第一讲 分式的基本性质

第一讲 分式的基本性质

学习目标

1．了解分式、有理式的概念.

2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件

3. 理解分式的基本性质.

4．会用分式的基本性质进行通分、约分、化简

一、知识回顾

知识点1、与分式有关的条件

①分式有意义：分母≠0

②分式无意义：分母＝0

③分式值为0：00分母分子）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（00BA或00BA）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（00BA或00BA）

知识点2分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：CBCABA，CBCABA，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，

即：BBABBAAA

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

知识点3、分式的约分

◆约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.

2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.

知识点5、分式的通分 ◆通分时，最简公分母的确定方法：1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

2、取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式

课前热身.

1．用式子表示分式的基本性质：____________________________

.2．对于分式122xx（1）当________时，分式的值为0

（2）当________时，分式的值为1（3）当________时，分式无意义

（4）当________时，分式有意义

3．填充分子，使等式成立；2)2()(22aaa

4．xxx3222= 3x

5．化简：233812abcabc_______。6．（1）222yxyx=)(yx

（2）21aaac（a≠0） （3）22233xxx（4）2232565aaaaa

7．（1））333()3axbyaxbyaxbyaxby，对吗？为什么？

（2）22112xyxyxyxy对吗？为什么？

8．把分式xxy（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值 （ ）

A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．改变 D．不改变

9．下列等式正确的是 （ ）A．22bbaa B．1abab

C．0abab D．0.10.330.22abababab

参考答案1．AAMBBM；AAMBBM（M为不等于0的式子） 2．（1）x＝1 （2） x＝－3 （3）x＝－1 （4）x≠－1 3．（a－2）（a＋2）或2a－4 4．2254xx

5．223ba 6．（1）2aab （2）ac （3）x－2 （4） x＋2

7．（1）不对。 因为333()3axbyaxbyaxbyaxby分子与分母1不一样，不能约分，所以上述运算过程不对。 （2）不对。 因为22()()xyxyxyxyxy

＝()()()()()xyxyxyxyxy ＝1xy 题目中的约分是不对的

8．D 解析：将原式中的x，y分别用2x，2y替换为2222()xxxxyxyxy

9．B

二、 例题辨析

例1、 若abab10，试判断1111ba，是否有意义。

分析：要判断1111ab，是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因式分解，即可判断ab11，与零的关系。

解：abab10

abb()()110

即()()ba110

b10或a10

1111ab，中至少有一个无意义。

变式练习1、当x取何值时，式子||xxx2322有意义？当x取什么数时，该式子值为零？

解：由xxxx232120()() 得x1或2

所以，当x1和x2时，原分式有意义

由分子||x20得x2

当x2时，分母xx2320

当x2时，分母xx2320，原分式无意义。

所以当x2时，式子||xxx2322的值为零

变式练习2、当x取何值时，分式2111xx有意义？

解：由题意得xx0110

解得x0且x1

当x0且x1时，原式有意义

例2、（1）当x为何值时，分式x84为正；（2）当x为何值时，分式2)1(35xx为负；（3）当x为何值时，分式32xx为非负数.

⑴解：根据运算：同号为正，因为分子为4，所以x8＞0，解得x<8。

⑵解：因为分母)1(3x>0,所以x5<0，解得x>5.

⑶解：由题意有0302xx或0302＜xx解得x≥2或x<-3

变式练习1解下列不等式（1）012xx （2）03252xxx

⑴ -1-5

例3、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：

（1）ab65； （2）yx3； （3）nm2.

答案：⑴ab65

⑵yx3

⑶nm2 变式练习 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

（1）21xx； （2）322xx.

答案：⑴12xx ⑵322xx

例4约分

（1）4322016xyyx； （2）44422xxx

⑴解：原式＝yxyxxy5·44·433＝yx54

⑵解44422xxx＝2)2()2)(2(xxx＝22xx.

变式练习1、判断下列约分是否正确：

（1）cbca=ba （2）22yxyx=yx1 （3）nmnm=0

参考答案：⑴错 ⑵对 ⑶错

变式练习2、约分

⑴222812axyyax ⑵nmmn22 ⑶6222xxxx

参考答案：⑴yx73⑵ -m-n ⑶31xx

例5通分

（1）1a，234ab，216abc； （2）21(1)x，221x，3(1)(2)xx

⑴解：最简公分母为2212abc ∴22222112121212abcabcaaabcabc 2222333944312bcbcababbcabc 2222112266212aaabcabcaabc

⑵解：最简公分母为:2(1)(1)(2)xxx 221(1)(2)(1)(1)(1)(2)xxxxxx

2211(1)(2)(1)(1)1(1)(1)(2)xxxxxxxx 233(1)(1)(1)(2)(1)(1)(2)xxxxxxx

变式练习：通分

⑴122x，21(1)x ⑵1()()abbc，2()()bcac

参考答案：⑴最简公分母为:22(1)x ∴2111222(1)2(1)xxxx 2212(1)2(1)xx

⑵最简公分母为:（a－b）（b－c）（a－c） 1()()()()()acabbcabbcac

22()()()()()()abbcacabbcac

三、 归纳总结

归纳1.与分式有关的条件，不管是单纯分式的意义，还是分式的值为0，或者分式的基本性质，始终离不开分母≠0，有时是隐含条件。

归纳2.解分式不等式，是根据除法的运算法则：同号为正，异号为负，列出一元一次不等式组！

归纳3. 约分时。分子分母公因式的确定方法：1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式。约分之后，分式应是最简分式。

四、拓展延伸 例1、下列等式从左到右的变形正确的是 （ C ）

A．ba＝11ba Bbbmaam C．2abbaa D．22bbaa

变式练习1 下列等式从左到右的变形正确的是 （C ）

A 1xx＝22xxx Bcbca＝11ba C nmmn22＝n－m D 11)1(aaa=a－1

例2、若x，y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？

⑴xyxy ⑵xyxy ⑶22xyxy

答案：⑴不变；⑵扩大为原来的3倍；⑶缩小为原来的1/3

变式练习 把下列分式中的字母x和y都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？

（1）2xyxy （2）22923xxy

答案：⑴不变；⑵缩小为原来的1/5

例3、当x为何整数时，分式14x的值为整数

解：根据题意有x+1是4的约数，所以x+1＝±4、±3、±2、±1

所以x=3、2、1、0、-1、-2、-3、-4、-5

变式练习当x为何整数时，分式13xx的值为整数

答案：x=1、0、-1、-2、-3、

五、课后作业

题型1：分式、有理式概念的理解应用

1．下列各式①πa，②11x，③15xy，④22abab，⑤23x，⑥0•中，是分式的有___ ________；是整式的有_____ ______．

题型2：分式有无意义的条件的应用

2．下列分式，当x取何值时有意义．