数值分析 插值法

数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。

插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。

插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。

插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。

常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。

假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。

拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。

b.构造插值多项式L(x)。

c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。

2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。

差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。

最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。

牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。

b.计算差商表的其他列，直至最后一列。

c.根据差商表构造插值多项式N(x)。

数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。

插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。

在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。

拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。

对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。

对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。

拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。

而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。

除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。

分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。

1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。

数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。

其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。

插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。

插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。

假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。

设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。

每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。

相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。

给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。

首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。

定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。

数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。

插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。

接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。

具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。

然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。

最终得到的多项式函数就是插值函数。

优点：简单易懂，使用较为广泛。

缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。

二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。

具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。

牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。

三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。

分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。

1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。

数值分析插值法数值分析是数学的一个分支，用于研究如何使用数值方法来近似和解决数学问题。

插值是数值分析的一个重要概念，它涉及到如何通过已知数据点的信息来估计未知数据点的值。

在本文中，我们将着重讨论插值法。

插值法是一种基于已知数据点的函数值，通过建立适当的插值函数来估计未知数据点的函数值的方法。

插值问题的目标是找到一个函数f(x)，使得f(x_i)=y_i(i=0,1,2,...,n)，其中x_i是已知的数据点，y_i是相应的函数值，n是已知数据点的数量。

然后，通过插值函数可以近似估计任意一个未知数据点的函数值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

下面我们将逐一介绍这些插值方法。

拉格朗日插值是一种利用拉格朗日多项式进行插值的方法。

拉格朗日多项式是一个多项式函数，满足通过已知数据点的函数值。

具体地说，设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。

拉格朗日插值多项式的形式如下：P(x)=Σ(y_i*l_i(x))其中l_i(x)是拉格朗日基函数，它定义为：l_i(x)=Π((x-x_j)/(x_i-x_j))(j≠i)牛顿插值是另一种常用的插值方法。

它通过使用差商来递归地计算插值多项式。

差商是一个递归定义的函数，用于计算多项式的系数。

设给定的已知数据点为(x_i,y_i)，我们需要找到一个多项式P(x)=y，使得P(x_i)=y_i。

牛顿插值多项式的形式如下：P(x)=y_0+(x-x_0)*f[x_0,x_1]+(x-x_0)*(x-x_1)*f[x_0,x_1,x_2]+...其中，f[x_i,x_j,...,x_k]是差商的定义，它可以通过递归公式计算得到：f[x_i,x_j,...,x_k]=(f[x_j,...,x_k]-f[x_i,...,x_{k-1}])/(x_k-x_i)埃尔米特插值是一种利用已知数据点及其导数信息进行插值的方法。

数值分析-插值法我们能得到⼀个函数f在区间[a,b]上某些点的值或者这些点上的⾼阶导数我们就能通过插值法去得到⼀个函数g，g与f是⾮常相近的⼀般来说g分为三类，⼀类是n次多项式 a n*x n +a n-1*x n-1 + .......+a0，⼀类是三⾓多项式，最后⼀类是分段n次多项式多项式插值这个可以说是最简单的插值了对于a n*x n +a n-1*x n-1 + .......+a0，我们有n+1个未知数，我只需要知道n+1个点的函数值就可以解出这n+1个未知数将解出的值带⼊即可优点:简单粗暴缺点:要解n+1个⽅程，时间复杂度较⾼，n不好确定，若n过⼤，容易过拟合，若n过⼩，容易⽋拟合拉格朗⽇插值先说⼀阶多项式我们有两点式f(x) = y k*(x k+1 - x) / (x k-x k+1) + y k+1*(x-x k) / (x k+1 - x k)此两点式可以看做∂ * y k + (1-∂) * y k+1那么⾃然的在x=x k的时候 ∂=0 在x=x k+1的时候∂=1这⾥的∂其实是与x相关的⼀阶多项式再说⼆阶多项式对于⼀个⼆次函数，我们有三个点(x k-1,y k-1) ,(x k,y k) ,(x k+1,y k+1)我们有l k-1,l k,l k+1f(x) = l k-1*y k-1 + l k*y k + l k+1*y k+1其中l是与x相关的⼆次多项式我们可以把l当作基函数这样的话就有x = x k-1 时l k-1 = 1, l k=0, l k+1 = 0x = x k时 l k-1 = 0, l k=1, l k+1 = 0x = x k+1时l k-1 = 0, l k=0, l k+1 = 1那么这个插值基函数是很好求的因为每个插值函数都有两个零点对于l k-1来说有零点x k,x k+1那么lk-1就可以表⽰为l k-1 = A*(x-x k)*(x-x k+1)因为x=xk-1时l k-1 = 1所以A = 1 / (（x k-1 - x k）* (x k-1 - x k+1) )那么同理l k和l k+1也能求出来了那我们得到⼆阶的拉格朗⽇插值多项式现在将⼆阶推⼴到n阶得到n接的拉格朗⽇插值多项式余项:R n(x) = f(x) - L n(x) R n(x)表⽰n次拉格朗⽇多项式的插值余项R n(x) = f n+1(e)/(n+1)! * w n+1(x) e属于[a,b]且依赖与x w n+1(x) = (x-x0)(x-x1).......(x-x n)优点:算法较为简单缺点:⽆法处理动态增加节点的情况⽜顿插值还是先从⼀阶到⼆阶进⾏说明我先得到了⼀阶差值多项式P1(x),P1(x) 满⾜过点(x1, f(x1)), (x2,f(x2))假设现在有第三个点(x3,f(x3))我们要通过这个点去得到⼆阶差值多项式P2(x) 使得P2(x)过这三个点可以设P2(x) = P1(x) + a2*(x-x0)*(x-x1)通过第三个点解出a2就⾏了推⼴到多阶那么可以得到P n(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + a3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + ......求这个插值多项式的值可以通过递推⼀步⼀步的求这样就实现了动态增删可以看到计算a k需要计算(k-1)2次，那么⽜顿插值法就是⼀个快速的计算⽅法均差⼀阶均差 f[x0, x k] = ( f(x k) - f(x0) ) / (x k - x0)⼆阶均差 f[x0, x1, x2] = (f[x0, x2] -f[x0, x1] ) / (x2 - x1)可以看到⼀阶均差就是简单的求斜率⼆阶均差就是对⼀阶均差求斜率那么k阶均差就是f[x0, x1,,,,,,x k] = (f[x0,,,,,x k-2, x k] -f[x0, ,,,,,,,x k-2,x k-1] ) / (x k - x k-1)f[x0, x1,,,,,,x k] = f n(ε) / n!均差的性质k阶均差可表⽰为f(x0),f(x1), f(x2),,,,,,,,, f(x k)的线性组合⽜顿插值中的a就是均差，可以从⼀阶开始推，然后使⽤数学归纳法证明那么⽜顿插值多项式就是：在计算f[x0,x1,,,,,,,,,,x n]时，⼀般使⽤均差表均差表的计算⽅式为a[i,j] = ( a[i-1][j] - a[i-1][j-1] ) / (末尾的x - 最开始的x)误差:误差为最后⼀阶的均差 * w(x)优点:可动态增删节点缺点:⽆法处理要求导数相同的情况埃尔⽶特插值法实验报告⼀个点，多个导数:⽜顿插值中的均差在xi->x0时其实分别是i阶导数，这样就是我们熟悉的泰勒多项式此时的插值函数就是泰勒多项式两个点，⼀个导数我们有三个条件，也就是说我们能求出三次插值多项式这时我们先写出过这两个点的⽜顿插值多项式在这个多项式的基础上我们再加上⼀个三次项搞定，可以观察到，这三个项数其实可以算是正交的，因为当x=x1或者x=x2时最后⼀项是0满⾜条件的两个点，两个导数这也是题⽬所要求的情况因为有两个导数，所以⽜顿插值法⽆法解决，这⾥只能使⽤基函数⽅法设插值函数为H(x), 点与导数分别为(x1,y1,m1),(x2,y2,m2)H(x)满⾜：H(x1) =y1, H(x2) = y2, H(x1)’ = m1,H(x2)=m2H(x) = a1*x1 + a2*x2 + b1*m1 + b2*m2其中 a1, a2, b1, b2均为三层插值多项式X=x1时 a1(x1) = 1,a2(x1) = 0, b1(x1) = 0,b2(x1) = 0,a1’(x1) = 1,a2’(x1) = 0X=x2时 a1(x2) = 0,a2(x2) = 1, b1(x2) = 0,b2(x2) = 0,a1’(x2) = 1,a2’(x2) = 0X=x1时 b1’(x1) = 1,b2’(x1) = 0X=x2时b1’(x1) = 0,b2’(x1) = 1然后⽤了⼀个很巧妙的⽅法设基函数，解出来值和就是这样⼦的R3(x) = 1/4! * (x-x k)2(x-x k+1)2*f4(ε)两个点，两个导数2直接使⽤泰勒多项式，并把将余项改为未知数，使⽤多余的⼀个条件去求余项的值例如:求次数⼩于等于3的多项式P(x)，使满⾜条件P(x0)=f(x0)，P'(x0)=f'(x0)，P"(x0)=f"(x0)，P(x1)=f(x1)。

数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。

下面将对这些插值方法进行详细介绍。

一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。

线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。

二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。

拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。

通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。

分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。

四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。

利用差商的概念来构造插值多项式。

Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。

第二章插值法2.在区间[-1,1]上分别取n=10,20用两组等距节点对龙哥函数f(x)=1/(1+25*x^2)做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f（x）的图形。

（1）多项式插值①先建立一个多项式插值的M-file；输入如下的命令（如牛顿插值公式）：function [C,D]=newpoly(X,Y)n=length(X);D=zeros(n,n)D(:,1)=Y'for j=2:nfor k=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));endendC=D(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)))m=length(C);C(m)= C(m)+D(k,k);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.2:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.2:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f（x）图形：③当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clf,hold on;X=-1:0.1:1;Y=1./(1+25*X.^2);[C,D]=newpoly(X,Y);x=-1:0.01:1;y=polyval(C,x);plot(x,y,X,Y,'.');grid on;xp=-1:0.1:1;z=1./(1+25*xp.^2);plot(xp,z,'r')得到插值函数和f（x）图形：（2）三次样条插值①先建立一个多项式插值的M-file；输入如下的命令:function S=csfit(X,Y,dx0,dxn)N=length(X)-1;H=diff(X);D=diff(Y)./H;A=H(2:N-1);B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));C=H(2:N);U=6*diff(D);B(1)=B(1)-H(1)/2;U(1)=U(1)-3*(D(1));B(N-1)=B(N-1)-H(N)/2;U(N-1)=U(N-1)-3*(-D(N));for k=2:N-1temp=A(k-1)/B(k-1);B(k)=B(k)-temp*C(k-1);U(k)=U(k)-temp*U(k-1);endM(N)=U(N-1)/B(N-1);for k=N-2:-1:1M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);endM(1)=3*(D(1)-dx0)/H(1)-M(2)/2;M(N+1)=3*(dxn-D(N))/H(N)-M(N)/2;for k=0:N-1S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1));S(k+1,2)=M(k+1)/2;S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6;S(k+1,4)=Y(k+1);end②当n=10时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.2:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：②当n=20时，我们在命令窗口中输入以下的命令：clear,clcX=-1:0.1:1;Y=1./(25*X.^2+1);dx0= 0.0739644970414201;dxn= -0.0739644970414201; S=csfit(X,Y,dx0,dxn)x1=-1:0.01:-0.5;y1=polyval(S(1,:),x1-X(1));x2=-0.5:0.01:0;y2=polyval(S(2,:),x2-X(2));x3=0:0.01:0.5; y3=polyval(S(3,:),x3-X(3));x4=0.5:0.01:1;y4=polyval(S(4,:),x4-X(4));plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4, X,Y,'.')结果如图：第三章函数逼近与快速傅里叶变换2. 由实验给出数据表x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0y 1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线及相应的三种拟合曲线。

常用数值分析方法常用数值分析方法指的是应用数值计算方法研究和解决实际问题的一类方法。

它涉及到计算机科学、数学、算法及相关工程应用等多个领域的交叉应用，被广泛应用于科学研究、工程设计、经济分析、物理模拟、天气预测等领域。

以下是常用的数值分析方法的介绍。

1.插值法：插值法是通过已知数值点的函数值来推导任意点的函数值。

其中最常用的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。

插值法在数值计算、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。

2.数值微分与积分：数值微分和积分方法是通过一系列近似计算来求解微分和积分问题，常用的方法有数值微分公式、数值积分公式和龙格-库塔方法等。

这些方法在工程数学、物理学、金融学等领域得到了广泛应用。

3.非线性方程求解：非线性方程求解方法用于求解形如f(x)=0的非线性方程，在科学计算和工程设计中具有重要作用。

常用的方法有二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。

4.数值优化：数值优化方法是求解最优化问题的一种方法，常用的算法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、模拟退火算法、遗传算法等。

这些方法被广泛应用于机器学习、数据挖掘、工程设计等领域。

5.差分方程与差分法：差分方程是运用差分近似的数值方法来求解常微分方程的一种方法。

常用的差分法有向前差分法、向后差分法、中心差分法等。

差分法在数值模拟、物理仿真等领域有广泛应用。

6.线性代数方程组的数值解法：数值解线性代数方程组是数值分析中的经典问题之一、常用的算法有高斯消元法、LU分解法、迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、稀疏矩阵迭代法）等。

7.数值逼近与最小二乘拟合：数值逼近和最小二乘拟合方法是通过一系列近似计算来拟合和逼近已知的数据集。

常用的方法有多项式拟合、最小二乘法、曲线拟合、样条插值等。

这些方法在数据分析、信号处理、模糊识别等方面有广泛应用。

8.数值统计：数值统计方法是通过数值计算和统计学方法来处理和分析实际数据。

常用的方法有假设检验、参数估计、方差分析、回归分析等。

数值分析第2章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，用于在给定一组有限数据点的情况下，通过构造合适的数学模型来估计这些数据点之间的未知数值。

插值法的应用广泛，包括图像处理、计算机辅助设计、数值计算等领域。

常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值以及样条插值等。

这些方法都是基于多项式的插值形式，通过构造一个多项式函数来逼近数据点，并据此对未知点进行估计。

拉格朗日插值是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。

对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值构造了一个n次多项式Ln(x)，满足：Ln(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + ... + ynLn(x)其中，L0(x),L1(x),...,Ln(x)是拉格朗日基函数，定义为：Lk(x) = ∏(i≠k)(x - xi)/(xk - xi) (k = 0, 1, ..., n)拉格朗日插值方法的优点是简单易用，但随着数据点数量的增加，拉格朗日多项式的计算复杂度也会大大增加。

牛顿插值是另一种基于多项式的插值方法，它使用差商的概念来构造插值多项式。

对于给定的n+1个不同的数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值构造了一个n次多项式Nn(x)，满足：Nn(x) = y0 + c0(x - x0) + c1(x - x0)(x - x1) + ... + cn(x -x0)(x - x1)...(x - xn-1)其中，c0 = Δy0/(x0 - x1)，ci = Δyi/(xi - xi+1) (i = 0, 1, ..., n-1)，Δyi = yi+1 - yi。

牛顿插值方法相比于拉格朗日插值方法，在计算多项式时具有更高的效率，尤其是在需要更新数据点时。

此外，牛顿插值方法还可以通过迭代的方式得到更高次数的插值多项式。