任意角的三角函数及基本公式

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点，记：),(y x P 22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：x y =αtan 余切：yx =αcot 正割：xr =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：，，。

1cos sin 22=+αααα22sec tan 1=+αα22csc cot 1=+三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α−、απ+、απ−、απ−2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ−2、απ+23、απ−23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅−⋅=−βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅−⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=− βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅−+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+−=−五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos −=−=−=…)(∗ ααα2tan 1tan 22tan −=二倍角的余弦公式)(∗有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=−2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα−=−六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +−=，ααα2tan 1tan 22tan −=。

高中数学常用三角函数公式一、任意角的三角函数 在角a 的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =a sin 余弦：r x =a cos 正切：x y=a tan二、同角三角函数的基本关系式商数关系：a a a cos sintan =，平方关系：1cos sin 22=+a a ，221cos 1tan a a =+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -s inα sinα cos （π＋α）= -c osα cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -s inα sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -t anα tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -c osα cosα tan （π-α）= -t anα tanα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π2π--α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （2π2π--α）= -s inα sinα cos （2π2π--α）= cosα tan （2π2π--α）= -t anα tanα 公式六： 2p ±α及23p ±α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （2p -α）= cosα cos （2p -α）= sinα sin （2p +α）= cosα cos （2p +α）= -s inαsinα sin （23p -α）= -cosα cos （23p -α）= -s inα sinα sin （23p +α）= -cosα cos （23p +α）= sinα 三、两角和差公式b a b a b a sin cos cos sin )sin(×+×=+b a b a b a sin cos cos sin )sin(×-×=-b a b a b a sin sin cos cos )cos(×-×=+b a b a b a sin sin cos cos )cos(×+×=-ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×-+=+ ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×+-=- 四、二倍角公式a a a cos sin 22sin = a a a a a 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* a aa 2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）（规律：降幂扩角，升幂缩角）a a 2cos 22cos 1=+ a a 2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1a a a +=+ 2)cos (sin 2sin 1a a a -=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22j ++=+x b a x b x a （其中a b=j tan ）其中：角j 的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z) 六、其它公式：1、正弦定理：R C c B b Aa2sin sin sin ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径） 2、余弦定理A bc c b a cos 2222×-+= B ac c a b cos 2222×-+=C ab b a c cos 2222×-+=3、三角形的面积公式高底´´=D 21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===D （两边一夹角）。

三角函数公式汇总常见角三角函数值：sin 0o =0 cos 0o =1 tan 0o =0 cot 0o 不存在 sin 30o =21 cos 30o =23 tan 30o =33cot 30o =3 sin 60o =23 cos 60o =21 tan 60o =3 cot 60o =33 sin 45o =22cos 45o =22tan 45o =1cot 45o =1 sin 90o =1 cos 90o =0 tan 90o 不存在cot 90o =0 任意角三角函数：sin(2k ℼ+α)= sin αcos(2k ℼ+α)= cos αtan(2k ℼ+α)= tan αsin(ℼ+α)= - sin αcos(ℼ+α)= - cos αtan (ℼ+α)= tan αsin(ℼ-α)=sin αcos(ℼ-α)= - cos αtan (ℼ-α)= - tan αsin(2ℼ-α)= - sin αcos(2ℼ-α)=cos αtan (2ℼ-α)= - tan αSin （2π-α）=cos α cos （2π-α）=sin αSin （2π+α）=cos α cos （2π+α）=-sin αSin （23π-α）= - cos α cos （23π-α）= - sin α Sin （23π+α）= - cos α cos （23π+α）=sin α 两角和差三角函数：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A- B)=sinAcosB- cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB- sinAsinBcos(A- B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=B tan A tan B tan A tan -+1 tan(A- B)=Btan A tan B tan A tan +-1 cot(A+B)=Bcot A cot B cot A cot +-1 cot(A-B)=Bcot -A cot B cot A cot 1+ 三角函数半角公式： sin(2A )=2A cos -1 cos(2A )=2A cos 1+ tan(2A )=Acos A cos 1+-1=A sin A cos -1=A cos A sin +1 cot(2A )=A cos Acos 1-+1三角函数平方公式：sin 2α+cos 2α=11+tan 2α=sec 2α1+cot 2α=csc 2αsin 2α=221αcos - cos 2α=αtan 211+=221αcos + tan 2α=αtan tan 212- 三角函数2倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1 tan2α=αtan αtan 212- tan tan2α1=2αcos αsin +1=αsin αcos -1 3倍角三角函数公式： sin3α=3sin α-4sin 3α =4sin αsin(60o +α)sin(60o -α) sos3α=4cos 3α-3cos α =4cos αcos(60o -α)cos(60o +α) tan3α=tan αtan(60o -α)tan(60o +α) 三角函数万能公式：sin α=2αtan 212αtan+2 cos α=2αtan 212αtan +-21 tan α=2αtan 212αtan -2三角函数和差化积公式： sinA+sinB=2sin 2B A +cos 2B A - sinA- sinB=2sin 2B A -cos 2B A + cosA+cosB=2cos 2B A +cos 2B A - cosA- cosB= -2sin 2B A +sin 2B A - tanA+tanB=Bcos A cos )B A sin(+ tanA - tanB=Bcos A cos )B A sin(- cotA+cotB=Bsin A sin )B A sin(+ cotA - cotB=Bsin A sin )B A sin(- tanA - cotB= - B sin A cos )B A cos(+三角函数积化和差公式： sinAsinB= -21[cos(A+B)-cos(A-B)] cosAcosB=21[cos(A+B)+cos(A-B)] sinAcosB=21[sin(A+B)+sin(A-B)] cosAsinB=21[sin(A+B)-sin(A-B)] 辅助角公式：asin α+bcos α=b 2a 2 sin(α+ѱ) (公式中tan ѱ=a b ) 正弦定理：A sin a =B sin b =C sin c =2R （R 为△ABC 外接圆半径）余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosAb 2=a 2+c 2-2ac ·cosBc 2=a 2+b 2-2ab ·cosC整理不易，请勿盗版。

任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。

任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。

下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。

1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。

正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。

其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。

2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。

其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。

3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。

其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。

4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。

其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。

5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。

其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。

6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。

其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。

这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。

同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。

高中数学-三角函数公式大全新课程高中数学三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取一点P(x,y)，记r=x²+y²。

正弦：sinα=y/r余弦：cosα=x/r正切：tanα=y/x余切：cotα=x/y正割：secα=r/x余割：cscα=r/y注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数。

如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：sinα·cscα=1，cosα·secα=1，tanα·cotα=1.商数关系：tanα=sinα/cosα，cotα=cosα/sinα。

平方关系：sin²α+cos²α=1，1+tan²α=sec²α，1+cot²α=csc²α。

三、诱导公式⑴α+2kπ(k∈Z)、-α、π+α、π-α、2π-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵π/3+α、-π/3+α、π-α、-π+α的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)五、二倍角公式sin2α=2sinα·cosαcos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α…(※)tan2α=2tanα/(1-tan²α)二倍角的余弦公式(※)有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）1+cos2α=2cos²α1-cos2α=2sin²α1+sin2α=(sinα+cosα)²1-sin2α=(sinα-cosα)²cos2α=(1+cos2α)/(1-cos2α)sin2α=(1-cos2α)/2tanα=sin2α/(1+cos2α)万能公式告诉我们，任何单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限） )(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(.1Z k k k k ∈⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+ααπααπααπ sin()sin 2.cos()cos tan()tan αααααα-=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩ sin()sin 3.cos()cos tan()tan πααπααπαα+=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(.4 sin(2)sin 5.cos(2)cos tan(2)tan πααπααπαα-=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩ ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看．成．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）sin()cos 26.cos()sin 2tan()cot 2πααπααπαα⎧+=⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪+=-⎪⎩ sin()cos 27.cos()sin 2tan()cot 2πααπααπαα⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 3sin()cos 238.cos()sin 23tan()cot 2πααπααπαα⎧+=-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=-⎪⎩ 3sin()cos 239.cos()sin 23tan()cot 2πααπααπαα⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪⎪-=⎪⎩ 四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (⋅+-=- 五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ ； αα2sin 22cos 1=-；2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ ；2)cos (sin 2sin 1ααα-=-；六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=；ααα22tan 1tan 12cos +-=；ααα2tan 1tan 22tan -=。

1. 任意角的三角函数：（1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（2） 扇形的面积公式：lR S 21=R 为圆弧的半径，l 为弧长。

（3） 同角三角函数关系式：①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a aa cos sin tan =③平方关系：1cos sin 22=+a a（4） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）针对角a k ±⋅2π，所谓奇偶指的是整数k 的奇偶性，象限指的是角a k ±⋅π所在象限。

（三角函数的符号遵循“一全，二正弦，三切，四余弦”）2.（1）两角和与差公式：βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±βββtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=±注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．．可得出，．．．．辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ±+=±b a b a（2）二倍角公式：a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a aaaa 2tan 1tan 22tan -=从二倍角的余弦公式里面可得出，降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 22cos 1sin 2aa -=3、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：xr =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。

三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y=αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：yx =αcot 正割：xr =αsec 余割：yr =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =，αααsin tan sec =，αααtan sec csc =以上公式，均可由定义直接证明。

六角形记忆法：构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。

（1）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（3）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。

由此，可得商数关系式。

三、诱导公式公式一：（同终边的角）设α为任意角，终边相同的角的同一类三角函数的值相等：ααπsin )2k sin(=+ααπcos )cos(2k =+ααπtan )tan(2k =+公式二：（x 轴对称角）任意角α与-α的三角函数值之间的关系：αα-sin )-sin(=ααcos )cos(-=αα-tan )tan(-=公式三：（中心对称角）设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：ααπ-sin )sin(=+ααπ-cos )cos(=+ααπtan )tan(=+公式四：（y 轴对称角）利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：ααπsin )-sin(=ααπ-cos )-cos(=ααπ-tan )-tan(=公式五：（同x 轴对称角）利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：ααπsin )-2k sin(=ααπcos )-cos(2k =ααπ-tan )-tan(2k =公式六：（垂直关系角或y=x 对称或y=-x 对称角）2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：ααπcos )2sin(=+ααπ-sin )2cos(=+ααπ-cot )2tan(=+ααπcos )-2sin(=ααπsin )-2cos(=ααπcot )-2tan(=ααπcos -)23sin(=+ααπsin )23cos(=+ααπ-cot )23tan(=+ααπcos -)-23sin(=ααπ-sin )-23cos(=ααπcot )-23tan(=※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于Z)k (2k ∈±∙απ的个三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ；cot →tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

三角函数公式一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦函数：r y =αsin 余弦函数：r x =αcos 正切函数：x y=αtan 余切函数：y x =αcot 正割函数：xr=αsec 余割函数：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”倒数关系：1csc sin =⋅x x ，1sec cos =⋅x x ，1cot tan =⋅x x 。

商数关系：x x x cos sin tan =，xxx sin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+x x ，x x 22sec tan 1=+，x x 22csc cot 1=+。

积的关系：sinx=tanx·cosx cosx=sinx·cotx tanx=sinx·secxcotx=cosx·cscx secx=tanx·cscx cscx=secx·cotx三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）＝sinα cos （2kπ＋α）＝cosαtan （2kπ＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα (其中k ∈Z)公式二：设α为任意角，π＋α的三角函数的值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos （π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot （π＋α）＝cotα公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos （π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα cot （π－α）＝－cotα 公式五：απ-2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ-2）＝cosα cos （απ-2）＝sinα tan （απ-2）＝cotα cot （απ-2）＝tanα公式六：απ+2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+2）＝cosα cos （απ+2）＝－sinα tan （απ+2）＝－cotα cot （απ+2）＝－tanα公式七：απ-23与α的三角函数值之间的关系： sin （απ-23）＝－cosα cos （απ-23）＝－sinαtan （απ-23）＝cotα cot （απ-23）＝tanα公式八：απ+23与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+23）＝－cosα cos （απ+23）＝sinαtan （απ+23）＝－cotα cot （απ+23）＝－tanα公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot （2π－α）＝－cotα⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ,记：22y x r +=, 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan =,平方关系：1cos sin 22=+αα,221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin2kπ＋α= sinα cos2kπ＋α= cosα tan2kπ＋α= tanα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sinπ＋α= -sinα cosπ＋α= -cosα tanπ＋α= tanα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin-α= -sinα cos -α= cosα tan -α= -tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sinπ-α= sinα cosπ-α= -cosα tanπ-α= -tanα公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin2π-α= -sinα cos2π-α= cosα tan2π-α= -tanα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin 2π-α= cosα cos 2π-α= sinα sin 2π+α= cosα cos 2π+α= -sinα sin 23π-α= -cosα cos 23π-α= -sinα sin 23π+α= -cosα cos 23π+α= sinα 三、两角和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 四、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：规律：降幂扩角,升幂缩角αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 其中ab =ϕtan 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同,以上k ∈Z六、其它公式：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===R 为ABC ∆外接圆半径 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=3、三角形的面积公式高底⨯⨯=∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆两边一夹角万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/cos^2α+sin^2α......,因为cos^2α+sin^2α=1再把分式上下同除cos^2α,可得sin2α=2tanα/1+tan^2α然后用α/2代替α即可;同理可推导余弦的万能公式;正切的万能公式可通过正弦比余弦得到;三倍角公式推导tan3α=sin3α/cos3α=sin2αcosα+cos2αsinα/cos2αcosα-sin2αsinα=2sinαcos^2α+cos^2αsinα－sin^3α/cos^3α－cosαsin^2α－2sin^2αcosα上下同除以cos^3α,得：tan3α=3tanα－tan^3α/1-3tan^2αsin3α=sin2α+α=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2α+1－2sin^2αsinα=2sinα－2sin^3α+sinα－2sin^3α=3sinα－4sin^3αcos3α=cos2α+α=cos2αcosα－sin2αsinα=2cos^2α－1cosα－2cosαsin^2α=2cos^3α－cosα+2cosα－2cos^3α=4cos^3α－3cosα即sin3α=3sinα－4sin^3αcos3α=4cos^3α－3cosα和差化积公式推导首先,我们知道sina+b=sinacosb+cosasinb,sina-b=sinacosb-cosasinb我们把两式相加就得到sina+b+sina-b=2sinacosb所以,sinacosb=sina+b+sina-b/2同理,若把两式相减,就得到cosasinb=sina+b-sina-b/2同样的,我们还知道cosa+b=cosacosb-sinasinb,cosa-b=cosacosb+sinasinb所以,把两式相加,我们就可以得到cosa+b+cosa-b=2cosacosb所以我们就得到,cosacosb=cosa+b+cosa-b/2同理,两式相减我们就得到sinasinb=-cosa+b-cosa-b/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sinacosb=sina+b+sina-b/2cosasinb=sina+b-sina-b/2cosacosb=cosa+b+cosa-b/2sinasinb=-cosa+b-cosa-b/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=x+y/2,b=x-y/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sinx+y/2cosx-y/2sinx-siny=2cosx+y/2sinx-y/2cosx+cosy=2cosx+y/2cosx-y/2 cosx-cosy=-2sinx+y/2sinx-y/2。

三角函数公式及证明三角函数是数学中重要的概念，它描述了一个角度与一个直角三角形的边长之间的关系。

在三角函数中，有三个基本的函数，即正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学和科学领域中广泛应用，并且它们之间还有一些重要的关系和恒等式。

一、正弦函数正弦函数（Sine Function）是指在任意角θ的终边所在的单位圆上取点P(x,y)的纵坐标y。

其定义域为实数集，值域为[-1,1]。

常用正弦函数的符号为sinθ，其中θ表示角度。

正弦函数的公式为：sinθ = y/r其中，y表示以θ为终边的单位圆上的点的纵坐标，r表示点到圆心的距离。

证明一：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ我们设角α的终边交单位圆上的点A(x1,y1)，角β的终边交单位圆上的点B(x2,y2)。

则A点的坐标为（cosα，sinα），B点的坐标为（cosβ，sinβ）。

那么，可以得出A点到原点O的距离为√（x1²+y1²）=1，B点到原点O的距离为√（x2²+y2²）=1根据余弦定理可以得出，线段AB的长度为√[(1-cosα)²+(1-cosβ)²+2(sinα-sinβ)²]又因为A、B两点的坐标分别为（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ），所以根据欧氏距离公式，可以得出线段AB的长度为√[(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²]由于√[(1-cosα)²+(1-cosβ)²+2(sinα-sinβ)²]=√[(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²]展开并移项整理后可得1-2cosαcosβ-cos²α+sin²β-2sinαsinβ+cos²β+sin²α=cos²α-2cosαcosβ+cos²β+sin²α-2sinαsinβ+sin²β进一步整理可以得到1-cos²α+sin²β=cos²α+sin²β即sin²β=sin²α两边开方可以得到sinβ=sinα证明二：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ我们将证明中的角度关系进行一些调整，即证明-sin(β-α)=sinαcosβ-cosαsinβ由于-sinθ=-1*sinθ,所以可以将式子转化为以下形式：sin(β-α)=-sinαcosβ+cosαsinβ然后将证明一中的步骤倒着进行，即可得到结论。

三角函数公式大全三角函数定义函数关系倒数关系：商数关系：平方关系：．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

三角函数公式一、任意角的三角函数在角的终边上任取一点，记：，正弦函数：余弦函数：正切函数：余切函数：正割函数：余割函数：二、同角三角函数的基本关系式六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”倒数关系：，，。

商数关系：，。

平方关系：，，。

积的关系：sinx=tanx·cosx cosx=sinx·cotx tanx=sinx·secxcotx=cosx·cscx secx=tanx·cscx cscx=secx·cotx三、诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z)公式二：设为任意角，π＋α的三角函数的值与的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα公式五：与α的三角函数值之间的关系：sin（）＝cosα cos（）＝sinαtan（）＝cotα cot（）＝tanα公式六：与α的三角函数值之间的关系：sin（）＝cosα cos（）＝－sinαtan（）＝－cotα cot（）＝－tanα公式七：与α的三角函数值之间的关系：sin（）＝－cosα cos（）＝－sinαtan（）＝cotα cot（）＝tanα公式八：与α的三角函数值之间的关系：sin（）＝－cosα cos（）＝sinαtan（）＝－cotα cot（）＝－tanα公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα⑴、、、、的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。