概 率 论
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概率论
第三章多维随机变量及其分布
关键词：
二维随机变量
分布函数分布律概率密度
边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度
条件分布函数条件分布律条件概率密度
随机变量的独立性
Z=X+Y的概率密度
M=max(X,Y)的概率密度
N=min(X,Y)的概率密度
§1 二维随机变量
问题的提出
例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。
仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。
需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。
例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。
每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
•分布函数的性质
二维离散型随机变量
•分布律的性质
•
•二维连续型随机变量
•例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
•例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
(1) 求常数k；(2) 求概率
解：
§2 边缘分布
•
•例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度
则称(X,Y)在G上服从均匀分布。
现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为求边缘概率密度
解：
•
§3 条件分布
•例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中
任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球
的只数。
求
（1）X，Y的联合分布率；
（2）X=1时Y的条件分布率；
(3) Y=0时X的条件分布率。
故在X=1的条件下，Y的分布律为：
•例2：一射手进行射击，击中目标的概率为射击直至击中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和条件分布律。
解：
定义：条件分布函数
定义：条件概率密度
§4 相互独立的随机变量
•
•
•
•一般n维随机变量的一些概念和结果
•边缘分布
如：
•定理1：
•定理2：
§5 两个随机变量的函数的分布
•
•一般的，可以证明：
若X,Y相互独立，且分别服从参数为
X,Y的概率密度分别为
•证明：这是例3的推广，由卷积公式
•推广到n个相互独立的随机变量的情况
设X1,X2,¡,X n是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：则：
•例5：设系统L由两个相互独立的子系统L
1,L
2
联结而成，联结的方式分别为：(1)
串联；(2)并联；
(3)备用(当系统L
1损坏时，系统L
2
开始工作)。
如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为：
试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。
•串联的情况
由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；
而X,Y的分布函数分别为：
故Z的分布函数为：
于是Z的概率密度为：
•并联的情况
由于当且仅当L
1,L
2
都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为
Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：
•备用的情况
由于这时当系统L
1损坏时，系统L
2
才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L
1
,L
2
寿命之和，即Z=X+Y；因此：
复习思考题 3
1.设(X,Y)为二维向量，
则P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x1, y1),对吗？
2.设(X,Y)为二维连续量，则P{X+Y =1}=0,对吗？
3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，
f X(x)和f Y(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使
f(x0,y0)≠f X(x0)¡¤f Y(y0)则X和Y不独立，对吗？
第四章随机变量的数字特征
关键词：
数学期望
方差
协方差
相关系数
•问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
•例：
–在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的
是平均产量；
–在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的
平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的
偏离程度；
–考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知
家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异
程度；
§1 数学期望
定义：
定义：
•例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：
若将这2个电子装置串联联接
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
解：
•例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。
若一周5个工作日里无故障，可获
利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障
获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内
期望利润是多少？
•例5：
•例6：
•
•
•
•
•例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进
行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截
面面积S的数学期望。
•例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：
•数学期望的特性：
证明：
§2 方差
定义：
•例1：设随机变量X具有数学期望
•例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：解：
•例3：
解：
•例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：
•方差的性质：
•证明：
•例6：
•例7：
解：
•例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径
X,Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率。
表1 几种常见分布的均值与方差
§3 协方差及相关系数
对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。
这就是本节的内容。
定义：
•协方差的性质：
•
§4 矩、协方差矩阵
•利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。
•n维正态变量具有以下四条重要性质：
复习思考题 4
1.叙述E(X)和D(X)的定义。
4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]的两种方法。
5.设X～N(μ,σ2),用如下两种方法求E(X2)：
(1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2；
(2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=μ2；
两种结果不一样，哪一种错？为什么？
6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7,
则D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,这与任意一个随机变量的方
差都不小于零相矛盾，为什么？
7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示：
(1)设第i袋水泥的重量为X i , i=1,2,¡,100, 由题意知,
X i ～N(50,2.52),Y=∑X i ,则Y～N(100*50,100*2.52)；
(2)设一包水泥的重量为X, 由题意知X～N(50,2.52)。
若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则：E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52
Y～N(100*50,1002*2.52)
这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后
者方差是前者的100倍)，
试问哪一种正确？
8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？
课件结束!。
