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数学建模A题系泊系统设计

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数学建模A题系泊系统设计

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 系泊系统的设计 摘要 本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。求解的具体流程如下： 针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。 针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在36𝑚𝑠⁄时能够正常工作。

为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。 针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。 关键词：悬链线多目标非线性规划

一、问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1某型传输节点选用II型电焊锚链，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 二、模型假设 1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布； 2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；

三、符号说明 符号 含义 F浮0

浮标的浮力

F浮 钢管的浮力

F浮1

钢桶的浮力

F浮2

重物球的浮力

F风 近海风荷载

𝐹0 浮标近海水流力

𝐹1 钢桶近海水流力

𝐹2 重物球近海水流力

𝐺0 浮标重力

𝐺 钢管重力

𝐺1 钢桶重力

𝐺2 重物球重力

𝐺3 锚链重力

r浮 浮标游动区域

h 浮标吃水深度 四、问题分析 问题一分析 问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。 问题二分析 问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在36𝑚𝑠⁄时能够正常工作。为了确

定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。 4.3 问题三分析 问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号I锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。

五、模型建立与求解 问题一模型 问题分析 问题一,系泊系统整体受力平衡，浮标受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度,从而求出结果。 模型建立 Step1.系泊系统受力分析 对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。此题中海水静止，故所有近海水流力为0。将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到： 图浮标受力分析图

{𝐹𝑥,0=𝐹风+𝐹0 （水平方向）𝐹𝑦,0=𝐹浮0−𝐺0 （竖直方向）

式中，𝐹𝑥,0、𝐹𝑦,0分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。 对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为𝐹0，后续第k+1节钢管对第k节钢管的力为F𝑘，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此： 图钢管受力分析图

{𝐹𝑥,𝑘=𝐹𝑥,𝑘+1+𝐹𝑘 （水平方向）𝐹𝑦,𝑘+𝐹浮=𝐹𝑦,𝑘+1+𝐺 （竖直方向） 式中，F浮为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重力相比很小，可忽略不计；𝐹𝑥,𝑘，𝐹𝑦,𝑘分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。 对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则： 图钢桶受力分析图

{𝐹𝑥,𝑘+1=𝐹𝑥,𝑘+𝐹1 （水平方向）𝐹浮1+𝐹浮2+𝐹𝑦,𝑘=𝐹𝑦,𝑘+1+𝐺1+𝐺2 （竖直方向）

式中，F𝑥,𝑘+1和F𝑦,𝑘+1分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。 对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得： 𝐹风=𝐹𝑥,0=𝐹𝑥,1=𝐹𝑥,2=𝐹𝑥,3=𝐹𝑥,4=𝐹𝑥,5=0.625×𝑆𝑣2

其中，S为物体在风向法平面的投影面积，v为风速。 由竖直方向受力分析得： 𝐹𝑦,0=𝐹浮0−𝐺0

𝐹𝑦,0=𝐹𝑦,1+𝐺

𝐹𝑦,1=𝐹𝑦,2+𝐺 𝐹𝑦,2=𝐹𝑦,3+𝐺 𝐹𝑦,3=𝐹𝑦,4+𝐺 𝐹浮1+𝐹浮2+𝐹𝑦,4=𝐹𝑦,5+𝐺1+𝐺2

设浮标的吃水深度为h，则：

𝐹浮0=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ 𝐺0=𝑚0𝑔 𝐺=𝑚𝑔 𝐺2=𝑚2𝑔 𝐹浮1=𝜌𝑔𝜋𝑟22𝑙0

𝐹浮2=𝜌𝑔𝑚2

𝜌重

其中，𝜌为海水密度，题中为1.025×103𝑘𝑔𝑚3⁄；𝑔为重力加速度，本题取

9.8m𝑠2⁄；𝑟为浮标底面积半径，本题中为1m；𝑚0为浮标质量，为1000kg；𝑚为每

节钢管的质量，为10kg；𝑚2为重物球的质量，本题中为1200kg，𝑟2为钢桶底面半径，𝑙0为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。

将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为ρ重

=7.86×103𝑘𝑔𝑚3⁄，由题中已

知条件可知，可以递推出： 𝐹𝑦,0=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1000𝑔

𝐹𝑦,1=𝜌𝑔𝜋𝑟2ℎ−1010𝑔

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2016数学建模国赛论文

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（5.10） （5.11）
得到
1 V g mg mg )l sin 0 Fxl cos ( Fy Mg 水 桶 2
由此解得第一根钢管的倾斜角度的表达式
1 arctan
1 V g mg mg Fy Mg 水 桶 2
以及上方钢管施加的约束力。钢桶的受力如图 4 所示：
5
0
mg

Mg
1
mg
F1
图 4 钢桶的受力分析示意图
图 5 第一根钢管受力分析示意图
) ， F ( F , F ) ， 将各力写成直角坐标系下坐标的形式有： GM (0, Mg x y 锚 水V桶g ) .此时， GM G桶 F桶 =(0,-mg 与 F锚 的作用点坐标为： ( l sin , l cos ) ， l l 而 G桶 F桶 的作用点为 ( sin , cos ) ，钢桶的倾角为 . 2 2 根据虚功原理： ( F锚 GM ) r ( F G 1 桶 桶) r2 0 1 V g 1 mg )l sin 0 Fxl cos ( Fy Mg 2 水 桶 2 Fx 0 arctan 由此可以解得 1 V g 1 mg Fy Mg 2 水 桶 2
系泊系统的设计
摘要
系泊系统是一种通过机械装置将水面结构与固定点进行连接的系统。它能够 使被系结构物具有抵御一定环境条件的能力， 并在遭遇极端海况时保证结构物和 系泊系统本身的安全。 本文建立了单点系泊系统的数学模型，并针对不同海况对 系泊系统进行结构上的优化设计。 针对问题一，首先，假定浮标吃水深度为 h ，在满足题目要求的情况下，求 解得到锚链对浮标、钢管、钢桶整体的作用力；随后从下至上依次对钢桶以及各 节钢管进行受力分析，并根据虚功原理得到钢桶、各钢管的倾角与约束力（作为 吃水深度 h 的函数） ；之后，根据锚链形状为一悬链线的假设，求解锚链在吃水 深度为 h 时的形状方程；最后，计算锚链、钢桶、钢管、浮标在水下部分的竖直 方向的高度作为 h 的函数，并根据水深为 18 m 的条件计算出 h 的大小，进而计算 得到题目要求的各个参量。结果为： （1）风速为 12 m / s 的情况下，钢桶倾斜角 度为 1.202°；从下至上各钢管倾斜角度依次为:1.184°，1.176°，1.168°， 1.160°；锚链形状方程为： s 3.98 tan ；浮标吃水深度 0.681 m ，游动范围为 一半径 14.65 m 的圆； （2）风速为 24 m / s 的情况下，钢桶倾斜角度为 4.569°； 从下至上各钢管倾斜角度依次为:4.502°，4.473°，4.444°，4.415°；锚链 形状方程为： s 15.74 tan 1.24 ；浮标吃水深度 0.695 m ，游动范围为一半径 17.78 m 的圆。 针对问题二，将风速 36 m / s 代入问题一的模型中，得到钢桶倾斜角度为 9.452°； 从下至上各钢管倾斜角度依次为:9.323°， 9.267°， 9.211°， 9.157°； 锚链末端与海床夹角为 20.905°，形状方程为： s 34.80 tan 13.29 ；浮标吃 水深度 0.718 m ， 游动范围为一半径 18.87 m 的圆。 由于钢桶的倾斜角度超过 5°， 且锚链末端与海床夹角超过 16°，因此需要将重物球的质量作为自变量，两个 角度作为因变量，建立控制模型求解。通过控制重物球的质量，使得钢桶倾角小 于 5°且锚链末端与海床夹角小于 16°。调整后的结果为：重物球的质量大于 2262.9kg 时钢桶的倾斜角度小于 4.5°，锚链末端切线与海床夹角小于 16°。 针对问题三，首先对问题一及问题二中使用的模型进行改进，在受力分析过 程中引入水流力；随后，构建以钢球质量 M 、水深 H 、风速 v 、水流速 V 、风 速与水流速之间的夹角β、锚链的线密度ρ、以及锚链的总长度 L 为自变量的函 数，函数的因变量为钢桶以及各节钢管的倾角、浮标的吃水深度 h 、以及用于确 定锚链形状方程 s k tan b 的参数 k 和 b ；之后，考虑到水深大小波动的影响， 在人为给定海面风速以及浅海水流速之后，讨论锚链的型号、总长度以及重物球 的质量对钢桶及各钢管倾角、浮标吃水深度、锚链形状以及游动区域的影响，并 在人为给定的风速与水流速 36 m / s ,1.5 m / s 且同向的条件下，使用遗传算法得 到最优的系泊系统设计为：选用 V 型锚链 20.78m,重物球质量为 4560kg. 最后，将模型应用于青岛市胶州湾浅海海域，根据区域的实际海水流速、海 风风向，得到系泊系统的最优设计。对模型进行客观评价，对模型的实用性进行 评估，并给出针对模型缺陷的改进方案。
系泊系统的优化设计

系泊系统的优化设计

NO.30 科技资讯 2017 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
信 息 技 术
DOI： 10.16661/j.c n k i.1672-3791.2017.30.040
系泊系统的优化设计 ①
陈桂糖 任驰远 邓秋福 余莎 黄辉红 蒲思蓓 （西南石油大学理学院 四川成都 610500）
摘 要:对于系泊系统的设计问题,以悬链线方程为基础,通过静力平衡和刚体力矩平衡理论确定系泊系统中各个参数之间的联 系,推导出系泊系统整体的数学模型。 再利用牛顿-拉夫逊迭代对其进行求解， 最终得到不同海况下钢桶和各节钢管的倾角、 浮标 的吃水深度及游动区域、 锚链的形状及约束条件下的重物球的质量等结果,并给出最优系泊系统设计的方案。 关键词:系泊系统 悬链线 静力平衡 钢体力矩平衡 牛顿-拉夫逊迭代 中图分类号:P75 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2017)10(c)-0040 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 水平方向长度 12 14 16
12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 水平方向长度 12 14 16
图6
不同风速锚泊系统位置图
Tx 2 ⋅ l 2 ⋅ sin α 2 B2 ⋅
2 G0 ⋅ l 2 ⋅ cos α 2 G 2 ⋅
2.2 锚链的受力分析 如图2所示， 锚链受到的力有自身重力WS 、 锚拉力T 1、 钢 桶拉力T 2 。 不考虑锚链的弹性， 按照静力悬链线理论可以推导出锚 链的数学模型 [2]：
T S H (tan θ 2 − tan θ1 ) W TH X [sinh −1 (tan θ 2 ) − sinh −1 (tan θ1 )] W Z TH [cosh(sinh −1 (tan θ )) − cosh(sinh −1 (tan θ ))] 2 1 W
系泊系统的设计数学建模差分法

系泊系统的设计数学建模差分法

模型假设假设所有的材料都是普通钢材，，普通钢材的密度直接按照铁的密度计算，即所有材料密度为7.9×103kg/m3。

问题分析问题总分析：本题最关键的就是讨论出系泊系统中各个参数之间的关系。

我们把系泊系统中的锚链、钢管和钢桶的每一段，都看作是一条理想的杆，再对每一段杆进行受力分析，通过对每根杆分析受力平衡和力矩平衡，得出递推关系，建立差分方程；再利用二分法确定差分方程的初值，从而解出每段杆各个参数的值。

问题一的分析：先对每段理想的杆进行受力分析，和力矩平衡分析，得到拉力以及夹角的差分递推关系，得T的大小和方向，就能计算得到整个系泊系统的状态。

再知只要知道第一根杆受到的拉力1分析第一根理想杆即浮标的受力情况，得知它受到的拉力又由浮标吃水深度f决定，最后利用二分法确定f，从而得到整个系泊系统的状态。

问题二的分析：在问题一的假设上，风速变为36m/s，利用同样的方法求解，求得海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

为使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，我们从1200逐步增加重物球的重量，观察两个角度的大小变化，得到重物球质量的下限；接着再考虑浮标的吃水深度问题，因浮标不能完全浸入水中，计算得到重物球的质量的上限。

问题三的分析：要考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

为了确定锚链的型号，先分析在极端情况，即水深20m，海水速度为1.5m/s，风速36m/s的情况下的锚链在锚点与海床的夹角为16度附近需要锚链长度较短的锚链。

再以这个最短锚链长度为例，求对应的重物球质量范围，使得锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，钢桶的倾斜角度不超过5度，并使得浮标不能完全浸没在水中。

最后给出一个特定取值状态下系泊系统的状态。

符号说明模型建立与求解模型准备：对第i根杆的受力进行分析，如图1：图1将受力分析图简化成图2：图2i B F 为第i 根杆受到的重力i G 和浮力i B 的合力，定义竖直向上的方向为正方向，则i B F 为负值。

数学模型报告

数学模型报告


模型假设
（1）假设忽略锚链的伸缩性。 （2）假设锚链、钢桶、钢管的质量分布均匀。 （3）假设忽略锚、锚链、钢桶、重物球、浮标在水中的浮 力。 （4）假设风向水平向右、河床平坦、用轻绳悬挂重物球。
符号说明
模型建立与求解
• 在本问题中，我们采用了三个模型： • (1)悬链线模型：用于描绘锚链的形状。 • (2)优化模型：可以简单却又比较精确地计算出锚链的关键 参数。 • (3)物理模型：主要采用整体法和隔离法，通俗易懂的计算 出了钢管、钢桶的倾斜角度和浮标的吃水深度。
• 在锚链伸缩不计的假设前提下，显然有锚链的总长度(22.05m)减去锚链与地面 相切部分的长度L等于悬链线在区间[0,x$_0$]上的弧微分，即
为了方便计算我们把以锚链、 x轴以及悬挂重物球的轻绳所 在直线围成的封闭图形近似看 做直角三角形。而后我们将近 似情况与真实情况下锚链的长 度进行对比，如下图：
• 因不清楚锚链是否有与地面相切的部分，故如上图所示，设L为与地面相切的 部分的长度，以O点为原点建立直角坐标系。并设锚链的方程为：
简单对整个传输节点系 统进行受力分析，在水 平方向上锚所受的水平 向左的摩擦力和浮标受 到的向右的风力平衡即 H=F，再将 σ=7(kg/m),g代入方程。 又显然有x=0,y=0，故 锚链的形状方程为:
• 其次，以钢桶与钢管处的节点为研究对象进行受力分析，如下图，可以得出：
• 再以钢桶和和锚链处的节点为研究对象进行受力分析，如下图，可以得出：
• 2.整体法
模型三· 优化模型
• 通过以上分析，一方面，我们只得到了关于x0和L的一个的等式（3），无法精 确求出两者的值；另一方面，由题目中所给的条件，可以得到目标和约束条件。 因此，我们采用了单目标多约束非线性规划模型。在该优化模型中，目标为钢 桶与竖直方向的夹角θ尽可能小。由题意，我们可以得到约束条件如下： • (1)问题一中得到的公式三。 • (2)锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角小于16度。 • (3)浮标不能完全沉入海平面以下，锚链长度不能小于13米。 • 该数学模型可描述为：