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二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数教学案

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二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数教学案 一. 教学内容： 1. 二次函数与一元二次方程 2. 实际问题与二次函数

二、重点、难点： 二次函数解析式的确定和二次函数的应用

【典型例题】 抛物线的解析式有三种形式：

①一般式：（a≠0）； ②顶点式：，（h，k）是顶点坐标； ③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。 在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。 利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。 例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。（试用两种不同的方法） 分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。 解法一：

设二次函数的解析式为： 因为二次函数图像过点（1，0）

所以

所以 所以函数解析式为。 分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。 解法二：

设二次函数的解析式为：， 因为二次函数图像过点（－2，3）

所以 所以函数解析式为。 点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。 分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。 解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4 ∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。

∴设二次函数的解析式为 ∵二次函数过（－1，－4）

∴ ∴a＝1

∴ 点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图

像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b，c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。

例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。 （1）用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上； （3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线。 解：（1）如图，点M即为所求。

（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）。 设经过点A、B、C的抛物线的解析式为，

依题意，解得， 所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为， 把点D（7，0）的横坐标代入上述解析式，

得： ， 所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。 （3）如下图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD。

所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5， 在Rt△CEM中，∠CEM＝90°， 所以， 在Rt△CED中，∠CED＝90°， 所以， 所以， 所以∠MCD＝90°， 因为MC为半径， 所以直线CD是⊙M的切线。 点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第（2）问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3）问和圆的知识结合起来，求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。

例4、已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式； （3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长． 解：（1）根据题意，，

所以

解得 所以抛物线解析式为． （2）依题意可得的三等分点分别为，． 设直线的解析式为．

当点的坐标为时，直线的解析式为； 当点的坐标为时，直线的解析式为． （3）如图，由题意，可得．

点关于轴的对称点为， 点关于抛物线对称轴的对称点为． 连结． 根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长． 5分 所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．

可求得直线的解析式为． 可得点坐标为，点坐标为． 由勾股定理可求出． 所以点运动的最短总路径的长为． 点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第（2）问如果注意到线段OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。

例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（－1，0）、B（2，0）、C（0，－2）． （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标． （2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围． （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

图1 解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－2）， ∴－2＝a×1×（－2）， ∴a＝1， ∴y＝x2－x－2；

其顶点M的坐标是（）． （2）设线段BM所在直线的解析式为y＝kx＋b，点N的坐标为N（t， h），

∴解得：k＝，b＝－3， ∴线段BM所在的直线的解析式为y＝x－3 ∴h＝t－3， ∵－2

∴－2∴S＝S△AOC＋S梯形OCNQ＝×1×2＋（2＋∣∣）t＝． ∴s与t间的函数关系式为s＝．自变量t的取值范围为（3）存在符合条件的点P，且坐标是P1（），P2（）．理由如下： 设点P的坐标为P（m， n），则n＝m2－m－2．PA2＝（m＋1）2＋n2， PC2＝m2＋（n＋2）2， AC2＝5． 分以下几种情况讨论： 若∠PAC＝90°，则PC2＝PA2＋AC2． ∴解得：m1＝， m2＝－1（舍去） ∴P1（）． 若∠PCA＝90°，则PA2＝PC2＋AC2．

∴解得：m3＝， m4＝0（舍去） ∴P2（） 由图像观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角∠APC不可能为直角． （4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）。

以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是

E（－）

，F（）． 易证△AEO∽△OFC， ∴，又AC＝， 设OE＝a， 则OF＝－a， AE＝， 由勾股定理得：（）2＋a2＝1， ∴a＝． ∴OE＝， 再设点E的坐标为（x， y），由射影定理得:x＝－， y＝， ∴此时未知顶点坐标是E（－）；同理可求得点F的坐标为（）．

【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、填空

1、已知二次函数的图像经过点，则这个二次函数为 。 2、若二次函数的图像经过原点，则值必为 。 3、如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度与水平距离的函数图像，铅球推出的距离是

4、已知二次函数的图像开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________。 5、函数y＝的对称轴是x＝2，且经过点P（3，0），则a＋b＋c＝ ； 6、抛物线经过点A（－1，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为 。 7、若2，4是方程的两个根，则对应抛物线y＝的对称轴是_________。

8、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在_________象限。 9、用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示。 （1）观察图象，当x＝ m时，窗户透光面积最大。 （2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是 m。

10、若点P（1，a）和Q（－1，b）都在抛物线y＝－x2＋1上，则线段PQ的长是____________． 11、若二次函数的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ 。（只要求写出一个）

12、函数的图象与x轴有且只有一个交点，则k＝ ；交点坐标为 。

二、选择题： 13、在半径为的圆面上，挖去一个半径为的圆，剩下的面积是，则与的函数关系式是（ ）

A. B. C. D. 14、二次函数的图像上有两个点A（－1，y），B（2，y），则y1、y2的大小关系为（ ）

A. y＞ y B. y≤y C. y＜ y D. y＝ y 15、已知：a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数的图象上，则（ ） A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 16、二次函数y＝x2＋px＋q中，若p＋q＝0，则它的图象必经过点（ ） A. （－1，－1） B. （1，－1） C. （－1，1） D. （1，1） 17、抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点是（3，－5），且与y轴交于点（0，－2），则抛物线解析式为（ ） A. y＝3x2＋9x－14 B. y＝3x2－16x＋22

C. y＝x2－2x－2 D. y＝x2－6x＋4. 18、抛物线y＝ax2＋bx＋c中，a＞0，b＞0，c＜0，则顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

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初中数学教学课例《实际问题与二次函数》课程思政核心素养教学设计及总结反思

初中数学教学课例《实际问题与二次函数》课程思政核心素养教学设计及总结反思


最小值。
本节课是学生学习了二次函数的图像与性质后，把
实际问题转化为数学问题，二次函数化为顶点式后（或
学生学习能 者用公式法），很容易求出最大或者最小值，从而把数
力分析 学知识运用于实践，即是否把实际问题表示为二次函
数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结
果进行解释
教学策略选
情境法，引导法，问题法，练习法
高效的学习有着重要的意义。
本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题 转化为数学问题，二次函数化为顶点式后，很容易求出 最大（或最小）值，从而把数学知识运用于实践，即是 否把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的 知识解决实际问题，并对结果进行解释 课例研究综
就是要“把课堂还给学生，让课堂充满活力”；“把 述
创造还给教师，使教育充满智慧”；“把世界引进教室， 使课堂成为现实社会的组成部分”，这是华东师大叶澜 教授几年前说过的话。这让我想起亚里士多德的一句名 言：“告诉我的我会忘记，给我看的我会记住，让我参 与的我会理解。”这句话启示我们，学生参与对于真正
初中数学教学课例《实际问题与二次函数》教学设计及总结 反思
学科
初中数学
教学课例名
《实际问题与二次函数》
称
内容运用二次函数求实际问题中的最大值或最小
教材分析 值。重难点：探究利用二次函数的最大值(或最小值)
解决实际问题的方法.

1.学生能够分析和表示实际问题中变量之间的二
次函数关系 教学目标
2.学生会运用二次函数求实际问题中的最大值或
择与设计
学生独立思考，并抽学生回答。让学生先独立思考， 教学过程
若有困难，教师给予帮助分析理解
学生说出解题思路，学生先写出证明过程 最后教师板书解题过程。分析：先写出 S 与 L 的函 数关系式，再求出使 S 最大的 L 值。 矩形场地的周长是 60m，一边长为 L，则另一边长 为,场地面积 S= .化简得 s= 画出这个函数的图像. 教师与学生共同分析,寻找解决问题的方法,培养 学生的探索精神,让学生初步感受数学的使用价值. 学生练习，教师点评 学生回顾、讨论回答并谈自己对本堂课的收获
二次函数教案 (第一课时)

二次函数教案 (第一课时)

二次函数教案 (第一课时)二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册第26.1.1节）二、教学目标1.知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。

2.教学思考学生能对具体情境中的数学息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。

3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。

4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。

三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。

2.教学困难根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。

第四，教学过程的安排教学活动流程活动1：温故知新，揭示课题活动内容和目的由回顾所学过的函数入手，引入函数大家庭中还会认识哪函数呢？然后从打篮球的例子引入二次函数。

学生能独立运用函数知识解决变量之间的关系。

2.活动：合作探究，获取新知识，制作探究环节，与学生互动，自主探索新知识，从而通过观察和归纳。

得到二次函数的解析式，获取新知。

本组题目是新知识的直接应用，目的是让学生能够区分。

活动3：小试身手，循序渐进认二次函数，循序渐进这一环节主要帮助学生处理解决问题，加深对二次函数的理解。

总结内容、应用、数学思维方法、获取知识的途径等。

活动四：回顾课堂，总结巩固方面，既总结知识，又提炼方法，让研究研究知识和运用知识都有很大的提升，方法就是学生讲收获。

活动5：课堂检测，测评反馈以测试的形式检测本节课的内容，检查学生的掌握程度，同时加深学生对知识的理解。

第五，教学过程的设计问题与情景【活动１】１.知识回顾：以问答式引起学生对知识的回忆。

２.揭示课题：以篮球为例。

实际问题与二次函数第三课时教案

实际问题与二次函数第三课时教案

26.3实际问题与二次函数教案教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。

教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。

通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。

一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。

2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。

3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。

二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。

2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。

三、教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。

水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。

怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。

即抛物线的表达式.③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。

教师关注：（１）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型；（3）学生能否找到两个变量之间的关系；（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.归纳总结：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。

九年级数学上册二次函数教案模板优秀8篇

九年级数学上册二次函数教案模板优秀8篇

九年级数学上册二次函数教案模板优秀8篇二次函数教案篇一一、由实际问题探索二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

(1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些因变量(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式。

果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000.二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况。

你能根据表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试。

x/棵y/个三。

做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。

也就是说，利率是一个变量。

在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的。

设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。

如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).四、二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为零。

例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数。

我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2，圆面积s与半径r的关系s=Try2等也都是二次函数的例子。

随堂练习1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次函数？y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t2.圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝.(1)写出y与x之间的关系表达式；(2)当圆的半径分别增加lcm、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少？五、课时小结1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。