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线性控制系统的状态空间描述

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控制实例 转盘速度控制CD 光驱等 开环控制直流放大器直流电机速度设置转台执行机构直流电机受控对象转台控制装置放大器预期速度(电压)实际速度闭环控制（闭环后的等价一个新开环系统）直流放大器直流电机预期速度转台测速计+-⊗执行机构直流电机受控对象转台控制装置放大器实际速度测速计预期速度+-⊗§1.4 控制系统输入— 输出分析稳、准、快.时域分析: 瞬态、稳态频域分析: 幅频-相频法（不介绍） 1. 五种典型输入信号 (1)脉冲()()u t a t δ=⋅；0t ≥；(2)阶跃()1()u t a t =⋅；0t ≥；(也称位置信号) (3)速度()u t a t =⋅；0t ≥； (4)加速度2()u t a t =⋅；0t ≥；(5)正弦()sin u t A t =, 0t ≥. 其它: (1)~(5)组合.2. 单位阶跃响应指标分析单位阶跃响应: 对1()t 的响应()y t [松驰];系统稳定: 若lim ()()t y t y →∞=∞存在; 否则为不稳定;稳态值: ()y ∞[若存在];tpt r t dt O1 1.50.51 st pM 2()y t时标：(1)延迟时间d t ：首次达1()2y ∞的时间；(2)上升时间r t ：首次达()y ∞的…;工程上5% → 95%或10% → 90%所需…; (3)峰值时间p t ：首次达峰值所需要…； (4)最大超调量p M ：()()100%()p p y t y M y -∞=⨯∞.(5)调整时间s t :达且保在()y ∞的5%或2%内的…;(精确地求出它是比较困难的, 一般取一个上界). (1)~(5)称为瞬态指标(6)稳态误差ss e : ()ss r e y y =-∞. ()r y t 是理想输出值.注 对于稳定系统, 要想()y t r =, 只要()u t r =, 常有 ()()0ss r e y y r y =-∞=-∞≠. (后另有解释)设想()G s =简单分式之和⇔ 系统 = 一阶或二阶系统之并.(2) 系统对脉冲、阶跃和任意输入u(t)的响应: impulse(b,a); step(b,a); lsim(b,a,u,t). 例 系统2323y y y u '''++= b=[3]; a=[2 3 2];impulse(b,a,6); step(b,a,6); t=0:0.01:6; u=sin(t); lsim(b,a,u,t);3. 一阶系统分析 典型一阶1()1G s Ts =+, (1.16)T -时间常数.(1)单位阶跃响应分析Ts 1()R s )(s E )(s Y +-因1()[1()]R s t s==L ,所以1111()()()11/p Y s G s R s Ts s s s T==⋅=-++,由1-L()1()t Tp y t t e -=-.稳态值()1p y t =.若要()p y t r =, 只要()1()R t r t =⋅；Matlab 演示 T=1; b=[1]; a=[T,1]; step(b,a); t=0:0.01:10;u=2*sign(t); lsim(b,a,u,t); 无超调量.当误差 < 5%, r t =3T ； 当误差 < 2%, r t =4T . 延迟时间 d t T ≈, T 小应快.(2)单位速度响应分析 对()u t t 的响应v y ,O1T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T0.6320.8650.950.980.991t1.25 图一阶系统的单位阶跃响应T斜率1/()p y t拉变22111()()()11/v T TY s G s U s Ts s s s s T==⋅=-+++,逆变()tTv y t t T Te -=-+,误差为 ()()t Te t t y t t t T Te-⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭v . (),t TT TeT t -=-→→∞若()r u t t y ==, 则误差T .T 小差小, 但不为0. Matlab 验证t=0:0.01:6; u=t; T=1; b=[1];a=[T,1];1.26 图一阶系统单位速度响应O2 4 6 246Tu (t )t()v y tlsim(b,a,u,t); hold on; plot(t,u); (3)脉冲响应对()t δ的响应, 记()y t δ,11/()=()111/TY s G s Ts s Tδ=⋅=++O 5 10 15T1t1t Ty eTδ-= 1.27 图一阶系统的单位脉冲响应逆变1et Ty Tδ-=,impulse([1],[2,1],15);(%T=2) (4)响应之间的关联 输入() 1(),(1())()t t t t δ''==,输出, vp p y y y y δ''==.复域中()()1Y s G s δ=⋅, 1()()p Y s G s s =⋅, 21()()v Y s G s s=,松驰下()()v p sY s Y s =, ()()p sY s Y s δ=.4. 二阶系统分析 典型二阶系统222()2nn nG s s s ωζωω=++ n ω:固有频率ζ: 阻尼比,等价于)2(2n ns s ωζω+()R s )(s E )(s Y +-弹-质-阻 首1化.()()()()my t y t ky t u t μ'''++= 其特征方程222ζ0n ns s ωω++=. (1.16)(1) 01ζ<<(欠阻尼). 极点2221,22442n nns ζωζωω-±-=21n n j ζωωζ=-±-单位响应拉变kuyμm2221()()()2ζnn n Y s G s U s s s sωωω==⋅++ 22222ζ1ζ,(ζ)(ζ)1ζn d n d n ds s s s ωωωωωω+=--⋅++++- 21ζd n ωω=-,逆变得ζζ2ζ()1ecos esin 1ζttn n d d y t t t ωωωω--=---,令 2cot 1ζϕζ=-则2cos ,sin 1ϕζϕζ==-, 故()()2e()1sin ,()11tn d y y t t t ζωωϕζ-=∞-=-+→→∞.各时性：(i) 上升时间r t 由()1y t =, 即sin()0d t ωϕ+=, 得21ζ-ζϕ11.29图,0,1,r dk t k πϕω-== ；取r dt πϕω-=；(ii) 峰值时间p t 由()0pt t y t ='= 得()21ζtan tan ζd p t ωϕϕ-+==,,0,1,d p t k k ωπ== , 取p dt πω=；峰值212ee1sin 11dd p nd y πζωπζζωπωϕωζ---⎛⎫=-+= ⎪-⎝⎭+(iii) 最大超调量p M21e100%p M ζπζ--=⨯；(iv) 调整时间s t 给误差0∆>, 由()22ee()1sin 11ttn n d y t t ζωζωωϕ∆ζζ---≤+≤≤--,得, 当()2ln 1ζζnt ∆ω--≥, 有()1y t ∆-≤,故取()2ln 1ζζs nt ∆ω--=.,d r t t 响应速度.p M 相对”稳定”s t 到达稳态速度.当n ω固定时: ζ小, 响应快, p M 大; 反之相反.一般 (0.4, 0.8)ζ∈, 常取220.707ζ=≈.(2) 1ζ=(临界阻尼) (一实根)1,2n s ω=-,由2222111()2()nn n n n n Y s s s s s s s ωωωωωω=⋅=--++++ 单位阶跃响应()1e (1)tn n y t t ωω-=-+,无超调, r t 无穷大.d t 由1()1(1)(1)2d n d n d y t t t ωω≈--+=, 得12d nt ω=.(3) ζ1>(过阻尼) (不同实根) 单位阶跃响拉变2222222221()2ζ1112ζ1(ζζ1)(ζζ1)11,2ζ1(ζ+ζ1)(ζ+ζ1)nn n n n n n Y s s s ss s s ωωωωωωω=⋅++=----+--+--+-得2(ζζ1)221()1e2ζ1(ζζ1)n ty t ω---=----2(ζζ1)221e2ζ1(ζζ1)n tω-+-+-+-无超调, r t 无穷大, 响应更慢.(4) 0ζ=(无阻尼). 单位响应拉变2222211()nn nsY s s s s s ωωω=⋅=-++, 逆变()1cos n y t t ω=-,(等幅振荡曲线)仿真222()2nn nG s s s ωζωω=++ Test.m wn=6; zeta=[0 0.3 0.6 1 1.2]; b=[wn*wn]; hold on; for i=1:5a=[1 2*wn*zeta(i) wn*wn]; step(b,a,2); end1.2=ζ1=ζ0=ζ3.0=ζt /sO0.511.520.511.51.30 ζ=0,0.3,0.6,1,1.2 6,n ω=图对应的阶跃响应6.0=ζ()y t5. 简单综合由指标定参数.例弹-质-阻,在m上加()8.9(N)u t=下, 超调量0.0029M=,pt=,峰值时间2p稳态值()0.03y+∞=, 试确定k、m和μ.解 传递函数t (s) O 1 2 3 4 0.01 0.02 0.03 0029.0 p M 1.31图系统阶跃响应()y t2211()k mG s kms s k k s s m mμμ==++++, 记2,2ζn n k m m μωω==, 则有 2221()2ζnn nG s k s s ωωω=⋅++, 与典型差1/k , 各时标=与典型二阶系统完全一样.(i)由终值定理、8.9()U s s=和()0.03y +∞=, 有0020lim ()lim ()lim ()()8.9lim 0.03s s s s y t sY s sG s U s ms s kμ→+∞→→→====++, 从而 8.9/0.03297(N/m)k =≈.(ii)由()p y y -+∞=0.0029, ()0.03y +∞=, 得210.0029e0.09670.03p M ζπζ--==≈, 得0.6ζ≈.(iii)由221p d n t ππωωζ===-(s), 得 1.96(rad/s)n ω≈.因此277.3(kg)nk m ω=≈ 和2ζ181.8(N s/m)n m μω==⋅.注 阻尼系数与阻尼比的关系2ζn m μω=b=[1];a=[77.3 181.8 297]; step(b,a);(%u(t)=1(t)的响应) b=[8.9];a=[77.3 181.8 297]; step(b,a);(%u(t)=8.9*1(t))。

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线性系统的状态空间描述

线性系统的状态空间描述

第一章 线性系统的状态空间描述 1. 内容系统的状态空间描述化输入－输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵2. 基本概念系统的状态和状态变量状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。

状态变量：构成系统状态的变量。

状态向量设系统状态变量为)(,),(),(21t x t x t x n 写成向量形式称为状态向量，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t x n状态空间状态空间：以状态变量为坐标轴构成的n 维空间。

状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一条轨迹。

3. 状态空间表达式设系统r 个输入变量：)(,),(),(21t u t u t u r m 个输出：)(,),(),(21t y t y t y m n 个状态变量：)(,),(),(21t x t x t x n例：图示RLC 电路，建立状态空间描述。

电容C 和电感L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注，方程为)()()()()()(t i dtt du C t u t u t Ri dtt di LL c c L L ==++ )()(),()(21t u t x t i t x c L ==状态方程)(01)()(0/1/1/)()()()()()()()(212112211t u t x t x C L L R t xt x t x t xC t u t x t Rx t x L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇔⎩⎨⎧==++⇔输出方程[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)()(01)()(21t x t x t u t y c 一般定义状态方程：状态变量与输入变量之间的关系[][][]t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx t t u t u t u t x t x t x f t xdt t dx r n n n n r n r n );(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()();(,),(),();(,),(),()()(212121212222121111======用向量表示，得到一阶的向量微分方程[]t t u t x f t x),(),()(= 其中n n r r n n f f f f t u t u t u t u t x t x t x t x R R R ∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙=∙∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()(:)(,)()()(:)(,)()()(:)(212121输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即[][][]t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y t t u t u t u t x t x t x g t y r n m m r n r n );(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()();(,),(),();(,),(),()(2121212122212111=== 用向量表示为[]t t u t x g t y ),(),()(=4系统分类：1) 非线性时变系统[][]⎩⎨⎧==t t u t x g t y t t u t x f t x ),(),()(),(),()(2) 非线性定常系统[][]⎩⎨⎧==)(),()()(),()(t u t x g t y t u t x f t x3) 线性时变系统⎪⎩⎪⎨⎧+++++=+++++=rnr n n nn n n r r n n u t b u t b x t a x t a xu t b u t b x t a x t a x)()()()()()()()(1111111111111写成向量形式即为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()()()()()(t u t D t x t C t y t u t B t x t A t x其中：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t b t b t b t b t b t b t b t b t b t B t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nr n n r r nn n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(,)()()()()()()()()()(212222111211212222111211t d t d t d t d t d t d t d t d t d t D t c t c t c t c t c t c t c t c t c t C mr m m r r mn m m n n4) 线性定常系统⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x5 状态空间表达式的系统结构图状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关系。

第22 线性系统的状态空间描述

第22 线性系统的状态空间描述


其中 A(t) n×n — 系统矩阵 B(t) n×r — 输入矩阵 C(t) m×n — 输出矩阵 D(t) m×r — 前馈矩阵
D(t)
X
X
U
B(t)
C(t)
Y
A(t)
离散时间线性系统的状态空间描述
离散系统：各变量在离散时刻取值，状态空间反映离 散时刻的变量组间的因果关系和变换关系。用 k=0,1,2…表示离散时刻。 状态空间描述形式：
的因果关系，即输入和输出间的因果关系。 例如：线性定常、单输入－单输出系统，外部描述为线性常系
数微分方程。
y(t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bm u(m) (t) bn1u(m1) (t ) b1u(t ) b0u(t )
零初始条件下，传递函数为：
输出方程／量测方程：代数方程
y1 g1 ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
t t0
ym gm ( x1, , xn ; u1, , ur ; t)
向量形式：
y g(x, u, t)
• 线性系统的状态空间描述
x A(t)x B(t)u
y
C(t)
x
D(t
)u
t t0
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
线性控制理论总复习(2012)

线性控制理论总复习(2012)

： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述

现代控制理论3-1线性系统的状态空间描述

第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量
x1 , x 2 , ⋯⋯, x n
x1 = y ɺ x2 = y x3 = ɺɺ y ⋮ xn = y ( n −1)
第二步：求各个状态一阶导数，并代入原微分方程，有
ɺ x1 = x2 x = x ɺ 3 2 ⋮ x = x ɺ n−1 n xn = −a0 x1 − a1 x2 − ⋯⋯ − an−1 xn + β 0u ɺ
di 1 + Ri(t ) + ∫ i (t )dt = u (t ) dt C 1 u c (t ) = ∫ i (t )dt C L
(1)取流过电感L的电流i(t)和电容C两端电压uc(t) 作为系统的两个状态变量，分别记作 x1=i1和x2=uc,则有
dx1 L dt + Rx1 + x 2 = u (t ) dx 2 = 1 x 1 dt C y = x2
电路如图1.1所示 系统的控制输入量为u(t)，系统输出为u 例1.2 RLC电路如图 所示 系统的控制输入量为 电路如图 所示,系统的控制输入量为 ，系统输出为 c(t) ，建立 系统的状态空间表达式。 系统的状态空间表达式。
解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C， 设回路电流为i(t)，根据基尔霍夫电压定律和R、 L、C元件的电压电流关系，可得下列方程
n
x1 = y − β 0 u ɺ xi = xi −1 − β i −1u， i = 2,3, ⋯ , n
其中 β 0 , β 1 , ⋯ , β n −1 是n个待定系数。
根据上述定义有
x1 = y − β 0 u ɺ x 2 = x1 − β1u ɺ xi = xi −1 − β i −1u ɺ x n −1 = x n − 2 − β n − 2 u ɺ x n = x n −1 − β n −1u