分式的概念和性质(基础)知识讲解

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+　无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。

分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。

分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。

（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。

（3）分式：，当时，分式的值为零。

（4）分式：，当时，分式的值为1。

（5）分式：，当时，即或时，为正数。

（6）分式：，当时，即或时，为负数。

（7）分式：，当时或时，为非负数。

三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。

四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

2、约分的理论依据是分式的基本性质。

3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。

例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。

分式和分式的基本性质（一）一、知识要点1．分式的意义一般地，如果A﹑B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。

说明：（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起着除号和括号的作用。

（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母中一定要含有字母。

（3）分式的分母不能为0是分式概念的重要组成部分。

2．有理式的概念及分类有理式是整式和分式的统称。

3．分式有意义、无意义、值为零的条件（1）分式AB有意义的条件是：_________________________；（2）分式AB无意义的条件是：_________________________；（3）分式AB值为零的条件是：_________________________。

4．分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示就是______________________________________________________________________。

5．分式的变号法则分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B B B--==-=---。

6．将分数系数化成整数系数分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的数全都化为整数。

7．分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。

8．分式的通分根据分式的基本性质，把几个不同分母的分式化成同分母的分式叫做分式的通分。

说明：（1）最简公分母的概念：异分母通分时，我们常取各分母的系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

（2）求最简公分母的步骤与方法①取各分母系数的最小公倍数；②凡在各分母中出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

分式的观念战本量（前提）之阳早格格创做【教习目标】1.明白分式的观念，能供出使分式蓄意思、分式偶尔思、分式值为0的条件.2．掌握分式的基赋本量，并能利用分式的基赋本量将分式恒等变形，从而举止条件估计.【重心梳理】知识面一、分式的观念普遍天，如果A、B表示二个整式，而且B中含有字母，那么式子A喊搞分式.其中A喊搞分子，B喊搞分母.B重心诠释：（1）分式的形式战分数类似，但是它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是二个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中皆不含字母.（2）分式与分数是相互通联的：由于分式中的字母不妨表示分歧的数，所以分式比分数更具备普遍性；分数是分式中字母与特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示分歧数的“字母”，但是π表示是整式而不克圆周率，是一个常数，不是字母，如a不迭当做分式.（4）分母中含有字母是分式的一个要害标记，推断一个代是分式，与xy数式是可是分式不克不迭先化简，如2x yx有辨别，xy是整式，即只瞅形式，不克不迭瞅化简的截止.知识面二、分式蓄意思，偶尔思或者等于整的条件1.分式蓄意思的条件：分母不等于整.2.分式偶尔思的条件：分母等于整.3.分式的值为整的条件：分子等于整且分母不等于整.重心诠释：（1）分式有偶尔思与分母有闭但是与分子无闭，分式要精确其是可蓄意思，便必须领会、计划分母中所含字母不克不迭与哪些值，以预防分母的值为整.（2）本章中如果不特殊证明，所逢到的分式皆是蓄意思的，也便是道分式中分母的值不等于整.（3）必须正在分式蓄意思的前提下，才搞计划分式的值. 知识面三、分式的基赋本量分式的分子与分母共乘(或者除以)一个不等于0的整式，分式的值稳定，那个本量喊搞分式的基赋本量，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于整的整式）.重心诠释：（1）基赋本量中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，普遍正在解题历程中不另强调；M≠0是正在解题历程中其余附加的条件，正在使用分式的基赋本量时，必须沉面强调M≠0那个前提条件.（2）正在应用分式的基赋本量举止分式变形时，虽然分式的值稳定，但是分式中字母的与值范畴有大概爆收变更.比方：，正在变形后，字母x 的与值范畴变大了.知识面四、分式的变号规则对付于分式中的分子、分母与分式自己的标记，改变其中所有二个，分式的值稳定；改变其中所有一个或者三个，分式成为本分式的差异数. 重心诠释：根据分式的基赋本量有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的标记规则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为差异数.分式的标记规则正在以去闭于分式的运算中起着要害的效率.知识面五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基赋本量，约去分子战分母的公果式，不改变分式的值，那样的分式变形喊搞分式的约分.如果一个分式的分子与分母不相共的果式（1除中），那么那个分式喊搞最简分式. 重心诠释：（1）约分的真量是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再不公果式.（2）约分的闭键是决定分式的分子与分母的公果式.分子、分母的公果式是分子、分母的系数的最大契约数与相共果式最矮次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其领会果式，使之转移为分子与分母是不克不迭再领会的果式积的形式，而后再举止约分.知识面六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基赋本量，使分式的分子战分母共乘适合的整式，不改变分式的值，把分母分歧的分式化成相共分母的分式，那样的分式变形喊搞分式的通分.重心诠释：（1）通分的闭键是决定各分式的最简公分母：普遍与各分母所有果式的最下次幂的积动做公分母.（2）如果各分母皆是单项式，那么最简公分母便是各系数的最小公倍数与相共字母的最下次幂的乘积；如果各分母皆是多项式，便要先把它们领会果式，而后再找最简公分母.（3）约分战通分恰佳是差异的二种变形，约分是对付一个分式而止，而通分则是针对付多个分式而止.【典型例题】典型一、分式的观念例1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-． 典型二、分式蓄意思，分式值为0例2、下列各式中，m 与何值时，分式蓄意思？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --． 【变式1】正在什么情况下，下列分式不意思?（1）3(7)x x x +；（2）21x x +；（3）222x x ++． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-． 典型三、分式的基赋本量例3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x y x y +-； （2）11341123x y x y +-． 【变式1】如果把分式y x x232-中的y x ,皆夸大3倍，那么分式的值（ ）A 夸大3倍B 稳定C 缩小3倍D 夸大2倍【变式2】挖写下列等式中已知的分子或者分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c--=----． 例4、 不改变分式的值，使下列分式的分子战分母不含“－”号．（1）2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b c --．典型四、分式的约分、通分例5、 将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-． 【变式】通分：（1）4b ac ，22ab c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -． 【坚韧训练】1．正在代数式22221323252,,,,,,33423x x xy x x x x π+-+中，分式公有( )． 2．使分式5+x x 值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5C ．－5D ．x ≠－5 3.下列推断过失的是（ ）A ．当23x ≠时，分式231-+x x 蓄意思 B ．当a b ≠时，分式22ab a b-蓄意思C ．当21-=x 时，分式214x x+值为0 D ．当x y ≠时，分式22x y y x --蓄意思4．x 为所有真数时，下列分式中一定蓄意思的是（ )A ．21x x +B ．211x x --C ．11x x -+D ．211x x -+ 5．如果把分式yx y x ++2中的x 战y 皆夸大10倍，那么分式的值（ ） A ．夸大10倍B ．缩小10倍C ．是本去的32D ．稳定6．下列各式中，精确的是（ ）A ．a m a b m b+=+ B ．0a b a b +=+ C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y -=-+ 7．当x ＝______时，分式632-x x 偶尔思． 67x--的值为正数，则x 谦脚______． 9．（1）112()x x x --=- （2）.y x xy x 22353)(= 10．（1）22)(1y x y x -=+ （2）⋅-=--24)(21y y x 2214a b 与36x ab c的最简公分母是_________. 12. 化简分式：（1）3()x y y x -=-_____；（2）22996x x x -=-+_____． x 为何值时，下列分式蓄意思?（1）12x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---． 14．已知分式,y a y b-+当y ＝－3时偶尔思，当y ＝2时分式的值为0，供当y ＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最下的项的系数皆化为正数．（1）22x x y --（2）2b a a -- （3）2211x x x x ---+ （4）2231m m m ---。

分式的知识点总结一、分式的基本概念1. 分式的定义：分式是由一个整数（分子）与另一个非零整数（分母）用分数线（也称为分子线）相连所构成的数，通常表示为 a/b（a为分子，b为分母）。

2. 分式的分类：根据分母的情况，分式可以分为真分式、假分式和带分数。

真分式的分子比分母小，假分式的分子比分母大，带分数由整数部分和真分数部分组成。

3. 分式的性质：分式的分子和分母都可以乘以（或除以）同一非零数，而不改变其值；分式的分子和分母互换位置，得到的新分式称为倒数；两个分式相乘，分子相乘，分母相乘；两个分式相除，分子相除，分母相除。

这些性质都是分式运算中的基本规律，对于分式的计算和化简有着重要的作用。

二、分式的运算1. 分式的加减法：要进行分式的加减法，首先需要找到它们的公分母，然后分别对分子进行相应的加减操作，最后将结果化简为最简分式。

如果分式的分母不同，可以通过通分的方式将它们转化为相同分母后进行计算。

2. 分式的乘法：分式的乘法是将分式的分子相乘，分母相乘，然后将结果化简为最简分式。

如果有字数相同的多个分式相乘，也可以先将它们的分子和分母分别相乘，最后将所有结果相乘得到最终结果。

3. 分式的除法：分式的除法是将两个分式相除，即将第一个分式乘以第二个分式的倒数，然后化简为最简分式。

三、分式的应用1. 代数中的分式：在代数中，分式可以用来表示多项式中的系数和字母之间的比值关系，例如多项式的根、系数、因式分解等都涉及到分式的计算和化简。

2. 几何中的分式：在几何中，分式可以用来表示两个线段或面积的比值，例如在相似三角形或相似图形中，就可以利用分式来表示相似比例。

3. 概率中的分式：在概率中，分式可以用来表示事件的发生概率，例如事件发生的次数与总次数之间的比值就可以用分式表示。

综上所述，分式是数学中重要的概念之一，它不仅具有基本的定义和运算规律，还在各个数学领域中有着广泛的应用。

熟练掌握分式的相关知识和运算方法，对于学习代数、几何和概率等数学课程都具有重要的意义。

分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。

华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

分式知识点一、分式定义形如AB，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的式子叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

二、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。

三、最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。

和分数不能化简一样，叫最简分数。

四、最简公分母（1）最简公分母的定义通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

（2）一般方法①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。

②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。

五、分式有、无意义的条件1、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零。

（2）分式无意义的条件是分母等于零。

（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同时大于零。

（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。

2、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。

注意：“分母不为零”这个条件不能少3、分式无意义的条件分式有意义的条件是分母等于零六、分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简。

化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。

分数不能化简一样，叫最简分数。

七、分式的通分与约分通分（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

（2）通分的关键是确定最简公分母。

①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。

分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。

一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。

其中a称为分子，b称为分母。

分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。

分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。

在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。

二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。

例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。

例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。

例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。

例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。

例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。

三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。

将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。

分式函数的基本概念与性质分式函数是指由两个多项式表达的函数，其中分母不为零。

分式函数既可以是有理函数的特例，也可以理解为多项式除法的推广形式。

在数学中，分式函数有其独特的基本概念和性质，本文将从多个角度来探讨这些内容。

一、基本概念1. 分式函数的定义：分式函数是指可以表达为两个多项式的比值形式，其中分母不为零的函数。

常见的分式函数形式包括有理分式函数和整式函数的除法。

2. 分式的形式：分式函数通常由分子和分母组成，分子和分母都是多项式。

分式函数的一般形式为f(x) = P(x) / Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式。

3. 定义域：由于分式函数中不能出现使分母为零的数值，因此定义域需要排除这些值。

定义域是函数的取值范围，一般使用不等式或条件表示。

二、性质探究1. 零点与奇点：分式函数的零点是指使分式函数取零值的自变量的值。

零点可以通过求解分子为零的方程得到。

分式函数的奇点是指使分母为零的自变量的值，奇点可能导致函数不存在或无穷大。

2. 函数的平移与伸缩：分式函数的平移和伸缩可以通过对分子和分母的多项式进行操作实现。

平移是指在自变量维度上对函数整体进行横向或纵向移动，伸缩是指通过改变分式函数的系数来改变函数的幅度。

3. 函数的性态分析：通过对分式函数的分子、分母进行求导，可以得到函数的导数表达式。

通过导数的符号变化和驻点的分析，可以判断分式函数的增减性、最值和拐点等重要性质。

4. 函数的图像特征：分式函数的图像通常会具有水平、垂直渐近线等特征。

水平渐近线是指当自变量趋近于无穷时，函数趋于某个常数值或无穷大；垂直渐近线是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于无穷大或无穷小。

5. 函数的应用：分式函数在实际问题中具有广泛的应用。

比如在经济学中，利润函数、边际成本函数等都可以表达为分式函数的形式，通过对这些分式函数进行分析，可以帮助决策者在经济活动中进行决策。

综上所述，分式函数作为一个重要的数学概念，具有其独特的基本概念和性质。

八年级数学分式考点解析一、知识框架：二、知识概念：1.分式：形如，A/B是整式，B中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：8.整数指数幂：9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)一、分段分步法例1、计算：分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

解：原式二、分裂整数法例2、计算：分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

解：原式三、拆项法例3、计算：分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

分式基础知识讲解分式，也称为有理数，是指一个整数除以另一个非零整数所得的数。

在数学中，分式是一个重要的概念，它在各种数学问题中都有广泛的应用。

本文将对分式的基础知识进行讲解。

一、分式的定义和表示方式分式可以看作是两个整数的比值，其中一个整数作为分子，另一个整数作为分母。

分式的一般表示方式为“a/b”，其中a为分子，b为分母。

例如，2/3、5/8都是分式。

分式可以用于表示一个数量相对于另一个数量的比值，比如“5个苹果中有3个是红色的”，可以表示为分式5/3。

二、分式的性质和运算法则1. 分式的相等性质对于任意两个分式a/b和c/d，如果ad=bc，则a/b=c/d，即分式相等性质。

2. 分式的相反数和倒数对于任意一个分式a/b，它的相反数是- a/b，它的倒数是b/a。

3. 分式的加减法当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行加减运算，并保持分母不变。

例如，对于分式a/b和c/b，它们的和为(a+c)/b，差为(a-c)/b。

当两个分式的分母不同时，可以通过求公共分母的方法将它们进行相加或相减。

具体方法可以参考通分的原理。

4. 分式的乘除法两个分式相乘时，只需将它们分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。

例如，分式a/b和c/d的乘积为ac/bd。

两个分式相除时，可以将第二个分式的倒数乘以第一个分式。

即，分式a/b和c/d的商为(a/b) * (d/c) = (ad)/(bc)。

三、分式的简化和约分当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。

约分后的分式与原分式表示相同的数。

四、分式的应用1. 倒数的表示当需要表示一个数的倒数时，可以使用分式。

例如，数x的倒数可以表示为1/x。

倒数在分数的求解和比较中起到重要作用。

2. 比例问题在比例问题中，分式被广泛使用。

比如“苹果的单价是2元/个，芒果的单价是3元/个，求苹果和芒果价格的比值”，可以表示为2/3这个分式。

分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。

在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。

一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。

分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。

分式也可以是正数、负数或者零。

分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。

2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。

3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。

二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。

解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。

2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。

解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。

三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。

具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。

例如：将12/18简化为最简分式。

解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。

四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。

分式知识点总结分式是小学数学中一个重要的知识点，也是高中数学的基础。

分式的概念和应用广泛，是解决实际问题中常用的方法之一。

本文将从分式的定义、基本性质、运算法则以及应用等方面进行总结。

一、分式的定义分式是两个整数的比，由分子和分母两部分构成。

分子表示被除数，分母表示除数。

通常用a/b的形式表示，其中a为分子，b为分母。

二、分式的基本性质1. 分式的值可以是整数、小数、真分数或假分数，分式可以化简为最简形式。

2. 分式的值与分子和分母的关系密切相关，当分子增大而分母不变时，分式的值增大；当分子减小而分母不变时，分式的值减小。

3. 分式的值可以用图形来表示，例如在数轴上表示为一个点。

三、分式的运算法则1. 分式的加法和减法：分式的加法和减法归结为求他们的公共分母，将分子相加或相减即可。

例如：a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法和除法：分式的乘法和除法的规则较为简单，直接将分子相乘或相除，分母相乘或相除即可。

例如：(a/b) × (c/d) = ac/bd(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc3. 分式的混合运算：分式的混合运算可以结合加减乘除的运算法则来进行。

在计算过程中，首先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。

四、分式的应用分式可以应用于实际问题中，例如在计算比例、百分比、利润和折扣等方面。

1. 比例问题：比例可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到两个量的比值。

例如：甲乙两个人的身高比为3/5，已知甲的身高为150cm，求乙的身高。

2. 百分比问题：百分比可以表示为分式的形式，通过分式可以求解出百分比的具体数值。

例如：某商店举办打折促销活动，原价为120元的商品现在打8折，求折后的价格。

3. 利润和折扣问题：利润和折扣可以表示为分式的形式，通过求解分式可以得到具体的数值。

例如：某商品的进价为180元，利润率为20%，求售价；或者某商店举办折扣促销活动，折扣率为30%，求折后价格。