数值分析第二章 插值法

数值分析
第二章 插值法
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第2章 插 值 法( Interpolation)
2.1 引 言
一、问题的提出 第一类问题 函数 y= f(x) 表达式未知, 通过观察、 实验或测量得到上n+1个互异点 xi 的值 yi=f(xi) ( i=0, 1,..., n) . 第二类问题 函数 y= f(x)表达式已知, 但太复杂, 计算得到其(容易计算)在n+1个互异点xi 的值 yi=f(xi) ( i=0, 1,..., n) . 如三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.
(对称式方程)
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2.2 拉格朗日插值
约瑟夫· 拉格朗日, 全名约瑟夫· 路
易斯· 拉格朗日(Joseph-Louis
Lagrange)法国数学家、物理学家。
Lagrange 法1736-1813
1736年1月25日生于意大利都灵, 1813年4月10日卒 于巴黎. 他在数学、力学和天文学三个学科领域中都
定义 已知函数 y= f(x)在n+1个互异点xi 的值yi=f(xi) ( i=0,1,..., n) ,求一个多项式p(x), 使其满足 (1) p(x)是一个次数不超过n 的多项式;
(2) p(xi)=yi (i=0,1, ..., n)
则 p(x) 称为f(x) 的n次插值多项式, 用Pn(x)表示, 即 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn a=min{xi}, b=max{xi}.
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n a0 a1 x0 an x0 y0 n a a x a x 0 1 1 n 1 y1 n a a x a x 1 n n n yn 0 其系数行列式为Vandermonde 行列式：

3
1 f ( ) ( x) 2
3
1 2 R1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 8 3 1 2 R1 (115) (115 100)(115 121 ) 8 3 1 (115 100)(115 121 max 2 ) 100 ,121 8
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
这是一个线性函数，在几何上就是通过曲线y=f(x)上 的两点(x0,y0)和(x1,y1)作一直线y=L1(x)近似代替曲线 y=f(x),故两点插值又名线性插值
线性插值的几何意义

n=2时
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
其中，k(x)为待定函数
作辅助函数 F (t ) f (t ) P (t ) k ( x) (t ) n n 1 不难看出F(t)具有以下特点:
(1) F(x)=F(xi)=0(i=0,1….n)也就是F(t)有n+2个零点即x, x0,x1,…,xn. (2)在[a,b]上具有n+1阶导数，且
第2章 插值法
§1
引言 § 2 拉格朗日插值多项式 § 3 牛顿插值多项式
§4 §5 §6
分段低次插值 三次样条插值 数值微分
}
§1
引言
1.1 插值问题及代数多项式插值

确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次 数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多 项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应 的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插 值法的计算过程相对简单，不需要求 解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿 插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主 要研究如何用数值方法解决各种数学 问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的 概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的 局部性质，能够提供较为准确的插值 结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况， 无论是线性还是非线性数据，都能得 到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式， 其全局误差通常较大，尤其是在 数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛 顿插值多项式可能会发生较大的 变化，导致插值结果不稳定。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。