2014年高考理科数学总复习试卷第3卷题目及其答案

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2B ．C．1D ．5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种6．（5分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A ．+=1B ．+y2=1C ．+=1D ．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．18．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．B．16πC．9πD ．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．311．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为．（用数字作答）14．（5分）设x、y 满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n ≤（n∈N*）．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．【解答】解：∵z==，∴．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（）A．（0，4]B．[0，4）C．[﹣1，0）D．（﹣1，0]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．【专题】56：三角函数的求值．【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C．【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2B ．C．1D ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，则||=，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O：排列组合．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；故选：C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．6．（5分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A ．+=1B ．+y2=1C ．+=1D ．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2D．1【考点】62：导数及其几何意义．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．B．16πC．9πD ．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A ．B ．C ．D ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10．（5分）等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2•…•a8）=4lg10=4．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）A．y=g（x）B．y=g（﹣x）C．y=﹣g（x）D．y=﹣g（﹣x）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）故选：D．【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．（5分）的展开式中x2y2的系数为70．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r ••=•（﹣1）r ••，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，故答案为：70．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14．（5分）设x、y 满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．【考点】HM：复合三角函数的单调性．【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x ∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t ∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．三、解答题17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2为整数，且S n≤S4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n =，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）通过S n≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；（2）通过a n=13﹣3n，分离分母可得b n =（﹣），并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{a n}中，由S n≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d ≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣4，∴{a n}的通项为：a n=17﹣4n；（2）∵a n=17﹣4n，∴b n ===﹣（﹣），于是T n=b1+b2+……+b n=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C 表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可．【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a1=1，a n+1=ln（a n+1），证明：＜a n ≤（n∈N*）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，（x＞0），又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，下面用数学归纳法进行证明＜a n ≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立．②假设当n=k 时结论成立，即，则当n=k+1时，a n+1=ln（a n+1）＞ln （），a k+1=ln（a k+1）＜ln （），即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。

2014年浙江高考数学模拟试卷3理科数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算．每小题5分, 满分50分． 1． D 【解析】由)2,(--∞=N M C R 知，N ⊆-}3{，选择D 2． C 【解析】ii-2=i 21--，选择C 3．B 【解析】若ab b a 2≥+成立，+∈R b a ,,则ab b a 222≥+成立，反之不一定成立，选择B4． A 【解析】因B A +＞2π，A sin ＞B cos ，同理B sin ＞C cos ，C sin ＞A cos ，选择A5． D 【解析】满足⎩⎨⎧≥++====---44,2,1321321n a a a a a a a n n n n 的数列}{n a ：1，2，4，7，13，24，44，81，149，274，选择D 6．C 【解析】A 中可能有nα，A 错；B 中可能有α与β相交，B 错；C 正确；D 中α与β重合，与题设矛盾，7．D 【解析】9个数中有4个素数，取出的3个数中可能含有1，2，3个素数，共有C 14C 25+C 24C 15+C 34=74，选择D 8．A 【解析】||b a λ+ 2=a 2+2λa b +λ2b 2=λ2+λ+1=（λ+21）2+43，选择A 9．C 【解析】因双曲线的一条渐近线方程为x y =，所以22=b ，10=y ，又)0,2(1-F ，)0,2(2F ，)1,32(1---=，)1,32(2--=PF ，21PF PF •=010． B 【解析】因方程0102=+-i c x x 的解1++i i x x =10，所以方程的正整数解可能情形有（1，9）（2，8）（3，7）（4，6）（5，5），所以有25＞24＞21＞16＞9，选择B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，共28分．11．41 【解析】三棱锥C ABD －的左视图是一个等腰直角三角形，直角边长为22，其面积为4112．85, 2【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的 平均数是85，方差是2 13． －1【解析】14．12 【解析】 ON OM ⋅=y x +2，目标函数图象与边界0122=-+y x 重合时，取得最大值12，其最优解有无数组15．23 【解析】画图易知||21m +==213，=AB 24139-=2316．1【解析】联立两曲线方程解得P 点纵坐标为21，则ΔF 1PF 2的面积为21×21×4=117．23【解析】当1=y 时，a x 1=和a x =，m n -的最小值为,31，则],[n m =]1,1[a，23=a三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． 解：（Ⅰ）23sin cos 4cos 2cos sin 3523||)(2222++++=++⋅=x x x x x x f 2522cos 152sin 32525cos 5cos sin 352++⋅+=++=x x x x x5)62sin(5++=πx 5分由26ππ≤≤x ，得67622πππ≤+≤x ，1)62sin(21≤+≤-∴πx26ππ≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为]10,25[ 8分(Ⅱ) 3()5sin(2)58,sin(2)665f x x x ππ=++=+=则,67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得； 所以4cos(2),65x π+=- 12分 ()12f x π-=5sin 255sin(2)57.66x x ππ=+=+-+=+ 14分20． 解：（Ⅰ）90,30,1ABC DAB CAB BC ∠=∠=∠==3,2,60.2tan 30BCAB AC DAC AD CD AC ∴===∠=∴===,.PA PC PF AC =∴⊥ 4分E P ABC PE ABC PE AC ∴⊥∴⊥点为点在平面上的正投影，平面 .,,PFPE P PF PEF PE PEF AC PEF =⊂⊂∴⊥平面平面平面 7分（Ⅱ）PE ABC PE BC ⊥∴⊥平面 8分,,,BC AB PE AB E PE PAB BC PAB ⊥=⊂∴⊥平面平面CPB PC PAB ∴∠为直线与平面所成的角. 10分1t sin =.2BC PC ∴∠在R CBP 中，BC=1,PC=DC=2,CPB=12分 00,30.<∠∴∠=CPB<9CPB ∴直线PC 与平面PAB 所成的角为 30 14分21． 解：（Ⅰ）设(,)M x y ，由已知得(4,0),(4,22)P Q λλ-， 则直线EP 的方程为22x y λ=-，直线GQ 的方程为22x y λ=-+， 4分 消去λ即得M 的轨迹Γ的方程为221(0)164x y x +=≠． 6分 （Ⅱ）方法一：由已知得2NS NT ON =，又ON ST ⊥，则OS OT ⊥， 8分设直线:(2)ST y kx m m =+≠±代入221164x y +=得 222(14)84160k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)S x y T x y ，则21212228416,1414km m x x x x k k-+=-=++．10分 由OS OT ⊥得12120x x y y +=，即221212()(1)0km x x k x x m ++++=， 则22516(1)m k =+， 12分又O 到直线ST的距离为r =(0,2)r =． 经检验当直线ST 的斜率不存在时也满足． 15分方法二：设00(,)N x y ，则22200x y r +=，且可得直线ST 方程为200x x y y r +=10分代入221164x y +=得2222420000(4)84160y x x r x x r y +-+-=， 由2NS NT ON =得220200120(1)()()x x x x x r y +--=，即201212()x x x x x r +-= 12分则2242200220084164r x r y ry x -+=+，故(0,2)r =． 15分 22． 解：（Ⅰ）2'()396f x x x =-+, 15x ∈（，].法一：'()f x m ≥在15（，]恒成立2396m x x ⇔≤-+在15（，]恒成立. 4分由2233'()3963()24f x x x x =-+=--在15（，]的最小值为34-，所以,得34m ≤-，即m 的最大值为34-. 8分法二：令()2396g x x x m =-+-，15x ∈（，].要使'()f x m ≥在15（，]恒成立，则只需()0g x ≥在15（，]恒成立. 由于()y g x =的对称轴为32x =,当15x ∈（，]时， min ()(32727)60242g x g m =-+-≥=， 解得34m ≤-，所以m 的最大值为34-. 8分（Ⅱ）()y f x =在(,1)-∞和(2,)+∞单调增，在(1,2)单调减.所以5()=(1)2f x f a =-极大值，()=(2)2f x f a =-极小值. 12分故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根. 得2a <或52a >时，方程()0f x =仅有一个实根. 所以5(,2)(,)2a ∈-∞+∞. 15分感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2014高考数学终极压轴卷3一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

1、函数)1(log 12)(2---=x x x f 的定义域为 。

2、已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A =3、若函数3222)1()(----=m m x m m x f 是幂函数，且在),0(+∞∈x 上是减函数，则实数=m 。

4、函数y=213log (3)x x -的单调递减区间是 。

5、方程x x 28lg -=的根()z k k k x ∈+∈,1,，则k = 。

6、实数,x y 满足350,(1,3]x y x --=∈，则2y x -取值范围是________________。

7、已知b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为[]a a 2,1-，则b a +的值为 。

8、已知)(x f 的定义域是R ，且2lg 3lg )1(),()1()2(-=-+=+f x f x f x f ，5lg 3lg )2(+=f ，则=)2009(f 。

9、定义在[]2,2-上的偶函数()g x 满足：当0x ≥时，()g x 单调递减．若()()1g m g m -<，则m 的取值范围是 。

10、已知),0()(2>++=a c bx ax x f 且321,,x x x 两两不等，则)3(321x x x f m ++=与3)()()(321x f x f x f n ++=的大小关系是 。

11、已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为,R 且在)31,(--∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

12、若存在[]3,1∈a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，则实数x 的取值范围是 。

二．解答题（每题15分，共30分）13.在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c ，且c a b ⋅=2（1）求证：30π≤<B ；（2）求函数BB B y cos sin 2sin 1++=的值域。

数学（理）（北京卷）参考答案 第 1 页（共 6 页）绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36（14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=． （Ⅱ）在ABD △中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB⋅∠===∠． 在ABC △中，由余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=． 所以7AC =．（16）（共13分）解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4．所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”．则C AB AB=，,A B独立．根据投篮统计数据，3()5P A=，2()5P B=．()()()P C P AB P AB=+33225555=⨯+⨯1325=．所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为13 25．（Ⅲ）EX x=．数学（理）（北京卷）参考答案第 2 页（共6 页）数学（理）（北京卷）参考答案 第 3 页（共 6 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以//AB DE ．又因为AB ⊄平面PDE ， 所以//AB 平面PDE ．因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF 平面PDE FG =， 所以//AB FG ．（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥．如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC −−→=．设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,AB AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =，则1y =-．所以(0,1,1)=-n ． 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin |cos ,|||||BCBC BC α−−→−−→−−→⋅=〈〉=n n n 12=． 因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6．设点H 的坐标为(,,)u v w ．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH PC λ−−→−−→= (01λ<<)， 即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-．所以2u λ=，v λ=，22w λ=-．因为n 是平面ABF 的法向量，所以0AH −−→⋅=n ，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=．解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,)333．所以2PH =．数学（理）（北京卷）参考答案 第 4 页（共 6 页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-．因为在区间π(0,)2上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0f x f =≤．（Ⅱ）当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“s i n xb x<”等价于“sin 0x bx -<”．令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立．当1c ≥时，因为对任意π(0,)2x ∈，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．从而()(0)0g x g <=对任意π(0,)2x ∈恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π(0,)2x ∈使得00()cos 0g x x c '=-=．()g x 与()g x '在区间π(0,)2上的情况如下：因为(g x 00．进一步，“()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立”当且仅当ππ()1022g c =-≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π(0,)2x ∈恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π(0,)2x ∈恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π(0,)2x ∈恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．数学（理）（北京卷）参考答案 第 5 页（共 6 页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． 所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c 故椭圆C的离心率c e a ==．（Ⅱ）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：设点,A B 的坐标分别为00(,),(,2)x y t ，其中00x ≠． 因为OA OB ⊥，所以0OA OB −−→−−→⋅=，即0020tx y +=，解得02y t x =-． 当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =故直线AB的方程为x =O 到直线AB的距离d 此时直线AB 与圆222x y +=相切． 当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=． 圆心O 到直线AB 的距离d =．又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切．数学（理）（北京卷）参考答案 第 6 页（共 6 页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）1()257T P =+=，21()1max{(),24}1max{7,6}8T P T P =++=+=．（Ⅱ）2()max{,}T P a b d a c d =++++，2()max{,}T P c d b c a b '=++++．当m a =时，2()max{,}T P c d b c a b c d b '=++++=++．因为a b d c b d ++++≤，且a c d c b d ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 当m d =时，2()max{,}T P c d b c a b c a b '=++++=++．因为a b d c a b ++++≤，且a c d c a b ++++≤，所以22()()T P T P '≤． 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立．（Ⅲ）数对序列:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)P 的5()T P 值最小，12345()10,()26,()42,()50,()52T P T P T P T P T P =====．。