任意角的三角函数及基本关系

高中数学任意角的三角函数及基本公式高中数学中，我们学习了任意角的三角函数及其基本公式。

在本文中，我将详细介绍任意角的概念以及正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，同时也会重点介绍相关的基本公式。

首先，任意角是指一个角，并不限于特定的范围。

它可以是锐角、直角、钝角，也可以是超过360度的角。

为了方便起见，我们通常使用角的标准位置来描述任意角。

标准位置是指一个角的顶点位于坐标原点O，其中 initial side 落在 x 轴上方，terminal side 以逆时针方向转过的角。

在坐标平面中，我们用角的顶点和 terminal side 与 x 轴的夹角来表示这个角的大小。

这个夹角称为角的终边与 x 轴正半轴的夹角。

在任意角的基础上，我们引入了三角函数的概念。

在一个一元直角三角形中，我们可以定义正弦、余弦和正切这三个基本的三角函数。

设角A的终边与单位圆相交于点P(x, y)，其中点P到圆心的距离为r=1、则正弦函数 sin(A) 定义为点P的y坐标，即 sin(A) = y；余弦函数 cos(A) 定义为点P的x坐标，即 cos(A) = x；正切函数 tan(A) 定义为 sin(A) 除以 cos(A)，即 tan(A) = y/x。

在讨论三角函数的性质之前，我们先来了解一下单位圆。

单位圆是指半径为1的圆，圆心坐标为原点O(0,0)。

在单位圆上，以原点O为起点，以终边为终点的角A对应于圆弧∠POB。

角的度数等于角所对应的圆弧的长度，换句话说，角的度数等于弧度制下的角度。

因此，1弧度等于单位圆的半径。

接下来，我们来讨论一下正弦、余弦和正切函数的基本公式。

1.正弦函数的基本公式根据三角函数定义，我们可以得到 sin(A) = y，通过单位圆和直角三角形的关系，我们可以得到 sin(A) = \(\frac{y}{r}\) =\(\frac{y}{1}\) = y。

2.余弦函数的基本公式根据三角函数定义，我们可以得到 cos(A) = x，通过单位圆和直角三角形的关系，我们可以得到 cos(A) = \(\frac{x}{r}\) =\(\frac{x}{1}\) = x。

任意角的三角函数1．三角函数定义设点P (x ,y )是锐角α终边上的任意一点，,点P 到原点O 的距离是r （022≠+=y x r ）那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=；（2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan yx α=；2．三角函数的符号①正弦值yr 上正下负②余弦值xr 左正右负③正切值yx若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

3．三角函数线：三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示1．单位圆： 2．有向线段：有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， cos 1x xx OM r α====， tan y MP ATATα====．例1. 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值。

例2. 分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线并比较下列各组数的大小：（1）3π （2）56π （3）23π-例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角1︒ sin α≥21 2︒ tan α>33例4. 解不等式（1）1sin 2x <-； （2）1cos 2x >；4. 同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααααtan cos sin =例4 已知54sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．例5．已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα例6. 化简：440sin 12-例7. 求证：（1）1sin 2cos sin 244-=-ααα （2）αααα2222sin tan sin tan ⋅=- （3）ααααcos sin 1sin 1cos +=-。

高中数学常用三角函数公式一、任意角的三角函数 在角a 的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =a sin 余弦：r x =a cos 正切：x y=a tan二、同角三角函数的基本关系式商数关系：a a a cos sintan =，平方关系：1cos sin 22=+a a ，221cos 1tan a a =+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -s inα sinα cos （π＋α）= -c osα cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -s inα sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -t anα tanα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -c osα cosα tan （π-α）= -t anα tanα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π2π--α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系：sin （2π2π--α）= -s inα sinα cos （2π2π--α）= cosα tan （2π2π--α）= -t anα tanα 公式六： 2p ±α及23p ±α与α的三角函数值之间的关系：的三角函数值之间的关系： sin （2p -α）= cosα cos （2p -α）= sinα sin （2p +α）= cosα cos （2p +α）= -s inαsinα sin （23p -α）= -cosα cos （23p -α）= -s inα sinα sin （23p +α）= -cosα cos （23p +α）= sinα 三、两角和差公式b a b a b a sin cos cos sin )sin(×+×=+b a b a b a sin cos cos sin )sin(×-×=-b a b a b a sin sin cos cos )cos(×-×=+b a b a b a sin sin cos cos )cos(×+×=-ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×-+=+ ba b a b a tan tan 1tan tan )tan(×+-=- 四、二倍角公式a a a cos sin 22sin = a a a a a 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* a aa 2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）（规律：降幂扩角，升幂缩角）a a 2cos 22cos 1=+ a a 2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1a a a +=+ 2)cos (sin 2sin 1a a a -=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22j ++=+x b a x b x a （其中a b=j tan ）其中：角j 的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z) 六、其它公式：1、正弦定理：R C c B b Aa2sin sin sin ===（R 为ABC D 外接圆半径）外接圆半径） 2、余弦定理A bc c b a cos 2222×-+= B ac c a b cos 2222×-+=C ab b a c cos 2222×-+=3、三角形的面积公式高底´´=D 21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===D （两边一夹角）。

任意角的三角函数知识点一、终边角：与α终边相同的角表示为。

分别写出终边在下列位置时的角α的集合：1.x轴上2.y轴上3.坐标轴上4.第一象限5.第二象限6.第三象限7.第四象限 8.直线y＝x上二、弧度制：1、定义：2、公式：|α|＝3、换算：①度换弧度：180°＝弧度； 1°＝弧度②弧度换度：1弧度＝度；扇形：弧长L＝＝，面积S＝＝三、任意角的三角函数：①定义：角α终边的终边与单位圆的交点P(x，y)，则sinα= cosα= tanα=角α终边上任意一点交点P(x，y)，则r= ，则sinα= cosα= tanα=②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P，过点P作轴的垂线，垂足为M，则正弦线是余弦线是即sinα= ,cosα= .过点A(1,0)作交于点T即tonα= .③同角三角函数关系式：④三角函数的符号：（1）商数关系：（2）平方关系：⑤诱导公式：2kπ+α与απ—α与απ＋α与α)(βα+C )(βα-C)(βα+S )(βα-S )(βα+T )(βα-T⑧二倍角公式： α2Sα2C α2T三角函数的图象与性质答案一、终边角：与α终边相同的角表为k ·360° + α 。

分别写出终边在下列位置时的角α的集合： 1. x 轴上 {},k k Z ααπ=∈2. y 轴上 ,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3. 坐标轴上,2k k Z ααπ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭4. 第一象限22,2k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭5. 第二象限22,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭6. 第三象限322,2k k k Z παππαπ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭7. 第四象限3222,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭8. 第一或第三象限,2k k k Z παπαπ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭9. 第二或第四象限,2k k k Z παπαππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭10. 直线y ＝x 上,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭11. 直线y ＝-x 上3,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭二、 弧度制：1、定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫一弧度的角.2、 公式：|α|＝lr3、 换算：① 度换弧度：180°＝π弧度；1°＝180π弧度②弧度换度：1弧度＝180π度；扇形： 弧长L ＝180n rπ＝ r α， 面积S ＝2360n r π＝12lr三、 任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝，六个三角函数的定义依次是sin y r α=、cos x r α=、tan y α=cot x α=sec r α=csc r α= ②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则正弦线是MP 余弦线是OM即sin α=MP,cos α= OM.过点A(1,0)作 切线交 角的终边或反向延长线 于点T ，则正切线是AT 。

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式 一．知识点（1）任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是（),y x ，它与原点的距离是22(y x r r +=0>），那么：比值y r x r y x x y r x r y,,,,,分别叫α的正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，记作：sin α,.csc ,sec ,cot ,tan ,cos ααααα（2）正弦线，余弦线，正切线的定义（3）三角函数符号的判断口诀记忆法： 一全正，二正弦，三正切，四余弦 （4）公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等ααααααααααααcsc )360csc(;sec )360sec(;cot )360cot(tan )360tan(;cos )360cos(;sin )360sin(=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=⋅+k k k k k k ()z k ∈(5) 同角三角函数的关系式：1cos sin 22=+αα；;tan cossin ααα=1c o t t a n =⋅αα ; αα22sec tan 1=+ αα22csc cot 1=+,αααcot sin cos =, 1csc sin =αα ; 1sec cos =αα二：任意角的三角函数的方法总结1：用定义法求三角函数值 2．用转化法求终边相同的交的三角函数值 例题：求2π的六个三角函数值 例如：求值1470cos )1740sin(-3．用分类讨论的方法解题例如：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的六种三角函数值 4．用数形结合的方法解三角不等式 例如：已知23cos <θ，求角θ的取值范围三．同角三角函数的基本关系式的方法总结1． 用方程的思想指导解题 2. 用整体的思想指导解题例如：已知,,tan 23παπα<<=m 求αsin 例如：已知,cos sin a =+αα 求ααcos sin3． 分类讨论的思想解题 4. 用转化的思想指导解题例如：已知51sin =α，求ααtan ,cos 。