江苏省无锡市天一实验学校2015届中考二模数学试题及答案

江苏省无锡市天一实验学校2024-2025学年上学期期末九年级数学模拟试题一、单选题1．一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．已知O 的半径为5cm ，若点A 到圆心O 的距离为4cm ，则点A （）A ．在O 内B ．在O 上C ．在O 外D ．与O 的位置关系无法确定3．用配方法解一元二次方程2410x x -+=时，下列变形正确的是（）．A ．()221x -=B ．()225x -=C ．()223x +=D ．()223x -=4．对于二次函数()212y x =-+的图象，下列说法正确的是（）A ．开口向下B ．对称轴是直线=1x -C ．与x 轴有两个交点D ．顶点坐标是()1,25．如图，直线123l l l ∥∥，直线,a b 与123l l l ,,分别交于点,,A B C 和点,D E F ,．若2:3AB BC =:，9EF =，则DE 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．126．如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，4AB =，则A 的长是（）A ．3B ．6-C ．2-D ．17．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图． AB 是O 的一部分，D 是 AB 的中点，连接OD ，与弦AB 交于点C ，连接OA ，OB ．已知24AB =cm ，碗深8cm CD =，则O 的半径OA 为（）A ．13cmB ．16cmC ．17cmD ．26cm8．如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．150︒9．如图，菱形ABCD ∽菱形AEFG ，菱形AEFG 的顶点G 在菱形ABCD 的BC 边上运动，GF 与AB 相交于点H ，∠E ＝60°，若CG ＝3，AH ＝7，则菱形ABCD 的边长为（）A ．9B ．10C ．D ．10．如图，矩形ABCD 中，AB =1BC =，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB ，CD 向终点B ，D 运动，过点E ，F 作直线l ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为G ，则AG 的最大值为（）AB C ．2D ．1二、填空题11．已知23a b =，则a a b +的值为．12．若x ＝2是一元二次方程x 2＋ax －6＝0的一个根，则a ＝．13．已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为6cm ，则该圆锥的侧面积为2cm ．14．如图，AB CD ∥，AD 与BC 相交于点O ，且AOB V 与DOC △的面积比是1:4，若6AB =，则CD 的长为．15．请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴：．16．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中M ，N e 的半径分别是1cm 和10cm ，当M 顺时针转动3周时，N e 上的点P 随之旋转n ︒，则n =．17．如图，在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 均在格点上，过B ，C ，D 的弧交AB 于点E ，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）18．如图，在ABC V 中，60ABC ∠=︒，8BC =，E 是BC 边上一点，且2BE =，点I 是ABC V 的内心，BI 的延长线交AC 于点D ，P 是BD 上一动点，连接PE 、PC ，则PE PC +的最小值为．三、解答题19．解方程：(1)()22381x +=；(2)2410x x -+=；(3)22510x x --=；(4)()25410x x x -=-．20．已知关于x 的方程()23220x k x k -+++=．(1)求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有一个不小于4的根，求实数k 的取值范围．21．如图，在ABC V 中，D 是AC 上一点，已知AB AC AD AB=．(1)求证：ABD C ∠=∠；(2)已知20A ∠=︒，40C ∠=︒，求CBD ∠的度数．22．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点的坐标分别为()()()3,52,11,3A B C ---，，．(1)若ABC V 和111A B C △关于原点O 成中心对称，画出111A B C △；(2)将ABC V 绕点O 顺时针旋转90︒得到222A B C △，画出222A B C △，并写出点2C 的坐标；(3)直接写出（2）中线段AC 在旋转过程中扫过的面积：________．23．自今年4月底以来，某村旅游区的山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为2150m 的长方形精品花售卖区ABCD （如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为33m 的栅栏围成，BC 边留有2m 宽的门EF ．(1)若售卖区垂直于墙的边AB 的长为m x ，则边AD 的长为_____m ．(2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？24．如图，在ABC V 中，G 是ABC V 的重心，AG 的延长线交边BC 于点M ．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作O ，使得O 经过点B ，且与AM 相切于点G ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，设AB 与半径OG 相交于点D ，O 交BC 于点E ，连接GE ．若245DG GM GEM ==∠=︒，，则弓形BEG 的面积为______．（如需画草图，请使用图2）25．如图，在ABC V 中，AB BC =，AB 为O 的直径．AC 与O 相交于点D ．过点D 作DE BC ⊥于点E ，CB 延长线交O 于点F ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若3BE =，4BF =，求AD 的长．26．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A ，B 两类特产．A 类特产进价50元/件，B 类特产进价60元/件．已知购买1件A 类特产和1件B 类特产需132元，购买3件A 类特产和5件B 类特产需540元．(1)求A 类特产和B 类特产每件的售价各是多少元？(2)A 类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A 类特产降价x 元，每天的销售量为y 件，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B 类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出每件A 类特产降价多少元时总利润w 最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）27．已知，E F 、分别为ABCD 的边BC AD 、上的动点，将ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，点D 的对应点为D ¢．(1)如图，当点D ¢落在BA 的延长线上时，求证：四边形EC D F ''为平行四边形；(2)若AB BC =，=60B ∠︒，EC AB '⊥，则DF AF的值为________；(3)若5AB =，6BC =，ABCD 的面积为24，求CE 的取值范围．28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A ，与y 轴交于点B ，且关于直线1x =对称．(1)求该抛物线的解析式；(2)当1x t -≤≤时，y 的取值范围是021y t ≤≤-，求t 的值；(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点D ，在y 轴上是否存在点E ，使得以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．。

江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①21x x +=；②22340x xy -+=；③211x x -=；④20x =；⑤233x x +=． A ．1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个． 2．若一元二次方程230x x a -+=的一个根为2x =，则a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3．如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，则AD 的长是（ ）A ．3B ．1C ．9-D ．3 4．方程2230x x --=配方后可化成()2x m n +=的形式，则m n +的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．15．如图，已知12∠=∠，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A ．AB AC AD AE = B ．B D ∠=∠ C ．AB BC AD DE = D ．C AED ∠=∠6．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k ≥B ．54k >C ．54k >且1k ≠D ．54k ≤且1k ≠ 7．下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．两个正方形B ．两个矩形C ．两个菱形D ．两个平行四边形 8．如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1039．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x 尺，则可列方程为（ ）．A ．()222101x x +=+B ．()222110x x ++= C ．()222104x x +=- D ．()222410x x -+= 10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将ABP V 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP !沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是．（ ）①CMP BPA ∽△△；②CNP V的周长始终不变： ③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM ：⑤当ABP ADN △△≌时，2BP =．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．已知23a b =，则b a =． 12．关于x 的方程()222310m m x x --+-=是一元二次方程，则m 的值为．13．如果两个相似三角形的面积之比为4:9，这两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为cm ．14．若α，β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为．15．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x =．16．已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x --=+，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC V 的形状为．17．如图，ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=︒，3AB =，4AC =，点 D 在线段BC 上运动，P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是．18．如图①②，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()，点(,0)M t 是横轴上的一点，点N 在y 轴上，且90MPN ∠=︒，0t ≤≤（1）如图①，当0t =时，PM PN=；（提示：过点P 作x 轴垂线，垂足为H ，交过点N 作y 轴的垂线于点G ）（2）连接MN ，设MN 的中点为T ，在点M 从0t =这个时刻走到t =点T 所走过的路线长是．三、解答题19．按要求解下列方程：(1)23610x x +-=（配方法）(2)2650x x -+=(3)290x --=（公式法）(4)()()()2243225x x x x +--=+．20．化简再求值：2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中a 是方程280x x --=的根． 21．已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=(1)求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰ABC V 的一边3a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC V 的周长． 22．如图，在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O 画一条格点线段PQ （端点在格点上），使点P ，Q 分别落在边AD ，BC 上，且PQ 与FG 的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF 上一点M ，EG 上一点N ，连结MN ，使△EMN 和△EFG 的相似比为2：5．（保留作图痕迹）23．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的延长线上一点，连接BE 交CD 于点F ，交对角线AC 于点G ．(1)若12DE AD ==，，求CF DF的值； (2)求证：BCF EAB ∽V V ．24．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？25．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠-≥的两根1x ，2x 有如下的关系（韦达定理）：12b x x a +=，12c x x a⋅=； 材料2：如果实数m 、n 满足210m m --=、210n n --=，且m n ≠，则可利用根的定义构造一元二次方程210x x --=，将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：(1)①已知一元二次方程22350x x --=的两根分别为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x ⋅=_______．②已知实数a ，b 满足：2430a a +-=，2430b b +-=（a b ≠），则11a b+=_______． (2)已知实数m 、n 、t 满足：2411m m t -=+，2411n n t -=+，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．26．每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD ，发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得57BD =米，D E 、之间有一个花圃无法测量，然后在E 处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像，此时 2.4EG =米，测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米，求出塔高AB ．27．阅读感悟：已知方程2210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y ，则2y x =．所以2y x =． 把2y x =代入已知方程，得221022y y ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭． 化简，得2440y y +-=，故所求方程为2440y y +-=．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：(1)已知方程230x x --=，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；(2)方程20ax bx c ++=()20040a c b ac ≠≠-≥，，的两个根与方程______的两个根互为倒数．(3)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12-，求关于y 的一元二次方程()()()22024420200c y b y b a c -+-=-≠的两个实数根．28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、点D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x -+=的两根（OA OC >），5BE =，43OB OA =． （1）求点A 、点C 的坐标； （2）求直线CD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使以点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

江苏省无锡市天一实验学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学预测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）分式方程132x x=-的解为（）A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =2、（4分）菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程x 2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A ．12B ．14C ．16D ．243、（4分）把(a -根号外的因式移入根号内，结果（）A ．B ．CD ．4、（4分）如图，若平行四边形ABCD 的周长为40cm ，BC ＝23AB ，则BC ＝（）A ．16crnB ．14cmC ．12cmD ．8cm5、（4分）下列根式中是最简二次根式的是()A ．BCD ．6、（4分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．三角形B ．圆C ．角D ．平行四边形7、（4分）如图，A 、B 两点在反比例函数1k y x =的图象上，C 、D 两点在反比例函数2ky x=的图象上，AC y ⊥轴于点E ，BD y ⊥轴于点F ，4AC =，2BD =，6EF =，则12k k -的值是()A ．8B ．6C ．4D ．108、（4分）如果规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x ﹣[x]的图象为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图所示，一次函数的图象与x 轴的交点为，则下列说法：①y 的值随x 的值的增大而增大；②b>0；③关于x 的方程的解为．其中说法正确的有______只写序号10、（4分）如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，点落在点处，当为直角三角形时，________.11、（4分）在一次智力抢答比赛中，四个小组回答正确的情况如下图．这四个小组平均正确回答__________道题目？（结果取整数）12、（4分）如图，60MON ∠=︒，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧交于点C ，过点C 作射线OC ，在射线OC 上截取10OP cm =，过点P 作PD OM ⊥，垂足为点D ，则PD 的长为________________．13、（4分）计算．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）先化简，再求值：2222102114511a a a a a a a--+-⋅----，其中1a =-.15、（8分）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，且BC =2AF 。

江苏省无锡市天一实验学校2016届九年级数学下学期期中试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．－2的倒数是【 ▲ 】A ． －2B ．2C ．21-D ．122．已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm ，用科学计数法表示这个数为【 ▲ 】A ．8.9×10－５B ．8.9×10－４C ．8.9×10－３D ．8.9×10－２ 3．下列运算中，计算正确的是 【 ▲ 】A ．a 3·a 2=a 6B ．a 8÷a 2=a 4C ．(ab 2)2=a 5D ．(a 2)3=a 64．函数y =x -1中，自变量x 的取值范围是【 ▲ 】A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ＜1D ．x ≤1 5．一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为【 ▲ 】 A ．8 B ．7 C ．6 D ．56．一个圆锥的底面半径为6cm ，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为【 ▲ 】A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm7．某学校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x 元，则可列出方程为【 ▲ 】A ．420x －420x －0.5 = 20B ．420x －0.5－420x = 20C ．420x －420x －20 = 0.5 D ．420x －20－420x= 0.5 8．如图1在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ：ED =3：1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AFE ：S 四边形ABCE 为【 ▲ 】A ．3：4B ．4：3C ．7：9D ．9：79．已知，如图2菱形ABCD 四个顶点都在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，DF 垂直AB 交AC 于点G ，反比例函数)0(3>=x xy ，经过线段DC 的中点E ，若BD =4，则AG 的长为【 ▲ 】 A ．433 B ．3+2 C ．23+1 D ．332+110．如图3，边长为2的正方形ABCD 的顶点A 、B 在一个半径为2的圆上， 顶点C 、D 在圆内，将正方形ABCD 沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点C 运动的路径长为 （ ）A ．22πB ．(2+1)πC ．(2+2)πD ．(232+1)π图1 图2 图3二、填空题（本大题共8小题．每小题2分，共16分．）11．4的算术平方根是▲．12．因式分解：aax-2= ▲．13则该校篮球队13名同学身高中位数是▲．14．将二次函数2xy=的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是▲．15．如图4，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为▲．16．如图5，AB是⊙O的直径，若AC=4，∠D=60°，则AB= ▲．17．如图6，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2016次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2016的坐标为▲．18．二次函数xxy22--=图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=12 x+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为▲ ．图4 图5 图6三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答）19．（8分）计算：（1）201()2sin6032--+︒--（2）.25624322+-+-÷+-aaaaaA()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321234xx x x 20．（8分）（1）解方程：32322x x x -=+- （2）解不等式组：21．（6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D ． （1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．22．（6分）“校园手机”现象越来越受到社会关注．“寒假”期间，记者小刘随机调查了某区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）求这次调查的家长人数，并补全图①；（2）求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数； （3）若该区共有中学生8000人，请根据以上图表信息估算出该区中学生中对“校园手机”持“无所谓”态度的人数是多少？23．（8分）在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同．（1）从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是 ▲ ；（2）将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率．（请利用树状图或列表法说明）图① 图②24．（8分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO ′后，电脑转到AO ′B ′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA =OB =24cm ，O ′C ⊥OA 于点C ，O ′C =12cm ． （1）求∠CAO ′的度数；（2）显示屏的顶部B ′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O ′B ′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O ′B ′应绕点O ′按顺时针方向旋转多少度？25．（10分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P （件）与销售时间x （天）之间有如下关系：P =﹣2x +80（1≤x ≤30，且x 为整数）；又知前20天的销售价格Q 1（元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q 1=3021x （1≤x ≤20，且x 为整数），后10天的销售价格Q 2（元/件）与销售时间x （天）之间有如下关系：Q 2=45（21≤x ≤30，且x 为整数）．（1）试写出该商店前20天的日销售利润R 1（元）和后10天的日销售利润R 2（元）分别与销售时间x （天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润． 注：销售利润=销售收入﹣购进成本． 26．（10分）平面上，矩形ABCD 与直径为QP 的半圆K 如图摆放，分别延长DA 和QP 交于点O ，且∠DOQ ＝60°，OQ ＝OD ＝3，OP ＝2，OA ＝AB ＝1，让线段OD 及矩形ABCD 位置固定，将线段OQ 连带着半圆K 一起绕着点O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)． 发现：（1）当α＝0°，即初始位置时，点P 直线AB 上(选填“在”或“不在”)． 当α= 时，OQ 经过点B ；（2）在OQ 旋转过程中，α= 时，点P ，A 间的距离最小？PA 最小值为 ； （3）探究当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．27．（10分）如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为：x y 43=和32543+-=x y ． （1）求正方形OABC 的边长；（2）现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 沿线段CB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿折线A →O →C 向终点C 运动，速度为每秒k 个单位，设运动时间为2秒．当k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？ （3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑，直至顶点C 落在x 轴上时停止下滑．设正方形在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．28．(10与D ，C 两点，连接，，已知（0，3），（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒2个单位的速度运动到A后停止，当点E 的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？(直接写出答案）初三数学期中考试答题卷 2016.4学校_____________ 班级______________ 姓名_______________ 考试号______________ ----------------------------------------密----------封----------线----------内----------请----------不----------要----------答----------题------------------------------- -备用图备用图备用图学校_____________ 班级______________ 姓名_______________ 考试号______________ ----------------------------------------密----------封----------线----------内----------请----------不----------要----------答----------题------------------------------- -初三化学期中试卷参考答案Ⅱ非选择题（35分）16（8分，每空1分）（1）① CH4② NH4HCO3等③ H2CO3④Ca(OH)2（2）①禽蛋②维生素A ③ CO2④dcba17．（10分，每空1分）⑴长颈漏斗⑵略；C或D；bcda⑶可以控制反应的发生和停止；略；⑷关闭活塞B，打开活塞A H2；关闭活塞A，打开活塞B; Na2CO3+H2SO4=Na2SO4+CO2↑+H2O 18．（6分，每空1分）（1）过滤增大反应的接触面积（2）FeCl2、HCl高温（3）3C+2Fe2O3=====4Fe+3CO2↑置换反应（4）4Fe(OH)2+O2+2H2O= 4Fe(OH)319.（11分，每空1分，计算两个答案各1分）现象分析：左侧试管发热（或右侧试管中有气泡冒出） CaO+H2O=Ca(OH)2探究运用：Na2CO3+Ca(OH)2=CaCO3↓+2NaOH(1) N a2CO3+CaCl2= CaCO3↓+2NaCl(2)原白色粉末为：BaSO4和Na2CO3滤液A中一定有：NaOH、Na2CO3原白色粉末为：Na2CO3、Ca(OH)2或Na2CO3、Ca(OH)2、BaSO4（3）滤渣B全部消失（4）Ca(OH)2：3.7g; Na2CO3: 6.3g。

2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=．2．已知向量，若，则实数m=．3．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为．8．设且，则f（f（2））=．9．设函数f（x）=3|x|，则f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．10．已知，，则tan（β﹣2α）等于．11．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有．（不选、漏选、选错均不给分）14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={1} ．【分析】根据交集与补集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={1，4}，B={3，4}，∴∁U B={1，2}，∴（∁U A）∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}．2．已知向量，若，则实数m=﹣1．【分析】先将向量，表示出来，再由二者共线即可得到答案．【解答】解：由题意知，=（1，3）﹣（0，1）=（1，2）=（m，m）﹣（0，1）=（m，m﹣1）∵∴存在实数λ使得即（1，2）=λ（m，m﹣1）解得，λ=﹣1，m=﹣1故答案为：﹣13．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【分析】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α﹣π）的值．【解答】解：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为{1} ．【分析】分别验证α取不同的值时，函数y是否满足题意即可．【解答】解：当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为{x|x≥0}，不满足题意；当α=时，函数y=x﹣1的定义域为R，且为偶函数，不满足题意；综上，满足题意的所有α值为{1}．故答案为：{1}．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为﹣．【分析】由条件判断tanθ＞﹣1，再根据sinθcosθ==﹣，求得tanθ的值．【解答】解：∵﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴θ∈（﹣，0），则tanθ＞﹣1．再根据sin θcos θ===﹣，求得tan θ=﹣（舍去），或tan θ=﹣，故答案为：﹣．8．设且，则f （f （2））= 6 ．【分析】通过，求出a 的值，然后求出f （2），即可求解所求表达式的值．【解答】解：因为设且，所以，所以a=7，f （2）==log 73，f （f （2））=f （log 73）=2=6．故答案为：6．9．设函数f （x ）=3|x|，则f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 （0，1） ．【分析】由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则m ﹣1＜0＜2m ，解出即可．【解答】解：由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数， ∴m ﹣1＜0＜2m ， ∴0＜m ＜1． 故答案为：（0，1）．10．已知，，则tan （β﹣2α）等于 ﹣1 ．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan α的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣111．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有①②．（不选、漏选、选错均不给分）【分析】①由f（x+b）+f（b﹣x）=0即可判断①的正误；②将（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；③由f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），可判断③的正误．【解答】解：对于①，∵f（x+b）+f（b﹣x）=+=0，∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；对于②，∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），∴y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，∴△=a2﹣4cy2≥0，又a≠0，c＞0∴y2≤，∴﹣≤y≤．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；∴②正确；③∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），∴=（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x﹣b）2（t≥0），则x=b±，∴x1+x2=2b，同理x3+x4=2b，∴其解集{﹣4，﹣2，0，3}中﹣4+3≠﹣2+0，即x1+x2≠x3+x4=2b，∴③错误．故正确答案为：①②．14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=1．【分析】H是△ABC的垂心，可得tanA+tanB+tanC=．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．【解答】解：∵H是△ABC的垂心，则tanA+tanB+tanC=．∴=+，∴=+=λ，则λ====tanA=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．（2）由已知得a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，再分别把a=1和a=﹣3代入集合B验证，由此能求出a．【解答】解：（1）当a=2时，集合A={2，3，a2+2a﹣3}={2，3，5}，B={x||x﹣a|＜2}={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}，∴A∩B={2，3}．（2）∵A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}，0∈A∩B，∴a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，当a=1时，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，成立，当a=﹣3时，B={x||x+3|＜2}={x|﹣5＜x＜﹣1}，不成立．∴a=1．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．【分析】（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．【解答】解：（1）因为向量由得，所以15cosα+16tanα=0，即15﹣15sin2α+16sinα=0，解得：（舍）或．（2）由得，12﹣20cosα•tanα=0，∴，又，∴，，．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）在区间（0，）上的对称中心和对称轴．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角恒等变换化简h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值以及此时x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2），∴A=2，==﹣=，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称中心为（，0）．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称轴为x=．（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，令h（x）=f（x）•g（x）=﹣4sin（2x+）•cos2x=﹣4[sin2x+cos2x]•cos2x=﹣2sin2xcos2x﹣2cos22x=﹣sin4x﹣2•=﹣2sin（4x+）﹣1．在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣，），sin（4x+）∈[﹣1，），h（x）∈（﹣1，2]，当4x+=﹣时，h（x）取得最大值为2，此时，x=﹣．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．【分析】（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．【解答】解：（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则．设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO﹣OE=R﹣=R﹣Rcosθ=R（1﹣cosθ）．所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1﹣cosθ）；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1﹣sinθ），∴S1=R2sinθ（1﹣cosθ）+R2cosθ（1﹣sinθ）=R2（sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ）．（2）∵，令，则2sinθcosθ=t2﹣1．∴．∴的最小值为．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【分析】（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）先求出G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；（3）若H（x）=，证明H（x）+H（1﹣x）=1，利用倒序相加法，即可求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t +1++2，设m=t +1，则m ∈[1，3]，则k=m ++2≥2+2=2+2，当且仅当m=，即m=取等号，当m=1时，k=1+2+2=5，当m=3时，k=2+3+=＞5，∴2+2≤m ++2≤，即2+2≤k ≤，即实数k 的取值范围是2+2≤k ≤；（3）若H （x ）=，则H （x ）==，则H （x ）+H （1﹣x ）=+=+=+=1，设H （）+H （）+H （）+…+H （）=S ，H （）+H （）+…H （）+H （）=S ，两式相加得2015[H （）+H （）]=2S ，即2S=2015，则S=．20．对于定义在R 上的函数f （x ），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z 函数”： ①对任意x ∈（﹣∞，a ]，都有f （x ）=C 1； ②对任意x ∈[b ，+∞），都有f （x ）=C 2； ③对任意x ∈（a ，b ），都有（f （x ）﹣C 1）（f （x ）﹣C 2）＜0．（其中a ＜b ，C 1，C 2为常数）（1）判断函数f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1和f 2（x ）=x ﹣|x ﹣2|是否为R 上的“Z 函数”？（2）已知函数g （x ）=|x ﹣2|﹣，是否存在实数m ，使得g （x ）为R 上的“Z函数”？若存在，求实数m 的值；否则，请说明理由；（3）设f （x ）是（1）中的“Z 函数”，令h （x ）=|f （x ）|，若h （2a 2+a ）=h （4a ），求实数a 的取值范围． 【分析】（1）根据“Z 函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可． （2）结合“Z 函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，作出函数f1（x）的图象如图：当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，f2（x）=x﹣|x﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R 上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．2016年8月18日。

2024—2025学年第一学期期中试卷九年级数学考试时间：20分钟 满分分值：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．方程23x x =的解是（ ）A ．3x =B ．x =0C ．13x =，20x =D ．13x =-，20x =2．已知⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，则OP 的长可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）A ．∠ABD =∠ACBB ．∠ADB =∠ABC C ．AB 2=AD•ACD ． AD AB AB BC=4．下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知一元二次方程2310x x ++=的两根为1x 、2x ，则1212x x x x ++的值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．46．一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m 的住房墙，另外三边用34m 长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m 的木门，当羊舍的面积是2160m 时，设所围的羊舍与墙平行的边长为m x ，则根据题意可得方程为（ ）A ．()34160x x -=B ．3421602x x +-⋅=C ．341602x x ⋅-=D ．()18160x x -=7．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块多边形碎片如图所示，四块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④8．如图，点O 是三边均不等的ABC V 三条角平分线的交点，D E 、两点分别在AB AC 、上，若D O 、、E 三点共线且AD AE =，设BD a =，2DE b =，CE c =，关于x 的方程20ax bx c ++=根的情况（ ）A ．一定有两个相等实数根B ．一定有两个不相等实数根C ．有两个实数根，但无法确定是否相等D ．没有实数根9．如图，已知正方形ABCD ，E 为AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点，连接EF ，将AEF △沿EF 折叠得到HEF V ，延长FH 交BC 于点M ，连接EM ．下列结论：①EFM △是直角三角形；②BEM HEM △△≌；③当点M 与点C 重合时，3DF AF =；④MF 平分正方形ABCD 的面积；⑤24FH MH AB ⋅=．其中结论正确的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．如图，点C 是半圆O 的中点，AB 是直径，CF ^弦AD 于点E ，交AB 于点F ，若1CE =，103EF =，则BF 的长为（ ）A B ．1C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．在一张比例尺1:800000的地图上，量得上海浦东磁悬浮的线路长度为4厘米，那么它的实际长度是 千米．12．一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为 ．13．若a 是方程210x x --=的一个根，则代数式2332024a a -++的值为 ．14．已知线段MN 的长是10cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，则较长线段MP 的长 ．15．如图，O e 与正八边形ABCDEFGH 相切于点A ，E ，则 AE 的度数为 ．16．在半径为3的O e 中，弦AB 的长是AB 所对的圆周角的度数是 ．17．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知12l l ∥，1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC V的“等底”BC 在直线1l 上，点A 在直线2l 上，ABC V 有一边的长是BC ABC V 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到A B C ¢¢△，A C ¢所在直线交2l 于点D ，则CD = ．18．如图，将两块三角板OAB （∠OAB =45°）和三角板OCD （∠OCD =30°）放置在矩形BCEF 中，直角顶点O 重合，点A 、D 在EF 边上，AB =6．（1）若点O 到BC O 到EF 的距离为 ；（2）若BC =3AD ，则△OCD 外接圆的半径为 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．用适当的方法解下列方程：(1)2(31)40x +-=(2)2670x x +-=；20．计算：(1)()23202421124233æö-+¸--´ç÷èø；(2)212+．21．如图，已知ABC V 和AED △，边AB DE ，交于点F ，AD 平分BAC Ð，AF 平分EAD Ð，AE AD AB AC=．(1)求证：AED ABC △∽△；(2)若32BD BF ==，，求AB 的长．22．如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程2680x x -+=的两个根是12x =，24x =，则方程2680x x -+=是“倍根方程”．(1)通过计算，判断2320x x -+=是否是“倍根方程”；(2)已知关于x 的一元二次方程：()21320x m x --+=（m 是常数）是“倍根方程”，请求出m的值．23．如图是由小正方形组成的86´网格，每个小正方形的顶点叫做格点，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）．(1)图①中，在边AD 上画点E ，使AE DE =；(2)图②中，画BCD Ð的角平分线CF ，交AD 于F ；(3)图③中，点O 在格点上，O e 与AB 相切，切点为A ，O e 交AD 于G ，BC 与O e 相切，切点为M ，CD 与O e 相切，切点为N ，画出点M 、N ．24．如图，AB 是O e 直径，点C 在O e 上，连接CD ，使BCD A Ð=Ð．(1)求证：直线CD 是O e 的切线；(2)若120ACD Ð=°，4AB =，求图中阴影部分的面积．25．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示．矩形地面的长为50米，宽为32米，中心建设一个直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个相同的矩形花坛，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多15米，铺设地砖的面积是1125平方米．（p 取3）(1)求矩形花坛的宽是多少米；(2)四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费为100元，乙工程队每平方米施工费为120元．若完成此工程的工程款不超过42000元，至少要安排甲队施工多少平方米？26．矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知()8,6B ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，动点D 从点O 出发沿O →A 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A 停止．在运动过程中，COD △的外接圆交OB 于点P ．连接CD 交OB 于点E ，连接PD ，得到PED V ．(1)求CP DP；(2)如图2，移动过程中，当点P 恰好落在OB 的中点时，求此时点D 的坐标；(3)①设点D 运动的时间为t 秒，直接写出点P 的坐标______（用含t 的代数式表示）；②设PED V 的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．27．【特例感知】（1）如图1，ABC Ð是O e 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC Ð交O e 于点D ，DE AB ^，若54BC BD ==，，则AD = ，DE = ．【类比迁移】（2）如图2，ABC Ð是O e 的圆周角，BC 为O e 的弦，BD 平分ABC Ð交O e 于点D ，过点D 作DF BC ^，垂足为F ，探索线段AB BF BC 、、之间的数量关系，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，ABC Ð是O e 的圆周角，BC 为O e 的弦，BD 平分ABC Ð交O e 于点D ，若90ABC Ð=°，BD =，3AB =，则ABC V 的内心与外心之间的距离为______．28．在ABC V 中，()045B C a a Ð=Ð=<<°，AM BC ^于点M ，D 是线段BC 上的动点（不与点B ，C ，M 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2a 得到线段DE ．(1)如图1，若点E 在线段AC 上且3AM =，2DM =时，求ME 的长；(2)如图2，若D 在线段BM 上，在射线MB 上存在点F 满足DF DC =，连接AE AF EF ，，，请证明：AE FE ^；(3)如图3，若30a =°，过M 作直线MN AB ^交边AB 于点N ，再作点N 关于AM 的对称点N ¢，点P 是直线MN 上一动点，将APN ¢V 沿AP 所在直线翻折至ABC V 所在平面内得到APG V ，连接BG ，点H 为BG 的中点，连接MH ，当MH 取得最大值时，连接AH ，将AHM △沿AM 所在直线翻折至ABC V 所在平面内得到AMQ △，请直接写出此时GQ BM的值．1．C【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解答即可求解，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键【详解】解：∵23x x =，∴230x x -=，∴()30x x -=，∴x =0或30x -=，∴10x =，23x =，故选：C ．2．D【详解】设点与圆心的距离d ，已知点P 在圆外，则d>r.解：当点P 是⊙O 外一点时，OP>5cm ，A 、B 、C 均不符.故选D.“点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系.3．D【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【详解】解：A 、∵∠ABD =∠ACB ，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADB ，故此选项不合题意；B 、∵∠ADB =∠ABC ，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADB ，故此选项不合题意；C 、∵AB 2=AD •AC ，∴AC AB AB AD =，∠A =∠A ，△ABC ∽△ADB ，故此选项不合题意；D 、AD AB AB BC=不能判定△ADB ∽△ABC ，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.4．B【分析】根据等弧的概念可判断（1）；根据直径的特征可判断（2）；根据圆内接四边形的性质和矩形的判定方法可判断（3）；根据三角形的外接圆可判断（4）；根据圆周角定理可判断（5）．【详解】解：（1）同圆或等圆中，能够重合的弧是等弧，故原说法错误；（2）直径是圆中最长的弦，正确；（3）圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是90°，所以圆的内接平行四边形是矩形，正确；（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法错误；（5）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误．故选B ．【点睛】本题考查了等弧的概念，平行四边形的性质，矩形的判定，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，熟练掌握圆的有关性质是解答本题的关键．5．B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的根与系数关系：12b x x a +=-，12c x x a⋅=是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到123x x +=-，121x x ⋅=，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：Q 一元二次方程2310x x ++=的两根为1x ，2x ，\123x x +=-，121x x ⋅=，1212132x x x x \++=-=-，故选：B ．6．B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设所围的羊舍与墙平行的边长为m x ，根据长方形的面积公式可得方程，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：设所围的羊舍与墙平行的边长为m x ，根据题意可得方程为：3421602x x +-⋅=，故选：B ．7．B【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．8．D【分析】先证明BDO OEC BOC Ð=Ð=Ð，再证明DBO OBC V V ∽，同理得BOC OEC V V ∽，则DBO EOC V V ∽，即可得出2ac b =，又由0ac >得到2430b ac ac D =-=-<，即可得到答案．【详解】解：连接AO ，∵,AD AE AO =平分BAD Ð，∴12OE OD DE b ===，AO DO ^，∴1902BDO AOD OAD BAC Ð=Ð+Ð=°+Ð，同理1902CEO BAC Ð=°+Ð，∵O 是ABC V 三条角平分线的交点∴1122OBC ABC OCB ACB Ð=ÐÐ=Ð，，∴1180180()2BOC OBC OCB ABC ACB Ð=°-Ð-Ð=°-Ð+Ð，∴11180(180)9022BOC BAC BAC Ð=°-°-Ð=°+Ð，∴BDO OEC BOC Ð=Ð=Ð，∵O 是ABC V 的内角平分线的交点，∴DBO CBO Ð=Ð，∴DBO OBC V V ∽，同理可得出：BOC OEC V V ∽，∴DBO EOC V V ∽，∴=B O D E OD CE，BD EC D OEO \⋅=⋅即：20ac b =>∴24430b ac ac ac ac D =-=-=-<，∴关于x 的方程20ax bx c ++=无实数根，故选：D ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，三角形的外角定理，证明出DBO EOC V V ∽是解题的关键．9．C【分析】由折叠的性质可得90FA FH EA EH A FHE ==Ð=Ð=°、、，根据全等三角形的性质可得MEH MEB Ð=Ð，由平角的性质可求90FEM Ð=°，故①和②正确；通过证明FHE EHM V V ∽，根据相似三角形的性质可得24FH MH AB ⋅=，故⑤正确；如图1，设2AE EB a ==，则4AB BC AD CD a ====，通过证明AEF BCE V V ∽，可得12AF AE EB BC ==，可求AF a =，可得故③正确；当点F 与点D 重合时，直线MF 不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．【详解】解：Q 四边形ABCD 是正方形，90A B \Ð=Ð=°，Q E 为AB 的中点，EA EB \=，由翻折可知：90FA FH EA EH A FHE ==Ð=Ð=°、、，90EHM B \Ð=Ð=°，EM EM EH EB ==Q 、，()Rt Rt HL EMH EMB \V V ≌，MEH MEB \Ð=Ð，FEH FEA Ð=ÐQ ，()1902FEM FEH MEH AEH BEH \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，EFM \V 是直角三角形，故①和②正确；90FEM FHE Ð=°=ÐQ ，90FEH MEH FEH EFH \Ð+Ð=°=Ð+Ð，EFH HEM \Ð=Ð，又90FHE EHM Ð=Ð=°Q ，\FHE EHM V V ∽，EH HM FH EH\=，又12EH EB AB ==Q ，24FH MH AB \⋅=，故⑤正确；如图1，当点M 与点C 重合时，设2AE EB a ==，则4AB BC AD CD a ====，90FEM °Ð=Q ，90AEF CEB AEF AFE \Ð+Ð=°=Ð+Ð，AFE ECB \Ð=Ð，又90A B Ð=Ð=°Q ，\AEF BCE V V ∽，\12AF AE EB BC ==，AF a \=，3DF a \=，3DF AF \=，故③正确；如图2，当点F 与点D 重合时，直线MF 不平分正方形的面积，故④错误，综上所述，正确的有①②③⑤,故选：C ．【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．10．A【分析】连接,,,AC BC OC 过点B 作BH CF ^交CF 的延长线于点H ，设OC 交AD 于点J ，证明()AAS BCF CAJ V V ≌，则1013,133CJ BF AJ CF ===+=，证明OJ OF =，设,BF CJ x OJ OF y ====，证明()AAS ACE CBH V V ≌，则1EC BH ==，证明CEJ COF V V ∽，得到1133x EJ x y y ==+，解得y EJ x y =+，证明()AAS BHF CEJ V V ≌，则y FH EJ x y ==+，证明BF BH AF AE=，进一步得到2210760x xy y +-=，解得2y x =，则11323x x x =+，即可求出BF 的长．【详解】解：连接,,,AC BC OC 过点B 作BH CF ^交CF 的延长线于点H ，设OC 交AD 于点J ，∵ ,AC BC=∴OC AB ^，AC BC =，∵AB是直径，∴90ACB Ð=°，∴45ACJ CBF Ð=Ð=°，∵CF ^弦AD 于点E ，∴90ACF CAJ Ð+Ð=°，∵90ACF BCF Ð+Ð=°，∴BCF CAJ Ð=Ð，∴()AAS BCF CAJ V V ≌，∴1013,133CJ BF AJ CF ===+=，∵OC OB =，∴OJ OF =，设,BF CJ x OJ OF y ====，∵90,,AEC H CAE BCH CA CB Ð=Ð=°Ð=Ð=，∴()AAS ACE CBH V V ≌，∴1EC BH ==，∵,90,ECJ FCO CEJ COF Ð=ÐÐ=Ð=°∴CEJ COF V V ∽，∴CE CJ EJ CO CF OF==，CJE CFO BFH Ð=Ð=Ð∴1133x EJ x y y ==+，解得y EJ x y=+，∵,,BF CJ H CEJ CJE BFH =Ð=ÐÐ=Ð，∴()AAS BHF CEJ V V ≌，∴y FH EJ x y==+，∵AE BH ∥，∴BF BH AF AE=，∴11323x y x y x y=+++,整理得，2210760x xy y +-=，解得12x y =或65x y =-（不合题意，舍去），∴2y x =，x =故选：A【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．32【分析】依据“比例尺=图上距离：实际距离”可得，实际距离为图上距离÷比例尺，求解即可．【详解】解：它的实际长度是：143200000800000¸=（厘米）＝32（千米）．故答案为：32．【点睛】此题考查了比例尺的有关计算，涉及了有理数的除法，解题的关键是清楚有关量之间的关系．12．18p【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式12S LR =（L 为底面圆的周长，R 为圆锥的母线长度）成为解题的关键．直接运用圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，∴底面圆的周长236p p =⋅=，∴圆锥侧面积166182p p =⋅⋅=．故答案为：18p ．13．2021【分析】本题考查一元二次方程的解，根据a 是方程210x x --=一个根，可以得到210a a --=，然后即可得到21a a -=，再整体代入所求式子计算即可．【详解】解：∵a 是方程210x x --=一个根，∴210a a --=，∴21a a -=，∴2332024a a -++ 23()2024a a =--+312024=-´+32024=-+2021=，故答案为：2021．14．()5cm-【分析】本题考查的是黄金分割，解题的关键是清楚黄金比例概念以及黄金分割比为根据黄金分割点的定义即可进行解答．【详解】解：∵点P 是线段MN 的黄金分割点，线段MN 的长是10cm ，线段MP 为较长线段，∴()105cm MP ==，故答案为：()5cm ．15．135°【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接OA 、OE ，由切线的性质及正多边形的性质得90OAH OEF Ð=Ð=°，H G F Ð=Ð=Ð，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键．【详解】解：如图，连接OA 、OE ，O Qe 与正八边形ABCDEFGH 相切于点A ，E ，90OAH OEF \Ð=Ð=°，H G F Ð=Ð=Ð，∵六边形AHGFEO 的内角和为()62180720-´°=°，H G FÐ=Ð=Ð()821808135=-´¸=°，7209021353135AOE \Ð=°-°´-°´=°，\ AE 的度数为135°，故答案为：135°．16．60°或120°【分析】先根据题意画出图形，连接OA 、OB ，过O 作OF ⊥AB ，由垂径可求出AF 的长，根据特殊角的三角函数值可求出∠AOF 的度数，由圆周角定理及圆内接四边形的性质即可求出答案．【详解】解：如图所示，连接OA 、OB ，过O 作OF ⊥AB ，则AF =12AB ，∠AOF =12∠AOB ，∵OA =3，AB =∴AF =12AB∴sin ∠AOF =AF AO =，∴∠AOF =60°，∴∠AOB =2∠AOF =120°，∴∠ADB =12∠AOB =12×120°=60°，∴∠AEB =180°-60°=120°．故答案为：60°或120°．【点睛】本题考查了圆周角定理及垂径定理，解答此题时要注意一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互为补角．172【分析】分别过点A 作AE BC ^于点E ，点D 作DF AC ^于点F ，由题意易得2,45BC AE ACA ¢==Ð=°，然后可得AEC DFA ∽△△，进而可分当AB ==当AC ==时，最后根据勾股定理可进行求解【详解】解：分别过点A 作AE BC ^于点E ，点D 作DF AC ^于点F ，如图所示：由题意可得：2,45BC AE ACA ¢==Ð=°，∴DFC △是等腰直角三角形，∵12l l ∥，∴DAF ACE Ð=Ð，∵AE BC ^，DF AC ^，∴90AEC DFA DFC Ð=Ð=Ð=°，∴AEC DFA ∽△△，①当AB ==Rt ABE △中，由勾股定理得：2BE ==，∴4EC BC BE =+=，∴在Rt AEC △中，由勾股定理得：AC ==∵AEC DFA ∽△△， ∴AE EC DF AF =，即12DF AE AF EC ==，∵DFC △是等腰直角三角形，∴12FC DF AF ==，CD =，∴3AF FC FC AC +===，∴CF =∴CD ；②当AC ==时，则在Rt AEC △中，由勾股定理得：2EC BC ==，∴点B 、E 重合，即ABC V 是等腰直角三角形，∵45ACA ¢Ð=°，∴90BCD Ð=°，∵12l l ∥，∴2CD AE ==；综上所述：CD 2；或2；【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键。

天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷时间：120分钟 总分：150分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①21x x +=；②22340x xy −+=；③211x x −=；④20x =；⑤233x x +=．A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个． 【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，据此问题可求解．【详解】解：①21x x +=是一元二次方程；②22340x xy −+=不是一元二次方程；③211x x−=不是一元二次方程；④20x =是一元二次方程；⑤233x x +=是一元二次方程；所以是一元二次方程的有3个； 故选C ． 2. 若一元二次方程230x x a −+=的一个根为2x =，则a 的值为（ ）A. 2B. 2−C. 4D. 4− 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解a 的一元一次方程．【详解】解：把2x =代入方程230x x a −+=可得460a −+=， 解得2a =，故选：A ．3. 如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，则AD 的长是（ ）A. 3B. 1C. 9−D. 3【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得6AD =，即可求解． 【详解】解：∵点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，∴63AD ==−． 故选：D4. 方程2230x x −−=配方后可化成()2x m n +=的形式，则m n +的值为（ ） A. 5B. 4C. 3D. 1 【答案】C【解析】【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．【详解】解： 2230x x −−= 223x x ∴−=2214x x ∴−+=2(1)4x ∴−=1,4m n ∴=−=3m n ∴+=．故选：C ．5. 如图，已知12∠=∠，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A AB AC AD AE = B. B D ∠=∠ C. AB BC AD DE = D. C AED ∠=∠【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，据此逐一判断即可．【详解】解：∵12∠=∠，.∴12BAE BAE ∠+∠=∠+∠，∴DAE BAC ∠=∠， 添加条件AB AC AD AE=，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组对边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故A 不符合题意；添加条件B D ∠=∠，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故B 不符合题意； 添加条件AB BC AD DE=，结合DAE BAC ∠=∠，不可以得到ABC ADE △△∽，故C 不符合题意； 添加条件C AED ∠=∠，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故D 不符合题意；故选：C ．6. 若关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 54k ≥ B. 54k > C. 54k >且1k ≠ D. 54k ≤且1k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出10k −≠且()214110k ∆=−×−×≥，求解即可得到答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根， ()210Δ14110k k −≠ ∴ =−×−×≥， 解得：54k ≤且1k ≠， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个平行四边形【答案】A【解析】【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．【详解】解：A 、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； B 、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意， C 、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D 、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．8. 如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 103【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D 作DH AE ∥，交BC 于H ，根据平行线分线段成比例定理得到32BE EC =，计算即可． 【详解】解：过点D 作DH AE ∥，交BC 于H ，则1CH CD HE DA ==，3BE BF EH FD==， ∴32BE EC =， ∵=10BC ，∴=4CE ，故选：B ．9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x 尺，则可列方程为（ ）．A. ()222101x x +=+B. ()222110x x ++=C. ()222104x x +=−D. ()222410x x −+= 【答案】D【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 ()4AO x =−尺，利用勾股定理可得方程，即可求解．【详解】解：设秋千的绳索长为x 尺，则OA OB x ==尺由题意可知：1AC =尺，5BD CE ==尺，则4AE =尺，则()4OEx =−尺，由勾股定理可得：222OE BE OB +=，则可列方程为：()222410x x −+=．故选：D ． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 OE 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．10. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是．（ ）①CMP BPA ∽△△；②CNP 的周长始终不变：③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM：⑤当ABP ADN △△≌时，2BP =−．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】 【分析】由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠，∠∠，则由平角的定义可得90CPM APB ∠+∠=°，再由正方形的性质得到90C B ∠=∠=°，则可证明CMP BPA ∽△△，据此可判断①；由折叠的性质可得AE AB PB PE ==，，90AEP B ∠=∠=°，则90AD AE AEN D ==°=，∠∠，证明()HL ADN AEN ≌，得到DN EN =，再根据三角形周长公式可得CNP 的周长CD CB =+，据此可判断②；设DNNE x ==，则2CN x =−，由勾股定理得()()222121x x +−=+，解得23x =，即32DN =，NE PE ≠，据此可判断③；设PB x =，则2PC x =−，由相似三角形的性质得到CM PC PB AB =，即22CM x x −=，则()()2211121222CM x x x =−−=−−+，则当1x =时，CM 有最大值12，此时DM 有最小值32，又由AM ==DM 最小时，AM 最小，据此可判断④；由全等三角形的性质得到DNPB PE EF ===，设DN PB PE EF m ====，则2NC PC m ==−，2PN m =，由勾股定理得，()()()222222m m m −+−=，解得2m =−+2m =−−，中2BP =−+，据此可判断⑤．【详解】解：由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠，∠∠，∵180CPM FPM APE APB +++=°∠∠∠∠，∴90CPM APB ∠+∠=°，的∵四边形ABCD 是正方形，∴90C B ∠=∠=°，∴CMP BPA ∽△△，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴90AD AB D B =∠=∠=°，，由折叠的性质可得AE AB PB PE ==，，90AEP B ∠=∠=°， ∴90AD AE AEN D ==°=，∠∠，又∵AN AN =，∴()HL ADN AEN ≌，∴DN EN =，∴CNP 的周长4CN CP PN CN NE CP PE CN DN CP PB CD CB =++=+++=+++=+=， ∴CNP 的周长始终不变，故②正确：当P 为BC 中点时，则1PE PB PC ===，设DNNE x ==，则2CN x =−， 在Rt PCN △中，由勾股定理得222CN PC PN +=，∴()()222121x x +−=+， 解得23x =， ∴32DN =， ∴NE PE ≠，∴AE 不为线段NP 的中垂线，故③错误；设PB x =，则2PC x =−，∵CMP BPA ∽△△， ∴CM PC PB AB=，即22CM x x −=， ∴()()2211121222CM x x x =−−=−−+， ∴当1x =时，CM 有最大值12， ∴此时DM 有最小值32，∵AM ==∴当DM 最小时，AM 最小，∴52AM =最小值，故④错误； ∵ABP ADN △△≌，∴DNPB PE EF ===， 设DNPB PE EF m ====，则2NC PC m ==−，2PN m =， 在Rt PCN △中，由勾股定理得222CN PC PN +=，∴()()()222222m m m −+−=，解得2m =−+2m =−−，∴2BP =−+，故⑤正确；∴正确的有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，熟知正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共83分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知23a b =，则b a =_______． 【答案】32 【解析】【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵23a b =， ∴32b a =， 故答案为：32． 12. 关于x 的方程 222310mm x x 是一元二次方程，则m 的值为______．【答案】-2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m 的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解．【详解】∵ 222310m m x x 是一元二次方程，∴20m −≠，222m −=，解得2m =−，故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．13. 如果两个相似三角形的面积之比为4:9，这两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为______cm ．【答案】40【解析】【分析】根据相似三角形的性质，即可解答．【详解】解： 两个相似三角形的面积之比为4:9，∴这两个三角形的周长之比为2:3，设两个三角形的周长分别为2k ，()30k k ≠，又 这两个三角形的周长的和是100cm ，23100k k ∴+=，解得20k =，故较小的三角形的周长为：()222040cm k =×=， 故答案为：40．【点睛】本题考查了相似三角形性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．14. 若α，β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为____．【答案】12【解析】【详解】试题解析：∵α为22510x x −−= 的实数根，∴22510,αα−−= 即2251αα=+， 223551355()31ααββααββαβαβ∴++=+++=+++，∵α、β为方程22510x x −−=的两个实数根，的51,22αβαβ∴+==−， ∴25123553()112.22ααββ++=×+×−+= 故答案为12.点睛：一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是12,.x x 则1212,.b c x x x x a a +=−= 15. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x =__________．【答案】10【解析】【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x 台电脑，这(1)x +台电脑又感染给了(1)x x +台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，然后可列方程进行求解．【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，列方程得：1(1)121x x x +++=，221200x x +−=解得：112x =−（舍去），210x =． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中传播问题，题目比较典型，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．16. 已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x −−=+，其中a 、b 、c 分别为ABC 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC 的形状为______．【答案】直角三角形【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．原方程可以化为()220a c x bx a c +++−=，由题意得出()()()2240b a c a c ∆=−+−=，推出222a b c =+，即可得解．【详解】解：原方程可以化为：()220a c x bx a c +++−=， ∵方程有两个相等的实数根，∴()()()2240b a c a c ∆=−+−=，∴222a b c =+，∴ABC 为直角三角形，故答案为：直角三角形．17. 如图，ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=°，3AB =，4AC =，点 D 在线段BC 上运动，P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是_______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键．利用ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=°，判定出ABD ACE ∽，通过相似三角形的性质可得到90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠，由P 为线段DE 的中点推出12CP DE =，再利用相似三角形的比值关系求出DE 的长即可．【详解】解：∵ABC ADE ∽△△， ∴AB AC AD AE=， ∵90BAC DAE ∠=∠=°，∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，∴BAD CAE ∠=∠， ∴ABD ACE ∽，∴ABD ACE ∠=∠，∵90ABD ACB ∠+∠=°，∴90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠，∵P 为线段DE 的中点， ∴12CP DE =， ∴当DE 最小时CP 最小， 又∵DE AD BC AB=， ∴AD DE BC AB=×，BC 与AB 都为定值，即AD 最小时，DE 最小，则AD BC ⊥时符合题意，AD 为BC 边上的高，在Rt BAC 中，3AB =，4AC =，则：5BC， ∵1122ABC S AB AC BC AD =×=× ，即：1134522AD ××=××， 解得：125AD =， ∵AB AC AD AE=， ∴125543AD DE BC AB =×=×=， ∴114222CP DE ==×=； 故答案为：2．18. 如图①②，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()，点(,0)M t 是横轴上的一点，点N 在y 轴上，且90MPN ∠=°，0t ≤≤．（1）如图①，当0t =时，PM PN=_______；（提示：过点P 作x 轴垂线，垂足为H ，交过点N 作y 轴的垂线于点G ）（2）连接MN ，设MN 的中点为T ，在点M 从0t =这个时刻走到t =这个时刻的过程中，点T 所走过的路线长是_______．【答案】 ①.②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理的等内容．（1）过P 作PH x ⊥轴于点H ，过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ，证PGN MHP ∽即可得解；（2）连接OT ，PT ，则OT PT =，所以点T 在点T 在线段PO 的垂直平分线上，从而发现当0t ≤≤时，点T 在DE 上运动，求出DE 长度即可．【详解】解：（1）过P 作PH x ⊥轴于点H ，过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ，则90MPN PGN MHP ∠=∠=∠=°，()P ，3PH ∴=，GN MH ==，90MPN ∠=° ，90GPN MPH ∴∠+∠=°，90GPN PNG ∠+∠=° ，MPH PNG ∴∠=∠，90PGN MHP ∠=∠=° ，∴PGN MHP ∽，∴PM P M H PG PN N H G ===∴9PG ==，∴12ON GH PH PG ==+=，（2）如图，连接OT ，PT ，ON 的中点E ，过P 作PH x ⊥轴于点H ，则3PH =，OH =90MPN MON ∠=∠=° ，MN 的中点为T ，12MT NT MN ∴==， ∴点T 在线段PO 的垂直平分线上，设线段PO 的垂直平分线交x 轴于点D ，则OD DP =，DH OH OD DP =−=∵Rt PDH △中，222PD DH PH =+，∴()2223PD DP =+，解得OD DP ==当0t =时，M 与原点重合，此时90OPN ∠=°，得到12MN ON ==，此时点T 与ON 的中点E 重合，162OE ON ∴==，∴DE =，当t=时，OM=，此时HM OM OH =−=∴(22222336OP OP PH =+=+=，22222312MP HM PH =+=+=，∴(222248OP MP OM +==，∴90OPM NPM °∠=∠=，即此时点N 与原点重合，T 与D 重合，∴当0t ≤≤时，点T 在DE 上运动，点T所走过的路线为线段DE ，DE =即在点M 从0t=这个时刻走到t =这个时刻过程中，点T 所走过的路线长是故答案为：三、解答题（共10小题，共96分）19. 按要求解下列方程：（1）23610xx +−=（配方法）的（2）2650x x −+=（3）290x −−=（公式法）（4）()()()2243225x x x x +−−=+．【答案】（1）12x x =（2）1215x x ==，（3）12x x ==（4）12162x x =−=−， 【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）先把原方程化成一般式，再利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：∵23610x x +−=， ∴21203x x +−=， ∴2123x x +=， ∴24213x x ++=，∴()2413x +=，∴1x +=解得12x x = 【小问2详解】解：∵2650x x −+=，∴()()150x x −−=， ∴10x −=或50x −=，解得1215x x ==，； 【小问3详解】解：∵290x −−=，∴19a b c =−=−，，∴(()2419480∆=−−××−=>，∴x解得12x x ==【小问4详解】解：∵()()()2243225x x x x +−−=+，∴()()22246944210x x x x x x ++−−+=+∴22242436442100x x x x x ++−+−−−=，∴218320x x ++=， ∴()()2160x x ++=， ∴20x +=或160x +=，解得12162x x =−=−，． 20. 化简再求值：2221111a a a a a −− ÷−− −+，其中a 是方程280x x −−=的根． 【答案】21−a a ，18【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，先把小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到280a a −−=，即28a a −=，据此可得答案． 【详解】解：2221111a a a a a −− ÷−− −+()()22121111a a a a a a −−−+÷+−+ ()()222111a a a a a a −−÷+−+ ()()()21112a a a a a a −+⋅+−− ()11a a =− 21a a=−， ∵a 是方程280x x −−=的根，∴280a a −−=，∴28a a −=，∴原式18=． 21. 已知关于x 的方程2(2)20x k x k −++=（1）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰ABC 的一边3a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）7或8【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，等腰三角形的周长．（1）证明Δ0≥即可得到无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）先解方程得到2x =或x k =，再根据等腰ABC 分情况计算即可．【小问1详解】证明：()()22Δ24122k k k =−+−××=− ， 无论k 取何值，2(2)0k −≥，∴Δ0≥，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；【小问2详解】解：2(2)20x k x k −++=． (2)()0x x k ∴−−=，2x ∴=或x k =， ∵3a =，两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，∴ABC 的三边长为2，3，k ，∴当2k =时，等腰ABC 的为2，3，2，此时周长3227a b c =++=++=；当3k =时，等腰ABC 的为2，3，3，此时周长3328a b c =++=++=；综上所述，ABC 的周长为7或8．22. 如图，在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ，请按要求画线段．（1）在图1中，过点O 画一条格点线段PQ （端点在格点上），使点P ，Q 分别落在边AD ，BC 上，且PQ 与FG 的一边垂直．（2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF 上一点M ，EG 上一点N ，连结MN ，使△EMN 和△EFG 的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意找到格点,P Q ，画出线段PQ 即可【小问1详解】如图所示，PQ 即为所求，【小问2详解】如图所示，取格点,J K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N连接MN，则MN即为所求，//EO JFMOE MHF∴∽∴23 OE MEJF MF==同理23 ENNG=,EM ENE EMF EG∴=∠=∠EMN EFG∴∽∴25 EMEF=．【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．23. 如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点G．（1）若12DE AD ==，，求CF DF的值； （2）求证：BCF EAB ∽ ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由平行四边形性质，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案；（2）由平行线性质得到EAB BCD ∠=∠、AD BC ∥，结合平行线性质得到E CBE =∠∠，利用相似三角形的判定定理即可得证．小问1详解】解：在平行四边形ABCD 中，2BC AD ==，AD BC ∥，DEF CBF ∴∽△△，221CF BC DF DE ∴===； 【小问2详解】证明：由（1）知AD BC ∥，则E CBE =∠∠，在平行四边形ABCD 中，EAB BCD ∠，∴BCF EAB ∽ ．24. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？【答案】（1）头盔销售量的月增长率为20%；（2）该品牌的头盔每个应涨价5元.【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x 的一【元二次方程，解之取其正值即可；（2）设头盔每个涨价m 元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m 的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．【小问1详解】解：设头盔销售量的月增长率为x ，根据题意得：()23751540x +=，解得10.2x =，2 2.2x =−（舍去）， ∴头盔销售量的月增长率为20%；【小问2详解】解：设头盔每个涨价m 元，根据题意得：()()10500206000m m +−=， 整理得215500m m −+=，解得15m =，210m =（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠−的两根1x ，2x 有如下的关系（韦达定理）：12b x x a+=，12c x x a⋅=； 材料2：如果实数m 、n 满足210m m −−=、210n n −−=，且m n ≠，则可利用根的定义构造一元二次方程210x x −−=，将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：（1）①已知一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x ⋅=_______．②已知实数a ，b 满足：2430a a +−=，2430b b +−=（a b ≠），则11a b+=_______． （2）已知实数m 、n 、t 满足：2411m m t −=+，2411n n t −=+，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．【答案】（1）①1.5， 2.5−；②43（2）()()5119m n <++<【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式．（1）①根据根与系数的关系解答；②根据题意，得到实数a ，b 是方程 2430x x +−= 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，m ，n 是方程24110x x t −−−=的解，进而得到(1)(1)16m n mn m n t ++=+++=−−，再根据根与系数的关系和根的判别式求出t 的范围，即可．【小问1详解】解：① 一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ，2x ，12 1.5x x ∴+=，12 2.5x x ⋅=−， 故答案为：1.5， 2.5−；② 实数a ，b 满足：2430a a +−=，2430()b b a b +−=≠， a ∴，b 是方程2430x x +−=的解， ∴aa +bb =−4，3ab =−， ∴1143a b a b ab++==； 故答案为：43； 【小问2详解】解： 实数m 、n 、t 满足：2411m m t −=+，2411n n t −=+m ∴，n 是方程24110x x t −−−=的解，4m n ∴+=，11mn t =−−， (1)(1)16m n mn m n t ∴++=+++=−−0m n << ，∴()Δ1641110t =−××−−>，110mn t =−−>，解得1511t −<<−，569t ∴<−−<，5(1)(1)9m n ∴<++<．26. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD ，发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得57BD =米，D E 、之间有一个花圃无法测量，然后在E 处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像，此时 2.4EG =米，测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米，求出塔高AB ．【答案】塔高AB 为42米【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意得到FGE CDE ∽ ，利用相似三角形的性质得出DE ，再证明ABE CDE ∽△△，利用相似三角形的性质，即可得出AB ．【详解】解：由题知CED FEG ∠=∠，CD BG ⊥，FG BG ⊥，∴90FGE CDE ∠=∠=°，∴FGE CDE ∽ ， ∴FG EG CD DE=， 2.4EG =米， 1.6FG =米，4CD =米， ∴1.62.44DE =， 解得：6DE =米，AB BG ⊥，∴90ABE CDE ∠=∠=°，∴AB CD ∥，∴ABE CDE ∽△△， ∴AB BE CD DE=， 57BD =米，∴57663BE BD DE =+=+=米，∴6346AB =， 解得：42AB =米，答：塔高AB 为42米．27. 阅读感悟：已知方程2210x x +−=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =．所以2y x =． 把2y x =代入已知方程，得221022y y +⋅−=． 化简，得2440y y +−=，故所求方程为2440y y +−=．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：（1）已知方程230x x −−=，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；（2）方程20ax bx c ++=()20040a c b ac ≠≠−≥，，的两个根与方程______的两个根互为倒数． （3）已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12−，求关于y 的一元二次方程()()()22024420200c y b y b a c −+−=−≠的两个实数根．【答案】（1）2310y y −−=（2）20cy by a ++=（3）2025和2022【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；（3）由（2）可得：关于x 的一元二次方程的根与关于2024y −的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于2024y −的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根，即可得解．【小问1详解】解：设所求方程的根为y ，则1y x =+， 1x y ∴=−，把1x y =−代入已知方程得：()()21130y y −−−−=，化简得：2310y y −−=，故答案为：2310y y −−=；【小问2详解】解：设所求方程的根为y ，则1y x =， 1x y∴=， 把1x y =代入已知方程得：2110a b c y y ++=， 化简得：20cy by a ++=，故答案为：20cy by a ++=；【小问3详解】解：()()()22024420200c y b y b a c −+−=−≠ ， ()()2202420240c y b y a ∴−+−+=， 由（2）可得：关于x 的一元二次方程的根与关于2024y −的一元二次方程的根互为倒数， 12024y x−∴=， 关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12−， ∴关于2024y −的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根分别为1和2−， ∴20241y −=或20242y −=−，解得：2025y =或2022y =， ∴关于y 的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根分别为2025或2022．28. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、点D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x −+=的两根（OA OC >），5BE =，43OB OA =． （1）求点A 、点C 的坐标；（2）求直线CD 的解析式；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使以点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(12,0)A ，(6,0)C −；（2）483y x =+；（3）存在，1(3,0)P ，2(19,0)P 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解一元二次方程，即可求解；（2）根据相似三角形求得点E 的坐标，再用待定系数法求解即可；（3）分两种情况进行讨论，当90EPC ∠=°和90CEP ∠=°时，利用相似三角形的性质，分别求解即可．【详解】解：（1）解方程218720x x −+=得，16x =，212x =，∵ OA OC >，∴12OA =，6OC =，∴(12,0)A ，(6,0)C −（2）作EF y ⊥于F∵5BE =，43OB OA =，∴412163OB =×=，∴20AB∵EF OA ∥∴BEF BAO △∽△，∴EFBF BE AO BO BA==，即5121620EF BF == ∴3EF =，4BF =，16412OF =−=，∴(3,12)E设直线CD 的解析式为y kx b =+∴60312k b k b −+= += ，解得438k b = = ∴设直线CD 的解析式为483y x =+（3）存在满足条件的点P 使得点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似，由题意可得：(0,8)D，15CE ==，10CD =∵90COD ∠=°，DCO ECP ∠=∠当90EPC ∠=°时，COD CPE △∽△，此时(3,0)P当90CEP ∠=°时，COD CEP △∽△ 则OC CD CE CP =，即61015CP=，解得25CP = 19OP CP OC =−=∴(19,0)P综上，(3,0)P 或(19,0)P【点睛】此题考查了一次函数与几何的应用，涉及了相似三角形的性质，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是掌握一次函数和相似三角形的有关性质．。

天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷时间：120分钟 总分：150分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①21x x +=；②22340x xy −+=；③211x x −=；④20x =；⑤233x x +=．A 1个； B. 2个；C. 3个；D. 4个． 2. 若一元二次方程230x x a −+=的一个根为2x =，则a 的值为（ ）A 2 B. 2− C. 4 D. 4−3. 如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，则AD 的长是（ ）A. 3B. 1C. 9−D. 3 4. 方程2230x x −−=配方后可化成()2x m n +=的形式，则m n +的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 15. 如图，已知12∠=∠，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A. AB AC AD AE =B. B D ∠=∠C. AB BC AD DE =D. C AED ∠=∠ 6. 若关于x 一元二次方程()2110k x x −++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 54k ≥ B. 54k > C. 54k >且1k ≠ D. 54k ≤且1k ≠ 7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个平行四边形 8. 如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ） ..的A. 3B. 4C. 5D. 1039. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x 尺，则可列方程为（ ）．A. ()222101x x +=+B. ()222110x x ++= C. ()222104x x +=− D. ()222410x x −+= 10. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是．（ ）①CMP BPA ∽△△；②CNP 的周长始终不变：③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM ：⑤当ABP ADN △△≌时，2BP =−．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（共8小题，每小题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知23a b =，则b a =_______． 12. 关于x 的方程 222310m m x x 是一元二次方程，则m 的值为______．13. 如果两个相似三角形的面积之比为4:9，这两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为______cm ．14. 若α，β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为____．15. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x =__________．16. 已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x −−=+，其中a 、b 、c 分别为ABC 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC 的形状为______．17. 如图，ABC ADE ∽△△，90BAC DAE =∠=°，3AB =，4AC =，点 D 在线段BC 上运动，P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是_______．18. 如图①②，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()，点(,0)M t 是横轴上的一点，点N 在y 轴上，且90MPN ∠=°，0t ≤≤．（1）如图①，当0t =时，PM PN =_______；（提示：过点P 作x 轴垂线，垂足为H ，交过点N 作y 轴的垂线于点G ） （2）连接MN ，设MN 的中点为T ，在点M 从0t =这个时刻走到43t =这个时刻的过程中，点T 所走过的路线长是_______．三、解答题（共10小题，共96分）19. 按要求解下列方程：（1）23610x x +−=（配方法）（2）2650x x −+=（3）22390x x −−=（公式法）（4）()()()2243225x x x x +−−=+．20. 化简再求值：2221111a a a a a −− ÷−− −+，其中a 是方程280x x −−=根． 21. 已知关于x 的方程2(2)20x k x k −++=（1）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰ABC 的一边3a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长． 22. 如图，在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ，请按要求画线段．的（1）在图1中，过点O 画一条格点线段PQ （端点在格点上），使点P ，Q 分别落在边AD ，BC 上，且PQ 与FG 的一边垂直．（2）在图2中，仅用没有刻度直尺找出EF 上一点M ，EG 上一点N ，连结MN ，使△EMN 和△EFG 的相似比为2：5．（保留作图痕迹）23. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的延长线上一点，连接BE 交CD 于点F ，交对角线AC 于点G ．（1）若12DE AD ==，，求CF DF的值； （2）求证：BCF EAB ∽ ．24. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠−≥的两根1x ，2x 有如下的关系（韦达定理）：12b x x a+=，12c x x a⋅=； 材料2：如果实数m 、n 满足210m m −−=、210n n −−=，且m n ≠，则可利用根的定义构造一元二次方程210x x −−=，将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：（1）①已知一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x ⋅=_______．②已知实数a ，b 满足：2430a a +−=，2430b b +−=（a b ≠），则11a b+=_______．的（2）已知实数m 、n 、t 满足：2411m m t −=+，2411n n t −=+，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．26. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD ，发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得57BD =米，D E 、之间有一个花圃无法测量，然后在E 处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像，此时 2.4EG =米，测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米，求出塔高AB ．27. 阅读感悟：已知方程2210x x +−=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =．所以2y x =． 把2y x =代入已知方程，得221022y y +⋅−=． 化简，得2440y y +−=，故所求方程为2440y y +−=．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：（1）已知方程230x x −−=，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；（2）方程20ax bx c ++=()20040a c b ac ≠≠−≥，，的两个根与方程______的两个根互为倒数． （3）已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12−，求关于y 的一元二次方程()()()22024420200c y b y b a c −+−=−≠的两个实数根．28. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、点D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x −+=的两根（OA OC >），5BE =，43OB OA =． （1）求点A 、点C 的坐标；（2）求直线CD 的解析式；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使以点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷时间：120分钟 总分：150分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①21x x +=；②22340x xy −+=；③211x x −=；④20x =；⑤233x x +=．A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个． 【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，据此问题可求解．【详解】解：①21x x +=是一元二次方程；②22340x xy −+=不是一元二次方程；③211x x −=不是一元二次方程；④20x =是一元二次方程；⑤233x x +=是一元二次方程；所以是一元二次方程的有3个； 故选C ．2. 若一元二次方程230x x a −+=的一个根为2x =，则a 的值为（ ）A. 2B. 2−C. 4D. 4− 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解a 的一元一次方程．【详解】解：把2x =代入方程230x x a −+=可得460a −+=，解得2a =，故选：A ．3. 如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，则AD 的长是（ ）A. 3B.1 C. 9− D. 3【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得6AD =，即可求解． 【详解】解：∵点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，∴63AD ==−． 故选：D4. 方程2230x x −−=配方后可化成()2x m n +=的形式，则m n +的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 1 【答案】C【解析】【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．【详解】解： 2230x x −−= 223x x ∴−=2214x x ∴−+=2(1)4x ∴−=1,4m n ∴=−=3m n ∴+=．故选：C ．5. 如图，已知12∠=∠，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A AB AC AD AE = B. B D ∠=∠ C. AB BC AD DE = D. C AED ∠=∠【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，据此逐一判断即可．【详解】解：∵12∠=∠，.∴12BAE BAE ∠+∠=∠+∠，∴DAE BAC ∠=∠， 添加条件AB AC AD AE=，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组对边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故A 不符合题意；添加条件B D ∠=∠，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故B 不符合题意； 添加条件AB BC AD DE=，结合DAE BAC ∠=∠，不可以得到ABC ADE △△∽，故C 不符合题意； 添加条件C AED ∠=∠，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故D 不符合题意；故选：C ．6. 若关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 54k ≥ B. 54k > C. 54k >且1k ≠ D. 54k ≤且1k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出10k −≠且()214110k ∆=−×−×≥，求解即可得到答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根， ()210Δ14110k k −≠ ∴ =−×−×≥， 解得：54k ≤且1k ≠， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个平行四边形 【答案】A【解析】【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．【详解】解：A 、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； B 、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意， C 、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D 、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．8. 如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 103【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D 作DH AE ∥，交BC 于H ，根据平行线分线段成比例定理得到32BE EC =，计算即可． 【详解】解：过点D 作DH AE ∥，交BC 于H ，则1CH CD HE DA ==，3BE BF EH FD ==， ∴32BE EC =， ∵=10BC ，∴=4CE ，故选：B ．9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x 尺，则可列方程为（ ）．A. ()222101x x +=+B. ()222110x x ++=C. ()222104x x +=−D. ()222410x x −+= 【答案】D【解析】【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 ()4AO x =−尺，利用勾股定理可得方程，即可求解．【详解】解：设秋千的绳索长为x 尺，则OA OB x ==尺由题意可知：1AC =尺，5BD CE ==尺，则4AE =尺，则()4OE x =−尺，由勾股定理可得：222OE BE OB +=，则可列方程为：()222410x x −+=．故选：D ．【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 OE 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．10. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是．（ ）①CMP BPA ∽△△；②CNP 的周长始终不变：③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM：⑤当ABP ADN △△≌时，2BP =−．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】 【分析】由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠，∠∠，则由平角的定义可得90CPM APB ∠+∠=°，再由正方形的性质得到90C B ∠=∠=°，则可证明CMP BPA ∽△△，据此可判断①；由折叠的性质可得AE AB PB PE ==，，90AEP B ∠=∠=°，则90AD AE AEN D ==°=，∠∠，证明()HL ADN AEN ≌，得到DN EN =，再根据三角形周长公式可得CNP 的周长CD CB =+，据此可判断②；设DN NE x ==，则2CN x =−，由勾股定理得()()222121x x +−=+，解得23x =，即32DN =，NE PE ≠，据此可判断③；设PB x =，则2PC x =−，由相似三角形的性质得到CM PC PB AB =，即22CM x x −=，则()()2211121222CM x x x =−−=−−+，则当1x =时，CM 有最大值12，此时DM 有最小值32，又由AM ==DM 最小时，AM 最小，据此可判断④；由全等三角形的性质得到DN PB PE EF ===，设DN PB PE EF m ====，则2NC PC m ==−，2PN m =，由勾股定理得，()()()222222m m m −+−=，解得2m =−+2m =−−，中2BP =−+，据此可判断⑤．【详解】解：由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠，∠∠，∵180CPM FPM APE APB +++=°∠∠∠∠，∴90CPM APB ∠+∠=°，的∵四边形ABCD 是正方形，∴90C B ∠=∠=°，∴CMP BPA ∽△△，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴90AD AB D B =∠=∠=°，，由折叠的性质可得AE AB PB PE ==，，90AEP B ∠=∠=°，∴90AD AE AEN D ==°=，∠∠，又∵AN AN =，∴()HL ADN AEN ≌，∴DN EN =，∴CNP 的周长4CN CP PN CN NE CP PE CN DN CP PB CD CB =++=+++=+++=+=， ∴CNP 的周长始终不变，故②正确：当P 为BC 中点时，则1PE PB PC ===，设DN NE x ==，则2CN x =−，在Rt PCN △中，由勾股定理得222CN PC PN +=，∴()()222121x x +−=+， 解得23x =， ∴32DN =， ∴NE PE ≠，∴AE 不为线段NP 的中垂线，故③错误；设PB x =，则2PC x =−，∵CMP BPA ∽△△， ∴CM PC PB AB=，即22CM x x −=， ∴()()2211121222CM x x x =−−=−−+， ∴当1x =时，CM 有最大值12， ∴此时DM 有最小值32，∵AM ==∴当DM 最小时，AM 最小，∴52AM ==最小值，故④错误； ∵ABP ADN △△≌，∴DN PB PE EF ===，设DN PB PE EF m ====，则2NC PC m ==−，2PN m =，在Rt PCN △中，由勾股定理得222CN PC PN +=，∴()()()222222m m m −+−=，解得2m =−+2m =−−，∴2BP =−+，故⑤正确；∴正确的有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，熟知正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共83分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知23a b =，则b a =_______． 【答案】32 【解析】【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵23a b =， ∴32b a =， 故答案为：32． 12. 关于x 的方程 222310mm x x 是一元二次方程，则m 的值为______．【答案】-2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m 的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解．【详解】∵ 222310m m x x 是一元二次方程，∴20m −≠，222m −=，解得2m =−，故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．13. 如果两个相似三角形的面积之比为4:9，这两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为______cm ．【答案】40【解析】【分析】根据相似三角形的性质，即可解答．【详解】解： 两个相似三角形的面积之比为4:9，∴这两个三角形的周长之比为2:3，设两个三角形的周长分别为2k ，()30k k ≠，又 这两个三角形的周长的和是100cm ，23100k k ∴+=，解得20k =，故较小的三角形的周长为：()222040cm k =×=，故答案为：40．【点睛】本题考查了相似三角形性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．14. 若α，β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为____．【答案】12【解析】【详解】试题解析：∵α为22510x x −−= 的实数根，∴22510,αα−−= 即2251αα=+，223551355()31ααββααββαβαβ∴++=+++=+++，∵α、β为方程22510x x −−=的两个实数根，的51,22αβαβ∴+==−， ∴25123553()112.22ααββ++=×+×−+= 故答案为12.点睛：一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是12,.x x 则1212,.b c x x x x a a+=−= 15. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x =__________．【答案】10【解析】【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x 台电脑，这(1)x +台电脑又感染给了(1)x x +台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，然后可列方程进行求解．【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，列方程得：1(1)121x x x +++=，221200x x +−=解得：112x =−（舍去），210x =． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中传播问题，题目比较典型，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．16. 已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x −−=+，其中a 、b 、c 分别为ABC 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC 的形状为______．【答案】直角三角形【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．原方程可以化为()220a c x bx a c +++−=，由题意得出()()()2240b a c a c ∆=−+−=，推出222a b c =+，即可得解．【详解】解：原方程可以化为：()220a c x bx a c +++−=， ∵方程有两个相等的实数根，∴()()()2240b a c a c ∆=−+−=，∴222a b c =+，∴ABC 为直角三角形，故答案为：直角三角形．17. 如图，ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=°，3AB =，4AC =，点 D 在线段BC 上运动，P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是_______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键．利用ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=°，判定出ABD ACE ∽，通过相似三角形的性质可得到90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠，由P 为线段DE 的中点推出12CP DE =，再利用相似三角形的比值关系求出DE 的长即可．【详解】解：∵ABC ADE ∽△△， ∴AB AC AD AE=， ∵90BAC DAE ∠=∠=°，∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE ∽，∴ABD ACE ∠=∠，∵90ABD ACB ∠+∠=°，∴90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠，∵P 为线段DE 的中点， ∴12CP DE =， ∴当DE 最小时CP 最小， 又∵DE AD BC AB=， ∴AD DE BC AB=×，BC 与AB 都为定值，即AD 最小时，DE 最小，则AD BC ⊥时符合题意，AD 为BC 边上的高，在Rt BAC 中，3AB =，4AC =，则：5BC ==， ∵1122ABC S AB AC BC AD =×=× ，即：1134522AD ××=××， 解得：125AD =， ∵AB AC AD AE=， ∴125543AD DE BC AB =×=×=， ∴114222CP DE ==×=； 故答案为：2．18. 如图①②，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()，点(,0)M t 是横轴上的一点，点N 在y 轴上，且90MPN ∠=°，0t ≤≤．（1）如图①，当0t =时，PM PN=_______；（提示：过点P 作x 轴垂线，垂足为H ，交过点N 作y 轴的垂线于点G ）（2）连接MN ，设MN 的中点为T ，在点M 从0t =这个时刻走到t =这个时刻的过程中，点T 所走过的路线长是_______．【答案】 ①.②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理的等内容． （1）过P 作PH x ⊥轴于点H ，过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ，证PGN MHP ∽即可得解；（2）连接OT ，PT ，则OT PT =，所以点T 在点T 在线段PO 的垂直平分线上，从而发现当0t ≤≤时，点T 在DE 上运动，求出DE 长度即可．【详解】解：（1）过P 作PH x ⊥轴于点H ，过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ，则90MPN PGN MHP ∠=∠=∠=°，()P ，3PH ∴=，GN MH ==，90MPN ∠=° ，90GPN MPH ∴∠+∠=°，90GPN PNG ∠+∠=° ，MPH PNG ∴∠=∠，90PGN MHP ∠=∠=° ，∴PGN MHP ∽，∴PM P M HPG PN N H G ====∴9PG ==，∴12ON GH PH PG ==+=，（2）如图，连接OT ，PT ，ON 的中点E ，过P 作PH x ⊥轴于点H ，则3PH =，OH =90MPN MON ∠=∠=° ，MN 的中点为T ，12MT NT MN ∴==， ∴点T 在线段PO 的垂直平分线上，设线段PO 的垂直平分线交x 轴于点D ，则OD DP =，DH OH OD DP =−=∵Rt PDH △中，222PD DH PH =+，∴()2223PD DP =+，解得OD DP ==当0t =时，M 与原点重合，此时90OPN ∠=°，得到12MN ON ==，此时点T 与ON 的中点E 重合，162OE ON ∴==，∴DE ===，当t=时，OM=，此时HM OM OH =−=∴(22222336OP OP PH =+=+=，22222312MP HM PH =+=+=， ∴(222248OP MP OM +===，∴90OPM NPM °∠=∠=，即此时点N 与原点重合，T 与D 重合，∴当0t ≤≤时，点T 在DE 上运动，点T所走过的路线为线段DE ，DE =即在点M 从0t=这个时刻走到t =这个时刻过程中，点T 所走过的路线长是故答案为：三、解答题（共10小题，共96分）19. 按要求解下列方程：（1）23610xx +−=（配方法）的（2）2650x x −+=（3）290x −−=（公式法）（4）()()()2243225x x x x +−−=+．【答案】（1）12x x == （2）1215x x ==，（3）12x x ==（4）12162x x =−=−，【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）先把原方程化成一般式，再利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：∵23610x x +−=， ∴21203x x +−=， ∴2123x x +=， ∴24213x x ++=， ∴()2413x +=，∴1x +=解得12x x == 【小问2详解】解：∵2650x x −+=，∴()()150x x −−=，∴10x −=或50x −=，解得1215x x ==，；【小问3详解】解：∵290x −−=，∴19a b c ==−=−，，∴(()2419480∆=−−××−=>，∴x ==解得12x x ==【小问4详解】解：∵()()()2243225x x x x +−−=+，∴()()22246944210x x x x x x ++−−+=+∴22242436442100x x x x x ++−+−−−=，∴218320x x ++=，∴()()2160x x ++=，∴20x +=或160x +=，解得12162x x =−=−，．20. 化简再求值：2221111a a a a a −− ÷−− −+，其中a 是方程280x x −−=的根． 【答案】21−a a ，18【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，先把小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到280a a −−=，即28a a −=，据此可得答案． 【详解】解：2221111a a a a a −− ÷−− −+()()22121111a a a a a a −−−+=÷+−+ ()()222111a a a a a a −−=÷+−+ ()()()21112a a a a a a −+=⋅+−− ()11a a =− 21a a =−， ∵a 是方程280x x −−=的根，∴280a a −−=，∴28a a −=，∴原式18=． 21. 已知关于x 的方程2(2)20x k x k −++=（1）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰ABC 的一边3a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）7或8【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，等腰三角形的周长．（1）证明Δ0≥即可得到无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）先解方程得到2x =或x k =，再根据等腰ABC 分情况计算即可．【小问1详解】证明：()()22Δ24122k k k =−+−××=− ， 无论k 取何值，2(2)0k −≥，∴Δ0≥，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；【小问2详解】解：2(2)20x k x k −++= ．(2)()0x x k ∴−−=，2x ∴=或x k =，∵3a =，两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，∴ABC 的三边长为2，3，k ，∴当2k =时，等腰ABC 的为2，3，2，此时周长3227a b c =++=++=；当3k =时，等腰ABC 的为2，3，3，此时周长3328a b c =++=++=；综上所述，ABC 的周长为7或8．22. 如图，在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ，请按要求画线段．（1）在图1中，过点O 画一条格点线段PQ （端点在格点上），使点P ，Q 分别落在边AD ，BC 上，且PQ 与FG 的一边垂直．（2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF 上一点M ，EG 上一点N ，连结MN ，使△EMN 和△EFG 的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意找到格点,P Q ，画出线段PQ 即可【小问1详解】如图所示，PQ 即为所求，【小问2详解】如图所示，取格点,J K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N连接MN，则MN即为所求，//EO JFMOE MHF∴∽∴23 OE MEJF MF==同理23 ENNG=,EM ENE E MF EG∴=∠=∠EMN EFG∴∽∴25 EMEF=．【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．23. 如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点G．（1）若12DE AD ==，，求CF DF的值； （2）求证：BCF EAB ∽ ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由平行四边形性质，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案；（2）由平行线性质得到EAB BCD ∠=∠、AD BC ∥，结合平行线性质得到E CBE =∠∠，利用相似三角形的判定定理即可得证．小问1详解】解：在平行四边形ABCD 中，2BC AD ==，AD BC ∥，DEF CBF ∴∽△△，221CF BC DF DE ∴===； 【小问2详解】证明：由（1）知AD BC ∥，则E CBE =∠∠，在平行四边形ABCD 中，EAB BCD ∠，∴BCF EAB ∽ ．24. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？【答案】（1）头盔销售量的月增长率为20%；（2）该品牌的头盔每个应涨价5元.【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x 的一【元二次方程，解之取其正值即可；（2）设头盔每个涨价m 元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m 的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．【小问1详解】解：设头盔销售量的月增长率为x ，根据题意得：()23751540x +=，解得10.2x =，2 2.2x =−（舍去）， ∴头盔销售量的月增长率为20%；【小问2详解】解：设头盔每个涨价m 元，根据题意得：()()10500206000m m +−=，整理得215500m m −+=，解得15m =，210m =（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠−的两根1x ，2x 有如下的关系（韦达定理）：12b x x a +=，12c x x a⋅=； 材料2：如果实数m 、n 满足210m m −−=、210n n −−=，且m n ≠，则可利用根的定义构造一元二次方程210x x −−=，将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：（1）①已知一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x ⋅=_______．②已知实数a ，b 满足：2430a a +−=，2430b b +−=（a b ≠），则11a b+=_______． （2）已知实数m 、n 、t 满足：2411m m t −=+，2411n n t −=+，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．【答案】（1）①1.5， 2.5−；②43（2）()()5119m n <++<【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式．（1）①根据根与系数的关系解答；②根据题意，得到实数a ，b 是方程 2430x x +−= 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，m ，n 是方程24110x x t −−−=的解，进而得到(1)(1)16m n mn m n t ++=+++=−−，再根据根与系数的关系和根的判别式求出t 的范围，即可．【小问1详解】解：① 一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ，2x ，12 1.5x x ∴+=，12 2.5x x ⋅=−，故答案为：1.5， 2.5−；② 实数a ，b 满足：2430a a +−=，2430()b b a b +−=≠，a ∴，b 是方程2430x x +−=的解，∴aa +bb =−4，3ab =−， ∴1143a b a b ab++==； 故答案为：43； 【小问2详解】解： 实数m 、n 、t 满足：2411m m t −=+，2411n n t −=+m ∴，n 是方程24110x x t −−−=的解，4m n ∴+=，11mn t =−−，(1)(1)16m n mn m n t ∴++=+++=−−0m n << ，∴()Δ1641110t =−××−−>，110mn t =−−>，解得1511t −<<−，569t ∴<−−<，5(1)(1)9m n ∴<++<．26. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD ，发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得57BD =米，D E 、之间有一个花圃无法测量，然后在E 处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像，此时 2.4EG =米，测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米，求出塔高AB ．【答案】塔高AB 为42米【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意得到FGE CDE ∽ ，利用相似三角形的性质得出DE ，再证明ABE CDE ∽△△，利用相似三角形的性质，即可得出AB ．【详解】解：由题知CED FEG ∠=∠，CD BG ⊥，FG BG ⊥，∴90FGE CDE ∠=∠=°，∴FGE CDE ∽ ， ∴FG EG CD DE=， 2.4EG =米， 1.6FG =米，4CD =米， ∴1.62.44DE =， 解得：6DE =米，AB BG ⊥，∴90ABE CDE ∠=∠=°，∴AB CD ∥，∴ABE CDE ∽△△， ∴AB BE CD DE=， 57BD =米，∴57663BE BD DE =+=+=米，。