高三北师大文科数学一轮复习课时作业导数与函数的极值最值B

课时作业(十五)B [第15讲 导数与函数的极值、最值]

[时间：45分钟 分值：100分]

基础热身

1．[2012·济南模拟] 已知f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图K15－3所示，则y＝f(x)的图像最有可能是下图中的(

)

图K15－3

图K15－4

2．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是( )

A．2 B．1

C．0 D．由a决定

3．已知α、β是三次函数f(x)＝13x3＋12ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则b－2a－1的取值范围是( )

A.14，1 B.12，1

C.－12，14 D.－12，12

4．f(x)＝axlnx的极大值为－2e，则a＝________.

能力提升

5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为( )

A．极大值为427，极小值为0

B．极大值为0，极小值为－427

C．极小值为－527，极大值为0

D．极小值为0，极大值为527

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )

A．－16

C．－32

7．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )

A．－5 B．－11

C．－29 D．－37

8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )

A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7

C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21

9．函数y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，F(x)＝f(x)－g(x)，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像如图K15－5所示，且a

)

图K15－5

A．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极大值点

B．F′(x0)＝0，x＝x0是F(x)的极小值点

C．F′(x0)≠0，x＝x0不是F(x)的极值点

D．F′(x0)≠0，x＝x0是F(x)的极值点

10．[2011·广东卷] 函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．

11．[2011·绵阳模拟] 图K15－6是函数y＝f(x)的导函数的图像，给出下面四个判断．

图K15－6

①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；

④x＝3是f(x)的极小值点．

其中，所有正确判断的序号是________．

12．已知关于x的函数f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc，如果函数f(x)在x＝1处取极值－43，则b＝________，c＝________.

13．设a∈R，函数f(x)＝ax3－3x2，若函数g(x)＝f(x)＋f′(x)，x∈[0,2]在x＝0处取得最大值，则a的取值范围是________．

14．(10分)[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝(x－k)ex.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

15．(13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

难点突破

16．(12分)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝12x2－x＋a.

(1)当a＝2时，求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域；

(2)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′x＋1ex－2e成立．

课时作业(十五)B 【基础热身】

1．B [解析] 根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B正确．

2．C [解析] f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．

3．A 【解析】 1

4．2 [解析] 函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－alnx＋1x2ln2x，令f′(x)＝0，得x＝1e，当a>0时，列表如下：

x 0，1e 1e 1e，1 (1，＋∞)

f′(x) ＋ 0 － －

f(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递减

当x＝1e时，函数f(x)有极大值f1e＝a1eln1e＝－ae，故－ae＝－2e，解得a＝2；

当a<0时，列表如下：

x 0，1e 1e 1e，1 (1，＋∞)

f′(x) － 0 ＋ ＋

f(x) 单调递减 极小值 单调递增 单调递增

无极大值．故a＝2.

【能力提升】

5．A [解析] 由题设知： f′1＝0，f1＝0⇒ 3－2p－q＝0，1－p－q＝0，∴ p＝2，q＝－1，所以f(x)＝x3－2x2＋x，进而可求得f(1)是极小值，f13是极大值，故选A.

6．B [解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.

7．D [解析] 由f′(x)＝6x2－12x>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得0

8．A [解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，令f′(x)＝0，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．

9．B [解析] F′(x)＝f′(x)－g′(x)，

∴F′(x0)＝f′(x0)－g′(x0)＝f′(x0)－f′(x0)＝0，且xx0时，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝f′(x)－f′(x0)>0，故x＝x0是F(x)的极小值点，选B.

10．2 [解析] f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，

当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．

11．②③ [解析] 由函数y＝f(x)的导函数的图像可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．

12．－1 3 [解析] f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处取极值－43，

可得 f′1＝－1＋2b＋c＝0，f1＝－13＋b＋c＋bc＝－43，

解得 b＝1，c＝－1或 b＝－1，c＝3.

若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；

若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，

当－30，当x>1时，f′(x)<0，

∴当x＝1时，f(x)有极大值－43.

故b＝－1，c＝3即为所求．

13.－∞，65 [解析] g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．

当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥20a－24，得a≤65.

反之，当a≤65时，对任意x∈[0,2]，g(x)≤65x2(x＋3)－3x(x＋2)＝3x5(2x2＋x－10)

＝3x5(2x＋5)(x－2)≤0，

而g(0)＝0，故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)．

综上，a的取值范围为－∞，65.

14．[解答] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

x与f(x)、f′(x)的变化情况如下：

x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞)

f′(x) － 0 ＋

f(x) －ek－1

所以，f(x)的单调递增区间是(k－1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，k－1)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；

当0

当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减．

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.