任意角的三角函数及基本关系

高中数学任意角的三角函数及基本公式高中数学中，我们学习了任意角的三角函数及其基本公式。

在本文中，我将详细介绍任意角的概念以及正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，同时也会重点介绍相关的基本公式。

首先，任意角是指一个角，并不限于特定的范围。

它可以是锐角、直角、钝角，也可以是超过360度的角。

为了方便起见，我们通常使用角的标准位置来描述任意角。

标准位置是指一个角的顶点位于坐标原点O，其中 initial side 落在 x 轴上方，terminal side 以逆时针方向转过的角。

在坐标平面中，我们用角的顶点和 terminal side 与 x 轴的夹角来表示这个角的大小。

这个夹角称为角的终边与 x 轴正半轴的夹角。

在任意角的基础上，我们引入了三角函数的概念。

在一个一元直角三角形中，我们可以定义正弦、余弦和正切这三个基本的三角函数。

设角A的终边与单位圆相交于点P(x, y)，其中点P到圆心的距离为r=1、则正弦函数 sin(A) 定义为点P的y坐标，即 sin(A) = y；余弦函数 cos(A) 定义为点P的x坐标，即 cos(A) = x；正切函数 tan(A) 定义为 sin(A) 除以 cos(A)，即 tan(A) = y/x。

在讨论三角函数的性质之前，我们先来了解一下单位圆。

单位圆是指半径为1的圆，圆心坐标为原点O(0,0)。

在单位圆上，以原点O为起点，以终边为终点的角A对应于圆弧∠POB。

角的度数等于角所对应的圆弧的长度，换句话说，角的度数等于弧度制下的角度。

因此，1弧度等于单位圆的半径。

接下来，我们来讨论一下正弦、余弦和正切函数的基本公式。

1.正弦函数的基本公式根据三角函数定义，我们可以得到 sin(A) = y，通过单位圆和直角三角形的关系，我们可以得到 sin(A) = \(\frac{y}{r}\) =\(\frac{y}{1}\) = y。

2.余弦函数的基本公式根据三角函数定义，我们可以得到 cos(A) = x，通过单位圆和直角三角形的关系，我们可以得到 cos(A) = \(\frac{x}{r}\) =\(\frac{x}{1}\) = x。

任意角的三角函数1．三角函数定义设点P (x ,y )是锐角α终边上的任意一点，,点P 到原点O 的距离是r （022≠+=y x r ）那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；2．三角函数的符号①正弦值yr 上正下负②余弦值xr 左正右负③正切值yx若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

3．三角函数线：三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示1．单位圆： 2．有向线段：有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATATα====．例1. 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值。

例2. 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线并比较下列各组数的大小：（1）3π （2）56π （3）23π-例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角1︒ sin α≥21 2︒ tan α>33例4. 解不等式（1）1sin 2x <-； （2）1cos 2x >；4. 同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααααtan cos sin =例4 已知54sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．例5．已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα例6. 化简：440sin 12-例7. 求证：（1）1sin 2cos sin 244-=-ααα （2）αααα2222sin tan sin tan ⋅=- （3）ααααcos sin 1sin 1cos +=-。

高中数学常用三角函数公式一、任意角的三角函数 在角a 的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =a sin 余弦：r x =a cos 正切：x y=a tan二、同角三角函数的基本关系式商数关系：a a a cos sintan =，平方关系：1cos sin 22=+a a ，221cos 1tan a a =+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -s inα sinα cos （π＋α）= -c osα cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -s inα sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -t anα tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -c osα cosα tan （π-α）= -t anα tanα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π2π--α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （2π2π--α）= -s inα sinα cos （2π2π--α）= cosα tan （2π2π--α）= -t anα tanα 公式六： 2p ±α及23p ±α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （2p -α）= cosα cos （2p -α）= sinα sin （2p +α）= cosα cos （2p +α）= -s inαsinα sin （23p -α）= -cosα cos （23p -α）= -s inα sinα sin （23p +α）= -cosα cos （23p +α）= sinα 三、两角和差公式b a b a b a sin cos cos sin )sin(×+×=+b a b a b a sin cos cos sin )sin(×-×=-b a b a b a sin sin cos cos )cos(×-×=+b a b a b a sin sin cos cos )cos(×+×=-ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×-+=+ ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×+-=- 四、二倍角公式a a a cos sin 22sin = a a a a a 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* a aa 2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）（规律：降幂扩角，升幂缩角）a a 2cos 22cos 1=+ a a 2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1a a a +=+ 2)cos (sin 2sin 1a a a -=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22j ++=+x b a x b x a （其中a b=j tan ）其中：角j 的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z) 六、其它公式：1、正弦定理：R C c B b Aa2sin sin sin ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径） 2、余弦定理A bc c b a cos 2222×-+= B ac c a b cos 2222×-+=C ab b a c cos 2222×-+=3、三角形的面积公式高底´´=D 21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===D （两边一夹角）。

任意角的三角函数知识点一、终边角：与α终边相同的角表示为。

分别写出终边在下列位置时的角α的集合：1.x轴上2.y轴上3.坐标轴上4.第一象限5.第二象限6.第三象限7.第四象限 8.直线y＝x上二、弧度制：1、定义：2、公式：|α|＝3、换算：①度换弧度：180°＝弧度； 1°＝弧度②弧度换度：1弧度＝度；扇形：弧长L＝＝，面积S＝＝三、任意角的三角函数：①定义：角α终边的终边与单位圆的交点P(x，y)，则sinα= cosα= tanα=角α终边上任意一点交点P(x，y)，则r= ，则sinα= cosα= tanα=②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作轴的垂线，垂足为M，则正弦线是余弦线是即sinα= ,cosα= .过点A(1,0)作交于点T即tonα= .③同角三角函数关系式：④三角函数的符号：（1）商数关系：（2）平方关系：⑤诱导公式：2kπ+α与απ—α与απ＋α与α)(βα+C )(βα-C)(βα+S )(βα-S )(βα+T )(βα-T⑧二倍角公式： α2Sα2C α2T三角函数的图象与性质答案一、终边角：与α终边相同的角表为k ·360° + α 。

分别写出终边在下列位置时的角α的集合： 1. x 轴上 {},k k Z ααπ=∈2. y 轴上 ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3. 坐标轴上,2k k Z ααπ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭4. 第一象限22,2k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭5. 第二象限22,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭6. 第三象限322,2k k k Z παππαπ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭7. 第四象限3222,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭8. 第一或第三象限,2k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭9. 第二或第四象限,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭10. 直线y ＝x 上,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭11. 直线y ＝-x 上3,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭二、 弧度制：1、定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫一弧度的角.2、 公式：|α|＝lr3、 换算：① 度换弧度：180°＝π弧度；1°＝180π弧度②弧度换度：1弧度＝180π度；扇形： 弧长L ＝180n rπ＝ r α， 面积S ＝2360n r π＝12lr三、 任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝，六个三角函数的定义依次是sin y r α=、cos x r α=、tan y α=cot x α=sec r α=csc r α= ②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则正弦线是MP 余弦线是OM即sin α=MP,cos α= OM.过点A(1,0)作 切线交 角的终边或反向延长线 于点T ，则正切线是AT 。

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式 一．知识点（1）任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（),y x ，它与原点的距离是22(y x r r +=0>），那么：比值y r x r y x x y r x r y,,,,,分别叫α的正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，记作：sin α,.csc ,sec ,cot ,tan ,cos ααααα（2）正弦线，余弦线，正切线的定义（3）三角函数符号的判断口诀记忆法： 一全正，二正弦，三正切，四余弦 （4）公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等ααααααααααααcsc )360csc(;sec )360sec(;cot )360cot(tan )360tan(;cos )360cos(;sin )360sin(=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+k k k k k k ()z k ∈(5) 同角三角函数的关系式：1cos sin 22=+αα；;tan cossin ααα=1c o t t a n =⋅αα ; αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+,αααcot sin cos =, 1csc sin =αα ; 1sec cos =αα二：任意角的三角函数的方法总结1：用定义法求三角函数值 2．用转化法求终边相同的交的三角函数值 例题：求2π的六个三角函数值 例如：求值1470cos )1740sin(-3．用分类讨论的方法解题例如：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的六种三角函数值 4．用数形结合的方法解三角不等式 例如：已知23cos <θ，求角θ的取值范围三．同角三角函数的基本关系式的方法总结1． 用方程的思想指导解题 2. 用整体的思想指导解题例如：已知,,tan 23παπα<<=m 求αsin 例如：已知,cos sin a =+αα 求ααcos sin3． 分类讨论的思想解题 4. 用转化的思想指导解题例如：已知51sin =α，求ααtan ,cos 。

任意角的三角函数及基本公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式（第课时）任意角的三角函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±±--︒±︒+︒•⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧的函数关系与以及的函数关系与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。

难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。

1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。

任意角三角函数的意义，三角函数值的符号；1．角的定义⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。

⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。

射线顺时针旋转而成的角叫负角。

射线没有任何旋转所成的角叫零角。

2．弧度制⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。

注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与︒1sin 、︒2sin 不是一回事。

⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。

正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

⑶ 设一个角的弧度数为α，则 rl=α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。

⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。

⑸ 1π=︒弧度，1弧度︒=)180(。

三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。

三角公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22yx r +=，正弦：r y =αsin 余弦：rx =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：xr =αsec余割：yr =αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。

三角函数公式大全三角函数定义直任角三角形意角三角函数函数关系倒数关系：商数关系：平方关系：．诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及与的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。

形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．以诱导公式二为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例：若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表： (2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。

任意角的三角函数、同角三角函数的关系一、任意角的三角函数：1、角的概念：角的形成，角的始边、顶点、终边．2、角的概念的推广： 正角； 负角； 零角.3、终边相同的角：与α角终边相同的角的集合（连同α角在内），可以记为{ββ|＝2k πα+，k ∈Z }．注意：角k πα+（k ∈Z ）表示两条终边，一条是 ，另一条是 ．4、象限角、区间角、区间角的集合 注意：1、各象限角的集合；α为象限角，2α是第几象限角的确定 2、区间角的确定---举例说明5．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ， 终边在坐标轴上的角的集合为 ． 注意：终边关于x 轴、y 轴、坐标原点对称的角之间的关系若角α与β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是：α+β= 2k π，k ∈Z ；若角α与β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是：α+β= (2k+1)π，k ∈Z若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是：α－β=π+2k π=β+(2k+1)π，k ∈Z ；6、弧度制、弧长公式：r l⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形弧度与角度互换公式： 1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180π≈0.01745（rad ）7、填表：8、三角函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），P 与原点的距离为r= （r ＞0），则 r y =αsin ； r x =αcos ； x y =αtan ；注意：锐角三角函数：sin αα=的对边斜边cos αα=的邻边斜边tan ααα=的对边的邻边9、已知角α终边上一点P 与原点的距离为r ，则点P 的坐标是 10、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 注意： 终边相同的角的同一三角函数值相等例如 390°和-330°都30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30°－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x yO xy O x y O11、三角函数线 （1）.单位圆和有向线段① 单位圆：圆心在坐标原点，半径等于单位长度的圆叫做单位圆. ② 有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段.设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边与单位圆相交于点P(x,y),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时） 或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T.规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值；当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则OM=x, MP=y ,（2）.三角函数线：根据正弦、余弦、正切的定义，就有sin ,cos ,11tan .y y x xy MP x OM r r y MP ATAT x OM OA ααα============ 这三条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT （是指有向线段的数量值：）分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. 注意：三角函数线是指有向线段的数量值：“符号再加上长度”12、同角三角函数的基本关系式：（1）、平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1 （2）、商数关系：tan α＝ 【()2a k k Z ππ≠+∈】.说明：① 注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”③. 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-，cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=， s i nc o s t a n ααα=⋅.练习：1、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 、写出终边在直线在y=x 上的角的集合2、若角α和角β的终边关于y 轴对称，则sin α 、sin β的大小关系是 答：sin sin αβ=；3、已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是 答：(2,3]-4、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝ （答：125-）；5、若α是第二象限的角，试分别确定2α的终边所在位置. 6、函数cos sin tan |sin |cos tan x xx y x x x=++的值域是 7、 设α 是第二象限的角，且|cos |cos ,222ααα=-则的范围是8. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥23; (2)cos α≤21-.9、扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求中心角的弧度数和弦长AB ．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α则有⎪⎩⎪⎨⎧==+12142lr l r ∴⎩⎨⎧==21l r 由 |α|＝rl 得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )10、若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：扇形周长R R l R C 222+=+= ∴22+=C R ∴22)22(2121+⋅=⋅=C R S αα扇1624241244122222C C C ≤++⋅=++⋅=ααα 当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为162c ．11、利用三角函数线证明：0,sin tan .2x x x x π<<<<若求证：12、若αα2cos 1sin -+ααcos sin 12-=0，判断cos （sin α）•sin （cos α）的符号。

㈠角的概念及分类1、设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角}，C={θ|θ为第一象限角}，D={θ|θ为小于90°的正角}，则( )A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D 2、判断下列命题是否正确，并说明理由. (1)小于90°的角是锐角；(2)第一象限的角小于第二象限的角； (3)终边相同的角一定相等；(4)相等的角终边一定相同； (5)若α∈［90°， 180°］，则α是第二象限角. 3、.在-720°到720°之间与角-1 000°终边相同的角是____________. 4、已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限5、设α是第三象限角，试讨论3α所在平面区域，并在直角坐标平面上把它们表示出来.6、如右图，写出终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为__________. ㈡终边相同的角 1、已知角α=45°. (1)在区间［-720°,0°］内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)集合M=｛x ｜x=2k ×180°+45°,k ∈Z ｝,N=｛x ｜x=4k×180°+45°,k ∈Z ｝, 那么两集合的关系是什么？2、已知α=1 690°，（1）把α改写成β+k·360°（k ∈Z,0°≤β＜360°）的形式； （2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限. 3、把下列各角写成k·360°+α(0°≤α＜360°)的形式，并指出它们所在象限或终边的位置. (1)-135°,(2)-540°,(3)1 110°,(4)765°.4、写出终边在直线y=x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式-360°≤β≤360°的元素β写出来.5、集合M={x|x=k·90°±45°,k ∈Z}与P={x|x=k·45°，k ∈Z}之间的关系是（ ）A.M PB.P MC.M=PD.M∩P=∅ 6、集合A={α|α=6πk ,k ∈Z}与B={β|β=3πn +6π,n ∈Z}的关系是( ) A.A B B.A B C.A=B D.A ⊆B7、(1)若α与β终边关于x 轴对称,则 ； (2)若α与β终边关于y 轴对称,则 ； (3)若α与β终边关于y=-x 对称,则 ;(4）若α的终边与β的终边关于y=x 对称，则 ； (5)若α与β终边在同一直线上，则 ;(6)若α的终边与β的终边互相垂直，则 ；8、已知角α的终边在如图阴影所示的范围内(不包括边界)，求角α的范围.9、用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.㈢弧度制1、集合A={α|α=kπ+2π,k ∈Z},B={α|α=2kπ±2π,k ∈Z}的关系是( ) A.A=B B.A ⊆B C.A ⊇B D.以上都不对2、一个扇形的面积为1,周长为4,则中心角的弧度数为______________.3、一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少 一扇形周长为20 cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？4、若A={α|2kπ+6π＜α＜2kπ+65π,k ∈Z},B={β|2kπ2π-＜β＜2kπ4π+,k ∈Z},则A ∪B=________，A∩B=________.5、用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界).6、用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（如下图），不包括边界.7、用弧度制表示下列终边落在阴影内部分的角的集合(图1-1-3)：图1-1-38、已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k ∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B 为（ ） A.∅ B.{α|-4≤α≤π}C.{α|0≤α≤π}D.{α|-4≤α≤-π}∪{α|0≤α≤π} ㈣任意角的三角函数1、已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα.2、若角α的终边与直线y=3x 重合且sinα<0，又P(m ，n)是α终边上一点，且|OP|=10，则m-n 等于( )A.2B.-2C.4D.-43、若角α的终边过点P(3cosθ，-4cosθ)(θ为第二象限角)，则sinα=________.4、确定下列三角函数值的符号. (1)cos250°;(2)sin(-4π);(3)tan(-672°);(4)tan 311π.5、确定下列三角函数值的符号. (1)cos521π;(2)sin(-760°);(3)tan 37π.6、解答下列问题:(1)若θ在第四象限,试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号; (2)若tan(cosθ)·cot(sinθ)＞0,试指出θ所在象限.7、在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合. (1)sinα≥23;(2)cosα≤-21.8、比较下列各组数的大小： (1)sin 1和sin3π； (2)cos 74π和cos 75π；(3)tan 89π和tan 79π；(4)sin 5π和tan 5π.9、根据下列三角函数值，求作角a 的终边，然后求角的取值集合. (1)sin α=21; (2)cos α=21； (3)tan α=－1 (4)sin α＞21. 10、如果4π＜θ＜2π，那么下列各式正确的是( ) A.cosθ＜tanθ＜sinθ B.sinθ＜cosθ＜tanθC.tanθ＜sinθ＜cosθD.cosθ＜sinθ＜tanθ11、若-43π＜α＜-2π,从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是_____________. 12、已知θ为第三象限角，且|cos 2θ|=-cos 2θ,则角2θ属于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限13、已知sinα＞sinβ,那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβ B.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ ㈤同角三角函数的基本关系 1、已知cosα=178-,求sinα、tanα的值. 2、已知sinα+3cosα=0，求sinα、cosα的值.3、已知cosα=m(|m|≤1),求sinα、tanα的值.4、已知sinαcosα=83,且4π＜α＜2π,则cosα-sinα的值是________________. 5、已知3sinα-2cosα=0,求下列各式的值.(1);sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-(2)sin 2α-2sinαcosα+4cos 2α.6、已知tanα=2,则(1)ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--=____________________；(2)ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--=_______________________. 7、已知sinθ+cosθ=51,θ∈(0,π),求值（1）tanθ;（2）s inθ-cosθ;（3）sin 3θ+cos 3θ.8、已知sinα-cosα=21，求sin 3α-cos 3α的值.9、化简：(1)︒︒-40cos 40sin 21；(2)sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β.10、如果sinθ+cosθ=-15(0＜θ＜π),则tanθ的值为（ ）A.-34B.34C.±34D.-34 11、若π43＜α＜π,化简ααααcos sin 21cos sin 21-++=________________.。