2014届高考数学一轮复习检测《函数与方程》

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函数与方程

【选题明细表】
知识点、方法 题号
函数零点及其个数 1、4、5、6、7
函数零点所在区间 2、8
零点的应用 3、9、10、11
一、选择题
1.(2013年高考湖北卷)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( C )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
解析:令f(x)=0,得x=0或cos x2=0,
因为x∈[0,4],所以x2∈[0,16].

由于cos=0(k∈Z),

故当x2=,,,,时,cos x2=0.
所以零点个数为6.故选C.
2.(2013江西九校联考)为了求函数f(x)=2x-x2的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量x
和函数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示:
x 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0
f(x) 1.16 1.00 0.68 0.24 -0.25 -0.70 -1.00

则函数f(x)的一个零点所在的区间是( C )
(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)
(C)(1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)
解析:函数零点位于区间端点函数值异号的区间内,故选C.
3.(2013乐山市第一次调研考试)“a>1”是“函数f(x)=ax-1-2(a>0且a≠1)在区间[1,2]上
存在零点”的( B )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:若f(x)=ax-1-2在[1,2]上存在零点,则f(1)·f(2)<0,∴-1·(a-2)<0,∴a>2,则必有
a>1,但a>1推不出a>2,∴“a>1”是“f(x)在[1,2]上存在零点”的必要不充分条件.故选B.

3.函数f(x)=的零点个数为( C )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,
所以函数f(x)有2个零点,故选C.
2

4.(2013浙江调研)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( B )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:易知f(x)=ex+3x在R上单调递增,
又∵f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,
∴函数只有一个零点,故选B.
5.已知关于x的方程xln x=ax+1(a∈R),下列说法正确的是( B )
(A)有两不等根 (B)只有一正根
(C)无实数根 (D)不能确定
解析:由xln x=ax+1(a∈R)知x>0,

∴ln x=a+,作出函数y1=ln x与y2=a+的图象,

易知选B.
6.(2013广东珠海模拟)对于函数f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题,其中所有正确命题的序
号是( B )
①q=0时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于点(0,q)对称;③p=0,q>0时,f(x)有且只有一
个零点;④f(x)至多有2个零点.
(A)①④ (B)①②③ (C)②③ (D)①②③④
解析:当q=0时,f(x)=x(|x|+p),显然是奇函数,故①正确;
由于g(x)=x(|x|+p)是奇函数,图象关于原点对称,
q≠0时,f(x)=g(x)+q的图象由g(x)的图象向上(或向下)平移|q|个单位得到,
所以f(x)的图象关于点(0,q)对称,故②正确;

当p=0,q>0时,由f(x)=x|x|+q=0可得x=-,只有一个根,函数只有一个零点,故③正确;
当p<0,q=0时,函数f(x)=x|x|+px有三个零点0,p,-p,所以④错误.故选B.
二、填空题

7.函数f(x)=的零点个数是 .

解析:函数定义域是(3,+∞),
且由f(x)=0得x=2或x=1,
但1∉(3,+∞),2∉(3,+∞),
故f(x)没有零点.
答案:0
8.(2013福建厦门模拟)函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则
n= .
解析:由于f(1)=-4<0,
f(2)=ln 2-1<0,
f(3)=2+ln 3>0,
3

所以零点在区间(2,3)内,故n=2.
答案:2

9.已知0的取值范围是 .
解析:函数g(x)=f(x)-k有两个零点,即f(x)-k=0有两个解,即y=f(x)与y=k的图象有两个
交点.分k>0和k<0作出函数f(x)的图象.当0

当k=1时,有一个交点;当k>1或k<0时,没有交点,故当0答案:0三、解答题
10.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有3个零点,求实数b的取值范围.
解:(1)因为f(x)=-x3+ax2+b,

所以f'(x)=-3x2+2ax=-3x.
当a=0时,f'(x)≤0,函数f(x)没有单调递增区间;
当a>0时,令f'(x)>0,得0

故f(x)的单调递增区间为;
当a<0时,令f'(x)>0,得故f(x)的单调递增区间为.
综上所述,当a=0时,函数f(x)没有单调递增区间;
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为;

当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为.
4

(2)由(1)知,a∈[3,4]时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为
(-∞,0)和.
所以函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=b,函数f(x)在x=处取得极大值f=+b.
由于对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有3个零点,
则

即
解得-因为对任意a∈[3,4],b>-恒成立,
所以b>=-=-4.
所以实数b的取值范围是(-4,0).
11.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.
①有且仅有一个零点;
②有两个零点且均比-1大;
(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.
解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点
⇔方程f(x)=0有两个相等实根
⇔Δ=0,即4m
2
-4(3m+4)=0,

即m2-3m-4=0,
∴m=4或m=-1.
②法一 设f(x)的两个零点分别为x1,x2,
则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4.
由题意,知

⇔
5

⇔
∴-5故m的取值范围为(-5,-1).
法二 由题意,知

即
∴-5∴m的取值范围为(-5,-1).
(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,
即|4x-x2|=-a.
令g(x)=|4x-x2|,
h(x)=-a.
作出g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当0<-a<4,
即-4g(x)与h(x)的图象有4个交点,
即f(x)有4个零点.
故a的取值范围为(-4,0).