江苏省无锡市天一实验学校2020-2021 学年度第一学期八年级数学期中考试

江苏省无锡市无锡外国语学校2020-2021学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面有4个汽车商标图案，其中是轴对称图形的是( )A ．②③④B ．①②③C ．①②④D ．①③④2．下列实数227，3 ，0.1，-0.010010001…（每两个1之间0的个数比前面多一个），其中无理数有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3．下列一组数是勾股数的是（ ）A ．7，24，25B ．34，1，54C ．9，40，42D ．12，15，20 4．如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM=ON ，再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB 的依据是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．SSS5．3184900精确到十万位的近似值为（ ）A ．3.18×106B ．3.19×106C ．3.1×106D ．3.2×106 6．下列说法中，错误的是（ ）A ．4 的算术平方根是 2B ±3C ．8 的立方根是±2D ．平方根等于本身的数是07．在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高所在直线的交点8．如图，△ABC ≌△ADE ，点D 在BC 上，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC 的度数等于（ ）A ．65°B ．50°C ．40°D ．35°9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．5B ．7C ．10D ．310．如图，在等边ABC ∆中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得到线段OD ，若要使点D 恰好在BC 上，则AP 的长为（）．A ．4B ．5C ．6D ．8二、填空题 11．若等腰三角形的一个角为40°，则它的底角为___________________．12．已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则这个正数是__________． 13．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°后，得到矩形AB′C′D′，若CD ＝2，DA=2，那么CC′=____________．14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=6，AF⊥BC 于点F ，BE⊥AC 于点E ，且点D 是AB 的中点，△DEF的周长是11，则AB=______．S＝7.5，则BC的长为____________．15．△ABC中，AB＝AC＝5，ABC16．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线AD=4，则△ABC的面积为___________；17．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1//l2// l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于____________．18．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是_____．三、解答题19．求下列x的值（1）（x﹣1）2＝4 （2）81x3＝﹣320．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．（1）求证：AF=AE；（2）若AB＝40，AD＝30，AC＝37，求CF的长．21．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，（1）若EF＝4，BC＝10，求△EFM的周长；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求△EMF三内角的度数．22．在△ABC中，AB、BC、AC面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）△ABC的面积为．（2）若△DEF的三边DE、EF、DF，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．（3）在△ABC中，AB AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D与C 在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．图1 图2 备用图23．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD＝8，CD＝4，BD＝2，（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．①当t为何值时，△PDC≌△BDC；②当t为何值时，△PBC是等腰三角形．24．（定义）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．（理解）如图①，在△ABC中，∠A＝27°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．（应用）（1）在△ABC中，已知一个内角为24°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值（按从小到大写）；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，根据题意写出∠B的度数的所有可能值．参考答案1．B【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：①②③都是轴对称图形，④不是轴对称图形，故选B ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．2．B【分析】无理数是无限不循环小数.【详解】，3π，－0.010010001（两个1之间依次多一个0）…共3个． 故选B ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．初中范围内学习的无理数有：特殊的数π；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．3．A【分析】根据勾股数的意义对各选项进行判断即可得到正确解答．【详解】解：∵222222749245762562572425===∴+=，，，，又7、24、25是正整数，∴7、24、25是勾股数，A 正确； ∵3544，不是正整数，∴35144，，不是勾股数，B 不符合题意； ∵2222298140160042176494042===+≠，，，，∴9、40、42不是勾股数，C 不符合题意；∵222222121441522520400121520===+≠，，，，∴12、15、20不是勾股数，D 不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查勾股数的选择和判断，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．4．A【分析】利用判定方法“HL ”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．【详解】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP =⎧⎨=⎩， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP=∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故选择：A.【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键．5．D【解析】先利用科学记数法将3184900表示为63.184910⨯,然后根据近似数的精确度求解,因为精确到十万位,所以近似值是3.2×106,故选D. 6．C【分析】根据平方根和立方根的意义和性质依次对各项的正误作出判断．【详解】解：∵4 = 2，∴A 正确；()2939=±=，，∴的平方根是±3，B 正确； ∵()332828=-=-，，∴8 的立方根是2，-8的立方根是-2，C 错误； ∵0的平方根是0，1的平方根是1和-1，∴平方根等于本身的数是0，D 正确．故选C ．【点睛】本题考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义和性质是解题关键． 7．C【分析】根据垂直平分线的性质即可得出结论．【详解】解：为使游戏公平，凳子应到点A 、B 、C 的距离相等根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的三边中垂线的交点 故选C ．【点睛】此题考查的是线段垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的性质是解题关键．8．B【分析】根据全等三角形的性质得AB=AD ，再结合三角形外角性质和内角和定理可以求得∠BAD=50°，最后再由全等三角形性质和角的减法可以得到∠EAC=50°． 【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AB=AD ，∠DAE=∠BAC ，∴∠B=∠ADB=∠DAC+∠C=35°+30°=65°，∴∠BAD=180°-(∠ADB+∠B)=50°，∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC=∠BAD=50°，故选B ．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，灵活运用全等三角形的性质和三角形的内外角性质求解是解题关键 ．9．A【分析】作EF BC ⊥于F ，根据角平分线的性质求得2EF DE ==，然后根据三角形面积公式求得即可．【详解】解：作EF BC ⊥于F ，BE 平分ABC ∠，ED AB ⊥，EF BC ⊥，2EF DE ∴==，1152522BCE S BC EF ∴=⋅=⨯⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 10．C【分析】先计算出OC=6，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP ，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1+∠2+∠A=180°，∠1+∠3+∠POD=180°，利用等量代换可得∠2=∠3，然后根据“AAS”判断△AOP ≌△CDO ，则AP=CO=6．【详解】∵AC=9，AO=3，∴OC=6，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A=∠C=60°，。

2021-2022学年江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. 某软件其中四个功能的图标如下，四个图标中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A.3，4，4B.3，4，5C.3，4，6D.3，4，83. 在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高，如果∠BAC＝40∘，则∠CBD的度数是（）A.70∘B.40∘C.20∘D.30∘4. 如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（）A.16B.32C.34D.645. 下列说法错误的是（）A.无理数都是无限小数B.π−2的平方根是±2C.−9是81的一个平方根D.与数轴上的点一一对应的数是实数6. 若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为（）A.7B.7或8C.8D.9或77. 如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝CO ，AB ＝CD ，则可得到△AOB ≅△COD ，理由是（ ）A.HLB.SASC.ASAD.SSS8. 如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为−1和√3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ）A.−2−√3B.−1−√3C.−2+√3D.1+√39. 如图，将三角形纸片ABC 沿AD 折叠，使点C 落在BD 边上的点E 处．若DC ＝3，BE ＝2，则AB 2−AC 2的值为（ ）A.4B.6C.10D.1610. 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，若∠BAD ＝110∘，则∠ACB 的度数为（ ）A.40∘B.35∘C.60∘D.70∘ 二、填空题（共8小题，每小题2分，满分18分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，AB ＝13，BC ＝12，则AC ＝________．|2−π|＝________；比较大小：12________1+√34．（用“>”、“＝”或“<”填空）．下列五个数√4，2π，227，√83，3.1415926中，是无理数的有________个．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积为249900m2，请将249900精确到万位，并用科学记数法表示为________．已知等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为________．如图，∠ABC＝90∘，AD // BC，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．若AB＝6，BC＝10，则EF的长为________．如图，两块完全一样的含30∘角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于________．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F，则△GEF的面积最大值是________．三、解答题（共8小题，满分72分）计算3（1）√(−3)2+(√2)2−√18（2）√4−|1−√2|−(π−1)0求x的值：（1）(x+1)2＝64（2）8x3+27＝0．已知：如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：△ABC≅△ADE．（1）若x，y为实数，且x=√2y−6+√3−y+4，求(x−y)2的平方根；（2）已知x−2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AC＝4，BC＝3，AD为△ABC的角平分线．（1）用圆规在AB上作一点P，满足DP⊥AB．（2）求CD的长度．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边上．（1）证明：∠ECA＝∠DAB；（2）已知AE=√5，AB＝3，求AD．（提醒：连接BD）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90∘，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为________；（2）代数应用：求代数式√x2+1+√(3−x)2+9(0≤x≤3)的最小值；（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30∘，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是________．如图，△ABC中，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t＝________时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为√5？参考答案与试题解析2021-2022学年江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.【答案】B【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．2.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【解答】A、32+42≠42，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、32+42＝52，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；C、32+42≠62，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；D、32+42≠82，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；3.【答案】C【考点】等腰三角形的性质【解析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．【解答】∵AB＝AC，∠BAC＝40∘，∴∠ABC＝∠ACB＝70∘∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠CBD＝90∘−70∘＝20∘．4.【答案】C【考点】勾股定理【解析】根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形两直角边长的平方，利用勾股定理求出斜边长的平方，即可求出正方形A的面积．【解答】如图所示：根据题意得：EF2＝25，FG2＝9，∠EFG＝90∘，根据勾股定理得：EG2＝25+9＝34，∴以斜边为边长的正方形A的面积为34．故选：C．5.【答案】B【考点】实数数轴在数轴上表示实数【解析】由π−2的平方根是±√π−2，可知B不正确．【解答】π−2的平方根是±√π−2；6.【答案】B【考点】三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】当腰为3时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝3+3+2＝8；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝2+2+3＝7所以这个三角形的周长是7或8．7.【答案】A【考点】全等三角形的判定直角三角形全等的判定【解析】结合图形，利用直角三角形判定全等的方法判断即可．【解答】在Rt△AOB和Rt△COD中，，{AO=COAB=CD∴Rt△AOB≅Rt△COD(HL)，则如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≅△COD，理由是HL，8.【答案】A【考点】在数轴上表示实数数轴【解析】由于A，B两点表示的数分别为−1和√3，先根据对称点可以求出OC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标．【解答】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，|−1|+|√3|=1+√3，∴OC=2+√3，而C点在原点左侧，∴C表示的数为：−2−√3．故选A.9.【答案】D【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】由折叠的性质可得∠ADC＝∠ADE＝90∘，可得CE＝6，BD＝5，根据勾股定理可求AB2−AC2的值．【解答】∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，CE，∴∠ADC＝∠ADE＝90∘，DE＝CD=12∵DC＝3，BE＝2∴ED＝CD＝3∴CE＝6，BD＝5在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，∴AB2−AC2＝BD2−CD2＝52−32＝16，10.【答案】B【考点】轴对称的性质【解析】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B′AC，∠DAE＝∠B′AE，即可得出∠CAE=1∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB′2∠BAD．＝90∘−12【解答】如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠B′AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB′，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B′AE，∠BAD＝55∘，∴∠CAE=12又∵∠AEC＝90∘，∴∠ACB＝∠ACB′＝35∘，二、填空题（共8小题，每小题2分，满分18分）【答案】5【考点】勾股定理【解析】根据勾股定理解答即可．【解答】∵ 在Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，AB ＝13，BC ＝12，∴ AC =√AB 2−BC 2=√132−122=5，【答案】π−2,<【考点】实数大小比较【解析】根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可；先估算出√3的范围，再求出1+√34的范围即可． 【解答】|2−π|＝π−2，∵ 1<√3<2，∴ 2<1$${\{}$ + \${sqrt\{3\}}$<}$3，∴ ${\dfrac{1}{2}\lt \dfrac{1 + \sqrt{3}}{4}\lt \dfrac{3}{4}}$，【答案】1【考点】无理数的识别算术平方根立方根的性质【解析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．【解答】√4=2、√83=2，是整数，属于有理数；227是分数，属于有理数；3.1415926是有限小数，属于有理数．无理数只有2π共1个．【答案】2.5×105【考点】科学记数法与有效数字科学记数法--表示较大的数【解析】根据四舍五入，可得精确到万位的数，根据科学记数法表示的方法，可得答案．【解答】解：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，“还原”成通常表示的数，就是把a 的小数点向右移动n 位所得到的数.将249900精确到万位为250000，用科学记数法表示为2.5×105.故答案为：2.5×105.【答案】12【考点】勾股定理等腰三角形的性质【解析】首先画出图形，利用勾股定理求出△ABC以BC为底边的高，再利用三角形的面积公式求出答案．【解答】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD=12BC=12×6＝3，在△ABD中，∵AD2+BD2＝AB2，∴AD=√AB2−BD2=√52−32=4，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×6＝12，【答案】2【考点】全等三角形的性质与判定【解析】由勾股定理的AE=√BE2−AB2=8，证明△AEB≅△FBC(AAS)，得出BF＝AE＝8，即可得出EF＝BE−BF＝10−8＝2．【解答】∵∠ABC＝90∘，AD // BC，∴∠A＝180∘−∠ABC＝90∘，∴∠AEB＝∠FBC，∵BE＝BC＝10，∴AE=√BE2−AB2=√102−62=8，∵CF⊥BE，∴∠A＝∠BFC＝90∘，在△AEB和△FBC中，{∠A=∠BFC∠AEB=∠FBCBE=BC，∴△AEB≅△FBC(AAS)，∴BF＝AE＝8，∴EF＝BE−BF＝10−8＝2；【答案】2【考点】等边三角形的性质与判定【解析】连接AA′，由旋转的性质可得CM＝C′M＝2，AM＝A′M＝2，可证△AMA′是等边三角形，即可求AA′的长．【解答】如图，连接AA′，∵点M是AC中点，AC＝2，∴AM＝CM=12∵旋转，∴CM＝C′M，AM＝A′M∴A′M＝MC＝AM＝2，∴∠C′A′B′＝∠A′CM＝30∘∴∠AMA′＝∠C′A′B′+∠MCA′＝60∘，且AM＝A′M∴△AMA′是等边三角形∴A′A＝AM＝2【答案】7.5【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质【解析】当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，根据折叠性质可得GF＝FC，∠AFE＝∠EFC，根据勾股定理可求AF＝5，根据矩形的性质可得∠EFC＝∠AEF＝∠AFE，可得AE＝AF＝5，即可求△GEF的面积最大值．【解答】如图，当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，∵折叠∴GF＝FC，∠AFE＝∠EFC在Rt∠ABF中，AF2＝AB2+BF2，∴AF2＝9+(9−AF)2，∴AF＝5∵四边形ABCD是矩形∴AD // BC，∴∠AEF＝∠EFC∴∠AEF＝∠AFE∴AE＝AF＝5∴△GEF的面积最大值=12×5×3＝7.5三、解答题（共8小题，满分72分）【答案】原式＝3+2−12=412；原式＝2−(√2−1)−1＝2−√2+1−1＝2−√2．【考点】实数的运算零指数幂【解析】（1）首先化简二次根式和立方根，再计算有理数的加减即可；（2）首先化简二次根式、绝对值和零次幂，然后再计算实数的加减即可．【解答】原式＝3+2−12=412；原式＝2−(√2−1)−1＝2−√2+1−1＝2−√2．【答案】x+1＝±8x＝7或−98x3＝−27x3=−27 8x=−3 2【考点】平方根立方根的性质【解析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】x+1＝±8x＝7或−98x3＝−27x3=−27 8x=−3 2【答案】证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC 和△ADE 中，{∠C =∠E ∠BAC =∠DAE AB =AD，∴ △ABC ≅△ADE(AAS)．【考点】全等三角形的判定【解析】先证出∠BAC ＝∠DAE ，再由AAS 证明△ABC ≅△ADE 即可．【解答】证明：∵ ∠BAE ＝∠DAC ，∴ ∠BAE +∠EAC ＝∠DAC +∠EAC ，即∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，{∠C =∠E ∠BAC =∠DAE AB =AD，∴ △ABC ≅△ADE(AAS)．【答案】由题意得：{2y −6≥03−y ≥0， 解得y ＝3，∴ x ＝4，∴ (x −y)2＝1，∴ (x −y)2的平方根是±1．由x −2的平方根是±2，2x +y +7的立方根是3，得x −2＝4，2x +y +7＝27，解得x ＝6，y ＝8．∴ x 2+y 2＝100，∴ x 2+y 2的算术平方根是10．【考点】平方根算术平方根立方根的性质【解析】（1）根据被开方数是非负数，可得x 的值，根据开平方，可得答案；（2）根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．【解答】由题意得：{2y −6≥03−y ≥0， 解得y ＝3，∴ x ＝4，∴ (x −y)2＝1，∴ (x −y)2的平方根是±1．由x−2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得x−2＝4，2x+y+7＝27，解得x＝6，y＝8．∴x2+y2＝100，∴x2+y2的算术平方根是10．【答案】如图，点P即为所求；∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．又∵DC⊥AC、DP⊥AB，∴∠C＝∠APD．在△ACD与APD中，∵{∠C=∠APD∠CAD=∠BADAD=AD，∴△ACD≅APD(AAS)．∴AP＝AC＝4，CD＝PD．在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．设DP为x，则DP＝x，BD＝3−x，在Rt△DPB中，∠DPB＝90∘，∴DP2+PB2＝DB2，即，x2+12＝(3−x)2，解得x=43，∴CD＝DP=43．【考点】角平分线的性质作图—基本作图【解析】（1）过点D作AB的垂线DE，交AB于点P；（2）根据角平分线的性质可知∠CAD＝∠BAD，利用AAS定理可知△ACD≅APD．在在Rt△ABC中根据勾股定理得出AB的长，设DP为x，则DP＝x，BD＝3−x，在Rt△DPB中，利用勾股定理即可得出结论．【解答】如图，点P即为所求；∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．又∵DC⊥AC、DP⊥AB，∴∠C＝∠APD．在△ACD与APD中，∵{∠C=∠APD∠CAD=∠BADAD=AD，∴△ACD≅APD(AAS)．∴AP＝AC＝4，CD＝PD．在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．设DP为x，则DP＝x，BD＝3−x，在Rt△DPB中，∠DPB＝90∘，∴DP2+PB2＝DB2，即，x2+12＝(3−x)2，解得x=43，∴CD＝DP=43．【答案】证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴∠E＝∠CAB＝45∘，∵∠CAB+∠DAB＝∠E+∠ECA，∴∠ECA＝∠DAB；连接BD，【考点】全等三角形的性质与判定等腰直角三角形【解析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠E＝∠CAB＝45独，由三角形的外角性质即可得出结论；（2）连接BD，证出△ECA≅△DCB(SAS)，得出AE＝BD，∠CEA＝∠CDB，证明△ADB是直角三角形，然后根据勾股定理解答即可．【解答】证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴∠E＝∠CAB＝45∘，∵∠CAB+∠DAB＝∠E+∠ECA，∴∠ECA＝∠DAB；连接BD，【答案】√10构造图形如图4所示，AB＝BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，则PC+PD=√x2+1+√(3−x)2+9，代数式√x2+1+√(3−x)2+9(0≤x≤3)的最小值就是求PC+PD的值，作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E⊥DB交DB的延长线于E．则C′E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C′D=√C′E2+DE2=√32+42=5，∴所求代数式的最小值是5；√3【考点】三角形综合题【解析】（1）作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，根据“将军饮马问题”得到PA+PE的最小值为E′A，根据勾股定理求出E′A，得到答案；（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称--最短路线问题得到最小值就是求PC+PD 的值，根据勾股定理计算即可；（3）作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【解答】如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且PA+PE的最小值为E′A，作E′F⊥AC交AC的延长线于F，由题意得，E′F＝1，AF＝3，∴PA+PE的最小值E′A=√12+32=√10，故答案为：√10；构造图形如图4所示，AB＝BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，则PC+PD=√x2+1+√(3−x)2+9，代数式√x2+1+√(3−x)2+9(0≤x≤3)的最小值就是求PC+PD的值，作点C关于AB的对称点C′，过C′作C′E⊥DB交DB的延长线于E．则C′E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C′D=√C′E2+DE2=√32+42=5，∴所求代数式的最小值是5；如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30∘，∴△C′AC为等边三角形，∴CM+MN的最小值为C′N=√3，故答案为：√3．【答案】△ABC 是直角三角形．∵ AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，∴ AC 2+BC 2＝25＝AB 2，∴ △ABC 是直角三角形；1.5或2.7或3①如图，当点P 在AC 上，点Q 在BC 上运动时(0≤t ≤2)，由勾股定理可得：(2t)2+t 2＝5，解得t ＝1；②如图，当点P 、Q 均在AB 上运动，且点P 在点Q 的左侧时(3≤t <4)，由题可得：12−2t −t =√5，解得t =12−√53；③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时(4<t≤4.5)，由题可得：2t+t−12=√5，，解得t=12+√53>4.5，∵t=12+√53∴不成立，舍去．④当点P在AB上，点Q在BC上时，PQ的长不合题意；秒时，P、Q两点之间的距离为√5．综上所述，当t为1秒或12−√53【考点】勾股定理的逆定理三角形综合题等腰三角形的性质与判定【解析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论；（3）当P、Q两点之间的距离为√5时，分四种情况讨论：点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧；点P在AB上，点Q在BC上，分别求得t的值并检验即可．【解答】△ABC是直角三角形．∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形；如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝3，则t＝3÷2＝1.5秒；如图，当点P在AB上时，分两种情况：若BP＝BC＝3，则AP＝2，故t＝(4+2)÷2＝3秒；若CP＝CB＝3，作CM⊥AB于M，则1 2×AB×MC=12×BC×AC，1 2×5×MC=12×3×4，解得CM＝2.4，∴由勾股定理可得PM＝BM＝1.8，即BP＝3.6，∴AP＝1.4，故t＝(4+1.4)÷2＝2.7秒．综上所述，当t＝1.5、3或2.7时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．故答案为：t＝1.5或2.7或3；①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时(0≤t≤2)，由勾股定理可得：(2t)2+t2＝5，解得t＝1；②如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时(3≤t<4)，由题可得：12−2t−t=√5，解得t=12−√53；③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时(4<t≤4.5)，由题可得：2t+t−12=√5，解得t=12+√53，∵t=12+√53>4.5，∴不成立，舍去．④当点P在AB上，点Q在BC上时，PQ的长不合题意；综上所述，当t为1秒或12−√53秒时，P、Q两点之间的距离为√5．。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.若2xx−2与3xx−8是有理数a的两个不相等的平方根，则有理数a是( )A. 2B. −2C. 4D. −43.根据下列已知条件，能画出唯一的△AAAAAA的是( )A. ∠AA=90∘，AAAA=6B. AAAA=4，AAAA=3，∠AA=30∘C. ∠AA=60∘，∠AA=45∘，AAAA=4D. AAAA=3，AAAA=4，AAAA=84.某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是( )A. 三角形三条角平分线的交点B. 三角形三边垂直平分线的交点C. 三角形三条中线的交点D. 三角形三条高的交点5.如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是( )A. 10：05B. 20：01C. 20：10D. 10：026.下面命题中，不正确的是( )A. 在△AAAAAA中，若三个内角满足∠AA=∠AA−∠AA，则△AAAAAA是直角三角形B. 在△AAAAAA中，若三个内角满足∠AA：∠AA：∠AA=3：4：5，则△AAAAAA是直角三角形C. 在△AAAAAA中，若对应三边满足a：b：cc=3：4：5，则△AAAAAA是直角三角形D. 在△AAAAAA中，若对应三边满足(aa+bb)(aa−bb)=cc2，则△AAAAAA是直角三角形7.等腰△AAAAAA中，AAAA=AAAA，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为18和30两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A. 8B. 24C. 8或24D. 8或128.如图，△AAAAAA中，∠AAAAAA=90∘，AAAA=5，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为SS1、SS2、SS3，则SS1+SS2+SS3的值为( )A. 25ππB. 9ππC. 254ππD. 252ππ9.如图，在四边形ABCD中，∠AAAAAA=∠AAAAAA=90∘，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EEEE.若AAAA=10，AAAA=6，则EF的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. √ 710.如图，△AAAAAA中，∠AAAAAA=90∘，AAAA=6，AAAA=8，点D是AB的中点，将△AAAAAA沿CD翻折得到△EEAAAA，连接AE，BE，则线段AE的长等于( )A. 3B. 4C. 103D. 145二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

2022-2023学年无锡市锡山区天一实验学校初二数学第一学期期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2x 的取值范围是( ) A ．0xB ．0x <C ．2xD ．2x3．将23700精确到千位并用科学记数法表示为( ) A ．42.3710⨯B ．42.410⨯C ．323.710⨯D ．32410⨯4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( )A ．3，4，5B 3，4C ．6，8，10D ．135．如图，已知AB CD =，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定ABC CDA ∆≅∆的是( )A ．BC AD =B ．90B D ∠=∠=︒C ．BAC DCA ∠=∠D ．ACB CAD ∠=∠6．等腰三角形的一个外角是80︒，则它的底角的度数为( ) A ．100︒B ．100︒或40︒C ．50︒D ．40︒7．如图，ABC ADE ∆≅∆，70DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠度数是( )A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒8．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，则DCE ∆的面积为( )A ．52B ．32C ．2D ．19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若3AC =，5AB =，则CE 的长为( )A ．32B ．43 C ．53D ．8510．如图，菱形ABCD 的边长为4，60A ∠=︒，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60︒得到EG ，连接BG 、CG ，则BG CG +的最小值为( )A ．B ．C ．D ．2+二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分） 11．16的算术平方根是 ．12．已知2(2)0x ++=，则x y 的值是为 ．13．若等腰三角形的周长为12，其中一边长为2，则另两边的长分别为 ．14．如图，ABC ∆中，D 是BC 上一点，若AC AD DB ==，且50C ∠=︒，则BAC ∠= ．15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，6BC =，DEF ∆的周长是8，AF BC ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，且点D 是AB 的中点，则AF = ．16．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PCD ∠-∠= ︒．（点A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点）17．如图，在ABC ∆中，AB BC =，80ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线与BC 的垂直平分线相交于点O ，点M 、N 分别在AB 、AC 上，点A 沿MN 折叠后与点O 重合，则ONC ∠= ︒．18．如图，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，12AC =，9AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP ∆沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是 ．三、解答题（本大题共9小题，共84分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．计算：（111|2()5-+；（2）2021)-． 20．求下列各式中x 的值： （1）24(1)64x +=；（2）3(2)80x --=．21．（1）已知51a -的算术平方根是2，9b -的立方根是2，求a 、b 的值； （2）已知一个正数x 的两个平方根分别是2a -+和21a -，求x 的值．22．如图所示，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，D 为AB 边上一点． （1）求证：ACE BCD ∆≅∆；（2）若5AD =，12BD =，求DE 的长．23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为AB 的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中，画出ABD ∆的中线AF ；（2）在图2中，若BA BD =，画出ABD ∆的AD 边上的高BH ．24．如图，ABC ∆的外角DAC ∠的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ⊥于点D ，PE AC ⊥于点E ．（1）试探究线段BD 与线段CE 的数量关系，并给出理由； （2）若6AB =，10AC =，求AD 的长度．25．在ABC ∆中，AB 、BC 、AC 答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点ABC ∆（即ABC ∆三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC ∆的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）ABC ∆的面积为 ．（2）若D E F∆的三边DE 、EF 、DF 请在图2的正方形网格中画出相应的DEF ∆，并求出DEF ∆的面积为 ．（3）在ABC ∆中，AB 3AC =，1BC =，以AB 为边向ABC ∆外作(ABD D ∆与C 在AB 异侧），使ABD ∆为等腰直角三角形，则线段CD 的长为 ．26．如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，8BC =，D 是AC 上的一点，3CD =，点P 从B 点出发沿射线BC 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P 的运动时间为t ．连结AP ．（1）当2t =秒时，求AP 的长度； （2）当ABP ∆为等腰三角形时，求t 的值；（3）过点D 作DE AP ⊥于点E ．在点P 的运动过程中，当t 为何值时，能使DE CD =？27．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是 （只要填序号）；①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．（2）如图1，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 为BC 的中点，90APD ∠=︒．取AD 中点Q ，连接PQ．求证：PQ是APD∆的“周长平分线”．（3）在（2）的基础上，分别取AP，DP的中点M，N，如图2．请在BC上找点E，F，使EM为APE∆的“周长平分线”，FN为DPF∆的“周长平分线”．①用无刻度直尺确定点E，F的位置（保留画图痕迹）；②若AB=CD=EF的长．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．解：A ，B ，D 选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C 选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C ． 2．解：依题意得20x -， 2x ∴．故选：D ．3．解：4423700 2.3710 2.410=⨯≈⨯．故选：B ．4．解：A ．因为222345+=，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意； B．因为22234+=，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意； C ．因为2226810+=，所以能作为直角三角形三边长度，不符合题意；D．因为22213+≠，所以不能作为直角三角形三边长度，符合题意．故选：D ．5．解：A 、在ABC ∆和CDA ∆中， AC CA AB CD BC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SSS ∴∆≅∆，正确，故本选项不符合题意；B 、90B D ∠=∠=︒，在Rt ABC ∆和Rt CDA ∆中， AC CAAB CD =⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt CDA(HL)∴∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； C 、在ABC ∆和CDA ∆中，AB CD BAC DCA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SAS ∴∆≅∆，正确，故本选项不符合题意；D 、根据AB CD =，AC CA =，ACB CAD ∠=∠不能推出ABC CDA ∆≅∆，错误，故本选项符合题意；故选：D ．6．解：等腰三角形的一个外角为80︒， ∴相邻角为18080100︒-︒=︒，三角形的底角不能为钝角， 100∴︒角为顶角，∴底角为：(180100)240︒-︒÷=︒．故选：D ．7．解：ABC ADE ∆≅∆， B D ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠，又BAD BAC CAD ∠=∠-∠，CAE DAE CAD ∠=∠-∠， BAD CAE ∴∠=∠，70DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，11()(10070)1522BAD BAE DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，在ABG ∆和FDG ∆中，B D ∠=∠，AGB FGD ∠=∠， 15DFB BAD ∴∠=∠=︒．故选：A ．8．解：四边形ABCD 是矩形， 2CD AB ∴==，4AD BC ==， EO 是AC 的垂直平分线， AE CE ∴=，设CE x =，则4ED AD AE x =-=-， 在Rt CDE ∆中，222CE CD ED =+，即2222(4)x x =+-， 解得：52x =， 即CE 的长为52， 53422DE =-=， 所以DCE ∆的面积1332222=⨯⨯=，故选：B ． 9．方法一：解：过点F 作FG AB ⊥于点G ， 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， 90CDA ∴∠=︒，90CAF CFA ∴∠+∠=︒，90FAD AED ∠+∠=︒，AF 平分CAB ∠， CAF FAD ∴∠=∠， CFA AED CEF ∴∠=∠=∠， CE CF ∴=，AF 平分CAB ∠，90ACF AGF ∠=∠=︒， FC FG ∴=，B B ∠=∠，90FGB ACB ∠=∠=︒， BFG BAC ∴∆∆∽，∴BF FGAB AC=， 3AC =，5AB =，90ACB ∠=︒，4BC ∴=，∴453FC FG-=， FC FG =，∴453FC FC-=， 解得：32FC =， 即CE 的长为32．故选：A ． 方法二：过点F 作FG AB ⊥于点G ， 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥， 90CDA ∴∠=︒，90CAF CFA ∴∠+∠=︒，90FAD AED ∠+∠=︒，AF 平分CAB ∠， CAF FAD ∴∠=∠， CFA AED CEF ∴∠=∠=∠， CE CF ∴=，AF 平分CAB ∠，90ACF AGF ∠=∠=︒， FC FG ∴=，3AC =，5AB =，90ACB ∠=︒， 4BC ∴=，在Rt AFC ∆和Rt AFG ∆中， AF AFFC FG =⎧⎨=⎩， Rt AFC Rt AFG(HL)∴∆≅∆， 3AC AG ∴==，∴设FG x =，则4BF x =-，532BG AB AG =-=-=，222FG BG BF ∴+=，则2222(4)x x +=-， 解得：32x =， 即CE 的长为32． 故选：A ．10．解：如图，取AB 的中点N ．连接EN ，EC ，GN ，作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．四边形ABCD 是菱形 AD AB ∴=， 60A ∠=︒，ADB ∴∆是等边三角形， AD BD ∴=，AE ED =，AN NB =， AE AN ∴=， 60A ∠=︒，AEN ∴∆是等边三角形， 60AEN FEG ∴∠=∠=︒， AEF NEG ∴∠=∠， EA EN =，EF EG =，()AEF NEG SAS ∴∆≅∆， 60ENG A ∴∠=∠=︒， 60ANE ∠=︒，180606060GNB ∴∠=︒-︒-︒=︒， ∴点G 的运动轨迹是射线NG ，易知B ，E 关于射线NG 对称， GB GE ∴=，GB GC GE GC EC ∴+=+，在Rt DEH ∆中，90H ∠=︒，2DE =，60EDH ∠=︒，112DH DE ∴==，EH在Rt ECH ∆中，EC27GB GC ∴+，GB GC ∴+的最小值为故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分） 11．解：2(4)16±=， 16∴的算术平方根为4，故答案为：4．12．解：由题意得，20x +=，30y -=， 解得2x =-，3y =， 所以，2139x y -==． 故答案为：19．13．解：等腰三角形的周长为12，∴当2为腰时，它的底长12228=--=，2248+=<，不能构成等腰三角形；当2为底时，它的腰长(122)25=-÷=，355+>能构成等腰三角形， 即它的另外两边长分别为5和5． 故答案为：5和5． 14．解：AC AD =，50C ∠=︒，50ADC C ∴∠=∠=︒，AD DB =， B BAD ∴∠=∠， ∴1252B ADC ∠=∠=︒． 1805025105BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：105︒． 15．解：AB AC =，AF BC ⊥，AF ∴是ABC ∆的中线，132CF BF BC ===，D是AB的中点，AF BC⊥，∴12DF AB=，设2AB AC x==，DF x∴=，BE AC⊥，点D是AB的中点，点F是BC的中点，∴12DE AB x==，132EF BC==，DEF∆的周长为8，38x x∴++=，2.5x∴=，5AB AC∴==，由勾股定理可知：4AF，故答案为：4．16．解：连接AE，PE，则EAB PCD∠=∠，故PAB PCD PAB EAB PAE∠-∠=∠-∠=∠，设正方形网格的边长为a，则PA=，PE，AE==，2222225510PA PE a a a AE+=+==，APE∴∆是直角三角形，90APE∠=︒，又PA PE=，45PAE PEA∴∠=∠=︒，45PAB PCD∴∠-∠=︒，故答案为：45．17．解：连接OA、OC，如图：80ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线与BC 的垂直平分线交于点O ， 40OBC OCB ∴∠=∠=︒， AB BC =，80ABC ∠=︒， 50BAC ACB ∴∠=∠=︒， 10ACO ACB OCB ∴∠=∠-∠=︒， AB BC =，OB 平分ABC ∠， OB ∴垂直平分AC ， AO CO ∴=，10OAC ACO ∴∠=∠=︒，点A 沿MN 折叠后与点O 重合， AO CO ∴=，10OAN AON ∴∠=∠=︒， 20ONC OAN AON ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：20．18．解：当P 点在E 点左边时，如图1，由折叠性质得PC PH =，DC DH =， 90BAC ∠=︒，12AC =，9AB =， 15BC ∴=，13CD BC =，13CE AC =，5CD∴=，4CE=，DE AC⊥，3DE∴=，5DH CD∴==，8EH ED DH∴=+=，设PC x=，则PH x=，4PE x=-，222PH PE EH-=，22(4)64x x∴--=，解得，10x=，即10CP=；当P点在E点右边时，如图2，由折叠知，5DH DC==，532EH DH DE∴=-=-=，设PC x=，则4PE CE PC x=-=-，PH x=，222PH PE EH-=，22(4)4x x∴--=，解得，52x=，即52 PC=；综上，10PC=或52．故答案为：10或52．三、解答题（本大题共9小题，共84分.解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．解：（1）原式3(25=-+325=-6=；（2）原式1331344=--=-． 20．解：（1）原方程整理得：2(1)16x +=， 则14x +=±， 解得：3x =或5x =-；（2）原方程整理得：3(2)8x -=， 则22x -=， 解得：4x =．21．解：（1）51a -的算术平方根是2，9b -的立方根是2， 514a ∴-=，98b -=，解得：1a =，17b =；（2）由题意可得2210a a -++-=， 解得：1a =-， 则2123a -+=+=， 那么9x =．22．（1）证明：ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形， AC BC ∴=，EC DC =．ACE DCE DCA ∠=∠-∠，BCD ACB DCA ∠=∠-∠， 90ACB ECD ∠=∠=︒， ACE BCD ∴∠=∠．在ACE ∆和BCD ∆中AC BCACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆．（2）解：又45BAC ∠=︒ 90EAD EAC BAC ∴∠=∠+∠=︒，即EAD ∆是直角三角形13DE ∴=．23．解：（1）如图1所示，AF 即为所求．（证明BEF DCF ∆≅∆，推出BF DF =，可得AF 是中线）（2）如图2所示，BH 即为所求．（利用等腰三角形的三线合一的性质，BA BD =，BH 是中线，推出BH 也是高）24．解：（1）BD CE =，理由如下： 连接PB ，PC ，如图：PQ 是BC 的垂直平分线， PB PC ∴=，AP 平分DAC ∠，PD AB ⊥，PE AC ⊥， 90BDP CEP ∴∠=∠=︒，PD PE =，Rt BPD Rt CPE(HL)∴∆≅∆， BD CE ∴=；（2）AP 平分DAC ∠，PD AB ⊥，PE AC ⊥，90PDA PEA ∴∠=∠=︒，PD PE =，AP AP =，Rt APD Rt APE(HL)∴∆≅∆，AD AE ∴=，设AD AE x ==， 6AB =，10AC =，6BD AB AD x ∴=+=+，10CE AC AE x =-=-，由（1）知，BD CE =， 610x x ∴+=-，解得2x =， AD ∴的长度为2．25．解：（1）如图1，ABC ∆的面积21113322131222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯931 1.5 3.5=---=，故答案为3.5． （2）如图2，DEF ∆的面积11134412232222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯122235=---=．故答案为5． （3）如图3、4、5，分别求出CD的长度如下：5CD =或CD =或CD =故答案为：5或 26．解：（1）根据题意得：2BP t =， 则82PC t =-，当2t =秒时，8224PC =-⨯=，8AC =，在Rt APC ∆中，根据勾股定理得：AP =即当2t =秒时，AP 的长为（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC BC ==，根据勾股定理得：AB == 如图1，分三种情况：①PA PB =时，由勾股定理得：222PA PC AC =+， 即222(2)(82)8t t =-+， 解得：4t =； ②BP BA =时，则2t =解得：t = ③AP AB =时， 则216BP BC ==， 即216t =， 解得：8t =；综上所述，当ABP ∆为等腰三角形时，t 的值为4秒或8秒； （3）①如图2，点P 在线段BC 上时，连接PD ，DE AP ⊥，90AED PED ∴∠=∠=︒， 90PED PCD ∴∠=∠=︒，在Rt PDE ∆和Rt PDC ∆中， PD PDDE DC=⎧⎨=⎩， Rt PDE Rt PDC(HL)∴∆≅∆， 82PE PC t ∴==-， 835AD AC CD =-=-=，4AE ∴=，482122AP AE PE t t ∴=+=+-=-，在Rt APC ∆中，由勾股定理得：2228(82)(122)t t +-=-， 解得：1t =；②如图3，点P 在线段BC 的延长线上时，同①得：Rt PDE Rt PDC(HL)∆≅∆，3ED CD ∴==，28PE PC t ==-，835AD AC CD ∴=-=-=，4AE ∴=，42824AP AE PE t t ∴=+=+-=-，在Rt APC ∆中，由勾股定理得：2228(28)(24)t t +-=-，解得：7t =；综上所述，在点P 的运动过程中，当t 的值为1秒或7秒时，能使DE CD =．27．（1）解：一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是底边上的中线， 故答案为：②；（2）证明：如图1，延长BA ，CD 交于点H ，连接HP ，45B C ∠=∠=︒，90BHC ∴∠=︒，BH CH =， P 为BC 的中点，BP PC HP ∴==，45B PHC C ∠=∠=∠=︒，90BPH ∠=︒，BPH APD ∴∠=∠，BPA HPD ∴∠=∠，()BPA HPD ASA ∴∆≅∆，AP PD ∴=，点Q 是AD 的中点，AQ DQ ∴=，AQ AP PD DQ ∴+=+，PQ ∴是APD ∆的“周长平分线”； （3）①如图2，连接QM 并延长交BC 于点E ，连接QN 并延长交BC 于点F ，则点E ，点F 为所求，②如图2，过点A 作AH BC ⊥于H ，过点D 作DG BC ⊥于G ，连接AE ，DF ，45B C ∠=∠=︒，45BAH B ∴∠=∠=︒，45C CDG ∠=∠=︒， AH BH ∴=，DG CG =，2AB =CD =1AH BH ∴==，2DG CG ==， 90APD ∠=︒，90APH DPG APH PAH ∴∠+∠=︒=∠+∠， PAH DPG ∴∠=∠，又AP DP =，90AHP DGP ∠=∠=︒， ()APH PDG AAS ∴∆≅∆，1AH PG ∴==，2PH DG ==，AP PQ =，90APD ∠=︒，点Q 是AD 的中点， AQ PQ QD ∴==，PQ AD ⊥， 点M ，点N 分别是AP ，DP 的中点， QE ∴是AP 的中垂线，QF 是DP 的中垂线， AE PE ∴=，DF PF =， 222AE AH HE =+， 221(2)PE PE ∴=+-， 54PE ∴=， 同理可求52PF =，154EF PE PF ∴=+=．。

2021-2022学年江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：1. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 下列各式中，正确的是( )3=−3 D.√(−2)2=−2A.±√9=±3B.(−√3)2=9C.√−93. 一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长为（）A.9cmB.12cmC.7cmD.9cm或12cm4. 下列各组数是勾股数的是（）A.4，5，6B.6，8，10C.32，42，52D.7，12，135. 如图，在下列条件中，不能证明△ABD≅△ACD的条件是( )A.∠B=∠C，BD=DCB.∠ADB=∠ADC，BD=DCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.BD=DC，AB=AC6. 三角形中，到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点7. 如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为()A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm8. 如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A.4B.5C.8D.109. 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AH=8，则BC的长是( )A.21B.15C.6D.21或910. 如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝144，则S2的值是（）A.36B.48C.54D.64二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分）：的算术平方根是________，−27的立方根是________．已知等腰三角形的一个角为80∘，则顶角为________．若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其面积为________．如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠CAB，BC=7cm，BD=5cm，那么D点到线段AB的距离是________cm．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≅ACE，则只需添加一个适当的条件是________．（只填一个即可）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30∘角，那么这棵树折断之前的高度是________米．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点P是对角线BD上的一个动点，M是BC边上的点，CM＝2BM，N是CD边上的中点，则PM+PN的最小值是________．如图，长方形ABCD中，AB＝13，AD＝24，点P是边AD上一点，将△ABP沿BP折叠得到△A′BP，点A′恰好落在BC的垂直平分线l上（直线l也是AD的垂直平分线），线段AP的长为________．三、解答题（本大题共8小题，共72分）求下列各式中x的值（1）16x2−49=0；（2）2(x+1)3+16=0．（1）尺规作图：如图1，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上，①△ABC的面积为________．②在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：（1）△ABC≅△ADC；（2）BO＝DO．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE // AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数．（2）若CE＝1，求EF的长．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地∘送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索(OA或OB)的长度．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90∘，点D在AC上．（1）求证：△ABD≅△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．(1)求证：DC=BE；(2)若∠AEC=66∘，求∠BCE的度数．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD＝2:3:4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，t＝________秒时，△MDE是等腰三角形．参考答案与试题解析2021-2022学年江苏省无锡市某校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）：1.【答案】A【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．2.【答案】A【考点】立方根的实际应用算术平方根【解析】根据算术平方根及立方根的定义进行解答即可．【解答】解：A，±√9=±3，故选项正确；B，(−√3)2=3，故选项错误；3≠−3，故选项错误；C，√−9D，√(−2)2=2，故选项错误．故选A．3.【答案】B【考点】三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】勾股数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】A【考点】全等三角形的判定【解析】根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【解答】解：A、∠B=∠C，BD=CD，再加公共边AD=AD不能判定△ABD≅△ACD，故此选项符合题意；B、∠ADB=∠ADC，BD=DC再加公共边AD=AD可利用SAS定理进行判定，故此选项不合题意；C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD再加公共边AD=AD可利用AAS定理进行判定，故此选项不合题意；D、BD=DC，AB=AC，再加公共边AD=AD可利用SSS定理进行判定，故此选项不合题意；故选A．6.【答案】D【考点】角平分线的性质【解析】题目要求到三边的距离相等，观察四个选项看哪一个能够满足此要求，利用角的平分线的性质判断即可选项D是可选的．【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知：三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．故选D．7.【答案】C【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．【解答】解：根据折叠可得：AD=BD，∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，∴AD+DC=17−5=12cm，∵AD=BD，∴BD+CD=12cm．故选C．8.【答案】由于圆柱体的底面周长为12，则BC＝12×【考点】平面展开-最短路径问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】D【考点】勾股定理【解析】高线AH可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt△ABH中，∵AB=17，AH=8，∴BH=√172−82=15.在Rt△ACH中，∵AC=10，AH=8，∴CH=√102−82=6，∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC=BH+CH=15+6=21；当AH在三角形的外部时，如图2，BC=BH−CH=15−6=9．∴BC的长是21或9．故选D.10.【答案】B正方形的性质全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分）：【答案】,−3【考点】算术平方根立方根的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】80∘或20∘【考点】等腰三角形的判定与性质三角形内角和定理【解析】等腰三角形一内角为80∘，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：(1)当80∘角为顶角时，其顶角为80∘(2)当80∘为底角时，得顶角=180∘−2×80∘=20∘；故填80∘或20∘．【答案】12【考点】等腰三角形的性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2【考点】角平分线的性质求D点到线段AB的距离，由于D在∠BAC的平分线上，只要求出D到AC的距离CD即可，由已知可用BC减去BD可得答案．【解答】解：CD=BC−BD，=7−5，=2(cm)，∵∠C=90∘，∴D到AC的距离为CD=2cm，∴D点到线段AB的距离为2cm．故答案为：2．【答案】BD=CE【考点】全等三角形的判定【解析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BD=CE，根据SAS推出即可；也可以∠BAD=∠CAE等．【解答】解：BD=CE，理由是：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，{AB=AC ∠B=∠C BD=CE，∴△ABD≅△ACE(SAS)，故答案为：BD=CE．【答案】6【考点】勾股定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】正方形的性质勾股定理轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】或【考点】矩形的性质翻折变换（折叠问题）线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共8小题，共72分）【答案】，解：（1）x2=4916所以x=±7；4(2)(x+1)3=−8，x+1=−2，所以x=−3．【考点】立方根的实际应用平方根【解析】，然后根据平方根的定义求解；（1）先变形得到x2=4916（2）先变形得到(x+1)3=−8，再根据立方根的定义得到x+1=−2，然后解一次方程即可．【解答】，解：（1）x2=4916所以x=±7；4(2)(x+1)3=−8，x+1=−2，所以x=−3．【答案】4；②如图，△A1B1C1即为所求．【考点】作图-轴对称变换角平分线的性质线段垂直平分线的性质【解析】（1）分别作出AD的垂直平分线及∠ABC的平分线，两条直线的交点即为P点的位置；（2）①利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积可得出结论；②作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可．【解答】解：（1）如图1，点P即为所求点；（2）①S△ABC=3×3−12×2×2−12×3×1−12×3×1=9−2−32−32=4；【答案】在△ABC和△ADC中，{∠1=∠2 AC=AC ∠3=∠4，∴△ABC≅△ADC；∵△ABC≅△ADC，∴AB＝AD，在△ABO和△ADO中，{AB=AD ∠1=∠2 AO=AO，∴△ABO≅△ADO，∴BO＝DO．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】（1）根据ASA定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到AB＝AD，证明△ABO≅△ADO，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】在△ABC和△ADC中，{∠1=∠2 AC=AC ∠3=∠4，∴△ABC≅△ADC；∵△ABC≅△ADC，∴AB＝AD，在△ABO和△ADO中，{AB=AD ∠1=∠2 AO=AO，∴△ABO≅△ADO，∴BO＝DO．【答案】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60∘，∵DE // AB，∴∠EDC＝∠B＝60∘，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90∘，∴∠F＝90∘−∠EDC＝30∘；∵∠ECD＝∠EDC＝60∘，∴∠DCE＝60∘∴△CDE是等边三角形，∴CD＝CE＝DE＝1，∵∠F＝30∘，∴∠CEF＝∠ECD−∠F＝30∘，∴CE＝CF＝1，∴DF＝4；∴在Rt△DEF中，EF＝＝＝．【考点】等边三角形的性质与判定含30度角的直角三角形平行线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC−AC＝5−1＝4（尺），OE＝OA−AE＝(x−4)尺，在Rt△OEB中，OE＝(x−4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝(x−4)2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度额14.5尺．【考点】勾股定理的应用【解析】设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC−AC＝5−1＝4（尺），OE＝OA−AE＝(x−4)尺，在Rt△OEB中，OE＝(x−4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝(x−4)2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度额14.5尺．【答案】∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90∘，同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90∘，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD与△CBE中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≅△CBE(SAS)．∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BD＝，∵△ABD≅△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45∘，AD＝CE，∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90∘，∴DE4＝DC2+CE2＝AD2+CD2，∴AD2+CD4＝2．【考点】等腰直角三角形勾股定理全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】解：(1)∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，AB，∴DE=BE=12∴DC=BE；(2)∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66∘，∴∠BCE=22∘．【考点】直角三角形斜边上的中线线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质三角形的外角性质【解析】（1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的AB，即可得到DC=BE；中线等于斜边的一半得到DE=BE=12（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．【解答】解：(1)∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，AB，∴DE=BE=12∴DC=BE；(2)∵DE=DC，∴∠DEC=∠BCE，∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE，∴∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66∘，∴∠BCE=22∘．【答案】设BD＝2x，AD＝3x，则AB＝7x，在Rt△ACD中，AC＝，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；9或10或【考点】三角形综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

无锡市天一实验学校2021年春学期初二年级数学期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）A B C D2.今年我市有近5万名考生参加期中考试，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（） A.这1000名考生是总体的一个样本 B.近5万名考生是总体 C.每位考生的数学成绩是个体D.1000名学生是样本容量3.下列说法中，正确的是（）A.某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖B.“打开电视，正在播放最强大脑节目”是必然事件C.神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查D.了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查 4.下列二次根式是最简二次根式的是（） A.31B.15C. 51D.18 5.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直6. 已知关于x 的方程xmx x -=--323的解是正数，那么m 的取值范围为（） A. 6->m 且3≠m B.6<m C. 6->m 且3-≠m D.6<m 且2-≠m 7.如图，函数xky =与)0(1≠+-=k kx y 在同一平面直角坐标系中的大致图像是（）A B C D8.如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，动点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动，移动到点B 停止，延长PO 交CD 于点Q ，则四边形APCQ 形状的变化依次为（）A.平行四边形—正方形—平行四边形—矩形B.平行四边形—菱形—平行四边形—矩形C.平行四边形—正方形—菱形—矩形D.平行四边形—菱形—正方形—矩形9.如图，点A 是第一象限内双曲线)0(>=m x m y 上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线)0(<=n xny 于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线)0(<=n x n y 于点C ，连接BC.若△ABC 的面积为29，则m ，n 的值不可能是（）A.910,91-==n mB. 45,41-==n m C.2,1-==n m D.2,4-==n m10.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=10，点E 在AD 上且DE=2.点G 在AE 上且GE=4，点P 为BC 边上的一个动点，F 为EP 的中点，则GF+EF 的最小值为（） A.210+ B.310+ C.4 D.5二、填空题（每小题2分，共16分，将答案填写在答题卡相应的横线上.） 11.当x=时，分式xx 1+的值为0. 12.使13+x 在实数范围有意义，则x 的取值范围是. 13.给出下列3个分式：abcb a ab 3,1,22，它们的最简公分母为. 14.在一个不透明的盒子里装有a 个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球个.15.在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，若AB=4，AC=6，则BD 的长是.16.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将□平行四边形ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到□111D BC A ，当11D C 首次经过顶点C 时，旋转角∠1ABA =°.17.反比例函数xy 2=与一次函数3+=x y 的图像的一个交点坐标是（a ，b ），则=-22ab b a .18.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 在第一象限内，边BC 与x 轴平行，A ，B 两点的纵坐标分别为4，1，反比例函数xky =的图像经过A ，B 两点，菱形ABCD 的面积为29，则k 的值为.三、解答题（本大题共84分） 19.计算：（每小题4分，共16分） （1）10101540+-（2）)52)(103(-+（3）xx x 1)111(2-⋅-+ （4）解方程：12030+=x x20，（6分）先化简再求值：11131332+-+÷--x x x x x 其中2-=x .21.（6分）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上的一个动点（不与点A 重合），延长ME 交CD 的延长线于点N ，连接MD ，AN.（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形.（2）当AM 为何值时，四边形AMDN 是矩形？请说明理由.22.（6分）某校为迎接体育中考，了解学生的体育情况，学校随机调查了本校九年级50名学生"30秒跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下：根据以上图表信息，解答下列问题： （1）表中的=a ，=m ；（2）请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）（3）若该校九年级共有600名学生，请你估计“30秒跳绳”的次数60次以上（含60次）的学生有多少人？23.（7分）如图，将矩形ABCD 绕点C 旋转得到矩形FECG ，点E 在AD 上，延长ED 交FG 于点H. （1）求证：△AED ≌△HFE （2）连接BE ，CH.①四边形BEHC 是怎样的特殊四边形？证明你的结论； ②若BC 长为2，则AB 的长为时，四边形BEHC 为菱形.24.（8分）在“新冠”期间，某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种3M口罩，购买A型3M口罩花费了2500元，购买B型3M口罩花费了2000元，且购买A型3M口罩数量是购买B型3M口罩数量的2倍，已知购买一个B型3M口罩比购买一个A型3M口罩多花3元，则该物业购买A，B两种3M口罩的单价为多少元？25.（6分）已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）.（1）如图①，B，C分别在射线AM.AN上，求作□ABDC；（2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM，AN上，且点0是PQ的中点.26，（10分）探索：（1）如果13123++=+-x mx x ，则m =. （2）如果25235++=+-x mx x ，m =. 总结：如果cx ma c xb ax ++=++（其中a 、b 、c 为常数），则m =. 应用：利用上述结论解决：若代数式134--x x 的值为整数，求满足条件的整数x 的值.27.（8分）已知双曲线xky =的图象过点（1，2）. （1）求k 的值，并求当3>x 时y 的取值范围； （2）如图1，过原点O 作两条直线与双曲线xky =的图象交于A 、C 与B 、D.我们把点（x ，y ）的横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，若A 、B 、C 、D 都是整点，试说明四边形ABCD 是矩形；（3）如图2，以过原点O 的线段BD 为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A 、B 、D 都在双曲线xky =上，若点A 的横坐标为a ，点B 的点横坐标为b ，问：ab 是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由28.（11分）如图在平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 两点分别在y 轴、x 轴的正半轴上，△AOB 的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P ，P 在反比例函数xy 4=的图象上. （1）求点P 的坐标； （2）若OA =OA ，则： ①∠P 的度数为.②求出此时直线AB 的函数关系式；.（3）如果直线AB 的关系式为n kx y +=，且20<<n ，作反比例函数xny -=，过点（0，1）作x 轴的平行线与x y 4=的图象交于点M ，与xny -=的图象交于点N ，过点N 作y 轴的平行线与n kx y +=的图象交于点Q ，是否存在k 的值，使得MN +ON 的和始终是一个定值d ，若存在，求出k 的值及定值d ；若不存在，请说明理由.。

2021年江苏省无锡市新区八年级上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用长度分别为7cm、24cm和25cm的三根小木棒构成的三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2．下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（）A．斜边相等B．面积相等C．两对锐角对应相等D．两对直角边对应相等3．下图是用纸折叠成的生活图案，其中不是轴对称图形的是（）A．信封B．飞机C．裤子D．衬衣4．如图，在△ABC中，AB=AC，AE=BE，∠BAE=40°，且AE=AF，则∠FEC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°5．如图，在△ABC中，∠B=90°，AP是∠BAC的平分线，PQ⊥AC，垂足为Q．下列4个结论：①AB=AQ；②∠APB=∠APQ；③PQ=PB；④∠CPQ=∠APQ．其中正确．．的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是（）A ．EF=BE+CFB ．EF ＞BE+CFC ．EF ＜BE+CFD ．不能确定 7．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5，BC=10，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为EF ，则CE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，直线是一条河，A 、B 两地相距10，A 、B 两地到的距离分别为8、14，欲在上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．若直角三角形斜边长为6cm ，则斜边上的中线长为 cm ．10．一直角三角形的两条直角边长分别为5、12，则斜边长是 ，斜边上的高是 ． 11．如图，已知,AC FE A F =∠=∠，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，要使ABC FDE ≅，还需添加一个条件，这个条件可以是________12．等腰三角形的两边长分别是4cm 和6cm ，则它的周长是_________．13．如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O=72°，∠C=20°，则∠AEB= °．14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB 交AC 于E ，BC ＝10cm ，△BCE 的周长是24cm ，且∠A ＝40°，则∠EBC= ；AB= ．15．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP ＝14BC ．如 果用一根细线从点A 开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P ，那么所用细线最短需要_____cm ．16．如图所示，把一张长方形纸片沿EF 折叠后，点D C ，分别落在点D C ''，的位置．若65EFB ︒∠=，则AED '∠等于________．17．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤．当∠EPF在△ABC 内绕顶点P旋转时（点E不与点A、B重合），上述结论中始终正确的序号有．18．如图，已知三角形木块ABC，∠A=30°，∠B=90°，AC=10cm，一只蚂蚁在AC、AB 间往返爬行.当蚂蚁从木块AC边的中点O出发，爬行到AB边上任意一点P后,又爬回到AC边上的任意一点Q后,再爬行到点B，在这一过程中这只蚂蚁爬行的最短距离．．．．为_________三、解答题19．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数和EC的长．20．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A．B 的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置.21．（本题6分）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6， AM平分∠BAC, D为AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE=12BC ．（1）求ME 的长;（2）求证：DB=DE M E DC B A22．（本题6分）如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，∠A=90°，求BD 的长和四边形ABCD 的面积．D CBA23．如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ．（1）上述三个条件中，哪两个条件 可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形．24．（本题5分）如图，有一块长为6.5单位长度，宽为2单位长度的长方形纸片，请把它分成6块，再拼成一个正方形，先在图中画出分割线，再画出拼后的图形，并标出相应的数据．25．（本题8分）（1）如图1，Rt △ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,直线AE•是经过点A•的任一直线，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，若BD>CE ，试问：BD=DE+CE 成立吗？请说明理由．（2）如图2，等腰△ABC 中，AB=AC ，若顶点A 在直线m 上，点D 、E 也在直线m 上，如果∠BAC=∠ADB=∠AEC=1100，那么（1）中结论还成立吗？如果不成立，BD 、DE 、CE 三条线段之间有怎样的关系？并说明理由．（8分）26．（本题9分）如图，点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上，且BM=CN ，AM ，BN 交于点Q ．图3图2图1A B C Q M N A B C QMNNM Q D C B A （1）求证：∠BQM=600．（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ ③若将题中的条件“点M ，N 分别在正三角形ABC 的BC ，CA 边上”改为“点M ，N 分别在正方形ABCD 的BC ，CD 边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？请你对上面三个问题作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．E DCB A参考答案1．B【解析】试题分析：因为22272425+=，所以用长度分别为7cm 、24cm 和25cm 的三根小木棒构成的三角形是直角三角形.考点：勾股定理的逆定理.2．D【解析】试题分析：当两直角边对应相等可以根据SAS 来进行判定三角形全等，或者也可以根据一条直角边和一条斜边对应相等，根据HL 进行判定.考点：直角三角形的全等3．D【解析】试题分析：根据轴对称图形的定义可知：折成的信封、飞机、裤子都是轴对称图形，衬衣不是轴对称图形.考点：轴对称图形.4．C【解析】试题分析：因为AB=AC ，AE=BE ，∠BAE=40°，所以∠B=∠C=∠BAE=40°,所以∠FAE=180°-40°-40°-40°=60°,又因为AE=AF ，所以∠FEA=∠AFE=60°,所以∠FEC=∠AFE-∠C=60°-40°=20°.考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形的内角和；3.三角形的外角的性质.5．C【解析】试题分析：因为∠B=90°，AP 是∠BAC 的平分线，PQ ⊥AC ，所以PQ=PB ，又因为AP=AP ，由HL 可判定Rt △ABP ≌ Rt △AQP,所以AB=AQ ，∠APB=∠APQ ，所以①AB=AQ ；②∠APB=∠APQ ；③PQ=PB ；正确，故选：C.考点：1.角平分线的性质；2.直角三角形全等的判定.6．A【解析】试题分析：//,,EF BC EDB DBC ∴∠=∠BD 平分,ABC ∠,EBD DBC ∴∠=∠.EBD EDB ∴∠=∠,ED BE ∴=同理可得,FD CF =.EF ED DF BE CF ∴=+=+故选A ．考点：1、等腰三角形的性质与判定；2、平行线的性质．7．A【解析】试题分析：设,CE xcm =则由题意得， 10,AE BE x ==- ACE 为直角三角形， 222.AE AC CE ∴=+即()222510,x x +=-解得15.4x =故选A ． 考点：翻折变换．8．C【解析】 试题分析：A ．AM=8,BM ＞14,所以AM+BM ＞ 22； B ．AM ＞8,BM ＞14,所以AM+BM ＞22； C ．点A 到BM 的距离为，BM=14，所以铺设的管道长度=8+14=22；D ．AM ＞8,BM ＞14，所以AM+BM ＞22，故选C.考点：1.轴对称；2.勾股定理.9．3【解析】试题分析：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上的中线长为3 cm. 考点：直角三角形的性质.10．13，【解析】试题分析：斜边长=，12×5×12=12×13ℎ，所以ℎ=6013. 考点：勾股定理.11．AB=FD （答案不唯一）．【分析】要判定△ABC ≌△FDE ，已知AC=FE ，∠A=∠，具备了一边一角对应相等，故添加AB=FD ，利用SAS 可证全等．（也可添加其它条件）．【详解】增加一个条件：AB=FD ，显然能看出，在△ABC 和△FDE 中，利用SAS 可证三角形全等．（答案不唯一）． 故答案为：AB=FD （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．12．16或14【解析】试题分析：当4是底时，三边为4，6，6，能构成三角形，周长为4+6+6=16；当6是底时，三边为4，4，6，能构成三角形，周长为4+4+6=14．故周长为16或14．故答案为16或14． 考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系．13．112【解析】试题分析：：∵△OAD ≌△OBC ，∴∠C=∠D=20°，在△AOD 中，∠CAE=∠D+∠O=20°+72°=92°，在△ACE 中，∠AEB=∠C+∠CAE=20°+92°=112°．故答案为：112．考点：全等三角形的性质．14．︒30，14cm【解析】试题分析：：∵DE 垂直平分AB ，∴AE=BE ，∴∠ABE=∠A=40°，∵△BCE 的周长是2cm ，∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=24cm ，∵BC=10cm ，AB=AC ，∴AB=AC=14cm ，∴∠ABC=∠C=180702A ︒-∠=︒，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°．故答案为：︒30，14cm ． 考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质．15．5【解析】将长方体展开，连接A. P ，∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm,高为4cm,点P 在边BC上,且BP=14BC ，∴AC=4cm,PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短故答案为5cm.16．50°【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF的度数，根据平角的定义即可得出结论．【详解】∵AD∥BC,∠EFB=65°，∴∠DEF=65°，又∵∠DEF=∠D′EF，∴∠D′EF=65°，∴∠AED′=50°.【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）和平行线的性质，解题的关键是掌握翻折变换（折叠问题）和平行线的性质.17．①②③⑤【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正确，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF 全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定④错误，根据全等三角形的面积相等可得△APE 的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定⑤正确．试题解析：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=12∠BAC=45°，AP=12BC=CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF ．正确；②由①知，△AEP ≌△CFP ，∴∠APE=∠CPF ．正确；③由①知，△AEP ≌△CFP ，∴PE=PF ．又∵∠EPF=90°，∴△EPF 是等腰直角三角形．正确；④只有当F 在AC 中点时EF=AP ，故不能得出EF=AP ，错误；⑤∵△AEP ≌△CFP ，同理可证△APF ≌△BPE ．∴S 四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =12S △ABC ．正确． 故正确的序号有①②③⑤考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的性质； 3.等腰三角形的性质．18．10cm【解析】试题分析：作点O 关于AB 的对称点1O ，作点B 关于AC 的对称点1B ,连接11O B ,可以证明点O, 11,O B 在一条直线上，所以在这一过程中这只蚂蚁爬行的最短距离为11O B ，因为∠A=30°，∠B=90°，AC=10cm ，AC 边的中点为O ，所以OB=O 1B =O 1O =5,所以11O B =5+5=10cm.考点：1.轴对称；2.直角三角形的性质.19．∠ACB=100°；EC=2．【解析】试题分析：根据三角形的内角和等于180°求出∠ACB 的度数，然后根据全等三角形对应角相等即可求出∠DFE ，全等三角形对应边相等可得EF=BC ，然后推出EC=BF ．试题解析：：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-50°=100°，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC ，∴EF-CF=BC-CF ，即EC=BF ，∵BF=2，∴EC=2．考点：全等三角形的性质．20．答案见解析.【分析】利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可．【详解】解：如图所示：C 1，C 2即为所求．【点睛】此题主要考查了尺规作图，熟练应用角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．21．(1)ME=6得2分；(2)证明得4分,过程略【解析】试题分析：（1）在△ABC 中，根据三线合一可知BM=CM=12BC,又 CE=12BC ．所以ME=BC=6;（2）证明△BMD ≌△ECD 可得：DB=DE.试题解析：（1）因为△ABC 中，AB=AC=5，BC=6， AM 平分∠BAC,所以AM BC ⊥,132BM CM BC ===,又因为CE=12BC ．所以ME=BC=6；（2）在Rt △AMC 中，D 为AC 的中点，所以AD=DM=CD,所以∠DMC=∠DCM,所以∠DMB=∠DCE,所以在△BMD 和△ECD 中，BM=EC, ∠DMB=∠DCE,DM=DC,所以△BMD ≌△ECD （SAS ）,所以DB=DE.考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的性质；2.直角三角形的性质.22．BD=5得2分，求出36cm 2得6分【解析】试题分析：（1）连接BD 根据勾股定理求出BD 的长度即可；（2）再根据勾股定理逆定理计算出∠BDC =90°，然后根据四边形ABCD 的面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积，列式进行计算即可得解．试题解析：：（1）∵∠ABC=90°，AB=3，AD=4，∴BD=2222345AB AD +=+= ，（2）∵DC=12，BC=13，∴222222512169,13169,BD CD BC +=+=== ∴222BD CD BC +=,∴△BCD 是∠BDC =90°的直角三角形，四边形ABCD 的面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积=12AB•AD+12BD •CD=6+30=36． 考点：1.勾股定理；2.勾股定理的逆定理．23．(1) ①③或②③；（2）证明见解析.【分析】(1)①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC 是等腰三角形；(2)选①③为条件证明△ABC 是等腰三角形，首先证明△EBO ≌△DCO ，可得BO=CO ，根据等边对等角可得∠OBC=∠OCB ，进而得到∠ABC=∠ACB ，根据等角对等边可得AB=AC ，即可得到△ABC 是等腰三角形【详解】解：(1)①③；②③；①④；②④都可以组合证明△ABC 是等腰三角形；(2)选①③为条件证明△ABC 是等腰三角形；证明：∵在△EBO 和△DCO 中，∵∠EOB=∠DOC,∠EBO=∠DCO,EB=CD,∴△EBO ≌△DCO （AAS ），∴BO=CO ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB ，即∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定．24．分割线并标出数据正确3分，正方形画对得2分【解析】试题分析：利用宽为2cm ，长为6.5cm 的矩形纸片面积为13 2cm ，那么组成的大正方形的边长为13cm ，而直角边长为3cm ，2cm 的直角三角形的斜边长为13cm.试题解析：如图所示：考点：1.图形的剪拼；2.勾股定理.．25．见解析【解析】试题分析：（1）猜对BD=CE+DE,然后根据BD⊥直线AE，CE⊥直线AE,得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是BD=CE+DE；（2）不成立，利用∠BDA=∠BAC=1100，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-1100=700，得出∠CAE=∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案：不成立．试题解析：：（1）∵BD⊥直线AE，CE⊥直线AE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD=CE+DE；（2）不成立，DE=BD+CE:证明：∵∠BDA=∠BAC=1100，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-1100=700，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠CEA，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE．考点：全等三角形的判定与性质．26．(1)证明正确得3分；(2)①是，②是，③否，每个1分，共3分②或③证明正确一个得3分.【解析】试题分析：（1）由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三个角相等，三条边相等，利用SAS得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用外角性质及等量代换即可得证；（2）①是真命题，条件与结论交换后，利用ASA得到三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；②是真命题，利用外角的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACM与三角形ABN全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用等式的性质变形即可得证；③否真命题，利用HL得到直角三角形ABM与三角形BCN全等，利用全等三角形对应角相等得到∠AMB=∠BNC，根据直角三角形BNC中两锐角互余，利用等量代换及垂直的定义判断得到∠BQM=90°．试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在△ABM 和△BCN中， BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；（2）①是；②是；③否；若选择①，已知：∠BQM=60°，求证：BM=CN，证明：∵∠ABM=∠ABQ+∠CBQ =60°，∠BQM=∠ABQ+∠BAQ=60°，∴∠BAQ=∠CBQ,在△ABM和△BCN中，∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠C=60°，∴△ABM≌△BCN（ASA），∴BM=CN；若选择②，证明：如图，在△ACM和△BAN中，CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，∴∠BQM=60°；若选择③，证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN 中， BM=CN， AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），∴∠AMB=∠BNC，又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，则∠BQM=90°．故答案为：①是；②是；③否．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．。

无锡市天一实验学校2020~2021学年度第一学期初二年级数学学科期中试卷(满分:120分，考试时:120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每题3分，共30分)1.下列大学的校图案是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列各式中正确的是()=-3=±94=-11=23.下列各组数不能构成直角三角形的是()A.3,4,5B.6,8,10C.32,42,52D.5,12,134.x的取值范围是()A.x＞2B.x≤2C.x≥2D.x≠25.已知点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则A点坐标为()A.(－4,2)B.(4,－2)C.(－2,4)D.(2,－4)6.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为()A.2B.3C.3.5D.4（第6题）（第7题）7.如图，要判定△ABD≌△ACD，已知AB＝AC，若再增加下列条件中的某一个，仍不能说明全等，则这个条件是()A.CD⊥AD，BD⊥ADB.CD=BDC.∠1＝∠2D.∠CAD＝∠BAD8.已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是()A. B. C. D.9.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为()A. B.11cm C.13cm D.17cm（第9题）（第10题）（第15题）10.如图，∠MON ＝90°，已知△ABC 中，AC ＝BC ＝13，AB ＝10.△ABC 的顶点A ，B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，△ABC 的形状始终保排不变，在运动的过程中，点C 到点O 的小距离为()A.5B.7C.12二、填空题(共8小题，每空2分，共16分)11.9的平方根是.12.把80800精确到千位约等于.13.坐标系中，点M(a ，b)与点N(3，－1)关于x 轴对称，则ab 的值是.14.()210y -=，则xy ＝.15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2AC ，点A 与数轴上表示1的点重合，点C 与数轴上表示2的点重合，以A 为圆心，AB 长为半径画圆弧，与数轴交于点D 则点D 所表示的数是.16.如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB ＝6，BC ＝8，若S △ABC ＝21，则DE ＝.17.在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°AB ＝3，BC ＝4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上，则线段CP 长的取值范围是.（第16题）（第17题）（第18题）18.如图，平面直角坐标系中，点P(2，6)，B(4，0)，以PB 为边在第一象限内作等腰直角三角形△PBC ，则点C 的坐标为.三.解答题(共8小题，共74分)19.计算(每小题4分，共8分)10120152-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；1+-20.求下列各式中x 的值(每小题3分，共6分)(1)2490x -=(2)()3218x +=-21.(本题满分7分)在如图所示的正方形网格中・每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上.(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A 坐标为(1，3)点B 坐标为(2，1);(2)请作出△ABC 关于y 轴对称的△A’B’C;(3)判断△ABC 的形状，并说明理由.22.(本题满分5分)如图AB ＝DC ，AC ＝DB.求证:∠1＝∠2.23.(本题满分5分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，D 、E 分别为BC 、AB 的中点.(1)求DE 的长；(2)求证:DE ∥AC.24.(本题满分7分)(1)请在图1中画出一个以AB为的等腰锐角△ABC，要求点C在格点上.(2)请在图2中画出一个以AB为腰的等腰直角△ABC，要求点C在格点上.(3)如图OD和EF是两条互相垂直的道路，A、B是某公司的两个销售点，要在C处修建一个货运站，使C到两条道路的距离相等，且到A.B两个销售点的距离相等.请作出点C的位置.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）25.(本题满分7分)如图1，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点，且△GBC为等边三角形.(1)求证:直线AG垂直平分BC；(2)以AB为一边作等边△ABE(如图2)连接EG、BC，试判断△EGC是否构成直角三角形?请说明理由.26.(本题满分8分)如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯顶端距高地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂距离记作NB.(1)当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝米.(2)当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；(3)当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MDA＝75°，∠NPB＝45°.①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB.27.(本题满分9分)在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直折叠，使点D落在点F处.(1)如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°.(2)如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长.(3)如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝6,AD＝10.求CG的长.28.(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.△ABC的边BC在x轴n-+=,上，A、C两点的坐标分别为A(0，m)、C(n，0)，B(－5，0)且()230点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒.(1)求A、C两点的坐标;(2)连接PA，当P不与O重合时，用含t的代数式表示△POA的面积S;(3)当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形?若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值;若不存在，请说明理由.。

【校级联考】江苏省无锡市锡东片2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．在下列各数中，是无理数的是( )A B ．227 C D ．3.14 3．下列各组数中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A ．1B ．2, 3, 4C ．5，6，7D ．7，8，9 4．下列说法正确的是( )A ．144的平方根等于12B ．25的算术平方根等于5C 的平方根等于±4D ±35．若实数m 、n 满足等式|m ﹣，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是( )A ．6B ．8C ．8或10D ．106．如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠∠=，添加以下条件之一，仍不能证明ABC ≌DEF 的是( )A ．E ABC ∠∠=B ．AB DE =C ．AB//DED ．DF//AC7．如用，AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线，DE AB ⊥于点E ，24ABC S =，4DE =，5AB =，则AC 的长是( )A．4B．5C．6D．78．如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D，给出下列结论：①AF=AC；②DF=CF；③∠AFC=∠C；④∠BFD=∠CAF，其中正确的结论个数有．( )A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点D是BC的中点，P是射线AD上的一个动点，则当∠BPC=90°时，AP的长为( )A B1-C1D1或110．如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二、填空题11．49的平方根是____ ； ________ 的立方根是-4．12．在等腰三角形ABC中，∠A=110°，则∠B=_______.13．近似数5.20×104精确到____位．14．如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=28°，则∠CDB的大小为__°．15．如图，已知∠ADC=90°，AD=8m，CD=6m,BC=24m，AB=26m，则图中阴影部分的面积为_________;16．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，CE⊥AB于E，AC=8，BC=6，则DE=_______．18．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）．三、解答题19．计算2(②| +﹣1）020．求下列各式中x 的值① （x+2）2=4； ② 3+（x ﹣1）3=﹣5．21．如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AB DE ∥，AB DE =，AF DC =．求证：BC EF ∥．22．在如图所示的网格中，线段AB 和直线a 如图所示，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在格点上．（1）在图中画出以线段AB 为一边的正方形 ABCD ，且点C 和点D 均在格点上， 并直接写出正方形 ABCD 的面积为 ；（2）在图中以线段AB 为一腰的等腰三角形ABE ，点E 在格点上，则满足条件的点E 有_____ 个；（3）在图中的直线a 上找一点Q ，使得△QAB 的周长最小.23．对于实数a ，我们规定：用符号的最大整数，称为a 的根整数，例如：3=，=3．(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．(2)若1=，写出满足题意的x 的整数值______． 如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次3=→=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．24．如图．在数学活动课中，小明剪了一张△ABC的纸片，其中∠A=60°，他将△ABC 折叠压平使点A落在点B处，折痕DE，D在AB上，E在AC上．（1）请作出折痕DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）判断△ABE的形状并说明；（3）若AE=5，△BCE的周长为12，求△ABC的周长．25．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t 秒．（1）求△ADE的周长；（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．26．如图，已知△ABC中，∠B=90 º，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．参考答案1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义即可得出答案.【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴.2．C【解析】【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的选项．【详解】故选：C．【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．3．A【解析】【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方．【详解】解：A、∵12+）2=）2，∴能构成直角三角形；B、22+32≠42，∴不能构成直角三角形；C、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形；D、∵72+82≠92，∴不能构成直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．4．B【解析】【分析】利用平方根、立方根定义判断即可．【详解】解：A、144的平方根是12和-12，不符合题意；B、25的算术平方根是5，符合题意；C=4，4的平方根是2和-2，不符合题意；D9的立方根，不符合题意，故选：B．【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．D【解析】【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【详解】解：∵，∴m-2=0，n-4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m 、n 的值，再根据m 或n 作为腰，分类求解．6．B【解析】【分析】由EB=CF ，可得出EF=BC ，又有∠A=∠D ，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF ，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA ，就不能证明△ABC ≌△DEF 了．【详解】A.添加E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故A 选项不符合题意．B.添加DE AB =与原条件满足SSA ，不能证明ABC ≌DEF ，故B 选项符合题意；C.添加AB//DE ，可得E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故C 选项不符合题意；D.添加DF//AC ，可得DFE ACB ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故D 选项不符合题意，故选B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．D【分析】作DF ⊥AC 于F ，如图，根据角平分线定理得到DE=DF=4，再利用三角形面积公式和S △ADB +S △ADC =S △ABC 得到12×5×4+12×AC×4=8，然后解一次方程即可．【详解】解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=4，∵S△ADB+S△ADC=S△ABC，∴12×5×4+12×AC×4=24，∴AC=7．故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．8．B【分析】先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．【详解】解：在△ABC与△AEF中，{AB AE B E BC EF=∠=∠=，∴△AEF≌△ABC，∴AF=AC，∴∠AFC=∠C；由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知：△ADE∽△FDB；∵∠EAF=∠BAC，∴∠EAD=∠CAF，由△ADE ∽△FD ，B 可得∠EAD=∠BFD ，∴∠BFD=∠CAF ．综上可知：②③④正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．9．D【解析】【分析】在Rt △AOC 中利用勾股定理即可求出AO 的长度，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OP 的长度，由线段间的关系即可得出AP 的长度．【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．∵∠ACB=90°，AC=BC=2，O 是BC 的中点，∴CO=BO=12BC=1， ∵∠BPC=90°，O 是BC 的中点，∴OP=12BC=1，∴或．故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线以及勾股定理，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求出OP 的长度是解题的关键．10．C【分析】连接AE,根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE,在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长.【详解】连接AE，∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，在△AFE和△ADE中，∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.在直角△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，解得x=2.则DE=2.【点睛】熟练掌握翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质是本题的解题关键.11．±7-64【解析】【分析】根据平方根和立方根的定义即可求解．【详解】解：∵（±7）²=49，∴49的平方根是±7；∵（-4）3=-64，∴-64的立方根是-4．故答案是：±7，-64．【点睛】本题主要考查了立方根的概念的运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．12．350【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质即可求出底角.【详解】∵在等腰三角形中，∠A=110°＞90°，∴∠A为顶角，∴∠B=180A=352-∠故答案为：35°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，要注意钝角只能是等腰三角形的顶角.13．百【解析】【分析】根据近似数的精确度求解．【详解】解：近似数5.20×104 =52000，精确到百位．故答案为:百．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．14．38【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=76°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=1 2∠ACB=38°．【详解】解：∵AB=AC，∠A=28°，∴∠ABC=∠ACB=76°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=12∠ACB=38°．故答案为：38．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．15．96m2．【解析】【分析】在Rt△ADC中，由勾股定理求得AC=10m，在利用勾股定理的逆定理判定△ACB为直角三角形，利用S阴影= 12AC×BC-12AD×CD即可求解.【详解】在Rt△ADC中，∵CD=6m，AD=8m，∴AC2 =AD2 +CD2 =82 +62 =100，∴AC=10m，（取正值）．在△ABC中，∵AC2 +BC2 =102 +242 =676，AB2 =262 =676．∴AC2 +BC2 =AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．∴S阴影= 12AC×BC-12AD×CD=12×10×24-12×8×6=96（m2）．故答案为：96m2．【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用及根据勾股定理判定直角三角形，证得△ABC是直角三角形是解题的关键．16．【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可．【详解】解：∵正方形的边长为1，∴，∴即A表示．故答案为：．【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．17．1.4【解析】在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10，∵CD是△ABC的中线，∴CD=1 2AB=5，∵S△ABC=12×6×8=12×10•CE，∴CE=4.8，∴在Rt△CDE中，DE=，故答案为1.4．18．20【解析】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．详解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，（cm）．故答案为20．点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．①8；②5-【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，立方根的定义化简，然后进行计算即可得解；（2）根据二次根式的性质，绝对值的性质，零次幂，再合并同类二次根式即可．【详解】(2=9+(-3)+2=8| +1）0【点睛】本题考查了实数的运算，主要利用了二次根式的性质，立方根，算术平方根的定义，绝对值的性质，是基础题．20．①x1=0， x2=-4；②x=-1【解析】【分析】①根据平方根的定义，即可解答；②根据立方根的定义，即可解答．【详解】解:①（x+2）2=4；x+2=±2x 1=0， x 2=-4.②3+（x ﹣1）3=﹣5(x-1)3= -8x-1=-2x=-1.【点睛】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．21．见解析.【分析】由全等三角形的性质SAS 判定△ABC ≌△DEF ，则对应角∠ACB=∠DFE ，故证得结论．【详解】∵AB DE ∥，∴A D ∠=∠．∵AF DC =，∴AC DF =．在ABC △与DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌DEF （SAS ）．∴ACB DFE ∠=∠．∴BC EF ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件.22．（1）画图见解析；10；（2）6；（3）见解析；【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；（2）以A为圆心,AB为半径画弧交于格点的点E有3个,同理以B为圆心,AB为半径画弧交于格点的点E有3个,故共6个;(3)作点A关于直线a的对称点,再连接对称点和点B交直线a于点Q.【详解】解:（1）画出正方形ABCD 如图：正方形ABCD面积为10（2）满足条件的点E有 6 个（3）作图见解析.【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．23．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【详解】解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,∴5＜6，∴]=[2]=2，，故答案为2，5；（2）∵12=1，22=4，且＝1，∴x=1，2，3，故答案为1，2，3；（3）第一次：，第二次：]=3，第三次：]=1，故答案为3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵]=15，，]=1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵，，]=2，]=1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为255．【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．24．（1）见解析；（2）△ABE是等边三角形；（3）17；【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求；（2）由线段垂直平分线的性质得出AE=BE，由∠A=60°，即可得出△ABE是等边三角形；（3）由三角形的周长和AE=BE得出BC+AC=13，由等边三角形的性质得出AB=AE=6，即可得出△ABC的周长．【详解】解：（1）根据题意得：作AB的垂直平分线DE，垂足为D，交AC于E，DE即为所求，如图1所示：（2）△ABE是等边三角形，理由如下：如图2所示：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵∠A=60°，∴△ABE是等边三角形；（3）∵△BCE的周长为12，∴BC+BE+CE=12，∵AE=BE，∴BC+AC=12，∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=5，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+12=17．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．25．（1）12；（2）t=6或t=23；（3）t=296；【解析】【分析】（1）在直角△ADE中，利用勾股定理进行解答；（2）先利用勾股定理表示出PE2，在Rt△PAE中，根据勾股定理建立方程求解即可得出结论；（3）利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA=∠EAP，则PE=PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．【详解】解:（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，∴CD=AB=9，∠D=90°，∴DE=9﹣6=3，∴；∴△ADE的周长为3+4+5=12（2）①若∠EPA=90°，t=6；②若∠PEA=90°，（6﹣t）2+42+52=（9﹣t）2，解得t=23．综上所述，当t=6或t=23时，△PAE为直角三角形；（3）假设存在．∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．∵CD∥AB，∴∠DEA=∠EAP，∴∠PEA=∠EAP，∴PE=PA，∴（6﹣t）2+42=（9﹣t）2，解得t=296．∴满足条件的t存在，此时t=296．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，用勾股定理建立方程是解本题的关键．26．（1）；（2）163；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时，则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时，则BC+CQ=24，易求得t；③当BC=BQ时，过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【详解】（1）当t=2时BQ=2×2=4 cm，BP=AB-AP=16-2×1=14 cm ，∠B=90°，∴cm(2)依题意得：BQ=2t ，BP=16-t2t =16-t 解得：t=16 3即出发163秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；(3) ①当CQ=BQ时(如下图)，则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°∴∠CBQ+∠ABQ=90°∠A+∠C=90°∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ∴CQ=AQ=10∴BC+CQ=22∴t=22÷2=11秒②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=24∴t=24÷2=12秒③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，则BE=1248==21605AB BCAC⋅⨯，∴365，故CQ=2CE=14.4,所以BC+CQ=26.4，∴t=26.4÷2=13.2秒由上可知，当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形【点睛】此题考查勾股定理，等腰三角形的判定，解题关键在于作辅助线.。

2020-2021学年江苏省某校八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）1．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）27的立方根是（）A．B．3 C．9 D．3．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝±2 B．＝3 C．＝﹣3 D．＝﹣34．（3分）下列说法正确的是（）A．是有理数B．5的平方根是C．2＜＜3D．数轴上不存在表示的点5．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BE＝CFC．∠ACB＝∠DFE＝90°D．∠B＝∠DEF7．（3分）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（）A．SAS B．SSS C．HL D．AAS8．（3分）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．20°或80°C．44°或80°D．140°9．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．②③④10．（3分）一个三角形中，已知一个角为30°，两条边长为4和6，符合条件且互不全等的三角形有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分）11．（4分）36的平方根是；若y＝+﹣3，则x+y＝．12．（2分）据统计：我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿精确到位．13．（2分）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添根木条．14．（2分）若最简二次根式与能合并，则x＝．15．（2分）若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是．16．（2分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．17．（2分）如图，等边△ABC中，AO⊥BC，且AO＝2，E是线段AO上的一个动点，连接BE，线段BF与线段BE关于直线BA对称，连接OF，在点E运动的过程中，当OF的长取得最小值时，AE的长为．18．（2分）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有个．三、解答题（本大题共有8小题，共52分）19．（6分）计算：（1）；（2）3×（﹣）．20．（6分）求下列各式中x的值．（1）9x2﹣121＝0；（2）24（x﹣1）3+3＝0．21．（4分）操作题：如图，图1是8×8的方格纸、图2是6×9的方格纸，其中每个小正方形的边长为1cm，每个小正方形的顶点称为格点．（1）请在图1的方格纸中，利用网格线和三角尺画图，在AC上找一点P，使得P到AB、BC的距离相等；（2）在图2的四边形ABCD内找一点P，使∠APB＝∠CPB，∠APD＝∠CPD．22．（4分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．（1）求m的值．（2）求|m﹣1|+m+6的值．23．（8分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数．24．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB ＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长．25．（8分）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C 出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝，BQ＝．（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分？（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC 的一个顶点构成等边三角形？26．（8分）【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC ＝3，BC＝2，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l 将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D 处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；【尝试】（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）1．（3分）下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．2．（3分）27的立方根是（）A．B．3 C．9 D．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．解：∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3．故选：B．3．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝±2 B．＝3 C．＝﹣3 D．＝﹣3【分析】根据一个正数的算术平方根和平方根的性质可判断A、B；根据可判断C；根据立方根的定义可判断D．解：，故A错误；＝±3，故B错误；＝|﹣3|＝3，故C错误；正确．故选：D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．是有理数B．5的平方根是C．2＜＜3D．数轴上不存在表示的点【分析】根据无理数的意义，开平方，被开方数越大算术平方根越大，实数与数轴的关系，可得答案．解：A、是无理数，故A错误；B、5的平方根是，故B错误；C 、＜，∴2＜3，故C正确；D、数轴上存在表示的点，故D错误；故选：C．5．（3分）下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．解：A.符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；B.＝|a|，可以化简；C.，可以化简；D.，可以化简；故选：A．6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BE＝CFC．∠ACB＝∠DFE＝90°D．∠B＝∠DEF【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案．解：∵AC＝DF，AB＝DE，∴添加∠A＝∠D，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故A正确；∴添加BE＝CF，得出BC＝EF，利用SSS证明△ABC≌△DEF，故B正确；∴添加∠ACB＝∠DFE＝90°，利用HL证明Rt△ABC≌Rt △DEF，故C正确；故选：D．7．（3分）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（）A．SAS B．SSS C．HL D．AAS【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．解：在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分线．故选：C．8．（3分）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．20°或80°C．44°或80°D．140°【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，然后分①x是顶角，2x﹣20°是底角，②x是底角，2x﹣20°是顶角，③x与2x﹣20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，解得x＝44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，解得x＝50°，所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，解得x＝20°，所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故选：A．9．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（）A．①②③④B．①②④C．①②③D．②③④【分析】本题通过证明Rt△CDE≌Rt△BDF（AAS）和△ABC 为等腰三角形即可求解．解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠FBC＝∠ABC∵BF∥AC，∴∠FBC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABC＝∠CBF，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝∠ABC，∴△ABC为等腰三角形，∴CD＝BD，（故②正确），CA＝AB，AD⊥BC（故③正确），∵∠ACB＝∠CBF，CD＝BD，∴Rt△CDE≌Rt△BDF（AAS），∴DE＝DF，（故①正确），BF＝CE，CA＝AB＝AE+CE＝2BF+BF＝3BF，（故④正确），故选：A．10．（3分）一个三角形中，已知一个角为30°，两条边长为4和6，符合条件且互不全等的三角形有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分①4、6是夹30°角的边，②4是30°角的对边，③6是30°角的对边三种情况讨论求解即可．解：①4、6是夹30°角的边时，可作1个三角形，②4是30°角的对边时，可作2个三角形，③6是30°角的对边时，可作1个三角形，根据全等三角形的判定方法，以上三角形都是不全等的三角形，所以，不全等的三角形共有4个．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共18分）11．（4分）36的平方根是±6 ；若y＝+﹣3，则x+y＝﹣1 ．【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根；根据二次根式有意义的条件即可得到x的值，进而得出y的值，即可得出结论．解：∵（±6）2＝36，36的平方根是±6；∵y＝+﹣3，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得x＝2，∴y＝﹣3，∴x+y＝2﹣3＝﹣1，故答案为：±6；﹣1．12．（2分）据统计：我国微信用户数量已突破8.87亿人，近似数8.87亿精确到百万位．【分析】根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，找出7在哪一位上即可．解：近似数8.87亿精确到0.01亿，即精确到百万位，故答案为：百万．13．（2分）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 3 根木条．【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF 变成三角形的组合体即可．解：根据三角形的稳定性，得如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条．14．（2分）若最简二次根式与能合并，则x＝ 4 ．【分析】根据题意可得与是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方程，再解即可．解：由题意得：2x﹣1＝x+3，解得：x＝4，故答案为：4．15．（2分）若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是10或11 ．【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．解：∵|m﹣3|+＝0，∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，解得m＝3，n＝4，当m＝3作腰时，三边为3，3，4，符合三边关系定理，周长为：3+3+4＝10，当n＝4作腰时，三边为，3，4，4，符合三边关系定理，周长为：3+4+4＝11．故答案为：10或11．16．（2分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC 和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为56°．【分析】据三角形内角和定理求出∠A+∠B；根据等腰三角形性质得∠ACM+∠BCN的度数，然后求解．解：∵∠ACB＝118°，∴∠A+∠B＝62°．∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠ACM+∠BCN＝62°．∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．故答案为：56°．17．（2分）如图，等边△ABC中，AO⊥BC，且AO＝2，E是线段AO上的一个动点，连接BE，线段BF与线段BE关于直线BA对称，连接OF，在点E运动的过程中，当OF的长取得最小值时，AE的长为 1 ．【分析】过点O作OH⊥AF于H，连接OF．首先证明∠BAF ＝30°，推出点F的在射线AF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，OF的值最小，最小值＝OH的长．解：过点O作OH⊥AF于H，连接OF．∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝30°∵线段BF与线段BE关于直线BA对称，∴∠BAF＝∠BAE＝30°，∠OAF＝60°，∴点F的在射线AF上运动，根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，OF的值最小，在Rt△AHO中，∵∠AOH＝30°∴AH＝OA＝1，∴OH＝＝＝，∴OF的最小值为，∴AE＝AF＝＝＝1故答案为1．18．（2分）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有8 个．【分析】分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，看其与方格是的交点是格点的个数即可．解：如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，则其与方格的交点为格点的有8个，故答案为：8．三、解答题（本大题共有8小题，共52分）19．（6分）计算：（1）；（2）3×（﹣）．【分析】（1）首先计算开方、绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．解：（1）＝3﹣4﹣+1＝﹣．（2）3×（﹣）＝3××（﹣）×＝2×（﹣）×＝﹣×＝﹣5．20．（6分）求下列各式中x的值．（1）9x2﹣121＝0；（2）24（x﹣1）3+3＝0．【分析】（1）直接利用平方根的定义得出答案；（2）直接利用立方根的定义得出答案．解：（1）由题意得：9x2＝121，∴x2＝，∴x＝±；（2）24（x﹣1）3+3＝0，则（x﹣1）3＝﹣，故x﹣1＝﹣，解得：x＝．21．（4分）操作题：如图，图1是8×8的方格纸、图2是6×9的方格纸，其中每个小正方形的边长为1cm，每个小正方形的顶点称为格点．（1）请在图1的方格纸中，利用网格线和三角尺画图，在AC上找一点P，使得P到AB、BC的距离相等；（2）在图2的四边形ABCD内找一点P，使∠APB＝∠CPB，∠APD＝∠CPD．【分析】（1）取格点T，连接BT交AC于点P，点P即为所求．（2）连接BD，取格点R，作直线CR交BD于点P，连接PA，点P即为所求．解：（1）如图，点P即为所求．（2）如图，点P即为所求．22．（4分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．（1）求m的值．（2）求|m﹣1|+m+6的值．【分析】（1）根据正负数的意义计算；（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．解：（1）由题意A点和B点的距离为2，A点表示的数为，因此点B所表示的数m＝2．（2）把m的值代入得：|m﹣1|+m+6＝|2﹣1|+2﹣+6，＝|1|+8﹣，＝﹣1+8﹣，＝7．23．（8分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求证：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度数．【分析】（1）根据同角的余角相等可得到∠3＝∠5，结合条件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可证得结论；（2）根据∠ACD＝80°，AC＝CD，得到∠2＝∠D＝50°，根据等腰三角形的性质得到∠4＝∠6＝65°，由平角的定义得到∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．解：（1）∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；（2）∵∠ACD＝80°，AC＝CD，∴∠2＝∠D＝50°，∵AE＝AC，∴∠4＝∠6＝65°，∴∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．24．（8分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB ＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长．【分析】（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE＝CE＝BD，再根据等腰三角形三线合一的性质即可解决问题．（2）先证明A、B、C、D四点共圆，再根据圆周角定理得出∠AEC＝2∠ABC＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．解：（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE＝DB，∵∠DCB＝90°，∴CE＝BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；（2）∵∠BAD+∠DCB＝90°+90°＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，且直径是BD，E为圆心，∴∠AEC＝2∠ABC＝2×45°＝90°，又∵F是AC中点，∴EF＝AC＝×16＝8．25．（8分）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C 出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝9﹣2t，BQ＝5t．（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分？（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC 的一个顶点构成等边三角形？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t 可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知PQ把△ABC的周长分成4：5两部分，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）根据题意：在它们第一次相遇前，分3种情况讨论：t为何值时，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的速度为2cm/s，时间为ts，∴CP＝2t，则PB＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm；∵点Q的速度为5cm/s，时间为ts，∴BQ＝5t；故答案为：9﹣2t，5t；（2）当点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，设ts时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分，如图，第1部分周长为：AB+AQ′+BP′＝9+5t﹣9+9﹣2t＝9+3t，第2部分周长为：CP′+CQ′＝2t+18﹣5t＝18﹣3t，①（9+3t）：（18﹣3t）＝4：5，解得t＝1，②（18﹣3t）：（9+3t）＝4：5，解得t＝2，答：t为1s或2s时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分；（3）①若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP＝PQ，即9﹣2t＝5t，解得t＝（s），所以当t＝s时，它们第一次相遇前，点P、Q能与△ABC 的顶点B构成等边△PBQ；②若△PCQ为等边三角形，则有PQ＝PC＝CQ，即18﹣5t＝2t，解得t＝（s），所以当t＝s时，它们第一次相遇前，点P、Q能与△ABC 的顶点C构成等边△PCQ；③当点Q在AB边上，点P在BC边上，若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP＝PQ，即18﹣5t＝2t﹣18，解得t＝（s），所以当t＝s时，它们第一次相遇前，点P、Q能与△ABC 的顶点B构成等边△PBQ；综上所述：当t＝s或s或s，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形．26．（8分）【阅读】如图1，四边形OABC中，OA＝a，OC ＝3，BC＝2，∠AOC＝∠BCO＝90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D 处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a]．【理解】若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，3]；【尝试】（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ；（2）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围．【分析】（1）先根据ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD＝FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，由折叠可知，OD＝OC，故OD＝OC＝CD，△OCD为等边三角形，∠COD＝60°，根据等边三角形三线合一的性质可得出结论；（2）根据点E四边形0ABC的边AB上可知AB⊥直线l，根据由折叠可知，OD＝OC＝3，DE＝BC＝2．再由θ＝45°，AB⊥直线l，得出△ADE为等腰直角三角形，故可得出OA 的长，由此可得出结论．解：（1）连接CD并延长，交OA延长线于点F．在△BCD与△AFD中，，∴△BCD≌△AFD（ASA）．∴CD＝FD，即点D为Rt△COF斜边CF的中点，∴OD＝CF＝CD．又由折叠可知，OD＝OC，∴OD＝OC＝CD，∴△OCD为等边三角形，∠COD＝60°，∴θ＝∠COD＝30°；（2）∵点E在四边形OABC的边AB上，∴AB⊥直线l由折叠可知，OD＝OC＝3，DE＝BC＝2．∵θ＝45°，AB⊥直线l，∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD＝DE＝2，∴OA＝OD+AD＝3+2＝5，∴a＝5；由图3可知，当0＜a＜5时，点E落在四边形OABC的外部．故a的取值范围是0＜a＜5．。