特殊平行四边形：折叠问题

专题02 特殊平行四边形中的折叠问题【典型例题】1．（2020·河北定州初三二模）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【解析】连接AE ，∵AB =AD =AF ,∠D =∠AFE =90°，由折叠的性质得：Rt △ABG ≌Rt △AFG ，在△AFE 和△ADE 中，∵AE =AE ，AD =AF ，∠D =∠AFE ，∴Rt △AFE ≌Rt △ADE ，∴EF =DE ，设DE =FE =x ，则CG =3，EC =6−x .在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：(6−x )2+9=(x +3)2，解得x =2.则DE =2. 2．（2019·全国初三单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AEF ，若AB ＝2，∠B ＝45°，则△AEF 与菱形ABCD 重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）.A ．2B ．C ．D ．【解析】∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B =45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ，由折叠的性质可知，△ABF 为等腰直角三角形，∴S △ABF =12AB •AF =2，S △ABE =1，∴CF =BF -BC =-2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =45°，又由折叠的性质知，∠F =∠B =45°，∴CG =GF =2∴S △CGF =12GC •GF =3-，∴重叠部分的面积为：2-1-（3-）=2，故选D ． 3．（2020·全国）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上．（1）折叠后，DC 的对应线段是 ，CF 的对应线段是 ；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB =8，DE =10，求CF 的长度．【答案】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC 的对应线段是BC ′，CF 的对应线段是C ′F ；故答案为：BC ′，C ′F ． （2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF =50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°； 故答案为：50°，80°（3）∵AB =8，DE =10，∴BE =10，∴AE 6，∴AD =BC =6+10=16，∵∠1=∠BEF =50°，∴BF =BE =10， ∴CF =BC ﹣BF =16﹣10=6．故答案为：6【专题训练】一、选择题1．（2020·海南临高）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC =∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．5【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，选B．2．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )A．6B．8C．10D．12【解析】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ED=EB=5，∵矩形ABCD中，∠A=90°∴重叠部分△BDE的面积=12DE×AB=12×5×4=10．故选：C.．3．（2020·全国）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．8【解析】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．4．（2020·新疆昌吉初三一模）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解析】设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=12BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选：A．5．（2019·河北遵化初三一模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°【解析】试题分析：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°．∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°．∴∠PDC=90°．∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．在△DEC中，．故选B．6．（2020·全国）如图，已知四边形ABCD 是边长为6的菱形，且∠BAD =120°，点E ,F 分别在AB ,BC 边上，将菱形沿EF 折叠，点B 正好落在AD 边的点G 处．若EG ⊥AC ，则FG 的长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【解析】如图，设AC 与EG 交于点O ，FG 交AC 于点H ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴60B D ∠=∠=︒， ∴ABC ACD 、是等边三角形．∴60CAD B ∠=∠=︒．∵EG AC ⊥，∴90GOH ∠=︒．∵60EGF B ∠=∠=︒，∴30OHG ∠=︒，∴18090AGH CAD OHG ∠=︒-∠-∠=︒，∴FG AD ⊥，∴FG 是菱形ABCD 的高，即为等边三角形ABC 的高，∴ =C ．7．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校）如图,把一个矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB =65°,则∠AED ′为（ ）。

特殊的平行四边形中的的图形变换模型之翻折(折叠)模型几何变换中的翻折(折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。

翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。

无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。

本专题以各类几个图形(菱形、矩形、正方形等)为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。

有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。

"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。

特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。

折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。

【知识储备】1)矩形的翻折模型【模型解读】1(2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△DEC沿DE翻折得到△DEC ，延长DC 交AB于点M，若AB=4，BC=6，则BM的长度为()A.94B.32C.12D.3【答案】A【分析】根据题意连接ME ，证明△BME ≌△C ME ，得出MC =BM =4-x ，在Rt △AMD 中运用勾股定理即可解答；【详解】连接ME ，∵AB =4,BC =6,ABCD 为矩形，∴AD =BC =6,DC =AB =4.∵E 是BC 的中点∴BE =CE =3∵△DEC 由△DEC 翻折得到，∴C ′E =CE =3,DC ′=DC =4，∠DC E =∠C =90°，∴∠MC E =180°-∠DC E =90°=∠B ，设AM =x ，则BM =4-x .在Rt △BEM 和Rt △C EM 中ME =ME BE =C ′E =3∴△BME ≌△C ME ∴MC =BM =4-x 在Rt △AMD 中AD 2+AM 2=MD 2即62+x 2=(4+4-x )2解得：x =74∴BM =4-x =94故选A【点睛】该题考查了矩形知识点和勾股定理的运用，掌握矩形性质和勾股定理是解答该题的关键2(2023春·陕西西安·八年级校考期末)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 是AB 上一个动点，F 是AD 上一点(点F 不与点D 重合)．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 的对应点A 落在边CD 上，连接EC ，若A E =CE ，则△A DF 的面积为()A.1B.1.5C.2D.2.5【答案】B【分析】由折叠可知AE =A E ，AF =A F ，设AE =A E =CE =x ,则BE =8-x ,在Rt △BCE 中，利用勾股定理可建立方程8-x 2+42=x 2，解得x =5，则AE =A E =CE =5，BE =3，再根据等腰三角形的性质得到A C =2CG =6，进而算出A D =2，设AF =A F =a ,则DF =4-a ,在Rt △A DF 中，利用勾股定理可建立方程4-a 2+22=a 2，解得a =52，则DF =32，再利用三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，∵四边形ABCD 为矩形，AB =8，AD =4，∴AD =BC =4，AB =CD =8，∠B =∠D =90°，由折叠可知，AE =A E ，AF =A F ，∵A E =CE ，∴AE =A E =CE ，设AE =A E =CE =x ,则BE =AB -AE =8-x ,在Rt △BCE 中，BE 2+BC 2=CE 2，∴8-x 2+42=x 2，解得：x =5，∴AE =A E =CE =5，BE =3，∵∠B =∠BCG =∠CGE =90°，∴四边形BCGE 为矩形，∴CG =BE =3，∵A E =CE ，EG ⊥CD ，∴A C =2CG =6，∴A D =CD -A C =8-6=2，设AF =A F =a ,则DF =AD -AF =4-a ,在Rt △A DF 中，DF 2+A D 2=A F 2，∴4-a 2+22=a 2，解得：a =52，∴DF =32，∴S △A DF =12A D ⋅DF =12×2×32=1.5故选：B ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．3(2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习)如图，长方形ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C 处，BC 与AD 相交于点E ，若AB =3，AE =1，求BC 的长．【答案】10+1【分析】根据翻折的性质，证明△AEB ≅△C ED ，然后求出ED ，最后根据勾股定理即可求出结果．【详解】由翻折的性质可知，在△AEB 与△C ED 中，∠A =∠C∠AEB =∠C ED AB =C D∴△AEB ≅△C ED ∴AE =EC ，∵AB =3，∴BE =AB 2+AE 2=10，∵ED =BE ，∴AD =AE +ED =10+1，∵长方形ABCD ，AD =BC ，∴BC =10+1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理和矩形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．4(2023春·湖北·八年级专题练习)如图，在长方形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE ，BE 与CD 分别相交于点O ，F ，且OE =OD ．则AP 的长为()A.4.5B.4.6C.4.7D.4.8【答案】D【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，证明△ODP≌△OEF(ASA)，得出OP=OF，PD=FE，设AP=EP=x，则DP=FE=6-x，DF=x，求出CF=8-x，BF=8-6-x=2+x，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，∵∠D=∠E，OD=OE，∠DOP=∠EOF，∴△ODP≌△OEF(ASA)，∴OP=OF，PD=FE，∴DF= EP，设AP=EP=x，则DP=FE=6-x，DF=x，∴CF=8-x，BF=8-6-x=2+x，根据勾股定理得：BC2+CF2=BF2，即62+8-x2，解得：x=4.8，∴AP=4.8，故选：D2=x+2【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5(2023春·陕西商洛·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=24，将矩形折叠，使点C与点A重合，则AF的长为()A.20B.18C.16D.15【答案】D【分析】设BE=x，则CE=BC-BE=24-x，根据勾股定理列出关于x的方程122+x2=24-x2，据此即可求解．【详解】解：设BE=x，则CE=BC-BE=24-x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=24-x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即122+x2=24-x2，解得x=9，∴AE=24-9=15，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=15，故选：D．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质．6(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上的动点，连接EO并延长交CD于点F．将四边形AEFD沿着EF翻折，得到四边形A EFD ，边A E交边BC于点G，连接OG、OC，则△OGC的面积的最小值为()A.18-3B.92+37 C.12-372D.6+372【答案】D【分析】在EA上截取EM=EG，连接OM，证明△MOE≌△GOE，所以OM=OG，即可得OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，且OM=4=OG，再过点O作OH⊥BC，得OH=3，又因为OC=5，就可以根据勾股定理计算GH、HC的长，从而计算出最小面积．【详解】解：在EA上截取EM=EG，连接OM，由折叠得：∠MEO=∠GEO，又∵EO=EO，∴△MOE≌△GOE SAS，∴OM=OG，∴OM最短时，OG也就最短，而当OM⊥AB时，OM最短，此时，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OM=12BC=4=OG，即OG的最小值是4，在△OGC中，∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴OC长度是矩形对角线长度的一半，即是5，定值，∠BCO度数也不变，是定值，∴当OG=4最小值时，ΔOGC面积最小．过点O作OH⊥BC，∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴OH=12AB=3，∴Rt△OGH中，GH=OG2-OH2=42-32= 7，Rt△OHC中，HC=OC2-OH2=52-32=4，∴GC=GH+HC=7+4，∴△OGC面积的最小值是12×GC×OH=12×(7+4)×3=327+6．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及垂线段最短等知识，解题关键是找到OG最小值．7(2023春·浙江金华·八年级统考期末)如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=5，点P，Q分别为AB，AD上的动点，将△PBC沿PC翻折得到△PEC，将△PAQ沿PQ翻折得到△PFQ在动点P，Q所有位置中，当F，E，P三点共线，CF=10时，AP=．【答案】3【分析】利用矩形和翻折的性质求出CE =CB =3，BP =EP ，AP =FP ，∠CEP =∠B =90°，在Rt △CEF 中利用勾股定理求出EF =1，设BP =x ，则EP =x ，AP =5-x ，FP =1+x ，根据AP =FP 可构建关于x 的方程，然求解即可解答．【详解】解：在矩形ABCD 中，AD =3，AB =5，∴BC =AD =3，∠B =90°，∵翻折，∴CE =CB =3，BP =EP ，AP =FP ，∠CEP =∠B =90°，∴∠CEF =90°，又CF =10，∴EF =CF 2-CE 2=1，设BP =x ，则EP =x ，AP =5-x ，FP =1+x ，∴1+x =5-x ，∴x =2，∴AP =3．故答案为：3．【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．8(2023秋·山西·九年级专题练习)综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，F 为AD 边上一点，连接CE 、CF ，分别将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，且C 、H 、G 三点共线．(1)如图1，若F 为AD 边的中点，AB =BC =6，点G 与点H 重合，则∠ECF =°，BE =；(2)如图2，若F 为AD 的中点，CG 平分∠ECF ，AB =2+1，BC =2，求∠ECF 的度数及BE 的长；(3)AB =5，AD =3，若F 为AD 的三等分点，请直接写出BE 的长．【答案】(1)45；2(2)∠ECF =45°；BE =22-2(3)2或97【分析】(1)根据正方形的性质和翻折的性质，可得出∠ECF =12∠BCD =12×90°=45°；设BE =x ，用x 表示出Rt △AEF 的三条边，然后根据勾股定理列出方程，即可得出BE 的长；(2)如图，由折叠性质和CG 平分∠ECF ，得出∠1=∠2=∠3=∠4，即可求出∠ECF 的度数；先证明△CBM 和△EHM 是等腰直角三角形，得出BM =BC =2，EM =2BE ，即可求出BE 的长；(3)根据F 为AD 的三等分点，分两种情况：当AF =2DF 时，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，证明Rt △EFP ≌Rt △FEA ，得出AE =FP ，进而求出BE 的长；当DF =2AF 时，点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，根据EF 2=AF 2+AE 2=EP 2+FP 2，计算即可求出BE 的长．【详解】(1)∵AB =BC ，四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC =6，∠BCD =90°，∵将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，∴∠BCE =∠GCE ，∠DCF =∠GCF ，∵∠BCD =90°，∴∠ECF =12∠BCD =12×90°=45°，∵F 为AD 的中点，∴DF =12AD =3，∵将△BCE 和△CDF 沿CE 、CF 翻折，点D 、B 的对应点分别为点G 、H ，∴BE =EG ，DF =FG =3，设BE =x ，则AE =6-x ，∴EF =3+x ，∵EF 2=AE 2+AF 2，∴3+x 2=6-x 2+32，∴x =2，∴BE =2．故答案为：45；2；(2)如图2，延长CG ，交AB 于点M ，∵CG 平分∠ECF ，∴∠2=∠4，由折叠的性质可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4=14∠BCD =22.5°，∴∠ECF =45°，∵CD ∥AB ，∠EMH =∠DCM =45°，∴△CBM 和△EHM 均为等腰直角三角形，∴BM =BC =2，EM =2BE ，∴BM =BE +EM =2，即BE +2BE =2，解得BE =22-2．(3)分两种情况：①当AF =2DF 时，如图3，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，则四边形GHEP 为矩形，GH =EP ，EH =GP ，由折叠的性质可知，CD =CG =5，BC =CH =3，∴HG =CG -CH =2，∵AF =2DF ，∴AF =2，DF =FG =1，∴AF =EP ，在Rt △EFP 和Rt △FEA 中，AF =EP EF =EF ，∴Rt △EFP ≌Rt △FEA (HL )，∴AE =FP ，设BE =EH =a ，FP =GP +FG =a +1，AE =FP =5-a ，∴a +1=5-a ，解得a =2，∴BE =2．②当DF =2AF 时，如图4，过点E 作EP ∥GH ，交FG 的延长线于点P ，连接EF ，则四边形GHEP 为矩形，GH =EP ，EH =GP ，由折叠的性质可知，CD =CG =5，BC =CH =3，∴EP =HG =CG -CH =2，∵DF =2AF ，∴AF =1，DF =FG =2，设BE =EH =a ，FP =GP +FG =a +2，AE =5-a ，∵EF 2=AF 2+AE 2=EP 2+FP 2，∴12+5-a 2=22+a +2 2，解得a =97，∴BE =97．综上可知，BE 的长为2或97．【点睛】本题主要综合考查了矩形的折叠问题，涉及到正方形的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，属于压轴题，难度较大，熟练掌握并灵活运用相关知识进行分类讨论是解题的关键．2)菱形的翻折模型【模型解读】9(2023·四川成都·模拟预测)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B、D重合)，折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为．【答案】2.8【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG=EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB=BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8-x，在Rt△EHB中，BH=12x，EH=32x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即(8-x)2=32x2+6-12x2，解得，x=2.8，即BE=2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．10(2023·安徽·统考一模)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长度的最小值是( ).A.7B.7-1C.3D.2【答案】B【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．【详解】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=12MD=12，∴FM=DM×cos30°=32，∴MC=FM2+CF2=7，∴A′C=MC-MA′=7-1．故选B．11(2023·山东八年级统考期末)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为()A.18B.17C.16D.15【答案】B【分析】连接BP ，BD ，证明ΔBCD 是等边三角形，证得∠ABP =∠CPB =90°，由折叠可得AM =MP ，由MP 2=BM 2+BP 2可求出MP 的长，进而得出答案．【详解】解：如图，连接BP ，BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠A =60°，∴AB =BC =CD ，∠A =60°=∠C ，∴ΔBCD 是等边三角形，∵P 是CD 中点，∴DP =CP =12CD ，BP ⊥CD ，∠PBC =30°，∴CP =12BC ,BP =3CP ，∵CD ⎳AB ，∴∠ABP =∠CPB =90°，由折叠可得AM =MP ，设AB =BC =CD =2a ，∴BP =3a ，∵MP 2=BM 2+BP 2，∴MP 2=3a 2+(2a -AM )2，即MP 2=3a 2+(2a -MP )2∴AM =MP =74a ，∴BM =AB -AM =AB -MP =14a ，∴BM AM=17．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质、勾股定理及等边三角形的性质与判定是解题的关键．12(2023秋·广西九年级专题练习)如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，P 为AB 中点．折叠该纸片使点C 落在点C 处且点P 在DC 上，折痕为DE ，则∠CED 的大小为()A.40°B.45°C.60°D.75°【答案】D 【分析】连接BD ，易得△DAB 为等边三角形，根据三线合一，易得∠DPA =90°，利用菱形的性质，易得：∠PDC =90°,∠C =60°，根据折叠的性质，易得∠CDE =12∠PDC =45°，再利用三角形的内角和求出∠CED 的度数即可．【详解】解：∵在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，∴∠C =∠A =60°,AD =AB ,AB ∥CD ，连接BD ，∴△DAB 为等边三角形，∵P 为AB 中点，∴DP ⊥AB ，∵AB ∥CD ，∴PD ⊥DC ，∴∠PDC =90°，∵折叠该纸片使点C 落在点C 处且点P 在DC 上，折痕为DE ，∴∠CDE =12∠PDC =45°，∴∠CED =180°-∠CDE -∠C =75°；故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和个定理．熟练掌握并灵活运用相关知识点，是解题的关键．13(2023春·浙江·八年级专题练习)对角线长分别为6和8的菱形ABCD 如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B ，B 两点重合，MN 是折痕．若B M =1.5，则CN 的长为()A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5【答案】A【分析】连接AC 、BD ，利用菱形的性质得OC =12AC =3，OB =OD =12BD =4，∠COD =90°，再利用勾股定理计算出CD =5，由ASA 证得△OBM ≌△ODN 得到DN =BM ，然后根据折叠的性质得BM =B M =1.5，则DN =1.5，即可得出结果．【详解】解：连接AC 、BD ，如图，∵点O 为菱形ABCD 的对角线的交点，∴OC =12AC =3，OB =OD =12BD =4，∠COD =90°，在Rt △COD 中，CD =OC 2+OD 2=32+42=5，∵AB ∥CD ，∴∠MBO =∠NDO ，在△OBM 和△ODN 中，∠MBO =∠NDOOB =OD ∠BOM =∠DON，∴△OBM ≌△ODN ASA ，∴DN =BM ，∵过点O 折叠菱形，使B ，B 两点重合，MN 是折痕，∴BM =B M =1.5，∴DN =1.5，∴CN =CD -DN =5-1.5=3.5，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定和折叠的性质是解题的关键．14(2023·山东九年级课时练习)如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片ABCD 分别沿AM ，AN 所在直线进行折叠，使得菱形的两边AB ，AD 重合于AO ．若此时∠MON =80°，则∠AMO =．【答案】30°/30度【分析】根据菱形的性质得∠B =∠D ，∠B +∠BAD =180°，再由折叠的性质得∠B =∠AOM ，∠D =∠AON ，∠BAM =∠OAM =∠DAN =∠OAN =14∠BAD ，所以∠AOM =∠AON =12(360°-∠MON )=140°，所以∠B =∠AOM =140°,从而可求得∠BAD =40°,继而求得∠OAM =10°,再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴∠B =∠D ，∠B +∠BAD =180°，由折叠的性质得：∠B =∠AOM ，∠D =∠AON ，∠BAM =∠OAM =∠DAN =∠OAN =14∠BAD ，∵∠MON =80°，∴∠AOM =∠AON =12(360°-80°)=140°，∴∠B =∠AOM =140°,∴∠BAD =40°,∴∠OAM =10°,∴∠AMO =180°-140°-10°=30°,故答案为:30°．【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解题的关键．3)正方形的翻折模型【模型解读】15(2023·湖南郴州·八年级校考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是AD 边的中点，连接BE ，将△ABE 沿直线BE 翻折至△FBE ，延长EF 交CD 于点G ，则CG 的长度是()A.23B.34C.43D.32【答案】C【分析】连接BG ，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB =BF =BC =4，AE =FE =12AD =2=DE ，∠A =∠BFE =90°=∠C ，即可证明Rt △BFG ≌Rt △BCG 得到FG =CG ，设CG =FG =x ，则DG=4-x ，EG =2+x ，在Rt △DEG 中，由勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接BG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =DC =4，∠A =∠ABC =∠C =90°，由折叠的性质可得，AB=BF=BC=4，AE=FE=12AD=2=DE，∠A=∠BFE=90°=∠C，∵∠BFE+∠BFG=180°，∴∠C=∠BFG=90°，又∵BG=BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)，∴FG=CG，设CG=FG=x，则DG=4-x，EG=2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理得，EG2=DE2+DG2，∴(2+x)2=22+(4-x)2，解得x=43，即CG=43，故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF=2，则BF2=()A.42+4B.6+42C.12D.8+42【答案】D【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则AC=2x，由折叠可知，DE=EF，AD= AF，∠D=∠EFA=90°，可得DE=2，EC=x-2，AC=2x，在Rt△EFC中，由勾股定理可得(x-2)2 =4+(2x-x)2，解得x，即为正方形的边长为22+2，再求出FC=2，由∠ACB=45°，可求FG=CG =2，BG=2+2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2=(2+2)2+2=8+42．【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知，DE=EF，AD=AF，∠D=∠EFA=90°，设正方形的边长为x，∵EF=2，∴DE=2，EC=x-2，AC=2x，在Rt△EFC中，EC2=FE2+FC2，∴(x-2)2=4+(2x-x)2，解得x =22+2，∴FC =2x -x =2，∵∠ACB =45°，∴FG =CG =2，∴BG =2+2，在Rt △BFG 中，BF 2=BG 2+GF 2=(2+2)2+2=8+42，故选：D ．【点睛】本题考查正方形性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．17(2023·江苏·九年级专题练习)如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A ′处，则EG =cm ．【答案】43-6【分析】由ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，可得AE =DF =2cm ，EF =AD =4cm ，由翻折的性质可得AG =A ′G ，AD =A ′D ，在Rt △DFA ′与Rt △A ′EG 中，用勾股定理可求得答案．【详解】解：∵ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E 、F 分别为AB ，CD 的中点，∴AE =DF =2cm ，EF =AD =4cm ，∵沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A ′处，∴AG =A ′G ，AD =A ′D =4cm ，在Rt △DFA ′中，A ′F =A ′D 2-DF 2=42-22=23cm ，∴A ′E =4-23 cm ，在Rt △A ′EG 中，设EG =x ，则A ′G =AG =(2-x )cm ，∴A ′G 2=A ′E 2+EG 2，即2-x 2=x 2+4-23 2，解得x =43-6．故答案为：43-6．【点睛】本题考查了正方形的性质及图形的翻折问题；利用相关知识找出等量关系，两次利用勾股定理是正确解答本题的关键．18(2023·山西朔州·校联考模拟预测)如图，在正方形ABCD 中，AB =2，将其沿EF 翻折，使∠EFC =120°，顶点B 恰好落在线段AD 上的点G 处，点C 的对应点为点H ．则线段AE 的长为．【答案】23【分析】设AE =x ，则BE =2-x ，由翻折性质，得EG =EB =2-x ，∠GEF =∠BEF =60°，所以∠AEG =60°，在Rt △AEG 中，利用三角函数可求出x ，从而得到线段AE 的长．【详解】解：设AE =x ，∵正方形ABCD 中，AB =2，∴BE =2-x ，AB ∥CD ，∵∠EFC =120°，∴∠BEF =60°，∵四边形EFHG 是四边形EFCB 折叠得到，∴∠GEF =∠BEF =60°，EG =BE =2-x ，∴∠AEG =180°-∠GEF -∠BEF =60°，在Rt△AGE中，cos∠AEG=AEEG，即cos60°=x2-x=12，解得x=23，经检验x=23是原方程的解，∴原方程的解为x=23，∴AE=23，故答案为：23．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，解直角三角形，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．19(2023·广东九年级课时练习)如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠AGB+∠AED=135°③GF=3；④AG⎳CF；其中正确的有(填序号)．【答案】①②③④【分析】根据折叠，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判断①正确；根据∠DAE=∠EAF,∠BAG=∠FAG，进而可得∠GAE=45°，根据三角形内角和定理即可得∠AEF+∠ADF=135°，得到∠AGB+∠AED=135°，进而判断②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，CE=4，在Rt△EGC中，根据勾股定理建立方程(x+2)2= (6-x)2+42，解方程可得GF=3，即可判断③正确；根据BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根据∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判断④正确【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ABC=∠DAB=∠BCD=90°，AB=BC=CD=AD=6，∵CD=3DE，∴DE=2，∴CE=4，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=90°，AF=AD，EF=DE=2，∴∠AFG=∠ABG=90°，AF=AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AF AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴①正确；∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠DAE=∠EAF，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠BAG=∠FAG，∵∠DAE+∠EAF+∠BAG+∠FAG=∠DAB=90°，∴∠EAG=∠EAF+∠FAG=12∠DAB=45°，∴∠AEF+∠ADF=135°，∴∠AGB+∠AED=135°，∴②正确；设BG=GF=x，则CG=6-x，EG=x+2，∵CE=4，∴(x+2)2=(6-x)2+42，解得x=3，∴BG=GF=3，∴③正确；∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形性质，折叠图形全等的性质，三角形全等的判断和性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．20(2023·江苏扬州·校考二模)如图，将正方形ABCD沿着BE、BF翻折，点A、C的对应点分别是点A 、C ，若∠A BC =14°，则∠EBF=．【答案】38°【分析】由正方形的性质及折叠的性质可得∠ABC=90°，∠ABE=∠A BE，∠CBF=∠C BF，利用角之间的和差关系可得2∠A BE+2∠C BF=90°+∠A BC =104°，进而求得∠A BE+∠C BF=52°，再利用∠EBF=∠A BE+∠C BF-∠A BC 即可求得结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，由折叠可知，∠ABE=∠A BE，∠CBF=∠C BF，∵∠A BF=∠C BF-∠A BC ，∠ABE+∠A BE+∠A BF+∠CBF=90°，∴2∠A BE+2∠C BF-∠A BC =90°，即：2∠A BE+2∠C BF=90°+∠A BC =104°，∴∠A BE+∠C BF =52°，∴∠EBF=∠A BE+∠C BF-∠A BC =52°-14°=38°，故答案为：38°．【点睛】本题考查正方形与折叠的性质，利用正方形与折叠的性质得到∠A BE+∠C BF的度数是解决问题的关键．21(2023春·江苏宿迁·八年级统考期末)问题情境：如图1，在正方形ABCD中，AB=6，点F是边AD上一点(点F不与A,D重合)，将△CDF沿直线CF翻折，点D落在点E处．(1)如图2，当点E落在对角线AC上时，求DF的长．(2)如图3，连接AC,BD,BD分别交CF,AC于点M，点O，连接OE并延长交AD于点G，当M为OD中点时，试判断OG与CF的位置关系，并说明理由．(3)如图4，在线段CE上取一点Q，且使CQ=2，连接AE,BQ，则在点F从点A运动到点D的过程中，AE+BQ的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．【答案】(1)62-6(2)CF∥OG，理由见解析．(3)213【分析】(1)可证得△FEA为等腰直角三角形，AF=2EF，结合DF=EF，可得AD=DF+AF=DF+ 2DF．(2)连接DE，交FM于点H，可知DH=EH，根据三角形的中位线定理，即可求得OG与CF的位置关系．(3)在线段CB上取一点P，使CP=CQ=2，连接AP，EP，可证得△CBQ≌△CPE，则AE +BQ=AE+EP，观察图形可知，当点A，E，P在同一条直线上时，AE+EP最小，最小值为AP．【详解】(1)根据折叠的性质可知DF=EF，∠D=∠FEC=90°，∴∠FEA=90°．∵∠FAE=45°，∴△FEA为等腰直角三角形．∴EF=EA．∴AF2=EF2+AE2=2EF2．∴AF=2EF．∴AF=2DF．∴AD=DF+AF=DF+2DF=6．∴DF=62-6．(2)CF∥OG，理由如下：如图所示，连接DE，交FM于点H．根据题意可知CF 为线段DE 的垂直平分线，∴DH =EH ．∵M 为OD 中点，∴MH ∥OE ，即CF ∥OG ．(3)如图所示，在线段CB 上取一点P ，使CP =CQ =2，连接AP ，EP ．在△CBQ 和△CPE 中，CQ =CP∠QCB =∠PCE CB =CE∴△CBQ ≌△CPE ．∴BQ =EP ．∴AE +BQ =AE +EP ．观察图形可知，当点A ，E ，P 在同一条直线上时，AE +EP 最小，最小值为AP ．∴AP =AB 2+BP 2=62+42=213．【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键．课后专项训练1(2023·湖北随州·八年级统考期末)如图，在菱形纸片ABCD 中，AB =4，∠A =60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB，AD 上，则EF 的长为()A.72 B.94 C.196 D.733【答案】A【分析】连接BE ，BD ，则△BCD 是等边三角形，则求出BE 的长度，由折叠的性质和勾股定理，即可求出EF 的长度．【详解】解：如图，连接BE ，BD ，∵AB =4=BC =CD ，∠A =60°=∠C ，∴△BCD 是等边三角形，∵E 是CD 中点∴DE =2=CE ，BE ⊥CD ，∠EBC =30°，∴BE =3CE =23，∵CD ∥AB ，∴∠ABE =∠CEB =90°，由折叠可得AF =EF ，∵EF 2=BE 2+BF 2，∴EF 2=12+(4-EF )2，∴EF =72．故选：A ．【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．2(2023春·江西新余·八年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 是BC 上的一点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点N 处，AN 的延长线交DC 于点M ，当AB =2CF 时，则NM 的长为()A.12B.1C.32D.54【答案】A【分析】由折叠的性质可得AN =AB =6，∠BAE =∠NAE ，再由平行线的性质得到∠BAE =∠F ，则可证明∠NAE =∠F 得到AM =FM ，设CM =x ，则DM =6-x ，AM =FM =3+x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得3+x 2=62+6-x 2，解方程求出AM =132，则NM =AM -AN =12．【详解】解：∵△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点N 处，∴AN =AB =6，∠BAE =∠NAE ，∵正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠BAE =∠F ，∴∠NAE =∠F ，∴AM =FM ，设CM =x ，∵AB =2CF =6，∴CF =3，∴DM =6-x ，AM =FM =3+x ，在Rt △ADM 中，由勾股定理得，AM 2=AD 2+DM 2，即3+x 2=62+6-x 2，解得x =72，∴AM =3+72=132，∴NM =AM -AN =132-6=12．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，证明AM =FM 是解题的关键．3(2023春·江苏宿迁·八年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边CD 上，且CE =1，连结AE ，点F 在边AD 上，连结BF ，把△ABF 沿BF 翻折，点A 恰好落在AE 上的点G 处，下列结论：①AE =BF ；②AD =3DF ；③S △ABF =6；④GE =0.2，其中正确的是()A.①②③④B.①③④C.①②③D.①③【答案】B 【分析】根据翻折的性质证△ABF ≌△DAE (ASA )，得出AF =DE =3，BF =AE ，即可判断①正确；根据DF =AD -AF =4-3=1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF =5，由S △ABF 求出即可求得③正确；根据S △ABF =12AB •AF =12BF •AH ，求出AH ，即可判断④正确，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =AD =CD =4，∠BAD =∠D =90°，∵CE =1，∴DE =3，由折叠的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH =GH ，∴∠BAH +∠ABH =90°，∵∠FAH +∠BAH =90°，∴∠ABH =∠FAH ，在△ABF和△DAE中，∠BAF=∠D AB=AD∠ABF=∠DAE，∴△ABF≌△DAE(ASA)，∴AF=DE=3，BF=AE，故①正确；∵DF=AD-AF=4-3=1，∴AD=4DF，故②错误；在Rt△ABF中，∵BF=AB2+AF2=42+32=5∴S△ABF=12AB•AF=12×4×3=6，故③正确；∵S△ABF=12AB•AF=12BF•AH，∴4×3=5AH，∴AH=125，∴AG=2AH=245，∵AE=BF=5，∴GE=AE-AG=5-245=0.2，故④正确；综上所述：正确的是①③④，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．4(2023春·山西长治·八年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，将边AB沿AF折叠得到AB ,AB交CD于点E，当E为CD中点时，∠EFC的大小为()A.28°B.75°C.40°D.30°【答案】D【分析】延长AE交BC的延长线于点H，过点A作AI⊥BH于点I，可证△ADE≌△HCE，故CH=AD= BC=AB，即BH=2AB，即可求解．【详解】解：延长AE交BC的延长线于点H，过点A作AI⊥BH于点I∵AD∥BC，∴∠D=∠ECH，∵E为CD中点，∴DE=CE，∵∠AED=∠HEC，∴△ADE≌△HCE，∵在菱形ABCD中，∴CH=AD=BC=AB，∴BH=2AB，∵AI⊥BH，∠B=60°，∴∠BAI=30°,BI=12AB,AI=AB2-BI2=32AB，∵HI=BH-BI=2AB-12AB=32AB，∴在Rt△AIH中：AH=AI2+HI2=3AB，∴AH=2AI,∠H=30°，∴∠BAH=90°=∠BAF+∠HAF，由折叠可知：∠BAF=∠HAF=45°，∴∠BFE=2∠AFB=2180°-∠B-∠BAF=150°，∴∠EFC=180°-∠BFE=30°，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形以及折叠的性质．掌握相关几何结论是解题关键．5(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=23，折叠后，点C落在AD边上的C 处，并且点B落在EC 边上的B 处．则BC的长为()A.6B.43C.4D.33【答案】A【分析】由勾股定理得出232，求出BE=2，AE=4，根据翻折和对边平行可得△AEC2+BE2=2BE和△CC E为等边三角形，那么就得到EC=EC =AE=4，相加即可．【详解】解：连接CC ，在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=23，AB2+BE2=AE2，∴AE=2BE，∠AEB =∠AEB=60°，∴232+BE2=2BE2，∴BE=2，∴AE=4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠C AE=∠AEB=60°，∴△AEC 为等边三角形，同理△CC E也为等边三角形，∴EC=EC =AE=4，∴BC=BE+EC=2+4=6，故选：A．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6(2023春·浙江杭州·八年级统考期末)如图，将菱形ABCD沿AE折叠，点B的对应点为F，若E、F、D刚好在同一直线上，设∠ABE=α，∠BAE=β，∠C=γ，则关系正确的是()A.γ=α+2β-180°B.3β+γ=180°C.3α+2β=360°D.2α+γ=180°【答案】C【分析】可求∠AEB=180°-α-β，∠CED=2α+2β-180°，可求∠ADF=∠CED=2α+2β-180°，可证∠ADF=∠AFD，即可求解．【详解】解：∵∠ABE=α，∠BAE=β，∴∠AEB=180°-α-β，根据折叠可知，∠AEF=∠AEB=180°-α-β，∠AFE=∠ABE=α，AB=AF，∴∠CED=180°-2(180°-α-β)=2α+2β-180°，在菱形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∴∠ADF=∠CED=2α+2β-180°，AD=AF，∴∠ADF=∠AFD，∵∠AFD =180°-α，∴180°-α=2α+2β-180°，∴3α+2β=360°．故选：C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．7(2023·广东江门·统考二模)如图，在矩形片ABCD 中，边AB =4，AD =2，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF 的长为5；④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D 【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =CE =AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF =BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE =AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，AB =4，AD =2，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF =BE ，设DF =x ，则CF =AF =4-x ，在Rt △ADF 中，DF 2+AD 2=AF 2，即x 2+22=(4-x )2解得x =1.5，即BE 的长是1.5；故②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，∴四边形ADFH 是矩形，∴FH =AD =2，AH =DF =1.5，∵AE =AB -BE =2.5，∴HE =AE -AH =1，由勾股定理得EF =FH 2+HE 2=22+12=5；故③正确；∵DF =BE ，AD =GC =2，DF =GF =32，∴S 阴影部分=S 四边形BCFE +S △CGF ，=12S 矩形ABCD +S △CGF ，=12AB •AD +12CG •GF ，=12×4×2+12×2×32，=4+32=112；故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．。

解决特别平行四边形中折叠问题的4种方法►方法一用方程思想解决特别平行四边形中的折叠问题1、如图1－ZT－１,将矩形AＢCD沿EＦ折叠,使顶点C恰好落在ＡB边的中点Ｃ′上、若ＡＢ=6,BC＝９,则ＢＦ的长为()图1－ZT-1Ａ、4 B、3 2C、4、５D、５2、把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图1－ZT-2所示的方式折叠,使顶点B和点D重合,折痕为ＥF、若AＢ＝3 cm,BＣ＝５cm,则重叠部分△ＤEＦ的面积是______＿＿cm2、:学*科＊网Ｚ＊X＊X*K]图1－ZＴ—２３。

如图１－ZT—3,将长方形纸片ABＣD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且点D落在对角线D′处、若AB＝3,ＡＤ＝4,则ED的长为()图1—ＺT-３A、＼f(3,2)B、3C。

１D。

＼f(４,3)［来源:1]4。

如图1-ZT-４,折叠矩形ABCD的一边AＤ,使点D落在BC边上的点F处,已知折痕AE=5 5 ｃm,且EC∶ＦC=BF∶AB=3∶４、那么矩形ABCD的周长为______＿＿cｍ、图１—ZＴ-4５、如图1-ZT—５,在矩形ＡBCD中,点E在边ＣD上,将该矩形沿ＡE折叠,使点D落在边BC上的点F处,过点F作ＦG∥CD,交AE于点G,连接DG、(1)求证:四边形DEFＧ为菱形;(２)若ＣD=8,CF＝4,求CEDＥ的值。

图1-ZT-５►方法二用数形结合思想解决特别平行四边形中的折叠问题6。

如图1—ＺT—6,在矩形ABCＤ中,AB＝4,BＣ=6,Ｅ为BC的中点,将△ABＥ沿AＥ折叠,使点Ｂ落在矩形内点F处,连接CF,则ＣＦ的长为()图1－ZT-6A、95B。

＼f(1２,5)C、＼f(1６,５)D、＼f(18,5)7。

如图１—ZT－7,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AＥ折叠(点E在边ＤC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处、若点Ｄ的坐标为(10,８),则点E的坐标为＿＿______、图1-ZT－78、如图１－ZT－8,在矩形ABＣD中,AＢ=6 cｍ,E,F分别是边BC,AＤ上一点,将矩形AＢCD沿ＥF折叠,使点C,Ｄ分别落在点C′,D′处、若Ｃ′E⊥ＡD,则ＥＦ的长为＿＿______ｃm。

北师大版九上第一章《矩形》题型全解讲义题型解读2-3 矩形典型题型：折叠问题【知识梳理】1.折叠问题总体解题方法：折叠性质+方程思想+勾股定理；2.折叠问题的三种题型①折叠后点的位置确定：不涉及分类讨论，只是几何证明与计算；（例1）②折叠后点的位置不确定：涉及分类讨论；（例2）③折叠后的特殊图形的边或角位置不确定，涉及分类讨论；（例3）3.折叠问题中常见的数学典型模型---“角平分线+平行线=等腰△”；（例4、例5）由折叠性质“折叠前后的角相等”则知：折痕是角平分线，矩形对边会平行，所以在矩形中的折叠问题，常常出现这个数学典型模型的运用。

如图：4.折叠问题常见的添辅助线方法：连接对应点，则折痕垂直平分对应点的边线；（例5）【典型例题】例1.如图， 矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.【思路分析】由折叠性质易证ODP ≌△OEG ，则在直角三角形BCG 中，运用方程思想及勾股定理，即可求出AP 的长；【解题过程】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，由折叠性质得：∴EP=AP ，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP 和△OEG 中，∵∠D=∠E ，OD=OE ，∠DOP=∠EOG ，∴△ODP ≌△OEG,∴OP=OG ，PD=GE ，∴DG=EP,设AP=EP=x ，则PD=GE=6－x ，DG=x ，∴CG=8－x ，BG=8－（6－x ）=2+x,根据勾股定理得：BC 2+CG 2=BG 2由折叠性质可得AC 是∠ECB 的角平分线，∠1=∠2；由AD//EC 可得∠1=∠3，∴∠2=∠3，AB=BC ，ABC 是等腰三角形；C BA 123E D 连接对应点BD ，则折痕AC 垂直平分BDC B A DP G O BC D E A即：62+（8－x ）2=（x+2）2,解得：x=4.8∴AP=4.8.例2.如图，在矩形ABCD 中，AD=5,AB=8,点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 恰好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为________.【思路分析】由于D 点折叠后的对应点F ，题目只交待在直线MN 上，并没告之具体位置，有可能在线段MN 上，也可能在N 的上方或在M 点的上方，故需要分情况讨论，画图便知点F 不可能在M 点的上方，所以分两种情况进行论证计算；【解题过程】分两种情况：①如图1，当点F 在矩形内部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=2,设DE =EF =a,EM =4−a,在Rt △EFM 中，a 2=(4−a)2+22，解得a =52；②如图2，当F 在矩形外部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=8,设DE =EF =b,EM =b −4,在Rt △EFM 中，b 2=(b −4)2+82，解得b =10；综上所述，DE 的长为52 或10.例3.如图，在△ABC 中，∠A=90°,AB=AC=2,将△ABC 折叠，使点B 落在边AC 上点D(不与点A 重合)处，折痕为PQ,当重叠部分△PQD 为等腰三角形时，则AD 的长为___________【思路分析】折叠时由于Q 、D 点的位置不确定性，所以△PQD 各边长度的不确定性，故当△PQD 为等腰三角形时，需分三种情况进行分类讨论；【解题过程】分三种情况：①PD=DQ 时，则BP=PD=DQ=BQ,四边形BQDP 是菱形，PD//BC,BP//DQ,易得△APD 、△CDQ 是等腰直角三角形，则PD=DQ=CD=√2AD ，则AC=AD+CD=AD+√2AD=2,∴AD=2√2-2；②DQ=PQ 时，BQ=PQ,∴∠BPQ=∠B=45°,△BPQ 是等腰直角三角形，此时点B 与点C 重合，∴AD=AC=2；③PD=PQ 时，PQ=BP,∴∠BQP=∠B=45°,△BPQ 是等腰直角三角形，此时点B 与点A 重合，不符题意，舍去； 综上所述，AD 的长为2或2√2-2.图2图1NM A C BD E F A C B D E F FEM D B NCA例4.现有一张矩形纸片 ABCD （如图），其中 AB=4cm ，BC=6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点E ′，连接E ′C ，则线段 E ′C=____．【思路分析】由于A 、B 、E 的位置是确定的，故点E`的位置也是确定的，所以不存在分类讨论，只需要运用几何知识进行证明与计算得出B`C 的长即可。