,这与角α的终边在y=-3x 上是一致的.变式训练设f(x)=sin 3πx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 解:∵f(1)=sin3π=23,f(2)=sin 32π=23,f(3)=sin π=0, f(4)=sin 44π=23-,f(5)=sin 35π=23-,f(6)=sin2π=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.而f(7)=sin 37π=sin 3π,f(8)=sin 38π=sin 32π,…,f(12)=sin 312π=sin2π, ∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.求函数y=a sin +tan α的定义域.活动:让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量的范围.对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时,函数的定义域是一个集合,所以结论要用集合形式表示.解:要使函数y=a sin +tan α有意义,则sin α≥0且α≠k π+2π(k∈Z ). 由正弦函数的定义知道,sin α≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负. ∴角α的终边在第一、二象限或在x 轴上或在y 轴非负半轴上,即2k π≤α≤π+2k π(k∈Z ).∴函数的定义域是{α｜2k π≤α<2π+2k π或2π+2k π<α≤(2k+1)π,k∈Z }.点评:本题的关键是弄清楚要使函数式有意义,必须sin α≥0,且tan α有意义,由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.变式训练求下列函数的定义域:(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx; (3)y=xx x tan cos sin +;(4)y=x sin +tanx. 解:(1)∵使sinx,cosx 有意义的x∈R ,∴y=sinx+cosx 的定义域为R .(2)要使函数有意义,必须使sinx 与tanx 有意义.∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠∈2ππk x R x ∴函数y=sinx+tanx 的定义域为{x ｜x≠k π+2π,k∈Z }. (3)要使函数有意义,必须使tanx 有意义,且tanx≠0. ∴有⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠πππk x ，k x 2(k∈Z ),∴函数y=xx x tan cos sin +的定义域为{x ｜x≠2πk ,k∈Z }. (4)当sinx≥0且tanx 有意义时,函数有意义, ∴有⎪⎩⎪⎨⎧+≠+≤≤2x ,1)(2k 2k ππππk x (k∈Z ). ∴函数y=sinx +tanx 的定义域为［2k π,2k π+2π)∪(2k π+2π,(2k+1)π］(k∈Z ). 知能训练课本本节练习.解答: 1.sin 67π=21-;cos 67π=23-;tan 67π=33 点评:根据定义求某个特殊角的三角函数值.2.sin θ=135;cos θ=1312-;tan θ=125-. 点评:已知角α终边上一点的坐标,由定义求角α的三角函数值.3. 角α0° 90° 180° 270° 360° 角α的弧度数 0 2π Π 23π 2πsinα0 1 0 -1 0cosα 1 0 -1 0 1tanα0 不存在0 不存在0点评:熟悉特殊角的三角函数值,并进一步地理解公式一.4.当α为钝角时,cosα和tanα取负值.点评:认识与三角形内角有关的三角函数值的符.5.(1)正;(2)负;(3)零;(4)负;(5)正;(6)正.点评:认识不同位置的角对应的三角函数值的符.6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.点评:认识不同象限的角对应的三角函数值的符.7.(1)0.874 6;(2)3;(3)0.5;(4)1.点评:求三角函数值,并进一步地认识三角函数的定义及公式一.课堂小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符,后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记.作业课本习题1.2A组题1—9.设计感想关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键,也是学好本章内容的关键.在教学中,教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力,以巩固对知识的理解和掌握.教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.(设计者：房增凤)第2课时导入新课思路 1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?思路 2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.推进新课新知探究提出问题问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x 轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P 作x 轴的垂线,垂足为M;过A 作单位圆的切线,这条切线必平行于y 轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P 的坐标.显然,线段OM 的长度为|x|,线段MP 的长度为|y|,它们都只能取非负值. 当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM 、MP 都看作带有方向的线段:如果x>0,OM 与x 轴同向,规定此时OM 具有正值x;如果x<0,OM 与x 轴正向相反(即反向),规定此时OM 具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.如果y>0,把MP 看作与y 轴同向,规定此时MP 具有正值y;如果y<0,把MP 看作与y 轴反向,规定此时MP 具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.引导学生观察OM 、MP 都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段. 于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有sin α=r y =1y =y=MP, cos α=r x =1x =x=OM. 这两条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线.类似地,我们把OA 、AT 也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tan α=x y =OAAT =AT. 这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.讨论结果:①能.②被看作带有方向的线段叫做有向线段.提出问题问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:(1)当角α的终边在y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(2)当角α的终边在x 轴上时,正弦线、正切线都变成点.(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x 轴的公共点为起点.(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.讨论结果:①略.②略.示例应用思路1例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交图7射线OP 于点T,交射线OQ 的反向延长线于T′,点P 、Q 在x 轴上的射影分别为点M 、N,则sin α=______________,cos α=______________,tan α=______________,sin β=______________,cos β=______________,tan β=______________.活动:根据三角函数线的定义可知,sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT,sin β=NQ,cos β =ON,tan β=AT′.答案:MP OM AT NQ ON AT′点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.变式训练利用三角函数线证明｜sin α｜+｜cos α｜≥1.解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,所以｜sin α｜+｜cos α｜=1.当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有｜sin α｜+｜cos α｜=｜OM ｜+｜MP ｜>1,∴｜sin α｜+｜cos α｜≥1.例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α=21;(2)sin α≥21. 活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sin α=y,所以要作出满足sin α=21的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为21的点A,则OA 即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sin α=21的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.图8。

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。

向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。

一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。

所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。

由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。

2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。

但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。