数学---陕西省西安市西北大学附中2016-2017学年高一(下)期末试卷(解析版)

陕西省西安市西北大学附中2016-2017学年高一（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（ ）

A．58 B．88 C．143 D．176

2．（4分）已知点（3，1）和点（﹣4.6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是（ ）

A．（ 7，24） B．（﹣7，24） C．（﹣24，7 ） D．（﹣7，﹣24 ）

3．（4分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）

A． B． C． D．

4．（4分）下列各函数中，最小值为2的是（ ）

A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，2π）

C．y= D．y=+﹣2

5．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（ ）

A．4 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣8

6．（4分）若在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：6，则sinB等于（ ）

A． B． C． D．

7．（4分）一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是（ ）

A．61 B．62 C．63 D．64

8．（4分）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（ ）

A． B． C．2 D．4

9．（4分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（ ） A．66 B．55 C．44 D．33

10．（4分）在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1﹣y）．若不等式（x﹣a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（ ）

A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11．（4分）用火柴棒按图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 ．

12．（4分）若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为

；则xy的最小值为

．

13．（4分）已知实数x，y满足，则的取值范围是 ．

14．（4分）在△ABC中，已知sinAsinBcosC=sinAsinCcosB+sinBsinCcosA，若a、b、c分别是角A、B、C所对的边，则的最大值为 ．

15．（4分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，面积的最大值为 ．

三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S3=6，S5=15．

（1）求数列{an}的通项公式．

（2）求数列{}的前n项和Tn．

17．（10分）解不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）

18．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=．

（1）求的值

（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．

19．（10分）某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？

四、解答题（共3小题，满分20分）

20．（5分）函数y=2﹣x﹣（x＞0）的值域为

．

21．（5分）在△ABC中，=||=2，则△ABC面积的最大值为 ．

22．（10分）已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn与an之间满足an=

（n≥2，n∈N*）

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设存在正整数k，使（1+S1）（1+S1）…（1+Sn）≥k对于一切n∈N*都成立，

求k的最大值．

【参考答案】

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1．B

【解析】∵在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，

∴a1+a11=a4+a8=16，

∴S11==88，

故选B．

2．B

【解析】因为点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，

所以，（3×3﹣2×1+m）[3×（﹣4）﹣2×6+m]＜0，

即：（m+7）（m﹣24）＜0，解得﹣7＜m＜24，

即m的取值范围为（﹣7，24）

故选B．

3．B

【解析】△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，

由c=2a，则b=a，

=，

故选B．

4．D

【解析】当x=﹣1时，y=x+=﹣2，故排除A．当sinx=﹣1时，y=sinx+=﹣2，

故排除B．

当x=0时，y==，故排除C．

对于y=+﹣2，利用基本不等式可得y≥2﹣2=2，当且仅当x=4时，等号成立，

故D满足条件，

故选D．

5．D

【解析】作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，

其中A（0，4），B（1，3），C（2，4）

设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，

观察可得：当l经过点A时，目标函数z达到最小值

∴z最小值=F（0，4）=﹣8

故选D.

6．A

【解析】在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=3：5：6，

∴a：b：c=3：5：6，则可设a=3k，b=5k，c=6k，k∈Z，

∴由余弦定理可得：cosB===，

∴由b＜c，B为锐角，可得sinB==．

故选A．

7．A

【解析】根据题意，将圆分组：

第一组：○●，有2个圆；

第二组：○○●，有3个圆；

第三组：○○○●，有4个圆；

…

每组的最后为一个实心圆；

每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为 sn=2+3+4+…+（n+1）==

因为=1952＜2011＜=2015

则在前2012个圈中包含了61个整组，和第62组的一部分，

即有61个黑圆，

故选A.

8．B

【解析】∵2bsin2A=asinB，

∴由正弦定理可得：4sinBsinAcosA=sinAsinB，

又∵A，B为三角形内角，sinA≠0，sinB≠0，

∴cosA=，

∵b=2，c=3，

∴由余弦定理可得：a===．

故选B．

9．D

【解析】由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．

则S11==11×3=33．

故选D．

10．C

【解析】∵（x﹣a）⊙（x+a）＜1

∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，

即x2﹣x﹣a2+a+1＞0

∵任意实数x成立，

故△=1﹣4（﹣a2+a+1）＜0

∴，

故选C．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11． an=2n+1

【解析】由题意，三角形的个数增加一个，则火柴棒个数增加2个， 所以所用火柴棒数an 与是一个首项为3，公差为2的等差数列

所以火柴棒数an 与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是an=3+2（n﹣1）=2n+1

故答案为 an=2n+1.

12．16；12

【解析】∵x，y＞0，且 +=1，

∴x+3y=（x+3y）（ +）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y取等号．

因此x+3y的最小值为16．

∵x＞0，y＞0，且+=1，

∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．

则xy的最小值为12．

故答案为16；12.

13． [，]

【解析】由约束条件作出可行域如图，

的几何意义为可行域内的动点与定点O（0，0）连线的斜率，

联立方程组求得A（3，﹣1），B（3，2），

又，．

∴的取值范围是[，]．

故答案为 [，]．

14． 【解析】在三角形中，由正、余弦定理可将原式转化为：

ab•=ac•+bc•，

化简得：3c2=a2+b2≥2ab，

故≤，即的最大值为．

故答案为.

15． 9

【解析】根据题意，△ABC中，，a+b=12，

则其面积S=absinC=ab≤（）2=9，

即三角形面积的最大值为9；

故答案为9．

三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵S3=6，S5=15．

∴3a1+d=6，5a1+d=15，

解得a1=d=1．

∴an=1+n﹣1=n．

（2）由an=n，，

则．

17．解：不等式x2﹣（a+）x+1＜0（a≠0）可化为0，令，解得a=±1．

当a＜﹣1或0＜a＜1时，，因此原不等式的解集为．

当a=±1时，a=，因此原不等式的解集为∅．

当a＞1或﹣1＜a＜0时，a＞，因此原不等式的解集为．

18． 解：（1）由正弦定理，则=，

所以=，

即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．

因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．