考点11 角的概念及任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳1.同角三角函数的基本关系：在一个单位圆上，以原点为中心，作出一个角度为θ的角。

那么，角θ的终边与单位圆交于一点P，点P的坐标可以表示为(Px,Py)。

根据三角函数的定义，可以得到以下关系：(1) 正弦函数（sin）：sinθ = Py(2) 余弦函数（cos）：cosθ = Px(3) 正切函数（tan）：tanθ = Py / Px2.诱导公式：诱导公式是利用同角三角函数的基本关系，通过一些简单的代数运算推导出来的公式。

下面是一些常用的诱导公式：（1）tanθ = sinθ / cosθ -> sinθ = tanθ * cosθ（2）tanθ = py / Px -> Py = tanθ * Px（3）cotθ = 1 / tanθ -> cotθ = cosθ / sinθ（4）secθ = 1 / cosθ -> secθ = 1 / cosθ（5）cscθ = 1 / sinθ -> cscθ = 1 / Py3.开放、诱导角的关系：开放角和诱导角是同角三角函数中的两个重要概念。

（1）开放角：开放角是指角θ的终边所在的象限。

根据角度θ所在的象限，可以确定sinθ、cosθ、tanθ的正负关系。

（2）诱导角：角θ的终边与x轴正半轴之间的夹角记为θ0，称为角θ的诱导角。

根据θ0所在的象限，可以确定sinθ0、cosθ0、tanθ0的值。

4.注意事项：（1）需要记住各个象限中正弦函数、余弦函数、正切函数的正负关系。

通过画图和思考可以帮助记忆。

（2）要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在不同象限中的取值范围，充分理解诱导角与开放角的关系。

（3）熟练掌握诱导公式，能够熟练地根据一个三角函数的值求得其他三个函数的值。

（4）在解决实际问题和解题时，要善于利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三个函数，以便更好地解题。

总之，同角三角函数的基本关系与诱导公式是学习三角函数的重要内容，掌握和理解好这一知识点对后续学习和解题非常有帮助。

三角函数专题复习知识点一：三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式一．考试要求二．基础知识1.角的概念的推广：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫_______角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个 角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角（1）定义：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角 任何象限。

（2）象限角的集合：第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为___________________________________第四象限角的集合为___________________________________终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为______________________终边在坐标轴上的角的集合为_____________________（3）终边相同的角：与终边相同的角注意：相等的角的终边一定________，终边相同的角_____________.3、与的终边关系：若是第二象限角，则是第_____象限角4.弧度制:弧度与角度互换公式：1rad＝、1°＝（rad）。

弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：【典例】已知扇形周长为10，面积为4，求扇形的圆心角.5、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，.注：三角函数值与角的大小关，与终边上点P的位置关。

思考：判断各三角函数在每个象限的符号？【典型例题】1.（2014全国）已知角的终边经过点，则=（）A.B.C.D.2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=____________,=____________,=____________3.（2011江西）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则=_____________.【变式训练】1.（2014湖北孝感）点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若，且，则所在的象限为_______________.3.已知角的终边上一点，且，求的值.6.特殊角的三角函数值：7.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：（2）商数关系：【典型例题】1.已知，，则（）A.B.C.D.无法确定2：已知,,则__________3.（2012江西）若，则=_________.【变式训练】1.（2011全国）已知，，则=______.2.如果，且，那么的值是（）A.B.或C.D.或3.若，则=____________，=_______，=_____________.8、三角函数的诱导公式（重难点）【规律总结】奇偶（对而言，取奇数或偶数），符号___________（看原函数，同时把看成是锐角）.诱导公式的应用的一般步骤：（1）负角变正角，再写成+,；（2）转化为锐角三角函数.【典型例题】1.（2013广东）已知，那么（）A．B．C．D．2.如果为锐角，（）A.B．C．D．3.的值等于（）A.B．－C．D．－4.+的值是 .【变式训练】1.=_________；2.已知的值等于___________.3.已知.（1）化简；（2）若角的终边在第二象限且，求.【迁移应用】1．下列各命题正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角D.小于的角都是锐角2．等于（）ABCD3.（2013山东诸城）集合中的角的终边所在的范围（阴影部分）是（）4.化为弧度等于（）A.B.C.D.5．点在第（）象限.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6.点在第三象限,则角的终边在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7.点从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为（）A.B.C.D.8.设,角的终边经过点,那么的值等于( )A.B.C.D.9.已知,且,则的值为( )A.B.[C.D.10.化简的结果是（）A．B．1 C．D．11.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴正半轴重合,终边在直线上，则=（）A．B．2 C．0 D．12.（2014山东济南质检）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=_________.13.（2011全国）已知，，则__________.14.已知,则____________.15..扇形的圆心角是，半径为20cm，则扇形的面积为16.（2012山东）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于时，的坐标为__________________.17.化简：（1）（2）18.已知，求（1）；（2）的值19.（2013江苏启东中学测试）已知是关于的方程的两个根.（1）求的值.（2）求的值.知识点二：三角恒等变换1．考试要求二．基础知识（1）两角和与差的三角函数（正余余正号相同）（余余正正号相反）（2）．二倍角公式______________=_____________=______________.（3）降幂公式；____________；___________.（4）辅助角公式。

第一讲 三角函数的概念、同角三角函数关系式与诱导公式本讲义主要内容：第一部分：【知识回顾】知识点一 任意角1. 角的概念一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ,就形成了角α.2. 角的分类为了表示不同旋转方向所形成的角，联想到雍正负数表示具有相反意义的量得方法，集合S = rad 1 π2rad =0360，πrad =0180，1rad ='00185730.57=≈⎪⎭⎝π3. 弧度制与角度制的换算公式设一个角的弧度数为α，角度为0n ，则有α)(rad =0)180(α⋅n ，))(180(0rad n n π⋅=. 知识点五 弧度制下得弧长公式和扇形面积公式 1. 弧度制下得弧长公式在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则rl=α，即r l α=，此公式称为弧长公式。

2. 弧度制下的扇形面积公式因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为22212r r =ππ，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为r l rad ，所以其面积为lr r r l S 2122=⋅=。

将r l α=代入可得22121r r l S ⋅=⋅=α，此公式称为扇形面积公式。

知识点六 同角三角函数的关系yr =【基础自测】1．若角α与角β的终边相同，则一定有（ ）A. 0180=+βα B. 00=+βαC. Z k k ∈⋅=,036-0βαD. Z k k ∈⋅=+,0360βα2. 已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 2cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A. 1B. 4C. 1或4D. 2或43. α是第四象限角，1312cos =α，则αsin = （ ） A. 135 B. 135- C. 125D. 125-4.5.【例题2】若),(-036,0360Z m k m k ∈⋅=+⋅=θβθα,则角α与β的终边的位置关系（ ） A. 重合 B. 关于原点对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称【变式练习1】若0045018+⋅=k α)(Z k ∈，则α是（ ）A. 第一或第三象限角B. 第一或第二象限角C. 第二或第四象限角D. 第三或第四象限角考点二 扇形的弧长公式及面积公式【例题3】（1）若两个角的差为1弧度，它们的和为01，求这两个角的大小分别为_______. （2）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）考点三 三角函数的定义【例题5】已知θ的终边经过点0))(,4(-3≠a a a P ，求θθθtan ,cos ,sin .【例题6】角α终边经过点)2,(-x P )0(≠x ，且x 63cos =α，求ααtan sin +的值.【变式练习3】已知角α的终边上一点))(4,(-12R m m m P ∈,求ααααtan ,cos ,sin =.（1θ2； （4【例题8】已知παπα<<=2,552sin ，求αtan .【变式练习4】已知),2(,0cos 2cos sin sin 622ππααααα∈=-+，求下列各式的值.（1）θθθθcos sin cos 3sin --；（2）ααα2sin cos sin -；（3）2cos sin 3-sin 2-ααα.=___.)B ，求ABC ∆的三个内角.【变式练习5】已知)2(32)cos()sin(παπαπαπ<<=+=-.求下列各式的值. （1）ααcos sin -；（2）)2(cos )2(sin cos sin 33απαπαα++--.第三部分：【实战演练】【实战演练一】 一、选择题1.下列说法正确的是 ( ) A.第二象限的角比第一象限的角大 B.若sinα＝12，则α＝π6C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 2.若sin θ>0且sin2θ>0，则角θ的终边所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在( )A. x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上4.已知扇形的面积为2 cm 2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A.sin θ2B.cos θ2C.tan θ2 D.cos2θ 6.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向[转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ) 的图像大致为 ( )二、填空题7.在单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则该弦AB 所对的圆心角α是 rad . 8.若点P (m ，n )(n ≠0)为角600°终边上一点，则mn等于 .9.在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为 . 三、解答题10.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(π2，π)，求α的三角函数值.11.(1)确定tan(－3)cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号.12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时 针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P 、Q 点各自走过的弧长.是( 2.是( 3.4.为 ( 5.已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α、β、a 、b 均为非零实数，若f (2010)＝－1，则f (2011)等于( )A.－1B.0C.1D.2 6.已知sin(2π＋θ)tan(π＋θ)tan(3π－θ)cos(π2－θ)tan(－π－θ)＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.6 二、填空题7.若cos(2π－α)＝53，且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝ 8.若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝ .2，则(2)化简：1－2sin130°cos 130°sin130°＋1－sin 2130° .11 12.是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos(π2－β)，3cos (－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由。

任意角的三角函数及诱导公式【知识梳理】 1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成)(3600Z k k ∈⋅+α．(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，rl=||α,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角叫做弧度制．比值rl与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：π23600=弧度；π=0180弧度． ⑤弧长公式：r l ||α=，扇形面积公式：2||2121r lr S α==扇形. 2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设(),P x y 为角α终边上异于原点一点，则角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=cos α=tan y xα=特别地，当221x y +=时，sin ,cos y x αα==，()cos ,sin P αα(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中OM =αcos ，MP =αsin ，单位圆与x 轴的正半轴交于点)0,1(A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则AT =αtan .我们把有向线AT 、叫做α的余弦线、正弦线、正切线.(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ)有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线4．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：()222222sincos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-．(2)商数关系：sin sin tan sin tan cos ,cos cos tan ααααααααα⎛⎫=== ⎪⎝⎭.对于角“)(2Z k ∈±α”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．【课前小练】1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4,y)P 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =_____________ 2.若4sin 5θ=，tan 0θ>，则cos ( )θ=A ．35 B ．35- C ．45D ． 45-3.已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ） A.25- B.15- C. 15 D. 25【例题解析】考点一 任意角的三角函数值例1 已知角α的终边过点(1P -，求这个角的三个三角函数值。