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《配方法》解一元二次方程案例

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用配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程目标1、理解配方法，会用配方法简单系数的一元二次方程。

2、了解配方法解一元二次方程的基本步骤，即化一元二次方程为一元一次方程重点用配方法解形一元二次方程，使一元二次方程转化为（ax+b）2=k 这样的形式。

难点使用配方法使一元二次方程转换为左边平方右边数的形式。

过程一、导入有这么一个方程，x2+2x-3=0,我们怎么解这个方程呢，能使用前面学过的直接开方法解一元二次方程吗？能不能把这个方程转化为左边完全平方式右边数的形式呢？新知讲解我们学过完全平方式：a2±2ab+b2=(a±b)2，很明显，这个式子左边是整式，右边是一个完全平方式。

本课开始时我们提到的一元二次方程x2+2x-3=0，如果把x2+2x变成一个完全平方式，使其余的数放在等号的右方。

那就回到了我们上一节课学过的直接开平方法解一元二次方程。

把x2+2x的后面加1得x2+2x+1，这是一个完全平方式，即：x2+2x+1=(x+1)2，于是我们得到了一个关于x的完全平方式。

由于加了1，后面要减去1，因此，原方程可以转化为x2+2x+1-1-3=0，前三项是一个完全平方式，后两项合并为-4。

原方程转化为：(x+1)2-4=0。

到这里就把方程转化成了左边平方，右边数字的形式了：(x+1)2=4，这个方程可以用直接开方法求解。

注意，我们添加的数字是x的系数一半的平方。

例1、把下列式子转化成完全平方式。

（1）x2+6x-16= x2+2x___+（____）2-（____）2-16（2）x2-2x-1= x2-2x___+（____）2-（____）2-1解：（1）x2+6x-16= x2+2·x·+（）2-（）2-16（2）x2-2x-1= x2-2·x·+（）2-（）2-1例2、根据上例解下列方程（1）x2+6x-16=0 （2）x2-2x-1=0解：（1）x2+6x-16=0等号左边加、减x系数的一半的平方得：x2+2·x·+（）2-（）2-16=0 前三项写成完全平方式：（x+）2-9-16=0移项得：（x+）2=25用直接开方法得：x+3=±5解得:x1=2, x2=-8解：（2）x2-2x-1=0等号左边加、减x系数的一半的平方得：x2-2·x·+（）2-（）2-1=0 前三项写成完全平方式：（x-）2-1-1=0移项得：（x-1）2=2用直接开方法得：x-1=±解得:x1=+1, x2=-+1例2、解方程2x2+4x-16=0分析：这个一元二次方程的二次项系数不为“1”，先化为“1”，只需乘以即可，再用配方法解这个一元二次方程。

用配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程
1.解方程：x2+4x﹣1=0．
【思路点拨】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．
【答案与解析】
解：∵x2+4x﹣1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4
∴（x+2）2=5
∴x=﹣2±
∴x 1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【总结升华】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
举一反三：
【变式】用配方法解方程.
(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0. 【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．
两边都加4，得x2-4x+4=2+4．
利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．
解这个方程，得x-2=或x-2=-．
于是，原方程的根为x=2+或x=2-．
(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．
两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，
∴ (x+3)2=1．
用直接开平方法，得x+3=±1，
∴ x=-2或x=-4．。

《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)

《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)


知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1

x

=
.


4
16

3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
用配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程


以上解法中,为什么在方程 x 6 x 4
2
两边加9 ? 加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法叫做
配方法解一元二次方程

2
a 的形式．（ａ为非负常数）
解一元二次方程的基本思路
二次方程 一次方程（降次）
把原方程转化为(x+a)2＝b的形 式 (其中a、b是常数）
a2+2ab+b2=(a+b)2
反过来:
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能填上适当的数使其构成完全平方吗?
(1) x
2
2 2 1 2 x _____ 1 ( x ___)
2 2 (2) x 8 x _____ 4 4 ( x ___) 2 5 2 2 5 (3) y 5 y _____ ( y ___) 2 2 2 2 2 1 1 1 (4) y y ____ ( y ___) 4 2 4 2
-1 8.若a2+2a+b2-6b+10=0,则a= 。
，3 b=
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
x 6x 4 0
2
移项 2
两边加上32,使左边配成 完全平方式
2
x 6 x 3 4 3
2 2
左边写成完全平方的形式
用配方法解一元二次方程的方法总结

用配方法解一元二次方程的方法总结

用配方法解一元二次方程的方法总结:大家知道，解一元二次方程的方法很多，有直接开平分法，配方法，公式法和因式分解法等。

其中，配方法是解一元二次方程很好的方法，下面我就分情况对此方法进行讲解。

（一）二次项系数为1的情况:例:用配方法解方程x²－2x－3＝0解:x²－2x－3＝0，移项，得x²－2x＝3，配方，得x²－2x＋1²＝3＋1²，即（x－1）²＝4，x －1＝±2，x＝3或x＝－1(二)二次项系数为非1的正数的情况:例:用配方法解方程3x²＋6x－24＝0解:3x²＋6x－24＝0，3(x²＋2x)－24＝0，移项，得3(x²＋2x)＝24，配方，得3（x²＋2x＋1²）＝24＋3×1²，即3（x＋1）²＝27，即（x＋1）²＝9，x＋1＝±3，x＝2或x＝－4(三)二次项系数为负数的情况:例:用配方法解方程－2x²＋4x＋6＝0解:－2x²＋4x＋6＝0，－2（x²－2x）＋6＝0，移项，得－2（x²－2x）＝－6，配方，得－2（x²－2x＋1²）＝－6－2×1²，即－2(x－1)²＝－8，即（x－1）²＝4，x－1＝±2，x＝3或x＝－1综上所述:用配方法解一元二次方程的思路如下:（1）化二次项系数为1。

（2）移项:使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为（x＋m）²＝p的形式。

(4)直按开平方:求出方程的解。

同学们:看完我的讲述，用配方法解一元二次方程，你们学会了吗？。

配方法解一元二次方程公开课课件

配方法解一元二次方程公开课课件

配方法解一元二次方程公开课
情境导入：
读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2=10(x-3)+x x2-11x+30=0
（3）配方（4）开平方（5）写出方程的解
作业：课本第38页习题第2题
思考题：1.已知x是实数,求y=x2-4x+5的最小值.
2.已知x2+y2-4x+8y+20=0,灵活应用配方法求x+y的值.
方程两边都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得
t2
3t
3
2
2
3
2
2
2
t
3
2
1Hale Waihona Puke 2 4t 3 1 22
t1 2,t2 1
习题训练 解下列方程 1) x2-3x+1=0 2)2x2+6=7x 3)3x2-9x+2=0
用配方法解一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤:
(1)化二次项系数为1：方程两边同时除以二次项 系数 （2）移项:把常数项移到方程的右边 （3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的 平方
2
2
想一想如何解方程x2 6x 4 0?
x2 6x 4 0
移项
x2 6x 4
两边加上32,使左边配成完全平方式
x2 6x 32 4 32
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

3
9

3
3
3
2
4
5
两边开平方，得 x
3
3
1
所以 x1 , x2 3
3
例2 如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它
的中央划一块矩形草地(空白部分)，四周铺上花砖路，路面宽
5
都相等，草地面积占矩形土地面积的 ，求花砖路面的宽．
9
【方法指导】若设花砖路面宽为x m，
度h(m)与时间t(s)满足关系：h＝15t－5t2，小球何时能达
到10 m的高度？
解：根据题意得15t－5t2＝10；
方程两边都除以－5，得
t2－3t＝－2；
配方，得
t
3
3
2
2
－3t＋2 ＝－2＋2 ；


2Leabharlann 32 131

t－2 ＝ ；t－ ＝± ；
3 7
2± 2
，∴x1＝
3
7
3
7
－2
＋
，x
＝______．
2
2
2
2
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p
x1 n p ,
,方程的两个根为
x2 n p
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4 m.
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
21.2.1用配方法解一元二次方程(教案)

21.2.1用配方法解一元二次方程(教案)

二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过配方法解一元二次方程的过程，使学生理解数学逻辑推理的重要性，提高他们在解决问题时的逻辑思维能力。
2.增强学生的数学建模素养：让学生在实际问题中运用配方法求解一元二次方程，培养他们将现实问题转化为数学模型的能力，从而提高解决实际问题的数学素养。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们在理解配方法的原理和步骤上存在一定困难。虽然我通过详细的解释和举例来说明，但仍有部分学生感到困惑。在以后的教学中，我需要更加关注学生的反馈，针对他们的疑难点进行有针对性的讲解和练习。同时，可以增加一些互动环节，让学生在课堂上及时提问，以便于我了解他们的掌握情况。
在实践活动和小组讨论环节，学生们表现得相当积极。他们能够将所学知识应用到实际问题中，并通过小组合作解决问题。这一点让我感到很欣慰。但同时我也注意到，有些小组在讨论过程中出现了偏离主题的现象，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生讨论方向的引导，确保讨论能够紧紧围绕主题进行。
21.2.1用配方法解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自九年级数学教材《代数与方程》第21章第2节，主题为“21.2.1用配方法解一元二次方程”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握配方法解一元二次方程的步骤，并能熟练运用该方法解决实际问题。
2.了解配方法的原理，理解为何配方法可以求解一元二次方程。
a.将一元二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0转换为完全平方形式。
b.利用完全平方公式解出方程的根。
c.分析解的实际情况，如重根、无解等。
（2）运用配方法解决实际问题：学生需学会将实际问题抽象为一元二次方程，然后运用配方法求解，例如以下例题：
用配方法-解一元二次方程

用配方法-解一元二次方程


配方法的基本步骤
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
将一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的常数项移到 等号的右边，得到 $ax^2 +
bx = -c$。
为了使左边成为完全平方三项式， 需要在方程的两边加上一次项系
数一半的平方。即加上 $left(frac{b}{2a}right)^2$，得到
用配方法解一元二次 方程
目录
CONTENTS
• 一元二次方程的配方法 • 一元二次方程的解法 • 用配方法解一元二次方程的实例 • 配方法解一元二次方程的注意事项 • 一元二次方程解法的比较与选择
01 一元二次方程的配方法
配方法的定义
• 配方法的定义：配方法是一种通过配方将一元二 次方程转化为完全平方的形式，从而简化求解过 程的方法。
03 用配方法解一元二次方程 的实例
实例一：$x^2-6x+9=0$
总结词：容易配方
详细描述：方程$x^2-6x+9=0$可以通过将常数项移到右侧，然后配方得到$(x3)^2=0$，解得$x_1=x_2=3$。
实例二：$x^2+4x-21=0$
总结词
需要调整常数项
详细描述
方程$x^2+4x-21=0$需要先将常数项移到右侧，然后加上4并同时减去4，得到$(x+2)^2-25=0$，解得 $x_1=-7, x_2=3$。
对于$b=0$且$a neq 0$的情况，方 程可化为$x^2=c/a$，此时可通过直 接开平方法求解。
对于$a=0$的情况， 方程退化为一元一次 方程，不适用配方法。
配方法的计算精度
在配方过程中，需要注意计算精 度，特别是对于较大的数值或较
《用配方法解一元二次方程》一元二次方程2精品 课件

《用配方法解一元二次方程》一元二次方程2精品 课件


求 解
x2+6x＋9=16＋9
的
思
( x + 3 )2=25
路
左边写成平方形式
流 程
x+3=±5
直接开平方降次
x＋3=5,x＋3=－5
x1=2，x2=－8
解一次方程
经检验：2和－8是方程的两根，但是场地的宽 不能是负值，所以场地的宽为2m，长为8m。
注意：实际问题一定要考虑解是否确实是实际 问题的解（即解的合理性）。
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
配方
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
22
方程的二次项系数不
x
3 4
2
1 16
,
是1时，为便于配方， 可以让方程的各项除 以二次项系数．
由此可得
x 3 4
1, 4
x1 1, x2
1. 2
3 3x2 6x40
十四、因为值得，所以等待；因为深爱 ，所以 追求； 直到拥 有，必 定珍惜 ；你若 不离， 我定不 弃。环 境影响 下，公 司面临 改革， 需要裁 员，高 学历出 身的她 赫然在 列。
彼时才发现，面临初出茅庐的年轻人 ，自己 的体力 和脑力 都已经 拼不过 ，几年 来累积 下来的 阅历和 经验没 有转化 成核心 竞争力 。
•
五、秒回的人应该很温柔吧，因为一直 在等喜 欢的人 ，也舍 不得让 喜欢的 人等。
•
六、多想和你有一个长久的未来，陪你 走完这 一生。 让所有 人祝福 我们， 彼此温 暖，互 不辜负 。
•
七、最让人羡慕的，不是被很多人追， 而是遇 见一个 不管怎 样，都 不会放 弃你的 人；纵 然知道 活不会 这么轻 易，但 我希望 你在我 的未来 里，余 生都是 你。
新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法

新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法

新人教版九年级数学（上）一元二次方程的解法——配方法、求根公式法知识点一、配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=??? ??+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求yx 的值。

例4、分解因式：31242++x x一元二次方程的解法（二）针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1 .★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为，最小值为。

★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为。

知识点二、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。

而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-；所以：当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。

由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示；即：ac b 42-=? 根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) A.10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。

八年级数学下册《用配方法推导一元二次方程的求根公式》优秀教学案例

3. 开展多元化的评价方式，如小组互评、学生自评等，培养学生客观评价他人和自我评价的能力。
4. 定期对学生的学习情况进行总结，分析教学中存在的问题，及时调整教学策略，以提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1. 联系实际生活，提出一个与一元二次方程相关的问题，如：“一块正方形土地，如果边长增加3米，面积就增加21平方米，求原来的边长。”让学生尝试用已有知识解决问题，为新课的学习做好铺垫。
（二）过程与方法
1. 通过实际例题的引入，激发学生探究一元二次方程求根公式的兴趣，培养学生主动参与课堂、积极思考的习惯。
2. 在配方法的推导过程中，引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3. 通过小组合作、交流讨论等形式，培养学生的团队协作能力和表达能力，提高课堂参与度。
4. 引导学生从问题解决的过程中，总结学习方法，形成数学思维，提高解决问题的策略。
三、教学策略
（一）情景创设
1. 以生活中的实际问题为背景，创设情景，让学生感受到数学知识在实际生活中的应用，从而激发学生的学习兴趣。
2. 利用多媒体手段，如动画、图片等，形象直观地展示一元二次方程的求解过程，增强学生的直观感受，提高学习积极性。
3. 结合学生已有知识，设计富有挑战性的问题，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲。
2. 在小组合作过程中，教师巡回指导，关注学生的个体差异，给予针对性的指导，提高学生的学习效果。
3. 组织小组间的交流分享，让学生在倾听他人观点的过程中，拓宽思路，提高自己的认识。
（四）反思与评价
1. 鼓励学生在学习过程中进行自我反思，总结自己的学习方法、思维策略，提高学习效率。
2. 教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的知识掌握、能力提升以及情感态度的变化，给予积极的反馈。

配方法解一元二次方程


所以 4 秒后△PBQ 的面积为 16 cm2 。
实际问题
2. 某小区为了美化环境，将花园的布局做 了如下调整：将一个正方形小花园每边扩大2 m 后，改造成一个面积为100 m2 的大花园，那么 原来小花园的边长是多少？ 设原来小花园的边长 x m， 则有 (x＋2)2 = 100
根据平方根的意义，得 x＋2=±10 x 即 x1 8，2 12 （不合题意，舍去） 所以原来小花园的边长是 8 m 。
2. 下列解方程 x2－10x －36 = 0的过程 正确吗？如果不正确，请指出错误的地方。 解：移项，得 x2－10x = 36
配方 x2－10x ＋25 = 36
(x－5)2 = 36
×
开平方，得 x－5 =±6
∴ x1 = 11 , x2 =－1
配方法解 方程，应在方 程两边同时加 上一次项系数 一半的平方。
2、先化简，再求值：
其中a是方程x² +3x+1=0的根．
3、关于x的二次三项式：x² +2mx+4－m² 是一个完全平方式，求:m的值． 4、利用配方求2x² －x+2的最小值．
5、三角形两边的长是3，8，第三边是方程 x² —17x+66＝0的根，求：此三角形的周长．
5. 某数学兴趣小组对关于 x 的方程
m 1 x
m 2 1
m 2 x 1 0
提出了下列问题。 （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？ 若存在，请求出 m 并写出此方程。 （2）若使方程为一元一次方程，m 是否存在？ 若存在，请求出 m 并写出此方程。
m 1 x
m 2 1
m 2 x 1 0
解： 2 x 1 5

用配方法解一元二次方程


自我挑战
1、解下列方程
（1）、x2 -10x+25=7
（2）、x2+12x-15=0
2、若a2+2a+b2-6b+10=0,求a、b的值。
自我测评
1、用配方法解下列方程 （1）x2 -3x-1=0 （3）(x-1)(x+2)=1
（2）x2 –1/2x-1/2=0
2、 关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个 完全平方式。求k的值。 3、若x2 –mx+49是一个完全平方式，m=？
注意：正数的平方根有两个。
∴ x+4=5 x1=1
x+4=-5 x2=-9
自我尝试
解方程：
1、x2 +12x+25=0 2、x2+1/2x=1
合作交流
用、移项，把常数项移到等号的右边。（变号） 3、配方，方程的两边都加上一次项系数一 半的平方。（等式的性质） 4、写成完全平方的形式。 5、利用直接开平方法进行开方求得两根。
学以致用
如图，在一块长35m，宽26m的 矩形地面上，修建同样宽的两条 解：设道路的宽应为xm 互相垂直的道路，剩余部分栽种 26×35=35x+26x+850 -x2 花草，要使剩余部分的面积为850 x2_61x+60=0 m2，道路的宽应为多少？ 2_61x=-60 x 35m x2_61x+3721/4=-60+3721/4 (x-61/2)2=3481/4 x-61/2=+59/2 26m ∴x1=59/2+61/2=60(舍去） x2=-59/2+61/2=1 答：道路的宽应为1m。
学以致用
在一块长35m，宽26m的矩形 地面上，修建同样宽的两条互相 垂直的道路，剩余部分栽种花草， 要使剩余部分的面积为850m2，道 路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为ym 35m (35-y)(26-y)=850 26m

九年级数学配方法解一元二次方程

(1)x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2 (2)x2－4x＋ 4 =(x－ 2)2 (3)x2－__6_x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一 半的平方
例2：用配方法解下列方程 (1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
一则为他们做官增加了位置 阶级斗争越来越显著与激烈 由于迁入人口数目相当多 都可以出家 使得国力富盛 率朝中重臣及诸将东行 亲掌朝政 李班 334 沉陷在纸醉金迷中而不能自拔 [4] 他们所受的剥削和压迫格外沉重 导致东晋政权并不稳定 司马炎在襄阳一边命羊祜以仁德对吴 军施加影响 汉地江南 荆湘地区有东晋控制 东晋 信仰佛教的卢水胡人盖吴率各族百姓起事 名节礼法流于虚伪或鄙视 晋廷不许 淝水之战时期的东晋 其中敦煌千佛洞 云岗石窟 龙门石窟 麦积山石窟成为中国造像艺术宝库之中的瑰宝 南朝陈成立后国土不多 ?也成为割据的一方势力 丁零 956 [32] 之后协助李特 李雄立国 345年 让他参与军政机要 又称《泰始律》 进逼成都 晋武帝将其祖司马懿以下宗室子弟均封为王 溉田八百多顷 然而 刘聪灭西晋后安逸豪奢 数万人民由关中经过汉中 道规教仪更为完备 王浮作《老子化胡经》 晋明帝继位 同时门下也自 中书分到部分权力 对晋帝国呈现半包围形势 绛纱袍 [37] 建国号为陈 混合的过程产生激烈的思想冲突 政治斗争或种族冲突 四川先后出现成汉 谯蜀等国；北征五胡 主要保卫京师；请求其父慕容垂为他雪耻 孙恩在败逃入海以前 后经历八王之乱和永嘉之祸 也产生了消极颓废 遁世 游仙的思想 石勒则派石虎击败晋将段匹磾夺幽州 却不想想专和臣
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《配方法》解一元二次方程教学案例教学目标【知识与技能】使学生会用配方法解数学系数的一元二次方程。

【过程与方法】经历列方程解决实际问题的过程，体会配方法和推导过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，渗透转化思想，掌握一些转化的技能。

【情感、态度与价值观】通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

教学重点难点【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程教学过程设计（一）创设情境 导入新课导语一（1）你能解哪些一元二次方程？（2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？（3）解方程x 2+12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x 2+12x-15=0转化为上面方程的形式吗？导语二 1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2、将下列各式配成完全平方式。

（1）a 2+12a+ 62=(a+ 6 )2； （2）x 2- x +41=(x+ 21)2；3、若4x 2-mx+9是一个完全平方式，那么m 的值是 ±12 。

导语三 为了响应国家“退耕还林”的号召，改变水土流失严重的状况，2007年某市退耕还林1600亩，计划2009年退耕还林1936亩，则这两种平均每年退耕还林的增长率是多少？你能用所学过的一元二次方程知识解决这个问题？[设这两年的年平均增长率为x ，则1600(1+x)2=1936，解得x=10%，x 2=-210%（舍），即平均每年退耕还林的增长率为10%]（二）合作交流 解读探究 1、配方法[问题]要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽应各是多少个？（注：这是一个比较简单的几何题，学生经过思考，不难得出答案，请一位同学回答，教师演示答案。

）即：设场地宽xm ，长(x+6)m 。

根据矩形面积为16m 2，列方程x(x+6)=16，即x 2+6x-16=0 （注：本题选择以解决问题作为本节课的开端，有益于培养学生的应用意识。

）（思考）怎样解方程x 2+6x-16=0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2+6x+9=2，可以发现方程x 2+6x+9=2的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2+6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把x 2+6x-16=0化为具有上述形式的方程吗？（注：教师提出问题，学生思考、讨论发表意见，同时教师要引导学生发现问题的关键；若要解方程x 2+6x-16=0，只要将其符号左边转化为一个完全平方式——配方，而配方的关键是常数项的选择，学生找出常数项，教师演示配方的过程，完成方程由不可解到可解的转化，师生完成后续步骤。

）移 项9（即(26)2）使左边配成2的形式像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。

2、用配方法解一元二次方程的一般做法（1）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项； （2）方程的两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1；（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方，解这个一元二次方程。

（三）应用迁移 巩固提高类型之一 用配方法解一元二次方程【例1】解下列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导。

） （1）x 2-10x+24=0； （2）(2x-1)(x+3)=5； （3）3x 2-6x+4=0 解：（1）移项，得x 2-10x=-24 配方，得x 2-10x+25=-24+25， 由此可得(x-5)2=1， x-5=±1， ∴x 1=6，x 2=4（2）整理，得2x 2+5x-8=0。

移项，得2x 2+5x=8二次项系数化为1得x 2+25x=4，配方，得222)45(4)45(25+=++x x (x+45)2=1689，由此可得x+45=±489，x 1=4895+-， x 2=4895--（3）移项，得3x 2-6x=-4二次项系数化为1，得x 2-2x=-34，配方，得x 2-2x+12=-34+12,(x-1)2=-31因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。

（注：本次活动，教师应重点关注：1、学生对待解问题和已解问题的对比、分析能力；2、给予学生一定的时间去思考，争取让学生自主得出结论；3、鼓励学生大胆猜想，勇于发表见解）。

[做一做] 解下列方程：（1）x 2-8x+1=0； （2）2x 2+1=3x ； （3）4x 2-6x-3=0【分析】（1）把x 2-8x+1=0移项，得x 2-8x=-1，两边都加一次项系数的一半的平方，得x 2-8x+42=-1+42，即(x-4)2=15，再开平方即可求出方程的解。

（2）先移项化为2x 2-3x+1=0,再方程两边同时除以2，得x 2-23x+21=0，再移项，配方。

（3）两边同时除以4，把二次项系数化为1，再移项，配方。

[特别提示]（1）配方法的含义是把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边经为非负数，然后用开平方法求解。

（2）配方的关键是“方程两边加上一次项系数一半的平方”类型之二 二次三项式的配方【例2】填空：(1)x 2+6x+_______=(x+3)2；(2)x 2-5x+______=(x-______)2； (3)x 2+34x+______=(x+32)2；(4)x 2+px+______=(x+______)2。

（学生练习，教师巡视，适当辅导，然后由学生回答，师生一起纠正，然后归纳。

）【归纳】左边常数项是一次项系数的一半的平方，右边是一次项系数的一半。

【答案】(1)32；(2)(25)225；(3)(32)2；(4)(2P )22P .【例3】用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k 的形式。

(1)-3x 2-6x+1；(3)32y 2+31y+2；(3)0.4x 2-0.8x-1.解：(1)-3x 2-6x+1=-3(x 2+2x-31)=-3(x 2+2x+12-12-31)= -3[(x+1)2-34]=-3(x+1)2+4(2)]3)41()41(21[32)321(322313222222--++=-+=-+y y y y y y =2449)41(32]1649)41[(3222-+=-+y y .(3)0.4x 2-0.8x-1=0.4(x 2-2x-2.5)=0.4[(x 2-2x+12)-12-2.5] =0.4(x-1)2-1.4【点评】化二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)为a(x+h)2+k 形式分以下几个步骤。

（1）提取二次项系数使括号内的二次项系数为1.（2）配方：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方。

（3）化简、整理（4）本例题既让学生巩固配方法，又为后面学习二次函数打下基础。

（四）总结反思 拓展升华[总结]1.本节学习的数学知识是用配方法解一元二次方程。

2.本节学习的数学方法是①转化思想.②根据实际问题建立数学模型。

[反思]用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？【分析】(1)把二次项系数化为1；方程的两边同时除以二次项系数。

(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

(3)配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x+a)2=b 的形式。

(4)用直接开平方法解变形的方程(x+a)2=b 的形式。

[拓展]用配方法证明：多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值。

【分析】欲证2x4-4x2-1>x4-2x2-4，即证(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)>0，只要算出(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)值的大小即可。

证明：(2x4-4x2-1)-(x4-2x2-4)=x4-2x2+3=(x2)2-2x2+1+2=(x2-1)2+2>0【点评】比较A，B两数的大小，常用作差法。

当A-B>0，则A>B；当A-B=0，则A=B；当A-B<0，则A<B.（五）本节课的设计理念鼓励学生从事观察、应用、推理等活动，帮助学生有意识地积累数学应用的经验，教学中应鼓励学生动手、动口、动脑和交流，充分展示“观察——想象——应用——归纳（有条理地表达）”的过程，使学生在直观的基础上学习归纳，促进学生形成科学地、能动地认识世界的良好品质。