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P(x) f(x) = y
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2.1 引言
2.1.1 插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式
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或用直线的两点式表示为：
L1(x)y0x x0 x x11y1x x1 x x00.
记
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
l l 则 称 ： 0 ( x )叫 做 点 x 0的 一 次 插 值 基 函 数 1 ( x )为
点 x 1的 一 次 插 值 基 函 数
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2.2 拉格朗日插值
2.2.1 基函数
考虑最简单、最基本的插值问题. 求n次插值多项式 l i(x) (i=0,1, …,n), 使其满足插值条件
Lagrange 法1736-1813
0, ji li(xj) 1, ji (j0,1, ,n ) 可知, 除 xi点外, 其余都是 li(x)的零点, 故可设 l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
证 设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
(5-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
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a0 a1x0 anx0n y0
a0
a1x1
anx1n
y1
（5-3）
(x x i 1 )(x x i 1 ) (xxn) (x i x i 1 )(x i x i 1 )(xixn)
(i0,1, ,n)
n
x xj
j0 xi x j
ji
称之为拉格朗日基函数, 都是n次多项式 。
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n=1时的一次基函数为:
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
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l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
其中A为常数, 由li(xi)=1可得 A (x i x 0 ) (x i x i 1 ) 1 x i( x i 1 ) (x i x n )
li(x)((x x i x x0 0))
第2章 插 值 法
在工程技术与科学研究中，常会遇到函数表达 式过于复杂而不便于计算，且又需要计算众多点处 的函数值；或已知由实验（测量）得到的某一函数 y=f(x)在区间[a,b]中互异的n+1个xi ( i=0, 1, ... ,n)处 的值yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 需要构造一个简单易算的 函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式
y
1
l (x) 0
y
1
l (x) 1
O
x 0
x 1
x
Ox 0
xx 1
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此为两点线性插值问题
即已知函数 f(x)在点x0和x1点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性函数
L(x)=a0+ a1x
使满足条件：
L(x0)=y0 , L(x1)=y1.
L(x)y0x y1 1 x y0 0(xx0)
插值基函数的特点：
x0
x1
l0
1
0
l0 1
l1
l1
0
1
x0
x1
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n=2时的二次基函数为 : l0(x)((xx 0 x x1 1))((x x0 xx 22 )), l1(x)((xx1 x x0 0))((x x1xx22)), l2(x)((xx2 x x0 0))((x x2xx11)).
Pn(x)使其满足
Pn(xi)=yi式插值问题.
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其中Pn(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式, f(x) 称为被插函 数, xi(i=0,1, ...,n)称为插值节点, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为 插值点, [a,b] 称为插值区间, 式(5-1)称为插值条件。
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2.2.2 拉格朗日插值多项式
利用拉格朗日基函数l i(x), 构造次数不超过n的多项式 n
L n (x ) y 0 l0 (x ) y 1 l1 (x ) y n ln (x )y ili(x )
i 0
可知其满足 L n (x j) y j j 0 ,1 , ,n
从几何意义来看,上 述问题就是要求一条多 项式曲线 y=Pn(x), 使它 通过已知的n+1个点 (xi,yi) (i=0,1, … ,n),并用 Pn(x)近似表示f(x).
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即
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
其中ai为实数，就称P(x) 为 插值多项式，相应的插 值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就 称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插 值，本章只讨论插值多项式与分段插值。
y=f(x)≈P(x) ,
使得
P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
这类问题就称为插值问题， P(x)称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。
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P(x) f(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
使得 其它点
y=f(x)≈P(x) , P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ..., n)
本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值 函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在 唯一性、收敛些及误差估计等。
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2.1.2 插值多项式的存在性和唯一性 定理1 设节点 xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件
Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n)的次数不超过n的多项 式存在且唯一.
a0 a1xn anxnn yn
此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是
范德蒙(Vandermonde)行列式：
1 x0 x02 x0n
1 x1 x12 x1n (xj xi ) 0
ji
1 xn xn2 xnn 由克莱姆法则知方程组 (5-3) 的解存在唯一. 证毕。
